CHAPITRE 5 (ET 6) ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES
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- Jean-Charles Guérard
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1 CHAPITRE 5 (ET 6) ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES 5.1. TRIANGLES ISOMÉTRIQUES Définition : Homologue : 5.2. CONDITIONS MINIMALES D ISOMÉTRIE Afin de démontrer que deux triangles sont isométriques, on peut le faire en démontrant que les trois côtés (C) et les trois angles (A) sont isométriques. On appelle cette condition «CCCAAA», mais il est possible de démontrer que deux triangles sont isométriques de façon plus courte. On appelle ces méthodes les conditions minimales d isométrie. Deux triangles ayant leurs côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques Page 49
2 Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre deux angles homologues isométriques sont nécessairement isométriques LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES Angles alternes-internes Angles alternes-externes Angles correspondants Angles opposés par le sommet Informations importantes : Des angles formés par une paire de parallèles et une sécante sont isométriques. Des angles formés par une paire de parallèles et une sécante sont isométriques. Des angles formés par une paire de parallèles et une sécante sont isométriques. Des angles formés par deux sécantes sont isométriques. Page 50
3 5.4. DÉMONSTRATIONS Exemple : Démontrez que ABE EDC Notes supplémentaires : Hypothèses mab = mcd mab mcd Une hypothèse mathématique est un énoncé du problème qui constitue la base d une démonstration. Conclusion Affirmation Justification Page 51
4 5.5. LES FIGURES PLANES ÉQUIVALENTES ET LES SOLIDES ÉQUIVALENTS Figures planes équivalentes : Solides équivalents : EXEMPLES : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au trapèze PQRS? Quelle est la hauteur du cône si celui-ci est équivalent à la boule? Page 52
5 6.1. LES TRIANGLES SEMBLABLES Définition : Exemple : Notes supplémentaires : 6.2. LES CONDITIONS MINIMALES DE SIMILITUDE Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre des côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Page 53
6 Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont nécessairement semblables LE THÉORÈME DE THALÈS Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles. EXEMPLES : Note importante : Une droite parallèle à celle qui supporte le côté d un triangle détermine des triangles semblables. Page 54
7 6.4. LA DISTANCE ENTRE DEUX POINTS RAPPEL DU THÉORÈME DE PYTHAGORE Dans un triangle comme celui présenté ci-contre, est le côté le plus long et les deux autres côtés sont appelés. Notes supplémentaires : THÉORÈME DE PYTHAGORE D abord, il est important de prendre note que le théorème de Pythagore ne s applique qu aux triangles rectangles. Modification algébrique du théorème de Pythagore FORMULE DE LA DISTANCE ENTRE DEUX POINTS Dans un plan cartésien, lorsque deux points forment un segment 2 il est toujours possible de créer un triangle rectangle. Soit les points P 1 (x 1,y 1 ) et P 2 (x 2,y 2 ) x = y = À l aide de la version modifiée du théorème de Pythagore, on obtient : 2 Les points, cependant, ne doivent pas avoir une ordonnée ou une abscisse en commun. Page 55
8 EXEMPLE D APPLICATION DE LA DISTANCE ENTRE DEUX POINTS À l aide de la formule de la distance entre deux points, déterminez la distance entre les points P 1 et P 2. PRATIQUE Déterminez la distance entre les deux points suivants : Page 56
9 6.5. LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Les relations métriques dans le triangle rectangle ne s appliquent qu aux triangles rectangles sont la hauteur est issue de l angle droit. Théorème de Pythagore (il existe encore!) : Théorème de l aire : Théorème de la hauteur : Théorème de la projection : Théorème de l angle de 30 (ne s applique qu aux triangles rectangles ayant un angle de 30 ) : Notes supplémentaires : XEMPLES : Trouvez les mesures manquantes dans les trois triangles suivants: Page 57
10 Page 58
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