CALCUL DES POUTRES CONTINUES DE PLANCHER

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1 CACU DES POUTRES CONTNUES DE PANCHER Sommaire. PREABUE : ES TYPES D ANAYSE POSSBES SUVANT l EUROCODE.... analyse linéaire élastique (ES et EU).... analyse linéaire élastique avec redistribution limitée (EU).... analyse plastique (EU).... analyse non linéaire (ES et EU).... RAPPES Rd FONDAENTAUX.... Calcul des sollicitations dans une travée.... Calcul des moments sur appuis : APPCATON AUX POUTRES SEON EUROCODE Cas de charges à prendre compte : Charges permanentes : Charges d exploitation : Portées de calcul à prendre en compte : argeur des tables des sections en Té (EC, 5...) Ecrêtement des moments sur appuis : Application : détermination des valeurs des moments maxi en travée et sur appuis pour une poutre de travées de même longueur et chargée uniformément....6 Tableaux de résultats dans le cas particulier des poutres de travées de même portée.... REDSTRBUTON DES OENTS [EC, 5.5].... pourquoi redistribuer les moments sur appuis?.... Aspect réglementaire.... Exemple d application de la redistribution des moments Exemple d application de la redistribution des moments COENT REDURE ES OENTS SUR APPUS? Prise en compte des déformations d effort tranchant : Principe : Application à l Exemple précédent : Prise en compte des inerties des sections en té. : Principe : Application à l Exemple précédent :... 5 Calcul des poutres continues de plancher p. /8

2 Figures Fig. Numérotation des appuis et des travées... 5 Fig. Portée utile eff pour différentes conditions d appui... 7 Fig. - Définition de la distance forfaitaire entre points de moment nul o... 8 Fig. - argeur participante de section en Té... 8 Fig. 5 oments dans l axe de l appui et au nu de l appui... 9 Fig. 6 Écrêtage du moment sur appui et diffusion de l effort de compression dans l appui... 9 Fig. 7 Poutres continues de même portée Toutes travées chargées (charges permanentes)... Fig. 8 - Poutres continues de même portée Travées impaires chargées... Fig. 9 - Poutres continues de même portée Travées paires chargées... Fig. Poutres continues de même portée Chargement par paires de travées adjacentes... Fig. oments avant et après redistribution... 6 Fig. - Exemple de redistribution des moments ( =,8) et gain d acier sur appui... 8 Fig. - Exemple de redistribution des moments ( =,85) et gain d acier sur appui... Fig. - Exemple de redistribution des moments ( =,8) et gain d acier sur appui... 8 Tableaux Tab. Équations des moments... 5 Tab. Charges permanentes toutes travées chargées... 6 Tab. Charges d exploitation : Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons)... 6 Tab. - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement sur toutes les travées... Tab. 5 - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées impaires... Tab. 6 - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées paires... Tab. 7 - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement par couples de travées adjacentes... Tab. 8 - Coefficient de redistribution : = après / avant (Fig. et Tab. 9)... 5 Tab. 9 - Coefficient de redistribution en fonction du moment réduit avant = Ed bd avant redistribution... 5 f cd Tab. Valeurs des coefficients de souplesse et des rotations... Calcul des poutres continues de plancher p. /8

3 . PREABUE : ES TYPES D ANAYSE POSSBES SUVANT l EUROCODE. analyse linéaire élastique (ES et EU) C est le calcul qui suit la théorie de l élasticité linéaire (de la Rd). On prend en compte l inertie non fissurée des sections et pour le béton on tient compte du module E cm et des diagrammes contrainte-déformation linéaires.. analyse linéaire élastique avec redistribution limitée (EU) Ce calcul suit également la théorie de l élasticité linéaire mais on procède à une redistribution limitée des moments sur appuis. Cette redistribution permet d économiser de l acier sur appuis et est autorisée par le comportement du matériau «béton-armé» à l EU. Ces deux analyses font l objet de ce cours.. analyse plastique (EU) Ce calcul peut être effectué pour des éléments suffisamment ductiles et permet d envisager la création de mécanisme (méthode des lignes de rupture, modèles de bielles et tirants). C est un calcul particulièrement adapté au matériau «béton-armé» qui peut conduire à des économies notables. Cette analyse fait l objet d un cours ultérieur.. analyse non linéaire (ES et EU) Ce calcul tient compte du comportement non linéaire du matériau. On l utilise notamment pour le calcul au flambement avec effets du second ordre (méthode d intégration des courbures). Cette analyse fait l objet d un cours ultérieur. NOTA concernant l influence des déformations d effort tranchant : Dans le cadre des méthodes définies précédemment, les déformations d effort tranchant peuvent être prépondérantes suivant la géométrie de la structure. Eurocode 5..5 (8) indique que «dans les bâtiments, les déformations des éléments linéaires et des dalles dues à l effort tranchant et à l effort normal peuvent être négligées lorsqu on prévoit qu elles seront inférieures à % des déformations de flexion». Annexe Nationale complète cette prescription en précisant que ce point est vérifié si les hauteurs des poutres sont inférieures au cinquième de leur portée. Calcul des poutres continues de plancher p. /8

