4ème Chapitre 1 Proportionnalité Première partie

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1 4ème Chapitre 1 Proportionnalité Première partie I_ Tableaux de proportionnalité et produits en croix Définition: Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsqu'on obtient les nombres de la deuxième ligne en multipliant tous ceux de la première ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Exemple: On a : 2 6 = = 7 21 = = 1 3 et 6 2 = = 21 7 = = 3 Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Propriété: a c Si est un tableau de proportionnalité, alors b a = d b d c et a d = b c. Application au calcul d'une quatrième proportionnelle: Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. 5 8 y 6 x 9 5 x = 6 8 donc x = y = 5 9 donc y = = 9,6 = = 15 2 = 7,5

2 Propriété réciproque: Si tous les produits en croix d'un tableau sont égaux, alors le tableau est un tableau de proportionnalité. Exemple 1: Voyons si le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. 5 7, ,4 1ère méthode : 8 5 = 1,6 12 7,5 = 1,6 6,4 4 = 1,6 donc 2ème méthode : 5 12 = 60 et 8 7,5 = 60 donc 5 12 = 8 7,5 7,5 6,4 = 48 et 12 = 48 donc 7,5 6,4 = 12 Le tableau est donc un tableau de proportionnalité. 8 5 = 12 7,5 = 6,4 4 = 1,6 Exemple 2: Voyons si le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité ère méthode : 9 4 = 2, = 2, ,29 2,25 2ème méthode : 4 6 = = ème méthode : 9 16 = 144 et 4 36 = 144 donc 9 16 = = 2016 et = 2000 donc Le tableau n'est donc pas un tableau de proportionnalité. II_ Pourcentages Exercices types: 1. Un article A coûtant initialement 80 subit une augmentation. Son prix après augmentation est de 96. Déterminons le pourcentage d'augmentation sur le prix de l'article. Prix initial de l'article A en Prix après augmentation de l'article A en 96 x 80 x = donc x = = Prix après l'augmentation = Prix initial + Montant de l'augmentation = 20 L'article A a subi une augmentation de 20 %.

3 2. Un article B a subi une remise de 18 %. Son prix soldé est de 32,8. Déterminons le prix initial de l'article B = 82 Prix initial de l'article B en 100 y Prix soldé de l'article B en 82 32,8 82 y = ,8 donc y = ,8 82 = 40 Le prix initial de l'article B était de On fait subir à un article C coûtant initialement 400 une augmentation de 20 %; on obtient son prix intermédiaire. On fait subir au prix intermédiaire une réduction de 20 %; on obtient son prix final. Déterminons le prix final de l'article C. Commençons par déterminer le prix intermédiaire de l'article C = 120 Prix initial de l'article C en Prix intermédiaire de l'article C en Le prix intermédiaire de l'article C est de = 80 Prix intermédiaire de l'article C en Prix final de l'article C en Le prix final de l'article C est de Faire subir à un nombre une augmentation de 20 % suivie d'une diminution de 20 % ne revient pas à revenir au nombre de départ. 4. Dans une boutique, un article D de 120 est soldé à 10 % et un article E de 40 est soldé à 20 %. Un client achète les deux articles. Déterminons le pourcentage de remise qu'il a sur l'ensemble des deux articles.

4 Commençons par déterminer le montant de la remise sur le prix l'article D. Prix initial de l'article D en Montant de la remise sur l'article D en Le montant de la remise sur le prix de l'article D est de 12. Déterminons à présent le montant de la remise sur le prix l'article E. Prix initial de l'article E en Montant de la remise sur l'article E en Le montant de la remise sur le prix de l'article E est de = 160 Le prix initial de l'ensemble des deux articles D et E était de = 20 Le montant total de la remise est de 20. Prix initial de l'ensemble des articles D et E en Montant de la remise sur l'ensemble des articles D et E en 20 12,5 8 Le client a eu 12,5 % de remise sur l'achat de l'ensemble des deux articles D et E. Le pourcentage de réduction sur le prix de l'ensemble des deux articles D et E n'est pas la moyenne du pourcentage de réduction sur le prix de l'article D et du pourcentage de réduction sur le prix de l'article E. C'est l'article le plus cher qui impose le plus son taux de remise. III_ Proportionnalité et représentations graphiques A_ Exemples Exemple 1: Considérons le périmètre d'un carré en fonction de la longueur du côté du carré. Grandeur étudiée à placer sur l'axe des ordonnées (axe vertical) Grandeur de référence à placer sur l'axe des abscisses (axe horizontal) Rappel: - Un point est repèré dans le plan par un couple de deux nombres (abscisse;ordonnée). Ce couple de nombres représente les coordonnées du point. - L'abscisse correspond au positionnement horizontal du point. - L'ordonnée correspond au positionnement vertical du point.

5 Longueur du côté du carré en cm Périmètre du carré en cm Le tableau est un tableau de proportionnalité donc le périmètre du carré est proportionnel à la longueur du côté du carré. Méthode de construction du graphique: 1. On trace les axes orientés. 2. On nomme les axes, c'est à dire, on écrit quelle grandeur est représentée sur chaque axe et on précise l'unité. 3. On gradue les axes. 4. On place les points sur le graphique. 5. On trace la droite ou on dessine la courbe obtenue. 6. On donne un titre au graphique. Exemple 2: Considérons l'aire d'un carré en fonction de la longueur du côté du carré. Grandeur étudiée à placer sur l'axe des ordonnées (axe vertical) Grandeur de référence à placer sur l'axe des abscisses (axe horizontal)

6 2 Longueur du côté du carré en cm Aire du carré en cm Le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité donc l'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à la longueur du côté du carré. Exemple 3 : Un chauffeur de taxi fait payer une prise en charge de 6 plus 1,50 par kilomètre. Distance parcourue en km Prix payé en ,5 = = ,5 = 6 + 1,5 = 7, ,5 = = ,5 = 6 + 4,5 = 10, ,5 = = ,5 = 6 + 7,5 = 13,5 1 2 = 2 7,5 2 = 15 9 Le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité donc le prix à payer pour le trajet en taxi n'est pas proportionnel à la distance parcourue ,5 = = 15

7 B_ Propriété Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite qui passe par l'origine. Exemples: Ici, seul le deuxième graphique correspond à une situation de proportionnalité.