Introduction à la théorie des systèmes dynamiques à temps discret

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1 Introduction à la théorie des systèmes dynamiques à temps discret Anna Désilles 24 septembre 2003

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3 Table des matières 1 Notions générales de la théorie des systèmes dynamiques 5 1 Introduction Le jeu de la vie : un jeu entre le simple et le complexe Description du jeu Observations Systèmes dynamiques à temps continu Systèmes dynamiques à temps discret Echantillonnage : passage de temps continu à temps discret Définitions Notion de l orbite d un système Points fixes. Points périodiques Équivalence topologique des systèmes Étude graphique des systèmes dynamiques Systèmes dynamiques discrets de dimension Systèmes dynamiques de dimension 2. Portraits de phases 34 2 Systèmes dynamiques discrets d ordre 1 de dimension 1 39

4 1 Quelques rappels sur les propriétés des fonctions différentiables 41 2 Stabilité des points fixes et des orbites périodiques Stabilité des points fixes. Définitions Stabilité des orbites périodiques. Définitions Critère de stabilité Attracteurs et sources Points fixes Situation indéterminée : d dx s) = Attracteur ou source faible Points fixes semi-stables Orbites périodiques attracteurs et sources Comportement global. Théorème de Sarkovsky Corollaire Systèmes dynamiques discrets linéaires 71 1 Rappels sur les applications linéaires et les matrices dans l espace R m Systèmes dynamiques linéaires Origine comme état d équilibre attractif Quelques idées de la démonstration Preuve Origine comme état d équilibre répulsif Preuve Les valeurs propres de la matrice du système M et la géométrie des orbites Décomposition spectrale de l espace de phases Espace propre associé à une valeur propre réelle 85

5 5.1.2 Espace propre associé à une paire de valeurs propres complexes conjuguées Espace propre associé à une valeur propre de valeur absolue égale à Actions conjointes Origine comme point selle Les valeurs propres de valeur absolue égale à L action de la matrice M dans le sous-espace invariant V L action de la matrice M dans le sous-espace V Action de la matrice M dans le sous-espace V C Systèmes dynamiques discrets non-linéaires Première dérivée et linéarisation Notation Étude locale des points fixes à l aide du Jacobien Point fixe attractif Point fixe répulsif Point-selle Étude des modèles démographiques Evolution d une seule population Deux populations en compétition Théorie des bifurcations Bifurcations des systèmes dynamiques de dimension Bifurcation de type noeud-col Bifurcation transcritique

6 1.3 Bifurcation de type fourche Bifurcation de doublement de période Systèmes dynamiques de dimension 2 : bifurcation de Hopf Introduction à la théorie du chaos Du doublement de période à l imprévisible Attracteurs des systèmes dynamiques Points limites. Ensemble limite. Orbites apériodiques Noyau d un système. Définition de l attracteur Définition du chaos Un système transitif Démonstration Dépendance sensible des conditions initiales Chaos et stabilité des orbites Démonstration Peut on mesurer le chaos? Exposants du Lyapounov Dynamique symbolique et chaos Représentations symboliques de systèmes dynamiques Dynamique de l application de décalage sur l ensemble Σ N Preuve Preuve Preuve Fonctions unimodales et théorie de pétrissage Preuve Preuve Preuve

7 4 Fonctions unimodales et théorie de pétrissage

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9 Chapitre 1 Notions générales de la théorie des systèmes dynamiques

10 1. Introduction Le but de la théorie des systèmes dynamiques est de modéliser des processus qui évoluent dans le temps et d étudier leur comportement. Cette étude doit permettre de prédire le comportement du système et de le réguler afin d obtenir les résultats désirés. Pour élaborer un modèle il faut tout d abord définir quelles sont les valeurs qui évoluent dans le temps, les états du système. Ensuite, il faut trouver des équations mathématiques qui décrivent leur évolution. Généralement, ce sont des équations différentielles ( si le temps est considéré comme continu) ou en différences finies( si le temps du modèle est discret). Les paramètres du modèle sont les coefficients de ces équations et les conditions initiales. Dans les cours qui suivront nous allons étudier essentiellement les systèmes dynamiques en temps discret. Il est important de souligner cependant que toutes les notions que nous allons évoquer ici sont également définies dans le cas des systèmes en temps continu et constituent la base des études appropriées.

