12. Régression linéaire simple
|
|
- Agathe Jean
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 12. Régression linéaire simple MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal A2016 (v1) MTH2302D: régression 1/45
2 Plan 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 2/45
3 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 3/45
4 Régression linéaire : introduction But : établir un lien entre une variable dépendante Y et une variable indépendante X pour pouvoir ensuite faire des prévisions sur Y lorsque X est mesurée. Exemple 1 L analyse de la température de fonctionnement d un procédé chimique sur le rendement du produit a donné les valeurs suivantes pour la température X i et le rendement correspondant Y i : Température C Rendement % Température C Rendement % MTH2302D: régression 4/45
5 Exemple 1 (suite) Le graphe ci-dessous représente les points (X i, Y i ) pour ces données et suggère une relation linéaire entre X et Y. 90 rendement vs température MTH2302D: régression 5/45
6 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 6/45
7 Modèle linéaire Définition Un modèle de régression linéaire simple est de la forme où Y = β 0 + β 1 X + ε Y est la variable dépendante (une v.a.). β 0 et β 1 sont les coefficients (ordonnée à l origine et pente). X est la variable indépendante (variable explicative). ε est une erreur aléatoire. MTH2302D: régression 7/45
8 Modèle linéaire (suite) L espérance de Y pour chaque X est le point sur la droite d équation E(Y X) = β 0 + β 1 X. On suppose que Pour chaque valeur de X, E(ε) = 0 et V(ε) = σ 2. ε N(0, σ 2 ). Les erreurs ε sont indépendantes (non corrélées). On cherche à Estimer les paramètres β 0, β 1 et σ 2. Vérifier si le modèle est adéquat. MTH2302D: régression 8/45
9 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 9/45
10 Paramètres β 0 et β 1 Supposons que n paires d observations (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ) ont été faites. Substituant dans le modèle linéaire, on obtient Y i = β 0 + β 1 X i + ε i ε i = Y i β 0 β 1 X i. Les coefficients sont déterminés par la méthode des moindres carrés qui minimise la somme des carrés des erreurs : L(β 0, β 1 ) = n (Y i β 0 β 1 X i ) 2. i=1 On résout le système de deux équations à deux inconnues L( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = 0. MTH2302D: régression 10/45
11 Paramètres β 0 et β 1 (suite) ˆβ 0 = Y ˆβ 1 X L( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = 0 n i=1 ˆβ 1 = X iy i n X Y n i=1 X2 i avec nx2 X = 1 n n i=1 X i et Y = 1 n n i=1 Y i. = S XY S XX S XX = n i=1 (X i X) 2 = n i=1 X2 i nx2 = (n 1)S 2. S Y Y = n i=1 (Y i Y ) 2 = n i=1 Y 2 i ny 2. S XY = n i=1 (X i X)(Y i Y ) = n i=1 X iy i n X Y. Exemple 2 : retrouver ces formules. MTH2302D: régression 11/45
12 Droite de régression pour l exemple données droite de régression Voir fichier Excel. MTH2302D: régression 12/45
13 Propriétés de β 0 et β 1 La droite de régression estimée est Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 X. Les variables aléatoires ˆβ 0 et ˆβ 1 sont des estimateurs de l ordonnée à l origine β 0 et de la pente β 1. Théorème 1. E( ˆβ 0 ) = β 0 et E( ˆβ 1 ) = β 1 (estimateurs non biaisés). [ ] 2. V( ˆβ 0 ) = σ 2 1 n + X2 et V( S ˆβ 1 ) = σ2. XX S XX 3. Cov( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = σ2 X S XX. MTH2302D: régression 13/45
14 Paramètre σ 2 Rappel : le modèle de régression est Y = β 0 + β 1 X + ε avec ε N(0, σ 2 ). La différence entre la valeur estimée Ŷi = ˆβ 0 + ˆβ 1 X i et la valeur observée Y i est appelée résidu et est dénotée E i = Ŷi Y i. On définit La somme des carrés dûe à l erreur par SS E = n Ei 2 = i=1 n (Ŷi Y i ) 2. i=1 La somme des carrés dûe à la régression par SS R = n i=1 (Ŷi Y ) 2 = ˆβ 2 1S XX = S2 XY S XX. MTH2302D: régression 14/45
15 Paramètre σ 2 (suite) La quantité S Y Y décomposer par représente la variabilité totale des Y i. On peut la S Y Y = SS T = SS E + SS R. Théorème 1. E(SS E ) = (n 2)σ ˆσ 2 = SS E n 2 MS E est donc un estimateur sans biais de σ 2. MTH2302D: régression 15/45
