VERS LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS

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1 VERS L PROPRIÉTÉ DE THLÈS Thalès de illet (né vers 640 avant Jésus-hrist) fut l'un des sept Sages de la Grèce ntique. Il trouva un moyen rapide pour mesurer la hauteur des Pyramides d'égypte. En voici une première ébauche : On considère un triangle. On a marqué un point sur le segment []. Par ce point, mène la parallèle à la droite (); elle coupe le segment [] en. Fais cette construction dans les trois situations ci-dessous; effectue les mesures et complète le tableau. Que peux-tu constater?:....

2 L PROPRIÉTÉ DE THLÈS - Énoncé de la propriété Recherche : utilisable après le chapitre sur le cosinus On considère un triangle et un point du côté []. La parallèle à [], passant par, coupe [] en. 2 Il s agit de comparer les quotients et. La hauteur [H] du triangle coupe () en K. perpendiculaire à [], elle est aussi perpendiculaire à sa parallèle []. K Les triangles H, K, H et K sont donc des triangles rectangles. H dans le triangle H : H cos H K K donc ou dans le triangle K : H K cos dans le triangle H : donc H cos 2 H K K donc ou dans le triangle K : H K cos 2 On admet que est aussi égal à ces derniers quotients. Propriété : Dans un triangle, si est un point du côté [], si la parallèle au côté [], passant par, coupe le côté [] en, on a : utrement dit : Si [] est parallèle à [] alors les côtés du triangle sont respectivement proportionnels aux côtés du triangle.

3 Ou, plus généralement encore : Deux triangles qui ont leurs côtés parallèles deux à deux ont leurs côtés respectivement proportionnels. Remarque : On retrouve ainsi la propriété de la droite des milieux : I J IJ 2 I J - pplication au partage d un segment On considère un segment [] que l on veut partager (sans mesurer la longueur ) en sept parties égales pour placer le point de ce segment tel que : 7 Sur une demi-droite d origine, on construit une division régulière de sept segments. On place les points et (voir le schéma) La parallèle à [], passant par coupe [] au point cherché. En effet : La propriété de Thalès permet d écrire : 7 Le segment [] est bien partagé en sept : il suffit de tracer, par chaque point de la division régulière, les parallèles à [] - onstruction d une quatrième proportionnelle On veut construire un segment de longueur x sachant que : 2 7 x x est bien la quatrième proportionnelle aux nombres 7, 5 et. cm 7 cm Remarque : le calcul de x ne présente pas d intérêt : 2 cm x 4, On se place dans une situation de Thalès et on assimile 2 à 7 x On représente donc un triangle (avec []//[]) tel que :, 7, 2. On construit un triangle tel que et 2. (l angle est quelconque)

4 Sur la demi-droite [), on marque le point tel que 7. La parallèle à [], passant par, coupe la droite () en. On obtient ainsi un segment [] tel que : x - pplication : la croix du bûcheron La croix du bûcheron est constituée de deux branches de même longueur, perpendiculaires et articulées. Elle permet de mesurer la hauteur d un arbre. L œil O du bûcheron aligne le point de la croix avec le sommet S de l arbre et le point de la croix avec le pied P de l arbre ; la partie [] de la croix est tenue verticalement. L arbre [SP] est supposé vertical. S O H L P En utilisant la propriété de Thalès dans les triangles OSL ([H]//[SL]) et OSP ([]//[SP]) : OH O O et OL OS OS SP OH Par conséquent : OL SP Puisque : OH lors : OL SP La hauteur de l arbre est égale à la distance séparant le bûcheron de l arbre.

5 Exercices L PROPRIÉTÉ DE THLÈS - Entraînement à la résolution d équations ayant la forme d une proportion : 5 x x 7 x x x x 4 + x 5 x x x+ 5 x 7 x 2 - est un point du segment [] et le point du segment [] tels que () soit parallèle à (). omplèter le tableau après avoir utilisé la formule : On reprend la configuration précédente. a) alcule x sachant que 5 ; 8 ; 4 et x b) alcule x et y sachant que 4 ; ; x ; 7 ; 6 et y

6 Devoir ntoine et Louis veulent se partager un terrain ayant la forme d un triangle tel que : 40 m ; 96 m ; 04 m. - Prouve que ce terrain a la forme d un triangle rectangle. - ntoine propose de partager ce terrain selon un segment [EF] perpendiculaire à [] ; le point E du segment [] étant à 27 m de. alcule EF. (Utilise la propriété de Thalès) alcule l aire de la parcelle EF puis celle de la parcelle EF. e partage est-il équitable? - Louis préfère un partage selon un segment [IJ] parallèle à [] ; le point I étant un point de []. alheureusement, Louis ne sait pas où placer le point I pour que les deux parcelles IJ et IJ aient la même aire! a) Quelle doit être l aire de chacune des parcelles? b) On pose : I x. Exprime la longueur J en fonction de x. (Utiliser la propriété de Thalès) alcule l expression de l aire du triangle IJ en fonction de x. c) alcule x et définis la position de I.

7 VERS L PROPRIÉTÉ DE THLÈS Thalès de illet (né vers 640 avant Jésus-hrist) fut l'un des sept Sages de la Grèce ntique. Il trouva un moyen rapide pour mesurer la hauteur des Pyramides d'égypte. En voici une première ébauche : On considère un triangle. On a marqué un point sur le segment []. Par ce point, mène la parallèle à la droite (); elle coupe le segment [] en. Fais cette construction dans les trois situations ci-dessous; effectue les mesures et complète le tableau.,5 5,5 2,2 8, 2,5 9 0,27 0,27 0,28 5,5 4,4 8, 5 9 0,55 0,54 0,56 4,5 5,5 6,6 8, 7,4 9 0,82 0,8 0,82 Que peux-tu constater?:les quotients sont, dans chacun des trois cas, très voisins. On peut supposer qu ils sont égaux :

8 Exercices (orrigé) L PROPRIÉTÉ DE THLÈS - Entraînement à la résolution d équations ayant la forme d une proportion : 5 x x 7 x x x 20 x 4 x 5 7x 9 20 x 4 x 5 x 9 x 7 x x 4 + x 5 x x 5 x 7 x x+ 2 2(x + ) 5(x ) 5x (x + 4) 2x (x ) (5 x) 2(7 x) 2x + 2 5x 5 5x x + 2 2x x 5 x 4 2x x 7 2x 2 x x 7 x 6 x x x - est un point du segment [] et le point du segment [] tels que () soit parallèle à (). omplète le tableau après avoir utilisé la formule 4 5, On reprend la configuration précédente. a) alcule x sachant que 5 ; 8 ; 4 et x 5 x x 8x 5(4 + x) ou x x b) alcule x et y sachant que 4 ; ; x ; 7 ; 6 et y 4 6 soit 4 + x + 7 y (4 + x) 4 0 et y x 40 y 20 x x