11 2. Le jeu de la vie : un jeu entre le simple et le complexe Ce que l on appelle "Jeu de la vie" n est pas tout à fait un jeu, mais un divertissement mathématique inventé par le mathématicien Jhon Horton Conway de l université de Cambridge en Le jeu de Conway, inspiré des divertissements géométriques de Stanislas Ulam et des travaux de John von Neumann sur l autoreproduction des machines, a eu un grand succès auprès de la communauté informatique et mathématique. En 1974, le Time Magazine évoquait des "millions de dollars d heures de calcul perdues par les fanatiques du jeu". Aujourd hui, même si on en parle plus dans la grande presse, il suscite encore beaucoup d intérêt aussi bien après des scientifiques que du grand public : il suffit d utiliser un moteur de recherche sur Internet pour s en assurer. Qu y-t-il de si fascinant dans ce jeu? Du point de vu mathématique "Le jeu de la vie" est ce qu on appelle un automate cellulaire. Voici une citation à propos de ces objets : "Les automates cellulaires sont des univers synthétiques, stylistiques, gouvernés par des règles simples, comme celles d un jeu de société. Ils ont leur propre type de matière qui tourbillonne dans un espace et dans un temps qui leur sont propres. On peut en imaginer une incroyable variété. On peut effectivement les construire et les regarder évoluer." Cellular Automata - A new environnement for modeling par Tommaso Toffoli et Norman Margolus, The MIT Press, 1987.

12 Les automates cellulaires représentent un cas particulier de systèmes dynamiques discrets. Sans que la théorie des automates fasse vraiment partie de ce cours nous allons nous intéresser de plus près au "Jeu de la vie". Une observation rapide des phénomènes qui s y produisent nous permettra d illustrer les notions fondamentales de la théorie des systèmes dynamiques et les questions essentielles posées dans ce cours : Qu est ce que l évolution? Comment peut on la représenter, l étudier? Peut on l expliquer? En connaissant parfaitement les règles de l évolution peut on tout prévoir? Est ce que la complexité peut apparaître dans un univers régi par des règles d évolution simples et déterministes Description du jeu L univers du jeu est un plan infini quadrillé c est-à-dire divisé en un nombre infini de cases ou cellules contiguës, chacune dotée de deux états possibles : vivante ( visible ou "1") ou morte ( non visible ou état "0")? Deux règles définissent la naissance ou la mort d une cellule : 1. une cellule peut "naître" si et seulement si elle entourée par trois cellules vivantes ; 2. une cellule ne peut rester vivante que si elle a deux ou trois voisines vivantes. On appelle "population" une configuration de cellules vivantes dans l univers. L évolution d une population est observée en applicant les deux règles suivantes de façon récurrente, en partant d une quelconque configuration initiale.

13 2.2. Observations En choisissant une population de départ au hazard, on constate au bout des quelques premières itérations la formation de structures simples, invariantes ou animées. En étudiant de près quelques unes de ces configurations particulières ( on peut se servir d un programme de simulation pour cela) on peut observer des comportements semblables à ce que nous appellerons plus tard états stationnaires ou orbites périodiques d un système dynamique. Le fait qu une population initiale se retrouve souvent réduite à un ensemble d états fixes ou répétitifs nous donne une première idée de la notion d attracteur dans un système. Toutes ces configurations sont des exemples de ce que l on peut caractériser comme comportements simples d un système. Pour nous simple sera souvent synonyme de "prévisible". La particularité du jeu de la vie réside dans l existence des structures spécifiques. Ainsi le "planeur" est une structure de cellules qui se retrouve identique à elle-même, à une translation près. Le "canon" est une structure qui "émet" des "planeurs" toutes les trente itérations. Enfin, le "mangeur" est un groupe de huit cellules capable d absorber entièrement ou partiellement les objets de son voisinage tout en gardant sa propre structure. Il est certainement impossible de décrire toutes les formes qui peuvent apparaître dans l univers du jeu. On en connaît suffisamment aujourd hui pour se poser la question : est ce que des structures complexes peuvent émerger du jeu de la vie. D une certaine façon cette question nous renvoie à l étude de l universalité des capacités de traitement de l information du système de Conway. Sans rentrer dans les détails de démonstration notons qu il a été démontré que le modèle de Conway permet de construire une machine universelle de Turing. D après la théorie de Turing, cela signifie, entre autres, que "toute machine arbitraire" peut apparaître dans le "jeu de la vie". Ainsi nous avons devant nous

14 un exemple simple de quelque chose de très compliqué : l émergence des phénomènes nouveaux et complexes au cours d une évolution, phénomènes inexistants au départ et inexplicables par une simple déduction à partir des règles de l évolution même.