16 Exemple 1 (suite) L analyse de la température de fonctionnement d un procédé chimique sur le rendement du produit a donné les valeurs suivantes pour la température X i et le rendement correspondant Y i : Température C Rendement % Température C Rendement % Voir fichier Excel. MTH2302D: régression 16/45
17 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 17/45
18 Distributions pour ˆβ 0 et ˆβ 1 Théorème La statistique ˆβ 0 β 0 [ ] MS 1 E n + X2 S XX suit une loi de Student à n 2 degrés de liberté. Théorème La statistique ˆβ 1 β 1 MSE /S XX suit une loi de Student à n 2 degrés de liberté. MTH2302D: régression 18/45
19 Intervalles de confiance pour β 0 et β 1 Théorème Intervalles de confiance bilatéraux au niveau de confiance 1 α pour β 0 et β 1 : [ ] β 0 = ˆβ 0 ± t 1 α/2;n 2 MSE n + X2 S XX β 1 = ˆβ 1 ± t α/2;n 2 MSE S XX. Voir fichier Excel. MTH2302D: régression 19/45
20 Intervalles de confiance pour la droite de régression Il s agit d un intervalle de confiance pour E(Y 0 x 0 ), la réponse moyenne à la valeur x 0. Pour x 0 donné soit Ŷ0 = ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 l estimateur de E(Y 0 x 0 ). Théorème Intervalle de confiance pour E(Y 0 x 0 ) au niveau de confiance 1 α : [ 1 E(Y 0 x 0 ) = Ŷ0 ± t α/2;n 2 MS E n + (X x 0) 2 ] S XX MTH2302D: régression 20/45
21 Exemple 1 (suite) Le calcul de l intervalle de confiance à 95% en chaque point x 0 = X i, i = 1, 2,..., 10 donne le tableau suivant : x ŷ limites ±1.30 ±1.10 ±0.93 ±0.79 ±0.71 x ŷ limites ±0.71 ± ±1.10 ±1.30 Voir fichier Excel. MTH2302D: régression 21/45
22 Exemple 1 (suite) à partir des données du tableau précédent, on a tracé l intervalle de confiance pour la droite de régression : données droite de régression sous- approx. 64 sur- approx MTH2302D: régression 22/45
23 Intervalles de prévision Soit x 0 une valeur quelconque. La valeur correspondante de Y est Y 0 = Y x 0 = β 0 + β 1 x 0 + ε 0. On estime ponctuellement Y 0 par Ŷ 0 = ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0. La statistique Y 0 [ MS Ŷ0 ] E n + (X x 0) 2 S XX suit une loi de Student à n 2 degrés de liberté. Théorème Intervalle de prévision pour la valeur de Y en x 0 : [ Y 0 = Ŷ0 ± t α/2;n 2 MS E n + (X x 0) 2 ]. S XX MTH2302D: régression 23/45
24 Remarques : IC vs IP Les longueurs des deux types d intervalles croissent lorsque x 0 s éloigne de X. L IC de la droite de régression ne convient pas pour effectuer des prévisions puisqu il concerne la vraie réponse moyenne au point X = x 0, soit un paramètre de la population, et non une nouvelle observation, i.e. une nouvelle valeur pour la v.a. Y. L IP en x 0 est toujours plus grand que l IC en x 0 car il dépend de l erreur associée aux futures observations. L IP prend en compte une nouvelle observation, d où une augmentation de σ 2 MS E de la variance. L IP n est valide que pour une nouvelle observation à la fois. Pour une série de nouvelles observations, il faut mettre à jour le modèle au fur et à mesure. Voir fichier Excel. MTH2302D: régression 24/45
25 Exemple 1 (suite) à partir des données du tableau précédent, on a tracé l intervalle de prévision pour α = 5% : données droite de régression sous- approx. 58 sur- approx MTH2302D: régression 25/45
26 Tests d hypothèses pour β 0 La distribution t 0 = ˆβ 0 β 0,0 [ ] T n 2 MS 1 E n + X2 S XX permet de tester des hypothèses du type H 0 : β 0 = β 0,0 H 1 : β 0 β 0,0 On rejette H 0 au seuil α si t 0 > t α/2;n 2. MTH2302D: régression 26/45
27 Tests d hypothèses pour β 1 La distribution t 0 = ˆβ 1 β 1,0 MSE /S XX T n 2 permet de tester des hypothèses du type H 0 : β 1 = β 1,0 H 1 : β 1 β 1,0 On rejette H 0 au seuil α si t 0 > t α/2;n 2. MTH2302D: régression 27/45
28 Tableau d analyse de la variance L information donnée par les valeurs S Y Y, SS E et SS R est présentée dans un tableau d analyse de la variance : Source de Somme Nombre Moyenne variation des carrés de d.d.l. des carrés F 0 Régression SS R 1 MS R = SS R 1 MS R MS E Résidus SS E n 2 MS E = SS E n 2 Total SS T = S Y Y n 1 MTH2302D: régression 28/45
