FORMULATION MATRICIELLE

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1 FORMULATION MATRICIELLE PRÉVISION D ÉVÉNEMENTS GLOBAUX PAR UNE DESCRIPTION DE TRANSFORMATIONS LOCALES GÉNÉRIQUES David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech 22 novembre 2016

2 Plan du cours 1 Motivations 2 Formulation en dimension finie 3 Assemblage de contributions au système matriciel 4 Bibliothèque d éléments finis Formulation matricielle, ES éléments finis, novembre /29

3 Face à un problème global, l ingénieur doit localiser ce qui est important En mécanique, la globalité des problèmes est difficilement contournable. En thermique, il est plus facile de mettre en œuvre une isolation qui restreint en espace l étendu des problèmes thermiques. Les mécaniciens sont des spécialistes de problèmes globaux. Formulation matricielle, Motivations ES éléments finis, novembre /29

4 Mode lisation nume rique de milieux continus Aujourd hui, mode liser c est tre s souvent passer du re el a un mode le nume rique. Aujourd hui, modéliser c est passer du réel au numérique juin 2006 Los Angeles Méca. Objectifs de la mode lisation nume rique : Modéliser pour comprendre, anticiper, optimiser. comprendre, anticiper, optimiser Axe de rotation Mais mode liser entraine des erreurs d approximation degrés de liberté 9191 éléments L approximation par e le ments finis concerne la repre sentation de champs pour des milieux continus : u(x), x Ω Formulation matricielle, Motivations ES e le ments finis, novembre /29

5 Mode lisation nume rique de milieux continus Les e tapes de la mode lisation en me canique des structures : Aujourd hui, modéliser c est passer du réel au numérique juin 2006 Los Angeles Passer de l e ve nement a mode liser a proble me de me canique des milieux continus Isoler un syste me en de finissant Ω, choisir un Méca. e nario (CL,CI), mode liser le comportement des Modéliserscpour mat e riaux. anticiper, optimiser. comprendre, Passer du continu au mode le nume rique, ou a une formulation matricielle Axe de rotation Appliquer la me thode des e le ments finis et un sche ma d inte gration temporelle si besoin. Passer du mode le nume rique au mode le informatique degrés de liberté 9191 éléments Programmer ou choisir un logiciel de simulation adapte, re aliser un maillage, fournir les donne es nume riques (CL, CI, mate riaux), choisir des donne es a extraire de la simulation, choisir un moyen de calcul adapte. Analyser les re sultats de la simulation Formulation matricielle, Motivations ES e le ments finis, novembre /29

6 Que faut-il pour obtenir une formulation matricielle? Une formulation en dimension finie. Nous ne considérons ici que les problèmes linéaires indépendants du temps. Principe des puissances virtuels Formulation faible des équations aux dérivées partielles P i + P e = 0 u CA à 0 a(u, u) = b(u) u H 1 0 (Ω) complété d une équation de comportement élastique linéaire. a est une forme bilinéaire. b est une forme linéaire. On en déduit un problème global : trouver q tel que, Kq = F (Formulation matricielle) où K et F sont constitués de contributions d éléments d un maillage. Formulation matricielle, Formulation en dimension finie ES éléments finis, novembre /29

7 Méthode Galerkin en dimension finie Le choix d un sous-espace de dimension finie pour représenter les champs inconnus et les champs tests, suffit pour obtenir une formulation matricielle à partir d une formulation faible. V h = { n v H0 1 (Ω) v(x) = i=1 N i (x) q i } avec (N i ) n i=1 base des fonctions de forme du modèle aux éléments finis. u h V h, a(u h, u h ) = b(u h ) u h V h Forme bilinaire en dimension n / forme linéaire en dimension n Formulation matricielle, Formulation en dimension finie ES éléments finis, novembre /29

8 Méthode Galerkin en dimension finie Le choix d un sous-espace de dimension finie pour représenter les champs inconnus et les champs tests, suffit pour obtenir une formulation matricielle à partir d une formulation faible. V h = { n v H0 1 (Ω) v(x) = i=1 N i (x) q i } avec (N i ) n i=1 base des fonctions de forme du modèle aux éléments finis. u h V h, a(u h, u h ) = b(u h ) u h V h Forme bilinaire en dimension n / forme linéaire en dimension n n n n K R n n, F R n a(u h, u h ) = qj K ji q i, b(u h ) = qj i=1 j=1 j=1 F j n n avec u h = N i q i, u h = N j qj i=1 j=1 On peut déduire K et F de a(, ) et b( ), mais il manque ici la notion essentielle d assemblage. Formulation matricielle, Formulation en dimension finie ES éléments finis, novembre /29