15 3. Systèmes dynamiques à temps continu Exemple 1.1. Commençons par un exemple simple.

16 3. Systèmes dynamiques à temps continu Exemple 1.1. Commençons par un exemple simple. Supposons que nous cherchons un modèle permettant d étudier le mouvement d un pendule de masse m et de longueur l données. l 6 m

17 3. Systèmes dynamiques à temps continu Exemple 1.1. Commençons par un exemple simple. Supposons que nous cherchons un modèle permettant d étudier le mouvement d un pendule de masse m et de longueur l données. La position du pendule à tout moment du temps est complètement déterminée si l on connaît l angle θ(t). l θ(t) 6 m

18 3. Systèmes dynamiques à temps continu Exemple 1.1. Commençons par un exemple simple. Supposons que nous cherchons un modèle permettant d étudier le mouvement d un pendule de masse m et de longueur l données. La position du pendule à tout moment du temps est complètement déterminée si l on connaît l angle θ(t). l θ(t) 6 m On peut donc choisir l angle comme unique variable d état de ce système. En utilisant les lois de Newton on peut facilement écrire l équation différentielle pour θ(t) :

19 3. Systèmes dynamiques à temps continu Exemple 1.1. Commençons par un exemple simple. Supposons que nous cherchons un modèle permettant d étudier le mouvement d un pendule de masse m et de longueur l données. La position du pendule à tout moment du temps est complètement déterminée si l on connaît l angle θ(t). l θ(t) 6 m On peut donc choisir l angle comme unique variable d état de ce système. En utilisant les lois de Newton on peut facilement écrire l équation différentielle pour θ(t) : m l θ = m g sin(θ) k l θ, θ(0) = θ 0 θ(0) = θ 1

20 3. Systèmes dynamiques à temps continu Exemple 1.1. Commençons par un exemple simple. Supposons que nous cherchons un modèle permettant d étudier le mouvement d un pendule de masse m et de longueur l données. La position du pendule à tout moment du temps est complètement déterminée si l on connaît l angle θ(t). l θ(t) 6 m On peut donc choisir l angle comme unique variable d état de ce système. En utilisant les lois de Newton on peut facilement écrire l équation différentielle pour θ(t) : m l θ = m g sin(θ) k l θ, θ(0) = θ 0 θ(0) = θ 1 Nous avons donc construit le modèle de notre système.

21 Dans le cas général un système dynamique en temps continu peut être représenté par une équation différentielle. Selon l équation, on distingue quelques types différents de systèmes. Systèmes autonomes Systèmes non-autonomes ẋ = f(x), x(t 0 ) = x 0 ẋ = f(t, x), x(t 0 ) = x 0 Systèmes avec plusieurs variables d état (autonomes ou non-autonomes) ẋ 1 = f 1 (t, x 1, x 2,..., x m ), x 1 (t 0 ) = x 0 1 ẋ 2 = f 2 (t, x 1, x 2,..., x m ), x 2 (t 0 ) = x ẋ m = f m (t, x 1, x 2,..., x m ), x m (t 0 ) = x 0 m (1.1) Pour ces systèmes on utilise souvent la notation vectorielle. Si l on note x 1 f 1 x = x 2 :, f = f 2 : x m f m

22 alors le système précédent s écrit : d dt x = f(t, x), x(t 0 ) = x 0 Systèmes d ordre r 2 avec plusieurs variables d état (autonomes ou non-autonomes) d r dt x = f(t, x, d dr 1 x,..., x) r dt dtr 1 x(t 0 ) = x 0, d dt x(t 0) = x 1,..., dr 1 dt r 1 x(t 0) = x r 1

23 4. Systèmes dynamiques à temps discret Une modélisation discrète du temps peut être imposée soit par la nature même du processus soit par le besoin de "discrétiser" un modèle à temps continu pour le traiter numériquement. L évolution du système est observée en choisissant certains moments du temps que nous allons supposer équidistants. Dans tous les cas le choix de l unité de temps représente une partie importante de modélisation du système. Dans le modèle le temps sera donc noté par une variable n qui prend les valeurs entières n = 2, 1, 0, 1, 2,.... Voici un exemple élémentaire d un processus dynamique à temps discret.

24 Exemple 1.2.

25 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n).

