Module 5 (15 cours) LE NOMBRE 1 LE SYSTÈME NUMÉRIQUE Analyse combinatoire Chapitre 7 Omni math 12

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1 1 Résultat d apprentissage général Module 5 (15 cours) LE NOMBRE 1 LE SYSTÈME NUMÉRIQUE Analyse combinatoire Chapitre 7 Omni math 12 Démontrer une compréhension du concept du nombre et l utiliser pour décrire des quantités du monde réel. Utiliser les probabilités afin de prédire le résultat de situations incertaines d ordre pratique et théorique. Résultat d apprentissage spécifique L élève doit pouvoir : 1.1 résoudre des problèmes impliquant les concepts fondamentaux de l analyse combinatoire Théorie des ensembles Cardinal Union et intersection Complément Les mots qui servent à regrouper des choses ou des êtres sont nombreux en français. Par exemple, nous parlons d un banc de poissons, d une portée de chatons, d un troupeau de vaches etc En mathématiques, une collection d objets est appelée ensemble, et chaque objet d un ensemble est un élément. Pour énumérer les éléments d un ensemble, on les met entre accolades,{ }, et on les sépare par des virgules. L ordre des éléments n a pas d importance. Le nombre d éléments dans un ensemble est appelé le cardinal de l ensemble. L expression n(p) est le cardinal de l ensemble P, donc le nombre d éléments dans l ensemble P. Un ensemble P est un sous-ensemble de l ensemble Q tous ses éléments de P sont dans l ensemble Q. Si A et B sont deux ensembles, l intersection de A et B, s écrivant A B est l ensemble des éléments communs dans les deux ensembles. Si deux ensembles n ont aucun élément en commun, A B =, ils sont donc disjoints. on a l ensemble vide. { } Page 45

2 Si A et B sont deux ensembles, l union de A et B, s écrivant A B est l ensemble des éléments de A et de B ou des deux, sans répéter ceux qui sont pareils. Si on veut tous les éléments qui ne sont pas dans l ensemble A, on dit le complément de A, qui s écrit A. Ex : U = toutes les lettres de l alphabet, A = { a,b,c,d,e,f,g,h, j,m,n,q,r,s }, B = { a, e, i, o, u}, C = { a, o, u, m, q, z} a) η (U) = b) η (A) = c) η (B) = d) η (A ) = e)a B = f) A B = Nous allons utiliser les diagrammes de Venn pour permettre de mieux visualiser l intersection et l union. On identifie les ensembles par des lettres et on indique les éléments dans chaque ensemble. A B b c d f g h j n r s m q a e o u i A B z C 1 C Ex : Monsieur Muri est responsable du programme sportif de son école. Au début de l année, il demande aux 50 élèves de la 11 e et de la 12 e année de choisir les sports auxquels ils voudront s inscrire durant l année scolaire. Voici les résultats : 23 élèves veulent s inscrire au badminton, 22 au volley-ball et 17 au curling, 10 veulent s inscrire au curling et au badminton, 7 au volley-ball et au badminton, 5 au volley-ball et au curling et 3 élèves veulent participer aux trois sports. Il faut commencer par placer le nombre qui joue aux trois sports dans le milieu, ensuite placer ceux qui jouent à deux sports, en enlevant le nombre ce ceux qui jouent aux trois sports et ainsi de suite. a) Combien d élèves ne veulent pas s inscrire à ces sports? b) Combien d élèves veulent seulement jouer au volleyball? Ex : p.9 (feuilles) # 1 à 5 et 7 à 12 Page 46

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4 Dénombrement Le principe fondamental du dénombrement Si une tâche comporte plusieurs étapes, le nombre total de possibilités pour cette tâche est m n p...où m est le nombre de choix de la première étape, n est le nombre de choix de la 2 e étape Ex : Lors de l assemblage d une nouvelle voiture, on doit faire certains choix. Par exemple, il faut déterminer la couleur, le type de boîte de vitesse, le revêtement intérieur et le type d autoradio. À partir du tableau d options ci-dessous, détermine le nombre de façons possibles d assembler une voiture. Couleur Boîte de vitesse Revêtement intérieur Autoradio Blanc Automatique Tissu Cassettes Noir Manuelle Cuir Disques compactes Rouge Argent Blanc Noir automatiq manuelle automatiq manuelle Rouge Argent automatiq manuelle automatiq manuelle Le nombre total de façons d assembler la voiture est égal au produit des choix offerts à chaque étape de la tâche. Nombre total de façons d assembler la voiture = 4 x 2 x 2 x 2 = 32 Donc, pour les différents choix offerts, il y a 32 façons possibles d assembler la voiture. Ex : Combien de numéros d immatriculation différents peut-on former, ici, au Nouveau-Brunswick avec trois lettres suivies de trois chiffres? Nombre de numéros d immatriculation possibles : 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = différents. Ex. 7.1 page 336 # 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10ab, 11, 12, 13 Page 48

