Chapitre I : Evolution en pourcentage

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1 Chapitre I : Evolution en pourcentage Extrait du programme : I. Pourcentage instantané Définition : La part d une partie A d un tout B est : nombre d éléments de A nombre d éléments de B = partie = A tout B Dire que A vaut t% de B signifie que A B t, c est-à-dire : A= B t Ainsi, prendre t% d une quantité revient à multiplier celle-ci par t. Exemple : Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. La part des filles dans la classe est : t = = 0,6 = = 60% Il y a donc 60% de filles dans la classe. Remarque : On exprime une part ou une proportion de trois façons : En fraction : Les trois cinquième de la classe sont des filles. En pourcentage : 60% des élèves sont des filles En écriture décimale : (lorsque l on a des calculs à effectuer). Si la part des filles est la même parmi les 145 élèves de 1 ère ES-L, alors il y a 0,6145 = 87 filles en 1 ère ES-L. Point méthode 1 : Utiliser ou déterminer une part en pourcentage Dans une assemblée, 25% des personnes sont des Belges ; il y a 37 Suisses et un tiers d Anglais, soit 60 anglais. Les autres sont des Français. Calculer : - L effectif total de l assemblée - Le nombre de Belges - La part des Suisses en %, à 0,1 près - La part des Français. On calcule d abord l effectif total grâce à la seule nationalité pour laquelle nous avons 2 informations : Soit N l effectif total. La part des Anglais sur le total est et ils sont 60 donc : = N N = 603=180 Il y a 180 personnes dans l assemblée.

2 On peut calculer directement ou bien s aider d un tableau de proportionnalité qui sera toujours sur le même modèle : effectif pourcentage Partie (= Belges)? 25 Tout (=l assemblée) Ou bien, on sait qu il y a 25% de Belges donc : 0, = 45 Il y a 45 belges On fait de même pour les suisses : effectif pourcentage Partie (= Suisses) 37? Tout (=l assemblée) Ou bien directement : 0,206 20,6% Pour connaitre la valeur arrondie d un pourcentage à 0,1 près, on calcule la part avec 3 chiffres après la virgule en arrondissant correctement. Part de Français : , ,6 = 21,1 Il y a environ 21,1% de Français. Attention à ne pas mettre le % en fin d opération. II. Pourcentage d augmentation ou de diminution 1. Expression d une évolution à partir d un pourcentage Propriété : - Augmenter une quantité de t% revient à multiplier par t - Diminuer une quantité de t% revient à multiplier par t Démonstration (cas d une hausse) : On veut augmenter une quantité A de t%, on doit donc ajouter à A, t% de A. On aura donc : A+A t. On peut donc factoriser par A : A t On a donc bien multiplier la quantité de départ par t. CQFD Définition : Les nombres t et t sont appelés coefficients multiplicateurs associés au pourcentage t. Point-méthode 2 : Exprimer une évolution à partir d un pourcentage 1. Le prix HT (Hors taxe) d un objet est de 500. Le taux de TVA (Taxe à la valeur ajoutée) appliquée sur ce produit est de 19,6%. Quel est le prix TTC(toutes taxes comprises) de ce produit? 2. La population d un village lors du dernier recensement a diminué de 4,5%. Avant ce recensement, ce village comptait habitants. Calculer le nombre d habitants après le recensement et en déduire le nombre d habitants ayant quitté ce village.