26 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n). Après une année on obtient x(1) lapins x(1) = x(0) + 0.1x(0) = 1.1x(0)

27 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n). Après une année on obtient x(1) lapins x(1) = x(0) + 0.1x(0) = 1.1x(0) x(2) = x(1) + 0.1x(1) = 1.1x(1) Au cours de la deuxième année la quantité de lapins augmente de la même façon

28 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n). Après une année on obtient x(1) lapins x(1) = x(0) + 0.1x(0) = 1.1x(0) x(2) = x(1) + 0.1x(1) = 1.1x(1)... Au cours de la deuxième année la quantité de lapins augmente de la même façon En continuant

29 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n). Après une année on obtient x(1) lapins x(1) = x(0) + 0.1x(0) = 1.1x(0) x(2) = x(1) + 0.1x(1) = 1.1x(1)... Au cours de la deuxième année la quantité de lapins augmente de la même façon En continuant on trouve pour une année quelconque x(n + 1) = x(n) + 0.1x(n) = 1.1x(n)

30 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n). Après une année on obtient x(1) lapins x(1) = x(0) + 0.1x(0) = 1.1x(0) x(2) = x(1) + 0.1x(1) = 1.1x(1)... Au cours de la deuxième année la quantité de lapins augmente de la même façon En continuant on trouve pour une année quelconque x(n + 1) = x(n) + 0.1x(n) = 1.1x(n) Ainsi nous pouvons remarquer que pour chaque période de temps x(n + 1) = p(x(n)) avec p(x) = 1.1x

31 Exemple 1.2. Supposons que nous avons une population de lapins qui au début de notre expérience compte x(0) lapins. Nous savons qu en une année la population augmente de 10%. Notons par x(n) le nombre de lapins de la n-ème année. Nous voulons décrire l évolution de x(n). Après une année on obtient x(1) lapins x(1) = x(0) + 0.1x(0) = 1.1x(0) x(2) = x(1) + 0.1x(1) = 1.1x(1)... Au cours de la deuxième année la quantité de lapins augmente de la même façon En continuant on trouve pour une année quelconque x(n + 1) = x(n) + 0.1x(n) = 1.1x(n) Ainsi nous pouvons remarquer que pour chaque période de temps avec x(n + 1) = p(x(n)) p(x) = 1.1x Autrement dit, la dynamique de la population peut être décrite, comme dans l exemple précédent, par l itération d une fonction p(x). En connaissant cette fonction nous pouvons reconstituer l état du système a chaque moment du temps.

32 4.1. Echantillonnage : passage de temps continu à temps discret Il existe plusieurs techniques de discrétisation ( échantillonnage) des systèmes. Voici un exemple simple, souvent utilisé : la méthode d Euler. Soit une équation différentielle d ordre 1 : ẋ = f(x) Nous voulons étudier la trajectoire de cette équation seulement à des instants choisis, équidistants t n = t 0 + n t. Si la période d échantillonnage t est choisie assez petite, on peut approcher la dérivée de x(t) par la différence : ẋ x(t n) x(t n+1 ) t Alors, le système dynamique à temps continu peut être approché par le système dynamique à temps discret suivant : x(n + 1) = x(n) + t f(x(n)) 4.2. Définitions Dans le cas général un système dynamique discret est décrit par un système d équations aux différences finies, autrement dit, par une récurrence. Il existe, comme dans le cas continu, plusieurs types de systèmes.

33 Systèmes dynamiques discrets (SDD) d ordre 1 de dimension m Définition 1.1. Soit D R m un ensemble et f : D D une fonction continue et dérivable. On appelle " SDD d ordre 1 en dimension m la récurrente suivante : x(0) = x 0 D, x(n + 1) = f(x(n)), n 0 On utilisera souvent la notation (f, D) pour désigner le système dynamique défini par une fonction f sur l ensemble D. Quand le système a plusieurs variables d état nous pouvons le représenter sous forme vectorielle. Soit x(n) = x 1 (n) x 2 (n) : x m (n) le vecteur des états du système. L espace formé par ces états s appelle espace de phases du système. Soit f : R m R m une application continue et dérivable. f( x) = f 1 ( x) f 2 ( x) : f m ( x)

34 Alors le système (f, D) s écrit sous la forme : x(0) = x 0 D, x(n + 1) = f( x(n)), n 0 Systèmes dynamiques discrets non-autonomes Si la fonction f est une fonction de l état x et de la variable du temps n alors le système s appelle non-autonome : x(0) = x 0, x(n + 1) = f(n, x(n)), n 0 Systèmes dynamiques discrets d ordre supérieur Ces systèmes sont décrits par des équations aux différences finies d ordre r 2 autonomes ou non : x(n + r) = f( x(n), x(n + 1),..., x(n + r 1)), n 0 (1.2) Il existe une procédure simple qui permet de transformer en un système d ordre 1 tout système dynamique d ordre supérieur. Pour cela il suffit de définir un nouvel espace de phases formé des vecteurs de la forme : y(n) = x(n) x(n + 1). x(n + r 1)