4 . RAPPES Rd FONDAENTAUX. Calcul des sollicitations dans une travée Notations pour ces rappels : p : charge uniforme sur la travée considérée : portée de la travée considérée : moment sur l appui gauche de la travée en valeur algébrique : moment sur l appui gauche de la travée en valeur algébrique p. oment isostatique : = 8 p.x.( x) oment à l abscisse x : x = pour = = Equation générale de la courbe (x) des moments [eq. ] : (x) = oment à mi-travée pour des moments sur appuis et :,5 = + Abscisse du point de moment maximal : x =,5 + d(x) déterminé par résolution de d oment maximal en travée : =,5 + x 8 ( ) 6 Abscisses des deux points de moments nuls : x = x ± Effort tranchant à l abscisse x : V(x) = p.( - x) +. p.x.( x) x.( ) x. Calcul des poutres continues de plancher p. /8

5 . Calcul des moments sur appuis : équation des trois moments entre dans le cadre de la méthode de calcul élastique à comportement linéaire de l EC. Suivant les différents cas de portés, moments d inertie et charges, l équation des trois moments est donnée par (Fig. et Tab. ) : i, p i g d i+, p i+ i- i i+ Fig. Numérotation des appuis et des travées Tab. Équations des moments êmes portées et mêmes inerties. Charges uniformes totales i- + i + i+ = - (p i + p i+ ) êmes inerties. Charges uniformes totales i- i + ( i + i+ ) i + i+ i+ = - (p i i + p i+ i ) nerties constantes. Charges uniformes totales i i i- + ( i + i ) i i + i i i+ = - i p i. i i p. i i i nerties constantes. Charges quelconques i i i- + ( i i + i i ) i + i i i+ = - 6 E ( g - d ) nerties variables Charges quelconques bi i- + (a i+ + c i ) i + b i+ i+ = - g + d 5 Avec les coefficients de souplesse de la travée i : ai = i x dx. i E. i (x) bi = i x x dx. i i E. i (x) ci = i x dx. E. i (x) i E = module d'young i = moment d'inertie constante de la travée i i(x) = moment d'inertie variable de la travée i = portée identique pour toutes les travées i = portée de la travée i i = moment sur l'appui i pi = charge répartie uniforme sur la totalité de la travée i i(x) = moment de la travée i rendue isostatique sous le même chargement d = rotation à droite de l'appui i de la travée i+ rendue isostatique sous le même chargement g = rotation à gauche de l'appui i de la travée i rendue isostatique sous le même chargement d = - i i (x) x dx. E. i (x) et g = i (x) x i. i i dx E. i (x) Calcul des poutres continues de plancher p. 5/8

6 . APPCATON AUX POUTRES SEON EUROCODE. Cas de charges à prendre compte : es cas de charges à considérer doivent permettre de déterminer les valeurs maximales des moments en travée et sur appuis. e chargement des travées dépend également de la nature des charges.. Charges permanentes : Tab. Charges permanentes toutes travées chargées Toutes les travées 5.. Charges d exploitation : Pour les bâtiments (EC, 5.. ()P), on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants pour les charges variables : - les travées paires chargées - les travées impaires chargées - deux travées adjacentes quelconques chargées. Tab. Charges d exploitation : Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons) travées paires travées impaires travées adjacentes de l appui travées adjacentes de l appui travées adjacentes de l appui a) b) c) d) e) Portées de calcul à prendre en compte : Alors que le BAE prescrit de prendre en compte la portée entre nus des appuis, l Eurocode prend en compte une portée de calcul pouvant atteindre la portée entre axes. a longueur eff ainsi que le calcul des aciers sur appuis dépendent des types d appuis. Pour des appuis larges, l influence de la raideur de l appui modifie la répartition des moments. EC limite la prise en compte de largeurs d appui à la hauteur de la poutre. eff = n + a + a a et a sont définis sur la figure. Calcul des poutres continues de plancher p. 6/8

7 axe d'appui h h a i = in[,5 h ;,5 t] n eff a i = in[,5 h ;,5 t] n eff t t a) Eléments isostatiques b) Eléments continus h eff h a i = in[,5 h ;,5 t] n eff a i n t c) Appuis considérés comme des encastrements parfaits t d) Présence d'un appareil d'appui h a i = in[,5 h ;,5 t] n eff t e) Console Fig. Portée utile eff pour différentes conditions d appui Calcul des poutres continues de plancher p. 7/8