29 Signification de la régression Il s agit de tester les hypothèses H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Accepter H 0 implique que l on conclut qu il n y a pas de relation linéaire entre X et Y. Ceci peut signifier que La relation entre X et Y n est pas linéaire. La variation de X influe peu ou pas sur la variation de Y. Au contraire, rejeter H 0 implique que l on conclut que la variation de X influe sur la variation de Y. Le critère est : rejeter H 0 au seuil α si F 0 > F α;1,n 2, ou encore si la valeur-p calculée est petite, avec valeur-p =P (F 1,n 2 F 0 ). MTH2302D: régression 29/45
30 Exemple 1 : tableau d analyse de la variance Source de Somme Nombre Moyenne variation des carrés de d.d.l. des carrés F 0 Régression SS R = MS R = Résidus SS E = MS E = 0.90 Total SS T = P -val. : P (F 1,8 F 0 ) < α = 5% on rejette H 0. MTH2302D: régression 30/45
31 Signification de la régression (suite) On ne rejette pas H 0 : y y x x MTH2302D: régression 31/45
32 Signification de la régression (suite) On rejette H 0 : y y x x MTH2302D: régression 32/45
33 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 33/45
34 Rappel des hypothèses pour la régression linéaire Tout ce qui a été fait jusqu ici suppose que Pour chaque X, E(ε) = 0 et V(ε) = σ 2 est constante. Les erreurs ε sont non corrélées. Les erreurs ε sont distribuées normalement. On veut vérifier, après que les observations soient faites, si ces hypothèses sont satisfaites. MTH2302D: régression 34/45
35 Analyse graphique des résidus Pour vérifier l hypothèse sur σ 2, on peut tracer le graphe des points (Ŷi, E i ) ou (X i, E i ). Les situations possibles sont illustrées ci-dessous. Situation a) Convenable : e i 0 MTH2302D: régression 35/45 ^ y i
36 Analyse graphique des résidus (suite) Situation b) La variance augmente avec la valeur de Ŷi (ou X i ), donc σ 2 n est pas constante : e i 0 ^ y i MTH2302D: régression 36/45
37 Analyse graphique des résidus (suite) Situation c) La variance σ 2 n est pas constante : e i 0 ^ y i MTH2302D: régression 37/45
38 Analyse graphique des résidus (suite) Situation d) Le modèle linéaire n est pas approprié : e i 0 ^ y i MTH2302D: régression 38/45
39 Test de la normalité des résidus Si les résidus E i sont normalement distribués alors les erreurs ε i le sont aussi. On peut tester si les résidus suivent une loi normale avec : Un histogramme. Un test de normalité (par ex. Shapiro-Wilk). Un graphique de probabilité normal des E i. MTH2302D: régression 39/45
40 Exemple 1 (suite) Graphe des points (Ŷi, E i ) : Residuals 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2-1,4 Predicted vs. Residual Scores Dependent variable: Rend -1, Predicted Values 0,95 Conf.Int. MTH2302D: régression 40/45
41 Exemple 1 (suite) Graphe de probabilité normale des E i : 2,0 Normal Probability Plot of Residuals 1,5 1,0 Expected Normal Value 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-1,6-1,4-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Residuals MTH2302D: régression 41/45
42 Coefficient de détermination Le coefficient de détermination du modèle de régression linéaire est R 2 = SS R S Y Y = ˆβ 2 1 S XX S Y Y = 1 SS E S Y Y. Le coefficient R 2 mesure le pourcentage de la variabilité totale S Y Y qui est expliquée par le modèle. Si R 2 est proche de 1, alors le modèle semble adéquat. Exemple 1 : R %. MTH2302D: régression 42/45
43 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres 4. Intervalles de confiance et tests 5. Analyse des résidus 6. Corrélation MTH2302D: régression 43/45
44 Coefficient de corrélation Rappel : La corrélation entre deux variables aléatoires X et Y est mesurée par le coefficient ρ = Cov(X, Y ) V(X)V(Y ). Définition Le coefficient de corrélation échantillonnal est r = S XY SXX S Y Y. Le coefficient de corrélation ρ est estimé ponctuellement par r. Exemple 1 : r 99.81%. MTH2302D: régression 44/45