35 La dimension de cet espace sera m(r 1). Dans cet espace on définit l application g : R m(r 1) R m(r 1) d après la formule : g 1 ( y) g 2 ( y) g( y) =. g r 1 ( y) g k ( y) == y k m+1 y k m+2. y k m+m, k = 1,..., m 2 g r 1 ( y) = f( y) Alors, l équation (1.2) est équivalente à l équation suivante pour y(n) : y(n + 1) = g( y(n)) Dans certains cas (surtout linéaires) cette transformation permet d appliquer aux systèmes d ordre supérieur les mêmes méthodes d analyse qu aux systèmes d ordre 1.

36 4.3. Notion de l orbite d un système Nous allons étudier dans la suite seulement les systèmes d ordre 1. Notre but sera de pouvoir décrire l évolution des états du système en fonction des conditions initiales. Nous aurons donc besoin d introduire la notion de trajectoire ou orbite du système. Soit un SDD d ordre 1 défini par l itération d une fonction f(x) : x(0) = x 0, x(n + 1) = f(x(n)), n 0 (1.3) Définition 1.2. Étant donné le point initial x 0, on appelle orbite ( ou trajectoire ) du système ( 1.3 ) la suite O(x 0 ) = {x(0) = x 0, x(1) = f(x(0)),..., x(n + 1) = f(x(n)),...}

37 Exemple 1.3.

38 Exemple 1.3. Soit un SDD en dimension 1 défini par la fonction f(x) = x 2 sur l intervalle [0, + ). Prenons pour condition initiale x 0 = 1/2. L orbite correspondante est

39 Exemple 1.3. Soit un SDD en dimension 1 défini par la fonction f(x) = x 2 sur l intervalle [0, + ). Prenons pour condition initiale x 0 = 1/2. L orbite correspondante est x(0) = x 0 = 1/2, 0 x(0) 1 2

40 Exemple 1.3. Soit un SDD en dimension 1 défini par la fonction f(x) = x 2 sur l intervalle [0, + ). Prenons pour condition initiale x 0 = 1/2. L orbite correspondante est x(0) = x 0 = 1/2, x(1) = f(x(0)) = 1/4 x(1) x(0)

41 Exemple 1.3. Soit un SDD en dimension 1 défini par la fonction f(x) = x 2 sur l intervalle [0, + ). Prenons pour condition initiale x 0 = 1/2. L orbite correspondante est x(0) = x 0 = 1/2, x(1) = f(x(0)) = 1/4 x(2) = f(x(1)) = 1/16 x(2) x(1) x(0)

42 Exemple 1.3. Soit un SDD en dimension 1 défini par la fonction f(x) = x 2 sur l intervalle [0, + ). Prenons pour condition initiale x 0 = 1/2. L orbite correspondante est x(0) = x 0 = 1/2, x(1) = f(x(0)) = 1/4 x(2) = f(x(1)) = 1/16 x(2) x(1) x(0) Remarquons que x(n) = f(x(n 1)) = f (n) (x(0)) = (1/2) 2n 0 quand n

43 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors

44 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors x(0) = 2, 0 x(0) 2

45 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors x(0) = 2, x(1) = f(x(0)) = 4 x(0) x(1) 0 2 4

46 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors x(0) = 2, x(1) = f(x(0)) = 4 x(2) = f(x(1)) = 16 x(0) x(1) x(2)

47 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors x(0) = 2, x(1) = f(x(0)) = 4 x(2) = f(x(1)) = 16 x(0) x(1) x(2) Dans ce cas, quand n on a : x(n) = f(x(n 1)) = f (n) (x(0)) = 2 2n

48 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors x(0) = 2, x(1) = f(x(0)) = 4 x(2) = f(x(1)) = 16 x(0) x(1) x(2) Dans ce cas, quand n on a : x(n) = f(x(n 1)) = f (n) (x(0)) = 2 2n Et enfin, si l on choisit pour point initial x 0 = 1

49 Prenons un autre point initial, x 0 = 2. Alors x(0) = 2, x(1) = f(x(0)) = 4 x(2) = f(x(1)) = 16 x(0) x(1) x(2) Dans ce cas, quand n on a : x(n) = f(x(n 1)) = f (n) (x(0)) = 2 2n Et enfin, si l on choisit pour point initial x 0 = 1 on voit que O(x 0 ) = {1, 1, x(n) = 1 2n = 1,...}. On observe donc ici trois comportements différents du même système en fonction du point initial choisi. Ainsi nous pouvons parler des propriétés d un système, en décrivant toutes ses orbites possibles.