8 . argeur des tables des sections en Té (EC, 5...) o =,85 o =,5 +,5 o =,7 o =,5 + Fig. - Définition de la distance forfaitaire entre points de moment nul o e débord participant (efficace) de table est limité (Fig. 6) : - à gauche : b eff, = in[b ;, b +, o ;, o ] - à droite : b eff, = in[b ;, b +, o ;, o ] avec : o : distance entre points de moment nul (Fig. ) b i : demi-portée de la dalle entre poutre (Fig. ) a largeur participante de la table est donnée par : b eff = b w + b eff, + b eff, beff beff, bw beff, b b bw b b b Fig. - argeur participante de section en Té. Ecrêtement des moments sur appuis : es moments sur appuis calculés avec la portée définie précédemment peuvent être écrêtés d une valeur : = q.t 8 F Ed,sup.t 8 avec : q = F Ed,sup t. Calcul des poutres continues de plancher p. 8/8

9 a n a n oments nuls oment max a n eff a Fig. 5 oments dans l axe de l appui et au nu de l appui a parabole e Ed = FEd,sup. t/8 n arctg(/) a a t FEd,sup Fig. 6 Écrêtage du moment sur appui et diffusion de l effort de compression dans l appui Calcul des poutres continues de plancher p. 9/8

10 Pour des poutres ou dalles coulées de façon monolithique sur les éléments en béton qui les supportent (poutre, poteau, voile) (voir cas c et e de la Fig. ), on peut considérer l existence d une diffusion de l effort de compression de la partie inférieure (moment négatif) dans l appui (Fig. 6). e bras de levier au milieu de l appui étant alors plus grand qu au droit de l appui, la section d acier nécessaire est la plus grande des deux valeurs : - section au milieu de l appui : A sa = e z a s - section au nu de l appui : A sn = n z n s. On doit vérifier que le moment au nu de l appui ( n ) vaut au minimum 65% du moment ( a ). Dans le cas d un appui non monolithe (mur en maçonnerie, appareil d appui ) (voir cas a, b et d de la Fig. ), le bras de levier n augmente pas et le calcul doit être effectué avec le moment maximal a qui peut être tout de même écrêté. Dans le cas d une poutre chargée uniformément par une charge p : En posant : = a / eff ; = a / eff ; o = p. eff / 8 Et en transformant l équation [eq. ] respectivement avec x = a et x = a on obtient : n = ( ) a +. a + ( ). o n = ( ) a +. a + ( ). o.5 Application : détermination des valeurs des moments maxi en travée et sur appuis pour une poutre de travées de même longueur et chargée uniformément Portée des travées et : Charge linéaire uniforme : p er cas : travées et chargées : p Par application de l équation des moments () :..p. Avec = = p. 8 oment à mi-travée :,5 p. p. p Point de moment maximum : x,5..,5. (symétrique sur la travée ) Valeur du moment maximum : p..p.,5 ( ) p. 8.p..6 (valeur identique sur la travée ) 9 8 Calcul des poutres continues de plancher p. /8

11 ème cas : travée chargée : p Par application de l équation des moments () : Avec = = p. 6..(.)...p. oment à mi-travée :,5 p. p..p Point de moment maximum : x,5.., Valeur du moment maximum :.p..p.,5 ( ) 6. p. 6..p. 9 5 Pour la travée non chargée le moment évolue linéairement de = sur l appui droit. p. sur l appui gauche à 6 application de la formule des moments à des cas généraux (n travées de portées identiques et chargées uniformément) par résolution matricielle effectuée sur EXCE conduit à l établissement des tableaux donnés dans le paragraphe qui suit. Ces tableaux permettent de déterminer instantanément les valeurs des moments maxima sur appuis et en travée. Calcul des poutres continues de plancher p. /8