3 Il faut calculer les coefficients multiplicateurs 1. Il s agit d une augmentation de 19,6% donc on multiplie le prix de base par 1+, = 1, ,196 = 598. Le prix TTC est donc de Il s agit d une diminution de 4,5% donc on multiplie la population de base par : 1, =0, ,955 = Il y a donc 2101 habitants dans le village = 99 il y a 99 habitants qui sont partis. 2. Expression d un taux d évolution en pourcentage à partir d une évolution Définition- Propriété : Soient la valeur initial d une grandeur, et V f sa valeur finale suite à une évolution. Le pourcentage de variation t de à V f est donné par : t = V f V f s appelle la variation absolue 100 V f s appelle la variation relative ou taux d évolution de la grandeur V. Propriété : Soit t le taux d évolution d une grandeur ; - Si t > 0 alors la grandeur est en hausse - Si t < 0 alors la grandeur est en baisse. Point-méthode 3 : Exprimer un taux d évolution en pourcentage à partir d une évolution 1. Dans un lycée, en classe de seconde, il y avait 30 élèves inscrits en option «LV3 chinois» en 2010 et 36 inscrits en Quel est le taux d évolution en pourcentage du nombre d inscrits en option chinois en 2 nde entre 2010 et 2011? 2. Dans une entreprise, parmi 50 salariés fumeurs, trois d entre eux ont cessé de fumer. Quel est le taux d évolution du nombre de salariés fumeurs dans cette entreprise? 1. Il faut identifier et V f : Ici = 30 et V f = 36 On applique la formule : V f = = = 0,2 (nombre positif, ce qui est cohérent avec une hausse) En pourcentage, ce taux d évolution est égal à 20%. On peut dire que dans ce lycée, le nombre d inscrits en option chinois en 2 nde a augmenté de 20% entre 2010 et Dans ce cas : = 50 et V f

4 On applique la formule : V f = = =,nombre négatif, cohérent avec une baisse) On peut donc dire que le nombre de fumeurs dans cette entreprise a diminué de 6%. 3. Indices en base 100 Définition : Dire que I k/0 est l indice à la date t k, en prenant 100 pour base à la date t 0, signifie que I k/0 est la quatrième proportionnelle dans le tableau ci-contre, c est-à-dire que : Date t 0 t k I k/0 =100 A Valeur A 0 A k k Indice 100 I A k/0 Exemple : L indice de A 1 =18 par rapport à A 0 =12 est : I 1/0 =100 = 150 Propriété : Avec les notations de la définition ci-dessus, le pourcentage d évolution de A 0 à A k est I k/ Remarques : - Les indices permettent de lire rapidement un pourcentage d évolution par rapport à une date de référence. - Les indices permettent de comparer deux évolutions sur des données qui n ont pas le même ordre de grandeurs, c est-à-dire des données en centaines avec des données en milliers ou millions Point-Méthode 4 : Utiliser des indices pour évaluer et comparer des pourcentages d évolution Voici la consommation de pétrole de trois pays en millions de tonnes entre 1992 et 2011 Année États-Unis Chine France Calculer les indices, base 100 en 1992, arrondis à 0,1 près Comparer alors l évolution de la consommation dans ces trois pays. Il faut refaire un autre tableau avec les indices (ou bien ajouter une ligne indice sous chaque pays). L année de référence est 1992, on va donc avoir un indice 100 en 1992 pour chacun des trois pays. Les calculs se font grâce à la formule, par exemple pour l indice en 1998 pour les Etats-Unis :

5 I 98/92 = 100 = 107,8 (Cela signifie que la consommation de pétrole des Etats-Unis a augmenté de 7,8 % entre 1992 et 1998). Pour la France en 2011 : I 11/92 = 100 = 88,3 (Cela signifie que la consommation de pétrole de la France a diminué de 11,7% (10088,3 = 11,7) entre 1992 et 2011.) On peut utiliser un tableur ou bien les listes de la calculatrice afin de faire tous les calculs en même temps. (cf TD le coût de la rentrée scolaire). On obtient alors : Année États-Unis ,8 112,5 112,5 105,3 Chine , ,9 375,6 France , ,8 88,3 La consommation des Etats-Unis a continué à augmenter dans le début des années 1990 puis s est stabilisé et tend à diminuer légèrement en 2011, alors que la consommation France a peu évolué ces dernières années, avec une baisse plus nette en La consommation de la Chine explose et est en continuelle hausse (+275,6 % en 20 ans!!)