50 5. Points fixes. Points périodiques Nous allons considérer des systèmes dynamiques discrets d ordre 1 de dimension m définis par des fonctions f : R m R m x(n + 1) = f(x(n)), x(n) = (x 1 (n), x 2 (n),..., x m (n)) R m (1.4) Définition 1.3. On appelle "point fixe " d un système dynamique tout point x s tel que x s = F (x s ) Parfois, ces points sont appelés aussi points stationnaires ou points d équilibre. Exemple 1.4. Revenons au système de l exemple 1.3 : x(n + 1) = x 2 (n), x(0) = x 0 On voit facilement que les points x = 1 est x = 0 sont les points fixes de ce système, parce que 1 2 = 1, et 0 2 = 0 En général, on trouve les points fixes en résolvant l équation : f(x) = x

51 L étude de ces points se ramène donc à la théorie des points fixes des fonctions numériques. Définition 1.4. Une orbite O(x 0 ) s appelle périodique s il existe un p > 0 t.q. x(n + p) = x(n), n (1.5) Une orbite est dite éventuellement périodique s il existe un p > 0 et un N > 0 tels que l égalité (1.5) est vérifiée pour tout n > N. Une orbite périodique O(x 0 ) est toujours une suite de points périodique. Tous ces points s appellent point périodique de période p du système. Définition 1.5. Le plus petit nombre p qui vérifie (1.5) s appelle "période fondamentale " de l orbite O(x 0 ). Dans la suite nous utiliserons souvent le terme abrégé "période" au lieu de "période fondamentale", sauf dans les cas où une confusion est possible. Tous les points périodiques de période p sont solutions de l équation f (p) (x) = x

52 où f (p) (x) = f(f(f(f(... f }{{} p fois (x))... ))) Remarque 1.1. Revenons encore une fois aux notions de période et de période fondamentale. La différence entre les deux est importante lorsqu on cherche les solutions de l équation (1.6). Quand on dit qu une orbite est de période p (fondamentale ou non) cela signifie que l équation (1.5) est vérifiée : On en déduit facilement que x(n + p) = f (p) (x(n)) = x(n), n x(n + 2p) = x((n + p) + p) = x(n + p) = x(n), n Donc la même orbite est également de période 2p, mais aussi de période 3p et ainsi de suite. Toute orbite de période p est une orbite de toutes les périodes de type k p où k est un nombre entier positif. Alors si un point x 0 est un point périodique de période p et donc il est solution de l équation (1.6) alors il est aussi solution de toutes les équations de type f (k p) (x) = x En particulier, tout point fixe, étant point périodique de période p = 1, est un point périodique de n importe quelle période

53 La notion de période fondamentale permet d éliminer les ambiguïtés liées à la recherche de points d une certaine période. Par exemple, supposons qu on recherche des points périodiques de période fondamentale p = 6 dans le système dynamique défini par une fonction f(x). Parmi les solutions de l équation f (6) (x) = x se trouvent tous les points fixes du système, tous les points de période fondamentale 3 (si le système en a) et tous les points de période fondamentale 2 (si le système en a). En effet, on remarque que 6 = 2 3. Si, après l élimination de ces solutions éventuelles, l équation admet encore d autres solutions, ces dernières, et elles seules, représentent des points périodiques de période fondamentale 6.

54 Exemple 1.5.

55 Exemple 1.5. Considérons un système de dimension 1 défini par la fonction f(x) = ax(1 x), x R (1.6)

56 Exemple 1.5. Considérons un système de dimension 1 défini par la fonction f(x) = ax(1 x), x R (1.6) Ici a est un paramètre que nous allons supposer dans l intervalle a ]0, 4[.

57 Exemple 1.5. Considérons un système de dimension 1 défini par la fonction f(x) = ax(1 x), x R (1.6) Ici a est un paramètre que nous allons supposer dans l intervalle a ]0, 4[. Regardons si ce système a des points périodiques de période fondamentale 2.