45 Interprétation du coefficient de corrélation On peut montrer que 1 r 1. Si r = 1 ou r = 1 alors il y a corrélation parfaite entre X et Y et les points (X i, Y i ) sont tous sur la droite de régression. Si r = 0 alors il n y a pas de corrélation entre X et Y et les points (X i, Y i ) sont dispersés au hasard. Si 0 < r < 1 alors il y a corrélation positive faible, moyenne ou forte entre X et Y. Dans ce cas, une augmentation de X entraîne une augmentation de Y. Si 1 < r < 0 alors il y a corrélation négative faible, moyenne ou forte entre X et Y. Dans ce cas, une augmentation de X entraîne une diminution de Y. MTH2302D: régression 45/45
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailAnalyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes
Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Biostatistique Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Mars 2011 Plan 1 Introduction
Plus en détailCours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES
LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,
Plus en détailSTATISTIQUES. UE Modélisation pour la biologie
STATISTIQUES UE Modélisation pour la biologie 2011 Cadre Général n individus: 1, 2,..., n Y variable à expliquer : Y = (y 1, y 2,..., y n ), y i R Modèle: Y = Xθ + ε X matrice du plan d expériences θ paramètres
Plus en détailPrincipe d un test statistique
Biostatistiques Principe d un test statistique Professeur Jean-Luc BOSSON PCEM2 - Année universitaire 2012/2013 Faculté de Médecine de Grenoble (UJF) - Tous droits réservés. Objectifs pédagogiques Comprendre
Plus en détailChapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE
UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction
Plus en détailTests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique»
Tests de comparaison de moyennes Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Test de Z ou de l écart réduit Le test de Z : comparer des paramètres en testant leurs différences
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailAnalyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés
Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Professeur Patrice Francour francour@unice.fr Une grande partie des illustrations viennent
Plus en détailTests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE
Chapitre 5 UE4 : Biostatistiques Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailExemples d application
AgroParisTech Exemples d application du modèle linéaire E Lebarbier, S Robin Table des matières 1 Introduction 4 11 Avertissement 4 12 Notations 4 2 Régression linéaire simple 7 21 Présentation 7 211 Objectif
Plus en détailLa problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites
La problématique des tests Cours V 7 mars 8 Test d hypothèses [Section 6.1] Soit un modèle statistique P θ ; θ Θ} et des hypothèses H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 = Θ \ Θ Un test (pur) est une statistique à valeur
Plus en détailRégression linéaire. Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr
Régression linéaire Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr 2005 Plan Régression linéaire simple Régression multiple Compréhension de la sortie de la régression Coefficient de détermination R
Plus en détail14. Introduction aux files d attente
14. Introduction aux files d attente MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: Files d attente 1/24 Plan 1. Introduction 2. Modèle M/M/1 3. Modèle M/M/1/K MTH2302D: Files
Plus en détailIntroduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R
Introduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R Christophe Lalanne Christophe Pallier 1 Introduction 2 Comparaisons de deux moyennes 2.1 Objet de l étude On a mesuré le temps de sommeil
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailTESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple
TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses
Plus en détailEstimation et tests statistiques, TD 5. Solutions
ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études
Plus en détailStatistiques. Rappels de cours et travaux dirigés. Master 1 Biologie et technologie du végétal. Année 2010-2011
Master 1 Biologie et technologie du végétal Année 010-011 Statistiques Rappels de cours et travaux dirigés (Seul ce document sera autorisé en examen) auteur : Jean-Marc Labatte jean-marc.labatte@univ-angers.fr
Plus en détailLe Modèle Linéaire par l exemple :
Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités Le Modèle Linéaire par l exemple : Régression, Analyse de la Variance,... Jean-Marc Azaïs et Jean-Marc Bardet Laboratoire de Statistique et Probabilités
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailRelation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire
CHAPITRE 3 Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire Parmi les analyses statistiques descriptives, l une d entre elles est particulièrement utilisée pour mettre en évidence
Plus en détailCours de Tests paramétriques
Cours de Tests paramétriques F. Muri-Majoube et P. Cénac 2006-2007 Licence Ce document est sous licence ALC TYPE 2. Le texte de cette licence est également consultable en ligne à l adresse http://www.librecours.org/cgi-bin/main?callback=licencetype2.
Plus en détailEconométrie et applications
Econométrie et applications Ecole des Ponts ParisTech Département Sciences Economiques Gestion Finance Nicolas Jacquemet (nicolas.jacquemet@univ-paris1.fr) Université Paris 1 & Ecole d Economie de Paris
Plus en détailMODELE A CORRECTION D ERREUR ET APPLICATIONS
MODELE A CORRECTION D ERREUR ET APPLICATIONS Hélène HAMISULTANE Bibliographie : Bourbonnais R. (2000), Econométrie, DUNOD. Lardic S. et Mignon V. (2002), Econométrie des Séries Temporelles Macroéconomiques
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailUne introduction. Lionel RIOU FRANÇA. Septembre 2008
Une introduction INSERM U669 Septembre 2008 Sommaire 1 Effets Fixes Effets Aléatoires 2 Analyse Classique Effets aléatoires Efficacité homogène Efficacité hétérogène 3 Estimation du modèle Inférence 4
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailIntroduction à l approche bootstrap
Introduction à l approche bootstrap Irène Buvat U494 INSERM buvat@imedjussieufr 25 septembre 2000 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-1 Plan du cours Qu est-ce que le bootstrap?
Plus en détailIntroduction à la statistique non paramétrique
Introduction à la statistique non paramétrique Catherine MATIAS CNRS, Laboratoire Statistique & Génome, Évry http://stat.genopole.cnrs.fr/ cmatias Atelier SFDS 27/28 septembre 2012 Partie 2 : Tests non
Plus en détailLA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»
LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers
Plus en détailTempérature corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles)
Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles) GMMA 106 GMMA 106 2014 2015 1 / 32 Cas d étude Temperature (C) 37.0 37.5 38.0 0 20 40 60 80 100 Figure 1: Temperature
Plus en détailSujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours
Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction
Plus en détailUFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES
Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,
Plus en détailL exclusion mutuelle distribuée
L exclusion mutuelle distribuée L algorithme de L Amport L algorithme est basé sur 2 concepts : L estampillage des messages La distribution d une file d attente sur l ensemble des sites du système distribué
Plus en détailApproche modèle pour l estimation en présence de non-réponse non-ignorable en sondage
Approche modèle pour l estimation en présence de non-réponse non-ignorable en sondage Journées de Méthodologie Statistique Eric Lesage Crest-Ensai 25 janvier 2012 Introduction et contexte 2/27 1 Introduction
Plus en détaildonnées en connaissance et en actions?