12 .6 Tableaux de résultats dans le cas particulier des poutres de travées de même portée p Fig. 7 Poutres continues de même portée Toutes travées chargées (charges permanentes) Tab. - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement sur toutes les travées appui n travée n appuis, -8,, appuis,5 -,, -,, appuis,96-9, 7,5 -, 7,5-9,, appuis,8-9,5,8 -,67,7 -,67,8-9,5, appuis,87-9,5 9,5 -,,9 -,56,9 -, 9,5-9,5, appuis,86-9,7 9,5 -,9,7 -,8,7 -,8,7 -,9 9,5-9,7, appuis,86-9,6 9,9 -,9,8 -,76,5 -,,5 -,76,8 -,9 9,9-9,6,86 p Fig. 8 - Poutres continues de même portée Travées impaires chargées Tab. 5 - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées impaires appui n travée n appuis,5-6, -, appuis 9,88 -, -, -, 9, appuis, -8,67 -, -8,, -8,67-7, appuis 9,99-9, -,7-5,,69-5, -,7-9, 9, appuis, -8,9 -,89-6,,88 -, -,7-6,,59-8,9-7, appuis, -8,9 -,85-5,8,8 -,67 -,67 -,67,8-5,8 -,85-8,9, appuis, -8,9 -,86-5,87,85 -,5 -,88 -,5, -,5 -,6-5,87,6-8,9-7, p 5 6 Fig. 9 - Poutres continues de même portée Travées paires chargées Tab. 6 - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées paires appui n travée n appuis -, -6,, appuis -, -,, -, -, appuis -7, -8,67, -8, -, -8,67, appuis -8, -9,,65-5, -5, -5,,65-9, -8, appuis -7,8-8,9,59-6, -,7 -,,88-6, -,89-8,9, appuis -7,87-8,9,6-5,8 -,7 -,67,9 -,67 -,7-5,8,6-8,9-7, appuis -7,85-8,9,6-5,87 -,6 -,5, -,5 -,88 -,5,85-5,87 -,86-8,9, Calcul des poutres continues de plancher p. /8

13 p p p 5 6 Fig. Poutres continues de même portée Chargement par paires de travées adjacentes Tab. 7 - oments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement par couples de travées adjacentes appui n travée n ap. &,6-8,57 8,7 -, -6, ap. &,57-8,6 9, -8, -7,67,, & -56, -8, 7,8-9, 7,8-8, -56, enveloppe,57-8,6 7,8-9, 7,8-8, -56, ap. &,57-8,6 9, -7,87-76,,5 78,67 8, 86, & -55,7-7,87 7,76-9,9 8, -6, -69,67,5 9, enveloppe,57-8,6 7,76-9,9 8, -6, -69,67,5 9, ap. &,57-8,6 9, -7,86-76,, 8,6 9, & -55,7-7,86 7,75-9, 8, -6, -7,9 97,5 6, -9, 78, & 8,, -69, -6, 8, -9,5 8, -6, -69,, 8, enveloppe,57-8,6 7,75-9, 8, -9,5 8, -6, -69,, 8, ap. &,57-8,6 9, -7,86-76,,96 8, 88, & -55,7-7,86 7,75-9, 8, -5,99-7, 97, 6,6-6,88 97, & 7,9,96-69, -5,99 8, -9,6 8,6-5,88-7,57 97, 58,76-88, 776,7 - - enveloppe,57-8,6 7,75-9, 8, -9,6 8,6-5,88-7,57 97, 58,76-88, 776, ap. &,57-8,6 9, -7,86-76,,96 8, 88, & -55,7-7,86 7,75-9, 8, -5,99-7, 97, 6,98-6, -987, & 7,9,96-69, -5,99 8, -9,6 8,6-5,87-7,66 96,57 6,7-6, 965, &5 776, -88, 58,67 97, -7,55-5,87 8,6-9,6 8,6-5,87-7,55 97, 58,67 88, 776, enveloppe,57-8,6 7,75-9, 8, -9,6 8,6-9,6 8,6-5,87-7,55 97, 58,67 88, 776, Ce tableau n est donné que pour les couples de travées chargées situées en partie gauche. es valeurs pour les couples de travées chargées situées en partie droite sont symétriques Portée des travées et : Charge linéaire uniforme : p er cas : travées et chargées : p Par lecture dans le Tab. pour appuis : p. 8 Calcul des poutres continues de plancher p. /8

14 Valeur du moment maximum : p..p. identique dans les deux travées ème cas : travée chargée : p, 9 8 Par lecture dans le Tab. 5 pour appuis : p. 6 Valeur du moment maximum : p..p. pour la travée Valeur du moment à mi-travée :,5 9 5 p. pour la travée,5. REDSTRBUTON DES OENTS [EC, 5.5]. pourquoi redistribuer les moments sur appuis? application de la méthode Rd des moments vue précédemment permet de déterminer les valeurs maximales des moments en travée et sur appuis. Ces valeurs maximales ne sont pas issues du même cas de chargement. Par exemple pour une poutre sur appuis : e moment maximal sur la travée de gauche est donné par le chargement : p p avec p =,5g +,5q à l EU p =,5g à l EU (cas de charge symétrique pour obtenir le moment maximal sur la travée de droite). e moment maximal sur appui central est donné par le chargement : p p avec p = p =,5g +,5q à l EU utilisation de l enveloppe des sollicitations engendrées par ces différents chargements donne donc une sécurité vis-à-vis de la vérification de l équation :. Aspect réglementaire,5 = + Eurocode permet de redistribuer les moments sur appuis en les multipliant par un coefficient. Cette redistribution est favorable vis-à-vis du dimensionnement car ce sont souvent les moments sur appuis qui conditionnent le coffrage. Ce coefficient est borné,7,. Calcul des poutres continues de plancher p. /8