58 Exemple 1.5. Considérons un système de dimension 1 défini par la fonction f(x) = ax(1 x), x R (1.6) Ici a est un paramètre que nous allons supposer dans l intervalle a ]0, 4[. Regardons si ce système a des points périodiques de période fondamentale 2. Ces points doivent être solutions de l équation : f(f(x)) = x (1.7)

59 Exemple 1.5. Considérons un système de dimension 1 défini par la fonction f(x) = ax(1 x), x R (1.6) Ici a est un paramètre que nous allons supposer dans l intervalle a ]0, 4[. Regardons si ce système a des points périodiques de période fondamentale 2. Ces points doivent être solutions de l équation : f(f(x)) = x (1.7) On doit exclure dès le départ les points fixes (c est-à-dire, points de période 1) qui sont solutions de l équation ax(1 x) = f(x) = x (1.8)

60 On en déduit que x 0, x 1 1/a (1.9)

61 On en déduit que Passons à l équation (1.7). x 0, x 1 1/a (1.9) a 2 x(1 x)(1 ax(1 x)) = x

62 On en déduit que Passons à l équation (1.7). x 0, x 1 1/a (1.9) a 2 x(1 x)(1 ax(1 x)) = x Les points que nous recherchons sont donc racines d un polynôme de degré 4 : a 3 x 4 2a 3 x 3 + a 2 (1 + a)x 2 (a 2 1)x = 0

63 On en déduit que Passons à l équation (1.7). x 0, x 1 1/a (1.9) a 2 x(1 x)(1 ax(1 x)) = x Les points que nous recherchons sont donc racines d un polynôme de degré 4 : a 3 x 4 2a 3 x 3 + a 2 (1 + a)x 2 (a 2 1)x = 0 Nous connaissons déjà deux de ses racines : ce sont les deux points points fixes.

64 On en déduit que Passons à l équation (1.7). x 0, x 1 1/a (1.9) a 2 x(1 x)(1 ax(1 x)) = x Les points que nous recherchons sont donc racines d un polynôme de degré 4 : a 3 x 4 2a 3 x 3 + a 2 (1 + a)x 2 (a 2 1)x = 0 Nous connaissons déjà deux de ses racines : ce sont les deux points points fixes. Pour les éliminer et trouver plus facilement les deux autres racines nous allons factoriser ce polynôme en le divisant par le polynôme de l équation : a 3 x 4 2a 3 x 3 +a 2 (1+a)x 2 (a 2 1)x = (ax 2 (a 1)x) (a 2 x 2 (a 2 +a)x+a+1)

65 Donc les points périodiques que nous cherchons sont solutions réelles de l équation. a 2 x 2 (a 2 + a)x + a + 1 = 0

66 Donc les points périodiques que nous cherchons sont solutions réelles de l équation. a 2 x 2 (a 2 + a)x + a + 1 = 0 Les racines de ce polynôme sont de la forme : x 12 = a + 1 2a ± 1 (a 3)(a + 1) 2a

67 Donc les points périodiques que nous cherchons sont solutions réelles de l équation. a 2 x 2 (a 2 + a)x + a + 1 = 0 Les racines de ce polynôme sont de la forme : x 12 = a + 1 2a ± 1 (a 3)(a + 1) 2a Alors, si a > 0 il y a deux points périodiques distincts. Ils appartiennent donc à la même orbite périodique de période 2.

68 Donc les points périodiques que nous cherchons sont solutions réelles de l équation. a 2 x 2 (a 2 + a)x + a + 1 = 0 Les racines de ce polynôme sont de la forme : x 12 = a + 1 2a ± 1 (a 3)(a + 1) 2a Alors, si a > 0 il y a deux points périodiques distincts. Ils appartiennent donc à la même orbite périodique de période 2. Si a < 3, il n y pas de points périodiques.

69 Donc les points périodiques que nous cherchons sont solutions réelles de l équation. a 2 x 2 (a 2 + a)x + a + 1 = 0 Les racines de ce polynôme sont de la forme : x 12 = a + 1 2a ± 1 (a 3)(a + 1) 2a Alors, si a > 0 il y a deux points périodiques distincts. Ils appartiennent donc à la même orbite périodique de période 2. Si a < 3, il n y pas de points périodiques. Enfin, si a = 3, il y a un seul point périodique, qui coïncide avec l un des points fixes. On peut observer dans cet exemple un phénomène très important dans la théorie des systèmes dynamiques : le changement des caractéristiques d un système en fonction du choix de ses paramètres. Nous allons étudier ce phénomène plus tard, dans les cours qui suivent.