1 Partie 2 : Présentation de la plateforme SPSS Modeler : Comment transformer vos données en connaissance et en actions? SPSS Modeler : l atelier de data mining Large gamme de techniques d analyse (algorithmes)
Plus en détailStéphane Tufféry DATA MINING & STATISTIQUE DÉCISIONNELLE. 06/12/2009 Stéphane Tufféry - Data Mining - http://data.mining.free.fr
Stéphane Tufféry DATA MINING & STATISTIQUE DÉCISIONNELLE 1 Plan du cours Qu est-ce que le data mining? A quoi sert le data mining? Les 2 grandes familles de techniques Le déroulement d un projet de data
Plus en détailActuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.
Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCours de méthodes de scoring
UNIVERSITE DE CARTHAGE ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION Cours de méthodes de scoring Préparé par Hassen MATHLOUTHI Année universitaire 2013-2014 Cours de méthodes de scoring-
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détaildistribution quelconque Signe 1 échantillon non Wilcoxon gaussienne distribution symétrique Student gaussienne position
Arbre de NESI distribution quelconque Signe 1 échantillon distribution symétrique non gaussienne Wilcoxon gaussienne Student position appariés 1 échantillon sur la différence avec référence=0 2 échantillons
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailModèles et Méthodes de Réservation
Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détail1 Définition de la non stationnarité
Chapitre 2: La non stationnarité -Testsdedétection Quelques notes de cours (non exhaustives) 1 Définition de la non stationnarité La plupart des séries économiques sont non stationnaires, c est-à-direqueleprocessusquiles
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailBiostatistiques : Petits effectifs
Biostatistiques : Petits effectifs Master Recherche Biologie et Santé P. Devos DRCI CHRU de Lille EA2694 patrick.devos@univ-lille2.fr Plan Données Générales : Définition des statistiques Principe de l
Plus en détailBiostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke
www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3
Plus en détailApprentissage non paramétrique en régression
1 Apprentissage non paramétrique en régression Apprentissage non paramétrique en régression Résumé Différentes méthodes d estimation non paramétriques en régression sont présentées. Tout d abord les plus
Plus en détailProbabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences. Avner Bar-Hen
Probabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences Avner Bar-Hen Université Aix-Marseille III 2000 2001 Table des matières 1 Introduction 3 2 Introduction à l analyse statistique 5 1 Introduction.................................
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailÉvaluation de la régression bornée
Thierry Foucart UMR 6086, Université de Poitiers, S P 2 M I, bd 3 téléport 2 BP 179, 86960 Futuroscope, Cedex FRANCE Résumé. le modèle linéaire est très fréquemment utilisé en statistique et particulièrement
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailLire ; Compter ; Tester... avec R
Lire ; Compter ; Tester... avec R Préparation des données / Analyse univariée / Analyse bivariée Christophe Genolini 2 Table des matières 1 Rappels théoriques 5 1.1 Vocabulaire....................................