9 Assemblage de contributions au système matriciel Un système est vu comme un assemblage de liaisons entre variables d état : Ω = Ne e=1 Ωe L énergie et la puissance d un système sont des grandeurs extensives qui permettent de considérer l assemblage de contributions. Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

10 Assemblage de contributions au système matriciel Un système est vu comme un assemblage de liaisons entre variables d état : Ω = Ne e=1 Ωe L énergie et la puissance d un système sont des grandeurs extensives qui permettent de considérer l assemblage de contributions. La puissance virtuelle des actions mécaniques ou la forme faible (intégrale) d équations aux dérivées partielles, sont aussi des grandeurs extensives qui permettent de considérer l assemblage de contributions. Le système global est une somme de contributions locales. Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

11 Assemblage de contributions élémentaires d un domaine maillé Le domaine Ω est découpé en éléments : Ω = Ne e=1 Ωe. Somme de contributions : N e a(u h, u h ) = a e(u h, u h ) e=1 N e b(u h ) = b e(u h ) e=1 Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

12 Etapes de la résolution numérique des équations Etape d assemblage : K, F Etape de paramétrage cinématique pour tenir compte des conditions aux limites : K R n n, F R n Déroulement du calcul de prévision de l événement global Etape Etape globale d assemblage de résolution : du système linéaire : K q = F, q R n Etape Etape locale de paramétrage : en mécanique, : tenir compte calcul des des conditions contraintes aux limites à partir des dépacements de l élément q e Etape R ne globale : prévision des inconnues nodales (déplacements Méca. ) Etape locale : les contraintes sont déduites du champ de déplacement q e 8 q e Méca. 6 q e 7 q e 5 q e 2 q e 1 A q e 4 q e 3 (Notation matricielle des tenseurs) Carte de la contrainte Contraintes équivalentes de Von Mises deen von MPa Mises dessinée élément par élément. Résultat global : prévision des zones les plus sollicitées La concentration locale des contraintes résulte d un équilibre global sur une géométrie particulière. Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

13 Assemblage de contributions élémentaires, cas de la mécanique a(u h, u h ) correspond à Pi : P i := σ (u h ) : ε(u h ) dω = N e σ (u h ) : ε(u h ) dω Ω e=1 Ω e Définition élément par élément de matrices élémentaires, notion sous-jacente de bibliothèque d éléments : σ (u h ) : ε(u h ) dω = qe T K e q e, K e R n e n e Ω e Assemblage de matrices ñ ñ en passant par les puissances virtuelles et des vecteurs globaux : N e N e q e T K e q e = q T Ke q, e=1 e=1 Ke Rñ ñ K N e = K e e=1 Deux fonctions bilinéaires sont identiques pour q e ( q) et q e ( q ) et tout q, q. Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

14 Exemple d assemblage de contributions à la matrice de rigidité Sur chaque élément Ω e, on définit u h par interpolation de n e valeurs nodales. u h suit la même règle d interpolation que u h (méthode de Galerkin). Supposons connue la matrice de rigidité élémentaire de l élément A : K ea R 8 8. Identifions la contribution K A R de l élément A à la matrice de rigidité K R du système. K A ij = q e T K ea q e pour q T k = δ ki, q k = δ kj et q e ( q ), q e ( q). Remarque : si q i ou q j ne sont pas connectés à A alors K ij = 0. Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

15 Boucle d assemblage de la matrice de rigidité Boucle d assemblage Termes non nuls de la contribution de l élément A : q e 3 q e q e 1 q e q e 4 q e 2 5 q e 6 7 q e X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X q 14 q 12 q 13 q 11 q 6 q A 2 q 4 q X X X X X X X q 10 q 9 C q 8 q 7 B q 2 q 1 X X X Matrice symétrique Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

16 Boucle d assemblage de la matrice de rigidité Boucle d assemblage Degrés de liberté connectés à l élément B : q e 3 q e 4 q e 5 q e 6 q e 7 q e 8 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q e 1 q e 2 q 7 q 8 q 14 q 12 q 13 q 11 q 10 q 9 C q 6 q 5 q 8 q 7 A B 2 q 4 q 3 q 2 q 1 Matrice symétrique Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

17 Boucle d assemblage de la matrice de rigidité Boucle d assemblage Termes non nuls de la contribution de l élément B : q e 3 q e 4 q e q e 5 q e 7 q e 6 8 q e 1 q e 2 X X X X X X X X X X X X X X X XX XX XX XX X X 0 0 X X X X XX XX XX X X 0 0 X X X X XX XX X X 0 0 X X X X q 14 q 12 q 13 q 11 XX X X 0 0 X X X X X X X X X X X X X X q 10 q 9 C q 6 q 5 q 8 q 7 A B 2 q 4 q 3 q 2 q 1 X X X Matrice symétrique Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