15 l faut néanmoins veiller à ce que le moment au nu de l appui après redistribution ne soit pas inférieur à 65% du moment maximum Rd sur l appui. Nota important : l Eurocode partie feu limite également la valeur de. EC de base l a limitée à l EU, l annexe nationale française l autorise également en ES. EC l autorise sous les conditions suivantes : - le rapport des portées est compris entre,5 et - les éléments sont sollicités principalement en flexion (donc pas pour les poteaux) - le coefficient de redistribution = après / avant est fonction de l état de sollicitation de la section (plus la section est sollicitée, moins on peut redistribuer) par l intermédiaire de la hauteur comprimée x u Tab. 8 - Coefficient de redistribution : = après / avant (Fig. et Tab. 9) Classe d acier f ck 5 Pa f ck > 5 Pa A (peu ductile) =, +,5 x u d,8 =,5 +,5 (,6 +, cu ) x u d,8 B ou C (ductile ou très ductile) =, +,5 x u d,7 =,5 +,5 (,6 +, ) x u cu d,7 Pour f ck = 55 Pa : cu =, ; f ck = 6 Pa : cu =,9 ; f ck = 7 Pa : cu =,7 ; f ck 8 Pa : cu =,6 e coefficient de redistribution peut être différent pour chaque combinaison de charges. En particulier, on peut le choisir de telle sorte que le moment maximal en valeur absolue sur appui, déterminé par les cas c) et suivants (voir Tab. ci-dessus) soit diminué pour être rapproché du (voire égal au) moment des cas de charges a) et b). On ne connaît le coefficient de redistribution que si l on connaît le moment redistribué (soit après exprimé en moment réduit : = / (bd f cd )). On procède alors par itérations successives ou bien on utilise l abaque de la Fig. ou le Tab. 9. Tab. 9 - Coefficient de redistribution en fonction du moment réduit avant = bd f cd (f ck 5 Pa) avant ,,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,,76,769,79,75,78,76,786,7,7,759,,78,79,7,76,786,7,78,765,79,759,,757,7575,76,76,766,769,77,775,778,78,5,78,7875,797,799,797,86,8,87,89,85,6,88,88,855,89,8,87,8,85,89,85,7,8576,86,866,879,8756,88,885,89,895,9,8,955,99,965,9,98,9,9,967,95,96,9,967,976,98,99,9985, Ed avant redistribution Exemple d utilisation du tableau. Pour un avant de,57 (,5 en re colonne et colonne 7), on lit =,87 ce qui correspond à un après de,57 x,87 =,75 Calcul des poutres continues de plancher p. 5/8

16 après,,5,,5, classe A (,8) classes B et C (,7) pas de redistribution posible aciers comprimés conseillés,5,5,,,5,5,,55,9,7 Fig. oments avant et après redistribution,8 avant. Exemple d application de la redistribution des moments Deux travées de 6m entre nus de poteaux. Poteaux, m ;, m ;, m Charge permanente g = kn/m et charge d exploitation : q = kn/m. Section,5 m,7 m ht. Hauteur utile a priori : d =,9 h =,6 m Portées à prendre en compte Par application de Fig. on détermine les portées de calcul des travées. eff,,5.t,5.t,5.t,5.t eff, 6,,5,,5, 6,75m 6,,5,,5, 6,75m Cas de charges à considérer a) les deux travées avec la charge q pour le calcul du moment maximal sur appui central b) la travée gauche avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée gauche c) la travée droite avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée droite Calcul des moments p. p. oment sur appui : = - 6 oment à mi-travée :,5 = o + / oment maximal en travée : =,5 + () 6. o Calcul des poutres continues de plancher p. 6/8

17 Charge p en travée chargée :,5 g +,5 q =,5 +,5 = 9 kn/m Charge p en travée non chargée :,5 g =,5 = 5 kn/m Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t a 9 9 5,6-5,6 56, 88, oment maxi en travée b 9 5 5,6 -, 7,5 8, c 5 9 7,5 -,,5 6,7 p. () oment isostatique : = 8 a solution optimale est de redistribuer suffisamment pour diminuer le moment sur appui, sans augmenter le moment en travée. Donc, le moment sur appui maximal, obtenu avec le cas (a), une fois redistribué, doit être égal au maximum des deux cas (b) et (c) : le coefficient de redistribution devient :, = =,8 5,6 Supposons que nous ne connaissions par la nature de l acier qui sera utilisé sur le chantier, par prudence nous retiendrons,8 puisque la limite est,8 pour les aciers de classe A (peu ductile) et,7 pour les aciers de classe B et C. On vérifie que l on a le droit de redistribuer cette valeur en utilisant le Tab. 9 précédent. oment relatif : b.d Ed.fcd =,56,5,6 6,7 =, ecture du Tab. 9 : ligne, et colonne (pour un millième) :,77 On peut donc redistribuer jusqu à,77, mais on est limité ici par la condition qu on s est imposée de non augmentation du moment en travée (raison économique, augmenter une section d acier en travée se répercute sur une longueur plus grande qu en chapeau). Donc : =,8 Pour =,8 les moments du cas de (a) deviennent ceux du cas (d) suivant : Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t d 9 9 5,6 -, () 7,5 8, () 5,6 =, oment maxi en travée Calcul des poutres continues de plancher p. 7/8