5 Permutations et arrangements 7.2 Les permutations ou arrangements Une permutation est un arrangement d objets dans un ordre défini, où l ordre est important, comme les nombres 12 et 21 se servent des mêmes chiffres mais dans un différent ordre. Si on veut prendre une photo d une famille de 5 personnes, lorsque le photographe place la première personne, il a 5 choix, quand il place la deuxième, il lui reste 4 choix et ainsi de suite. Alors le résultat du nombre de façons à placer les membres de la famille serait = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Pour représenter le produit de nombres naturels consécutifs en ordre décroissant jusqu au nombre 1, on peut utiliser la notation factorielle. Ex : 3! = 3 x 2 x 1 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 n! = n(n-1)(n-2) 3 x 2 x 1 Ex : Simplifions des expressions factorielles 7! = = ! Ex : a) Détermine le nombre de façons différentes de placer six personnes sur une ligne. 6! = 720, (cette touche est sur votre calculatrice) Permutations de n objets lorsque certains de ces objets sont identiques Il existe des situations où certains objets d un arrangement sont identiques. Comme exemple, si tu veux aligner trois chaises vertes identiques et deux chaises bleues identiques. Combien d arrangements différents sont possibles? Le nombre de permutations de n objets parmi lesquels a objets sont identiques, b autres objets sont identiques, c autres objets sont identiques, etc n! a!b! c! Ex : Un entrepreneur offre un choix de trois modèles de maisons à sa clientèle : A, B et C. D un côté d une rue, l entrepreneur a vendu trois modèles A, quatre modèles B et deux modèles C. De combien de façons différentes peut-on aligner ces maisons le long de la rue? Il y a 9 maisons en tout, alors maisons. 9! 3!4!2! = 1260; alors il y a 1260 façons différentes d aligner ces Page 49

6 Permutations de n objets différents pris r à la fois Dans certaines situations, on ne prend pas tous les objets disponibles. Par exemple, Il existe des situations où certains objets d un arrangement sont identiques. Comme exemple, neuf groupes d élèves doivent préparer un exposé oral; parmi eux, quatre doivent le présenter au prochain cours. Ce qui nous intéresse ici, ce sont les différentes façons d ordonner les groupes qui présenteront les quatre premiers exposés. On utilise la notation P n r pour abréger le nombre de permutations de n objets différents pris r n! à la fois. On le calcule avec P =, vous pouvez aussi la trouver sur votre calculatrice. n r (n r)! Alors dans notre problème, on a 9! 9! P4 = = (9 4)! 5! 9 = Ex. 7.2 page 342 # 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, Page 50

7 Combinaisons Les combinaisons Une combinaison est une sélection d objets dans laquelle l ordre n est pas important. Par exemple, dans un tirage de 6/49, les nombres peuvent être tirés dans l ordre , mais ensuite, les résultats sont imprimés en ordre croissant pour facilite la comparaison. On utilise la notation n C r n! =, pour représenter le nombre de combinaisons de r objets (n r)!r! choisis parmi n objets différents. Ex : a) Combien de permutations de trois cartes peut-on faire avec le dix, le valet, la dame, le roi et l as de pique? 5! P = = (5 3)! Tu peux faire 60 permutations de trois cartes avec ces cinq cartes. b) Énumère toutes les combinaisons de trois cartes qu on peut former avec ces cinq cartes. Quelle relation y a-t-il entre le nombre de combinaisons et le nombre de permutations de trois cartes? 5! C = = 10 (5 3)!3! 5 3 Donc, il est possible d avoir 10 combinaisons différentes. Ex : Détermine le nombre de billets de loterie qu on peut obtenir dans une loterie 6/49 où chaque billet porte six nombres différents, dans aucun ordre particulier, choisis parmi les nombres 1 à 49 inclusivement. L ordre n est pas important donc 49 6 Le nombre de billets possibles est de ! C = = (49 6)!6! Ex : On veut former un groupe de cinq élèves dans une classe de 35 élèves. a) Combien de groupes différents peut-on former? 35! L ordre n est pas important donc ; on peut former C5 = = groupes de cinq élèves. (35 5)!5! b) Lisa, Guylaine et Alain sont un trio d amis de cette classe. Parmi tous les groupes possibles de cinq élèves, combien réunissent le trio d amis? Si on est certain de choisir ces trois élèves, il ne reste que 2 élèves à choisir sur les 32 qui restent. 32! 496 ; il y aura 496 groupes qui contiennent ces trois amis. 32 C 2 = = (32 2)!2! c) Combien de groupes ne contiennent pas le trio d amis? On a qu a faire la différence du résultat de a et b = , Il y a groupes qui ne contiennent pas les 3 amis en même temps. ****Ex. 7.3 page 348 # 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15ab, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 Page 51