18 Boucle d assemblage de la matrice de rigidité Boucle d assemblage Degrés de liberté connectés à l élément C : q e 5 q e 6 q 5 q 6 q e 3 q e 4 q 7 q 8 q e 1 q e 2 q 9 q 10 q 14 q 12 q 13 q 11 3 q 6 q 5 A q 4 q 3 q 10 q 9 C 1 2 q 8 q 7 B q 2 q 1 Matrice symétrique Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

19 Boucle d assemblage de la matrice de rigidité Boucle d assemblage Termes non nuls de la contribution de l élément C : q e 5 q e 6 q e 3 q e 4 q e 1 q e 2 X X X X 0 0 X X X X X X X X X X X XX XX XX XX X X 0 0 X X X X XX XX XX X X 0 0 X X X X XX XX XX XX X X X X X X X X q 14 q 12 q 13 q 11 XX X XX XX X X X X X X XX XX X X XX X X X X q 6 q 5 A q 4 q 3 X X X X X X X X X X q 10 q 9 C 1 2 q 8 q 7 B q 2 q 1 X Matrice symétrique Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

20 Conditions aux limites Conditions aux limites en déplacement Puissance virtuelle de la force appliquée au système : Restreindre le sous-espace des déplacements à un sous-espace Fdes q 12 champs = q T cinématiquement F q admissibles. donc F k = F δ k 12. Le champ de déplacement est cinématiquement admissible si : Méca. - F y q 14 q 12 q 13 q 11 et q 7 = q 8 = q 9 = q 10 = 0 q 6 = u c q 6 =u c q 5 A q 4 q 3 Deux approches possibles : éliminer les degrés de libertés connus, dans ce cas K R 9 9, modifier les lignes et les colonnes de K et les lignes de F pour i = 6, 7, 8, 9, 10, afin d y inclure les conditions cinématiques. q 10 =0 C q 9 =0 B q 8 =0 q 7 =0 q 2 q 1 Formulation matricielle, Assemblage de contributions au système matriciel ES éléments finis, novembre /29

21 Exemple de fonction de forme globale par une interpolation définie par morceaux. u(x) = N(x) q N 1 3 (x,y) 1 q 4 q 3 0 N 1 3 (x,y) = N 2 4 (x,y) L interpolation des déplacements nodaux q est définie par morceaux à l aide d éléments et d un maillage. Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

22 Repère global et repère local de l élément Passage du domaine maillé aux éléments de référence z O r Repère global zoom Définition d un repère local pour chaque élément du maillage m Transformation géométrique M g Pour chaque élément on introduit un changement de variable : [ ] r x = = N z e (ξ, η) p e Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

23 Eléments de référence η ξ η ξ Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

24 Interpolation dans l élément du vecteur de position des nœuds Interpoler la position des nœuds de l élément pour parcourir l espace. x = N e (ξ, η) p e (ξ, η) Interpolation en 2D construite à l aide d une interpolation de Lagrange et du triangle de Pascal : 1 Pour n e nœuds il faut n e monômes. ξ η ξ 2 ξη η 2 ξ 3 ξ 2 η ξη 2 η 3 Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

25 Etude de l élément quadrangulaire à 4 nœuds η ξ Elément de référence à gauche, élément dans le maillage à droite x = N e 1D (ξ, η) p e x (ξ, η), p et x = [x i, x j, x k, x l ] y = N e 1D (ξ, η) p e y (ξ, η), p et y = [y i, y j, y k, y l ] N e 1D (ξ, η) = [N1 e (ξ, η), Ne 2 (ξ, η), Ne 3 (ξ, η), Ne 4 (ξ, η)] Table de connectivité de l élément : les indices [i, j, k, l] correspondent à [1, 2, 3, 4] dans l élément de référence. Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

26 Superposition de 4 monômes dans [ 1, 1] [ 1, 1] Noeuds de l élément : [i, j, k, l] x = N e 1 (ξ, η) x i + N e 2 (ξ, η) x j + N e 3 (ξ, η) x k + N e 4 (ξ, η) x k Fonctions de forme élémentaires N1 e(ξ, η) Ne 2 (ξ, η) Ne 3 (ξ, η) Ne 4 (ξ, η) 4 monômes par fonctions de forme : 4 4 conditions d interpolation N1 e ( 1, 1) = 1 Ne 2 ( 1, 1) = 0 Ne 3 ( 1, 1) = 0 Ne 4 ( 1, 1) = 0 (1) N1 e ( 1, 1) = 0 Ne 2 ( 1, 1) = 1 Ne 3 ( 1, 1) = 0 Ne 4 ( 1, 1) = 0 (2) N1 e ( 1, 1) = 0 Ne 2 ( 1, 1) = 0 Ne 3 ( 1, 1) = 1 Ne 4 ( 1, 1) = 0 (3) N1 e ( 1, 1) = 0 Ne 2 ( 1, 1) = 0 Ne 3 ( 1, 1) = 0 Ne 4 ( 1, 1) = 1 (4) Seul x i intervient dans la position du point x( 1, 1)... Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