18 mi-travée cas b,d valeurs maximales cas a cas c appui, cas c,d cas a 7 6,75 6,75 cas b q g q g cas a : avant redistribution cas d : après redistribution cas b -6 cas a cas b,c,d cas c q g Fig. - Exemple de redistribution des moments ( =,8) et gain d acier sur appui Vérifications, 7,5 5,6 OK,65 6,655,5,5 n OK a. Exemple d application de la redistribution des moments Deux travées de 6m entre nus de poteaux. Poteaux, m ;, m ;, m Charge permanente g = 7 kn/m et charge d exploitation : q = 8 kn/m. Section,5 m,7 m ht. Hauteur utile a priori : d =,9 h =,6 m Portées à prendre en compte Par application de Fig. on détermine les portées de calcul des travées. eff,,5.t,5.t,5.t,5.t eff, 6,,5,,5, 6,75m 6,,5,,5, 6,75m Calcul des poutres continues de plancher p. 8/8

19 Cas de charges à considérer d) les deux travées avec la charge q pour le calcul du moment maximal sur appui central e) la travée gauche avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée gauche f) la travée droite avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée droite Calcul des moments p. p. oment sur appui : = - 6 oment à mi-travée :,5 = o + / oment maximal en travée : =,5 + () 6. o Charge p en travée chargée :,5 g +,5 q =,5 7 +,5 8 = 5,5 kn/m Charge p en travée non chargée :,5 g =,5 7 = 6,5 kn/m Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t a 5,5 5,5 6,6-6,6, 7,8 oment maxi en travée b 5,5 6,5 6,6-8, 6, 8, c 6,5 5,5 6, -8,,9 6,9 p. () : oment isostatique : = 8 a solution optimale est de redistribuer suffisamment pour diminuer le moment sur appui, sans augmenter le moment en travée. Donc, le moment sur appui maximal, obtenu avec le cas (a), une fois redistribué, doit être égal au maximum des deux cas (b) et (c) : le coefficient de redistribution devient : 8, = =,8 6,6 Supposons que nous ne connaissions par la nature de l acier qui sera utilisé sur le chantier, par prudence nous retiendrons,8 puisque la limite est,8 pour les aciers de classe A (peu ductile) et,7 pour les aciers de classe B et C. On vérifie que l on a le droit de redistribuer cette valeur en utilisant le Tab. 9 précédent. oment relatif : b.d Ed.fcd =,66,5,6 6,7 =,59 ecture du Tab. 9 : ligne,5 et colonne 9 (pour 9 millièmes) :,85 état de sollicitation de la section ne permet de redistribuer que jusqu à,85. a courbe des moments en travée sera au dessus de celles des cas (b) et (c). Donc : =,85 Pour =,85 les moments du cas de (a) deviennent ceux du cas (d) suivant Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t d 5,5 5,5 6,6-89, () 56, 8,9 () 6,6 = 89, oment maxi en travée Calcul des poutres continues de plancher p. 9/8

20 mi-travée cas d cas b 6 56 cas d valeurs maximales cas a cas c appui, cas c cas a 7 6,75 6,75 cas b cas a : avant redistribution q g q g cas b -5 cas a -5 cas b,c cas c q g Fig. - Exemple de redistribution des moments ( =,85) et gain d acier sur appui Vérifications 89, 6, 6,6 OK,65 5,65 6 9,7,5 n OK a 5. COENT REDURE ES OENTS SUR APPUS? es moments sur appuis obtenus sont généralement supérieurs (en valeur absolue) aux moments maximaux en travée et conditionnent le dimensionnement des sections des poutres. Sur appuis : la section de la poutre à considérer est rectangulaire car on ne peut pas bénéficier d une table de compression. En travée : la hauteur de la poutre peut être optimisée par la prise en compte du plancher qui fait office de table de compression. On est donc doublement pénalisé sur appuis. Si l on veut limiter la hauteur des poutres pour des raisons de coût ou de gain de hauteur sur le bâtiment, il est important de diminuer les moments sur appuis. On peut utiliser les méthodes suivantes : Calcul des poutres continues de plancher p. /8