Plus en détailEstimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison
Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance Mars 2012 IREM: groupe Proba-Stat Estimation Term.1 Intervalle de fluctuation connu : probabilité p, taille de l échantillon n but : estimer une fréquence
Plus en détailValidation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble
Validation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble Guillem Candille, janvier 2006 Système de Prévision d Ensemble (EPS) (ECMWF Newsletter 90, 2001) Plan 1 Critères de validation probabiliste
Plus en détailIntroduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr
Introduction à la théorie des files d'attente Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr La théorie des files d'attente... Principe: modélisation mathématique de l accès à une ressource partagée Exemples réseaux
Plus en détailLogiciel XLSTAT version 7.0. 40 rue Damrémont 75018 PARIS
Logiciel XLSTAT version 7.0 Contact : Addinsoft 40 rue Damrémont 75018 PARIS 2005-2006 Plan Présentation générale du logiciel Statistiques descriptives Histogramme Discrétisation Tableau de contingence
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailDirection des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels
Etab=MK3, Timbre=G430, TimbreDansAdresse=Vrai, Version=W2000/Charte7, VersionTravail=W2000/Charte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailAide-mémoire de statistique appliquée à la biologie
Maxime HERVÉ Aide-mémoire de statistique appliquée à la biologie Construire son étude et analyser les résultats à l aide du logiciel R Version 5(2) (2014) AVANT-PROPOS Les phénomènes biologiques ont cela
Plus en détailAnnexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles
Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailCHAPITRE 5. Stratégies Mixtes
CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès
Plus en détailIntroduction à la Statistique Inférentielle
UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique
Plus en détail# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun>
94 Programmation en OCaml 5.4.8. Concaténation de deux listes Définissons maintenant la fonction concat qui met bout à bout deux listes. Ainsi, si l1 et l2 sont deux listes quelconques, concat l1 l2 constitue
Plus en détailLecture critique d article. Bio statistiques. Dr MARC CUGGIA MCU-PH Laboratoire d informatique médicale EA-3888
Lecture critique d article Rappels Bio statistiques Dr MARC CUGGIA MCU-PH Laboratoire d informatique médicale EA-3888 Plan du cours Rappels fondamentaux Statistiques descriptives Notions de tests statistiques
Plus en détailAnalyse des durées de vie avec le logiciel R
Analyse des durées de vie avec le logiciel R Ségolen Geffray Des outils ainsi que des données pour l analyse des durées de vie sont disponibles dans les packages survival MASS Il est nécessaire de charger
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES. Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p.
STATISTIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE Tome 2 Inférence statistique à une et à deux dimensions Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p. ISBN 978-2-8041-6336-5 De Boeck Services,
Plus en détailTravaux Pratiques d Optique
Travaux Pratiques d Optique Ces TP ont lieu au 1 er étage du bâtiment C de Physique, salle C114. Pour la première séance, chaque binôme effectue le TP indiqué. La rotation sur les différents TP s effectue
Plus en détailFOAD COURS D ECONOMETRIE 1 CHAPITRE 2 : Hétéroscédasicité des erreurs. 23 mars 2012.
FOAD COURS D ECONOMETRIE CHAPITRE 2 : Hétéroscédasicité des erreurs. 23 mars 202. Christine Maurel Maître de conférences en Sciences Economiques Université de Toulouse - Capitole Toulouse School of Economics-ARQADE
Plus en détailObjectifs. Clustering. Principe. Applications. Applications. Cartes de crédits. Remarques. Biologie, Génomique
Objectifs Clustering On ne sait pas ce qu on veut trouver : on laisse l algorithme nous proposer un modèle. On pense qu il existe des similarités entre les exemples. Qui se ressemble s assemble p. /55
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailCoup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones
Coup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones Les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour des problèmes de prévision ou de classification. La représentation la plus populaire est le réseau multicouche
Plus en détailÉquivalence et Non-infériorité
Équivalence et Non-infériorité Éléments d Introduction Lionel RIOU FRANÇA INSERM U669 Mars 2009 Essais cliniques de supériorité Exemple d Introduction Données tirées de Brinkhaus B et al. Arch Intern Med.
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailChapitre 3 : INFERENCE
Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailNotes de cours Statistique avec le logiciel R
Notes de cours Statistique avec le logiciel R Shuyan LIU Shuyan.Liu@univ-paris1.fr http ://samm.univ-paris1.fr/shuyan-liu-enseignement Année 2013-2014 Chapitre 1 Introduction L objectif de ce cours est
Plus en détail