27 Superposition de 4 monômes dans [ 1, 1] [ 1, 1] Noeuds de l élément : [i, j, k, l] x = N e 1 (ξ, η) x i + N e 2 (ξ, η) x j + N e 3 (ξ, η) x k + N e 4 (ξ, η) x k Fonctions de forme élémentaires N1 e(ξ, η) Ne 2 (ξ, η) Ne 3 (ξ, η) Ne 4 (ξ, η) 4 monômes par fonctions de forme : 4 4 conditions d interpolation N1 e ( 1, 1) = 1 Ne 2 ( 1, 1) = 0 Ne 3 ( 1, 1) = 0 Ne 4 ( 1, 1) = 0 (1) N1 e ( 1, 1) = 0 Ne 2 ( 1, 1) = 1 Ne 3 ( 1, 1) = 0 Ne 4 ( 1, 1) = 0 (2) N1 e ( 1, 1) = 0 Ne 2 ( 1, 1) = 0 Ne 3 ( 1, 1) = 1 Ne 4 ( 1, 1) = 0 (3) N1 e ( 1, 1) = 0 Ne 2 ( 1, 1) = 0 Ne 3 ( 1, 1) = 0 Ne 4 ( 1, 1) = 1 (4) Seul x i intervient dans la position du point x( 1, 1)... On obtient :... N1 e (ξ, η) = (1 ξ)(1 η)/4 N2 e (ξ, η) = (1 + ξ)(1 η)/4 Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

28 Changement de variable (ξ, η) (x, y) [ x y ] [ N e = 1 (ξ, η) 0 Ne 2 (ξ, η) 0 Ne 3 (ξ, η) 0 ] Ne 4 (ξ, η) 0 0 N e 1 (ξ, η) 0 Ne 2 (ξ, η) 0 Ne 3 (ξ, η) 0 Ne 4 (ξ, η) p et = [x i, y i, x j, y j, x k, y k, x l, y l ] Pour avoir un changement de variable, la matrice jacobienne doit être inversible en tout point de l élément de référence. dω = det(j)(ξ, η) dξ dη Ω e ξ η [ x x ] J = ξ y η y ξ η p e Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

29 Critère de qualité sur la forme des éléments du maillage Elément quadrangulaire à 4 nœuds : det(j) et qualité de la forme des éléments det(j) det(j) Bonne forme d élément < 180 Attention! Il n y a pas de bijection! det(j) Il n y a pas de bijection! det(j) recouvrement Construire un maillage n est pas un problème simple! Déterminant de la matrice jacobienne en tout point de l élément. L angle le plus grand doit être inférieur à 180 pour avoir un changement de variable bien défini. Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

30 Interpolation des déplacements dans l élément isoparamétrique [ ] x = N y e (ξ, η) p e [ N e N e = 1 (ξ, η) 0 N2 e(ξ, η) 0 Ne 3 (ξ, η) 0 ] Ne 4 (ξ, η) 0 0 N1 e(ξ, η) 0 Ne 2 (ξ, η) 0 Ne 3 (ξ, η) 0 Ne 4 (ξ, η) [ ] ux = N u e (ξ, η) q e y Calcul des composantes du tenseur de déformation et du tenseur de contrainte : ε xx := ux x = Ne x qe, ε = B e q e, σ = C B e q e avec C T = C. Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

31 Matrice de rigidité élémentaire Puissance virtuelle des efforts intérieurs (avec un signe moins) : ε(u h ) : σ(u h ) dω = q e T B et C B e q e det(j) dξ dη := q e T K e q e Ω e ξ η On en déduit : K e = B et C B e det(j) dξ dη ξ η Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29

32 Références bibliographiques Méthode des éléments finis, G. Dhatt, G. Touzot, E. Lefrançois, Hermes La méthode des éléments finis, 0. C. Zienkiewicz, traduction, McGraw-Hill Inc. Introduction to Finite Element Methods Formulation matricielle, Bibliothèque d éléments finis ES éléments finis, novembre /29