21 a) prise en compte des déformations d effort tranchant, ce qui se traduit par des diminutions d autant plus importantes que le rapport h/ est grand (voir clause 5.. (8) de l EC); b) prise en compte des inerties variables des sections en Té en travées et des sections rectangulaires dans les zones d appui (voir clause 5... () de l EC); Ces deux méthodes peuvent ensuite être cumulées avec les méthodes suivantes : c) redistribution limitée des moments selon la clause 5.5 de l EC (vue précédemment); d) méthode des rotules plastiques selon la clause 5.6 de l EC. 5. Prise en compte des déformations d effort tranchant : 5.. Principe : V a rotation due à l effort tranchant vaut : = G.S' a flèche due à l effort tranchant vaut : f V = G.S' E Avec : G = ( ν) : coefficient de poisson prenant la valeur pour des sections fissurées et, pour des sections non fissurées (EC--,.. ()). S = 5.b.h pour une section rectangulaire 6 S = 9.. pour une section circulaire En posant d = et d =. G. S'. G. S' Pour les travées d inertie constante l équation des trois moments complète devient : (b - d ). o + (a + c + d + d ). + (b - d ). = - g + d 5.. Application à l Exemple précédent : On rappelle que dans le cas d une poutre d inertie constante de longueur, les coefficient de souplesse a, b et c peuvent s écrire simplement : a c. E. et b 6. E. De même les expressions des rotations peuvent s écrire de la manière suivante : g = p. et d = -.E. p..e. Pour l exemple, constitué d une poutre à travées de longueur identique, d inertie constante et chargées uniformément, l équation des moments complète se simplifie à l expression :... E. G.. S' p.. E. Calcul des poutres continues de plancher p. /8

22 En tenant compte de d et d, les valeurs calculées précédemment sont modifiés comme suit : Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t a 5,5 5,5 6,6-596,,6 9,6 oment maxi en travée b 5,5 6,5 6,6-77, 6,9 85,6 c 6,5 5,5 6, -77,,7 6, () : oment isostatique : = p. 8 influence des déformations d effort tranchant est très faible pour l Exemple considéré (%). Nous sommes dans le cadre de la remarque de l Annexe Nationale qui précise que les déformations d effort tranchant peuvent être négligées lorsqu on vérifie le rapport : h h,7 nous avons ici 5 6,75 9,6 Nous pouvions effectivement ne pas prendre en compte l influence des déformations d effort tranchant. Calcul des poutres continues de plancher p. /8

23 5. Prise en compte des inerties des sections en té. : 5.. Principe : Comme nous l avons vu dans le paragraphe., il est possible de considérer une largeur de table de compression de façon forfaitaire entre les points de moment nul de chacune des travées. a méthode des moments est toujours applicable pour déterminer les moments sur appuis mais c est l équation générale [5] qu il faut alors utiliser. avec a = b i. i- + (a i+ + c i ). i + b i+. i+ = - g + d [5] c = b = x x dx E dx E x x dx E Pour une charge uniformément répartie p : - rotation à droite de l appui : d = - - rotation à gauche de l appui : g = x p.x( x) x p.x( x). a prise en compte forfaitaire des tables de compression conduit à découper chaque travée de la poutre en tronçons : - section rectangulaire d inertie entre l appui gauche et le premier point de moment nul - section en Té d inertie entre les deux points de moments nuls - section rectangulaire d inertie entre le deuxième point de moment nul et l appui droit. e premier point de moment nul est à l abscisse x =. e second point de moment nul est à l abscisse x = (- ). dx E dx E Calcul des poutres continues de plancher p. /8

24 On pose ainsi : distance relative entre l appui gauche et le premier point de moment nul distance relative entre le deuxième point de moment nul et l appui droit distance relative entre l appui gauche et le deuxième point de moment nul = distance relative entre le premier point de moment nul et l appui droit = moment d inertie de la section brute rectangulaire moment d inertie de la section brute en Té es paramètres de l équation générale [5] deviennent ainsi : c = a = b = x dx. E E 6E g = d = - λ λ λ = E λ λ p.(λ E p λ. E λ λ.dλ λ λ λ )dλ λ λ = λ λ λ λ.dλ λ p λ. E λ λ λ.dλ = λ λ λ λ λ λ E λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Par application des valeurs et recommandées par la clause 5... () de l EC, on obtient : Tab. Valeurs des coefficients de souplesse et des rotations Travée de rive gauche Travée intermédiaire Travée de rive droite,5,5,5,5,85,85,85,85 a c b,7 7,97. E,87,9. E,,757. E d p,, E g p,95,895. E,,886. E,87,9. E,7 7,97 = a. E,86,5. E p,5, E,,757. E p,95, E p,,988 = - g. E : moment d inertie de la section rectangulaire et : moment d inertie de la section en Té g = rotation à gauche de l appui Calcul des poutres continues de plancher p. /8

