Microéconomie (L1 d'économie) - TD 4 - Corrigé

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1 Microéconomie (L d'économie) - TD - Corrigé Marc Sangnier - marc.angnier@en-cachan.fr 3 mar 2008 Exercice La fonction de production de l'entreprie et la uivante : Dan l'expreion (), l déigne la quantité de travail utiliée. f(l) = 3l /3 () Quetion Soit p le prix de vente du produit. Soit le prix du travail. Le coût upporté par l'entreprie qui utilie l unité de travail et donc : C(l) = l De même, la recette de l'entreprie qui produit et vend f(l) unité de bien et : R(l) = f(l) p Par conéquent, le prot de l'entreprie peut 'écrire de la façon uivante : π(l) = R(l) C(l) = f(l) p l (2) L'entreprie va donc déterminer a demande de travail en maximiant l'expreion (2). La condition du premier ordre de cette maximiation et : π (l) = 0 f (l) p = 0 l 2/3 p = 0 l 2/3 = p On peut donc en déduire la quantité ˆl de travail demandée : ˆl = ) 3/2 Quetion 2 L'ore de bien de concurrence parfaite ŷ 'obtient en utiliant la demande de travail dan la fonction de production : [ (p ) ] 3/2 /3 ŷ = f(ˆl) = 3 ŷ = 3

2 Exercice 3 Noton y la quantité produite par l'entreprie. A partir de la fonction de production on peut écrire : l = y3 27 Par ailleur, la fonction de coût 'écrivant C(l) = l, on peut en déduire : Le prot 'écrit : C(y) = y3 27 π(y) = py C(y) L'ore de l'entreprie et déterminée par la condition uivante : π (y) = 0 p C (y) = 0 p = 3 27 y2 y 2 = 9 p ŷ = 3 Exercice 2 La fonctionde production de l'entrepri et la uivante : f(q ; l) = 2q /2 l /2 Quetion Pour déterminer la nature de rendement d'échelle de cette fonction, on étudie f(λq ; λl). f(λq ; λl) = 2 (λq (λl = 2λ /2+/2 q /2 l /2 = λf(q : l) On en déduit donc que le rendement d'échelle ont contant. Quetion 2 Deux combinaion d'input e ituent ur la même ioquante i il premettent d'obtenir le même niveau d'output. f(; ) = 2 /2 /2 = 2 2 = f(2; 2) = 2 2 /2 2 /2 = 2 2 = Le combinaion d'input (; ) et (2; 2) e trouvent donc ur la même ioquante. Le taux marginal de ubtitution technique e calcule par le rapport de productivité marginale : T MS (q ; l) = f q (q ; l) f l (q ; l) = 2 2 q /2 l /2 2 2 q/2 l = l /2 En (; ) le taux marginal de ubtitution et donc de. q 2

3 Quetion 3 L'équation du entier d'expanion exprime la relation entre le input qui minimie le coût de l'entreprie. Elle 'obtient en égaliant le taux marginal de ubtitution au rapport de prix. T MS(q ; l) = p l = p q l = p q (3) Quetion Le rendement d'échelle étant contant, on peut en déduire que le coût marginal de l'entreprie et également contant. Quetion 5 Une fonction de coût et toujour croiante (il et toujour plu côuteux de produire plu). Par ailleur, le coût marginal étant contant, on ait que chaque unité upplémentaire induit le même coût. Par conéquent, la fonction de coût peut être repréentée par une droite croiante dont la pente et déterminée par le coût marginal. Quetion 6 Le coût marginal de l'entreprie étant contant, a fonction de côut et de la forme C(q) = cq où c et le coût marginal et q la quantité produite. Cette quantité et vendue au prix p, le prot 'écrit donc π(q) = pq cq = (p c) q. Il et clair que i p < c, alor le prot et toujour négatif et l'entreprie n'a aucun intérêt à produire (la production et nulle). Si p > c, alor le prot et toujour poitif et l'entreprie a toujour intérêt à produire davantage (la production et innie). Si p = c, alor le prot et nul et la production et indéterminée. Exmainon maintenant l'entreprie étudiée ici. Déterminon tout d'abord la fonction de coût de l'entreprie. Cette fonction 'écrit : C(q ; l) = q p + l () Dan l'équation (), q et l repréentent le quantité d'input utiliée. En utiliant l'équation (3), on peut écrire : C(q ) = q p + p q = 2q p Toujour en utiliant l'équation (3), on peut érire la fonction de production de la façon uivante : ( f(q ) = 2q /2 p ( q p = 2q (5) Noton y la quantité produite. On peut déduire de (5) la relation uivante : ( q = y 2 La fonction de coût peut nalement 'écrire : p ( y C(y) = 2p = y (p 2 p La prodution et vendue au prix p. Le prot de l'entreprie 'écrit donc : π(y) = py y (p = y (p (p ) 3

4 Pour que l'ore ne oit ni nulle ni innie, il faut : p = (p Exercice La fonction de production de l'entreprie et : f(q ; l) = q /2 l / Le prix du bien et égal à 2 et le alaire et égal à. Soit p le prix de vente de la production. Quetion Le prot de l'entreprie 'écrit : π(q ; l) = pf(q ; l) 2q l La maximiation de cette expreion conduit au ytème uivant : { { { π q (q ; l) = 0 pf π l (q q (q ; l) 2 = 0 p ; l) = 0 pf l (q 2 q /2 l / = 2 ; l) = 0 p q/2 l 3/ = { pl / = q /2 p 2 l / l 3/ = { q = p l = p En utiliant ce olution dan la fonction de production, on obtient la fonction d'ore : y = p 2 p = p 3 Quetion 2 L'expreion du entier d'expanion 'obient à partir de l'égalité entre le taux marginal de ubtitution et le rapport de prix : La fonction de coût peut donc 'écrire : 2 q /2 l / q/2 l = 2 3/ q = l C(q ) = 2q + q = 3q De même, on peut écrire la fonction de production comme uit : Noton y la quantité produite. Il vient : f(q ) = q 3/ Ce qui permet de ré-écrire la fonction de coût : Le prot de l'entreprie 'écrit : ( y ) /3 q = ( y ) /3 C(y) = 3 π(y) = py C(y) La condition pour maximier cette expreion et :

5 π (y) = 0 p C (y) = 0 p = 3 3 ( ) /3 y /3 y /3 = p /3 D'où la fonction d'ore : y = p 3 5