8 Triangle de Pascal 7.4 Les trajets et le triangle de Pascal Ex : Dans un jeu télévisé, on détermine les prix que les gagnants peuvent remporter à l aide d un réseau de trajets qu une balle peut parcourir. Détermine le nombre de trajets qui mènent à chaque lettre. En partant du haut, on note le nombre de trajets que la balle peut suivre pour arriver au point situé au-dessous d elle. Donc, il y a un trajet qui mène à A, 4 qui mènent à B, 6 qui mènent à C, 4 qui mènent à D et 1 qui mène à E. L arrangement triangulaire des nombres est un triangle de Pascal, il tire son nom de Blaise Pascal ( ), si vous remarqué bien, chaque nombre est la somme des nombres adjacents audessus. n=0 0C 0 = 1 n=1 1C 0 = 1 1C 1 = 1 n=2 2C 0 = 1 2C 1 = 2 2C 2 = 1 n=3 3C 0 = 1 3C 1 = 3 3C 2 = 3 3C 3 = 1 n=4 4C 0 = 1 4C 1 = 4 4C 2 = 6 4C 3 = 4 4C 4 = 1 n = 5 5C 0 = 1 5C 1 = 5 5C 2 = 10 5C 3 = 10 5C 4 = 5 5C 5 = 1 =1 =2 = 4 =8 = 16 = 32 Ex : Maria a invité cinq personnes à un barbecue maison. Étant donné qu elle n a pas demandé de réponse, elle ne sait pas combien de personnes viendront. a) Combien de combinaisons d invités pourrait-il y avoir? Elle peut avoir seulement 1, ou 2, ou 3 jusqu à 5 personnes qui viendront. 5C 0 = 1 5C 1 = 5 5C 2 = 10 5C 3 = 10 5C 4 = 5 5C 5 = 1 Donc elle peut avoir = 32 combinaisons différentes. b) Quelle relation y a-t-il entre ta réponse en a) et le triangle de Pascal? La réponse est la même que la 6 e ligne du triangle de Pascal. Ex : Détermine le nombre de trajets de A à B dans chaque arrangement de rues. Ex. 7.4 page 352 # 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A B 10 x 6 = 60 trajets possibles. Page 52

9 Théorème du binôme 7.5 Le théorème du binôme Explorons : cherchons une régularité Développe et simplifie chacune des puissances suivantes du binôme a + b. (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = (a + b) 3 (a + b) = (a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 )(a + b) = a 4 + a 3 b + 3a 3 b + 3a 2 b 2 + 3a 2 b 2 + 3ab 3 + ab 3 + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Examine les coefficients numériques. À quelle conclusion peux-tu arriver? Chaque terme contient un coefficient, un exposant pour a et un exposant pour b. Quelle régularité vois-tu pour les exposants de chacun? Donc, développe chaque expression. a) (a + b) 6 = b) (2x + 3) 4 = Page 53

10 Le théorème du binôme On peut représenter le développement de (a + b) n, où n est un nombre naturel non nul, par l équation suivante : (a + b) n = n C 0 a n b 0 + n C 1 a n-1 b 1 + n C 2 a n-2 b 2 + n C 3 a n-3 b n C n a n-n b n Le terme général t r+1 = n C r a n-r b r Ex : a) Utilise le théorème du binôme pour développer (x + 3) 5 b) Détermine le terme général et le 5 e terme de (2x + 5) 7. c) Trouve le terme contenant le x 4 dans (2x 2 4) 7. Ex. 7.5 page 356 # 1, 5, 9, 18, 21, 23, 26, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 Ex. de révision page # 1 et 2 Ex. de révision page 360 # 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ac, 13ac Page 54