25 5.. Application à l Exemple précédent : On considère que la poutre supporte une dalle d épaisseur cm et que la portée de la dalle entre nus de poutres est de 6m. argeur de table à prendre en compte : d après EC, 5... : es deux travées étant identiques on obtient pour chacune : - à gauche : b eff, = in[b ;, b +, o ;, o ] =,8 m - à droite : b eff, = in[b ;, b +, o ;, o ] =,8 m avec : o = 5,78 m b = b =, m a largeur participante de la table vaut : b eff = b w + b eff, + b eff, =,66m nertie des sections à prendre en compte : Section rectangulaire,5 m,7 m ht : bw.h, m. Aire : S = b w.h =,5 m². Section en Té avec les débords calculés ci-dessus : (b eff - bw ).t nertie des débords : t,5 m. Aire : S t = (b eff -b w ).t =,59 m². avec : t =, m oment statique des différentes sections par rapport à la fibre supérieure : = t = h. t. S =,8575 m. S t =,59 m. Position du centre de gravité de la section complète par rapport à la fibre supérieure : y g = ( + t ) / (S + S t ) =,87 m nertie de la section en Té par partir des calculs précédent et par application du théorème d Huygens : g = + S.d² On obtient : =,5 m. Valeurs des coefficients de souplesse et des rotations : On étudie deux cas : a) les deux travées avec la charge q pour le calcul du moment maximal sur appui central b) la travée gauche avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée gauche Calcul des poutres continues de plancher p. 5/8

26 cas a) : Travée de rive gauche Travée de rive droite,5,5,85,85 a c b,7 7,97. E,87,9. E,,757. E,87,9,. E,7 7,97,8. E,,757,9. E,9,8, Chargement (kn/ml) Travée chargée p = 5,5 Travée chargée p = 5,5 d p,, E g p,95,895. E p,95, E p,,988,8. E -.8,5 cas b) : Travée de rive gauche Travée de rive droite,5,5,85,85 a c b,7 7,97. E,87,9. E,,757. E,87,9,. E,7 7,97,8. E,,757,9. E,9,8, Chargement (kn/ml) Travée chargée p = 5,5 Travée déchargée p = 6,5 d p,, E g p,95,895. E p,95, E p,,988,8. E -.7, Calcul des poutres continues de plancher p. 6/8

27 Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t a 5,5 5,5 6,6-68, 66, 89, oment maxi en travée b 5,5 6,5 6,6-75,, 7,7 c 6,5 5,5 6, -75, 7,8 98, () : oment isostatique : = Redistribution du moment sur appui : p. 8 e moment sur appui maximal, obtenu avec le cas (a), une fois redistribué, doit être égal au maximum 75, des deux cas (b) et (c) : le coefficient de redistribution devient : = =,8 68, Supposons que nous ne connaissions par la nature de l acier qui sera utilisé sur le chantier, par prudence nous retiendrons,8 puisque la limite est,8 pour les aciers de classe A (peu ductile) et,7 pour les aciers de classe B et C. On vérifie que l on a le droit de redistribuer cette valeur en utilisant le Tab. 9 précédent. oment relatif : b.d Ed.fcd ecture du Tab. 9 : :,7 =,68,5,6 6,7 =, On peut donc redistribuer jusqu à,7, mais on est limité ici par la condition qu on s est imposée de non augmentation du moment en travée (raison économique, augmenter une section d acier en travée se répercute sur une longueur plus grande qu en chapeau). Donc : =,8. Pour =,8 les moments du cas de (a) deviennent ceux du cas (d) suivant : Cas de charge Charge en travée Charge en travée oment isostatique () o oment sur appui oment à mi-travée t d 5,5 5,5 6,6-75, (), 7,7 () 68, = 75, oment maxi en travée Calcul des poutres continues de plancher p. 7/8

28 mi-travée cas b,d valeurs maximales cas a cas c 7 appui, cas c,d cas a 98 6,75 6,75 cas b q g q g cas a : avant redistribution cas d : après redistribution cas b - cas a cas b,c,d cas c q g Fig. - Exemple de redistribution des moments ( =,8) et gain d acier sur appui NOTA : Sans prise en compte des inerties des sections en Té et avant redistribution nous avions le moment sur p. appui central qui valait : = - = - 6,6 knm 8 Avec prise en compte des inerties des sections en Té et avant redistribution nous avons le moment sur p. appui central qui vaut : = - = - 68, knm, C est équivalent à une redistribution de % Calcul des poutres continues de plancher p. 8/8