70 6. Équivalence topologique des systèmes Nous allons définir dans cette section une notion d équivalence entre deux systèmes, très importante pour l étude des systèmes dynamiques, surtout des comportements complexes. Soient D et E deux espaces métriques et f : D D, g : E E deux applications définissant sur D et G respectivement deux systèmes dynamiques. Définition 1.6. Soient (D, f) et (E, g) deux systèmes dynamiques. On dit qu ils sont topologiquement conjugués s il existe un homéomorphisme ( une application continue et bijective) h : D E tel que h f = g h (1.10) Remarque 1.2. On peut détailler l expression (1.10) de façon suivante : pour tout x D h(f(x)) = g(h(x)) Cette équivalence peut être représentée par le schéma suivant : D h E f g D h E ou x h h(x) f σ f(x) h g(h(x)) Le théorème suivant montre importance de cette définition

71 Théorème 1.1. Soient (D, f) et (E, g) deux systèmes dynamiques. Supposons qu ils sont topologiquement conjugués par un homéomorphisme h : D E. Alors (a) L application h 1 : E D vérifie aussi la définition et assure donc l équivalence topologique entre les systèmes (D, f) et (E, g). (b) h f (n) = g (n) h, pour tout n N (c) Si p D est un point périodique de f de période fondamentale k alors h(p) E est un point périodique de g de période fondamentale k. Remarque 1.3. L application h : D E correspond tout simplement à un changement de variables qui transforme f en g. En effet, supposons que {x(n), n = 0, 1,...} est une orbite quelconque du système (D, f). Si l on pose pour tout n = 0, 1,... y(n) = h(x(n)) on remarque facilement que y(n + 1) = h(x(n + 1)) = h(f(x(n))) = g(h(x(n))) = g(y(n)) ce qui veut dire que la suite {y(n), n = 0, 1,...}, l image de {x(n), n = 0, 1,...} par h, est une orbite du système (E, g).

72 7. Étude graphique des systèmes dynamiques Nous allons parler dans cette section de moyens très simples de visualiser le comportement de certains systèmes. Ces représentations nous permettront de mieux comprendre les phénomènes que nous allons étudier Systèmes dynamiques discrets de dimension 1 Soit un SDD de dimension 1 défini par une fonction f : R R x(0) = x 0, x(n + 1) = f(x(n)) On peut visualiser sur le plan (x, y) l évolution d une orbite O(x 0 ) en utilisant le graphe de la fonction f et la droite y = x. Prenons par exemple la fonction f(x) = 4.5x 3.5x 2 Nous allons représenter l orbite qui commence dans le point x 0 = 0.2. Traçons d abord le graphe de la fonction f et la droite y = x (voir la figure 7.1). Sur le plan (x, y) l orbite commence dans le point (x 0, 0). Nous traçons maintenant une ligne verticale du point (x(0), 0) jusqu au graphe de la fonction f(x). Le point d intersection est exactement le point (x(0), x(1)) avec x(1) = f(x(0)). Ensuite, nous traçons une ligne horizontale à partir du point (x(0), x(1)) jusqu au point (x(1), x(1)) d intersection avec la droite y = x.

73 1.5 y 1 (x(0),x(1)) (x(0),0) x FIG. 1.1 L orbite du système x(n) = 4.5x(n) 3.5x 2 (n) : premier pas A partir de ce point nous traçons encore une ligne verticale vers le graphe de la fonction f(x) pour trouver le point suivant x(2) = f(x(1)) ( voir la figure 1.2). En continuant ainsi nous pouvons suivre l évolution de l orbite sur autant de points que nous le voulons. Cette représentation graphique des systèmes est particulièrement utile parce qu elle permet de voir clairement les points fixes ( ce sont les points d intersection du graphe de la fonction f(x) et de la droite y = x). On peut aussi observer les différents comportements des orbites autour des points fixes, comme sur les figures 1.3 et 1.4. Dans les prochains cours nous allons nous servir des cette représentation

74 1.5 y (x(1),x(2)) 1 (x(0),x(1)) (x(1),x(1)) (x(0),0) x FIG. 1.2 L orbite du système x(n) = 4.5x(n) 3.5x 2 (n) : deuxième pas pour illustrer les différentes notions de la théorie des systèmes dynamiques en dimension Systèmes dynamiques de dimension 2. Portraits de phases Un système dynamique discret de dimension 2 est décrit par deux équations : x 1 (n + 1) = f 1 (x 1 (n), x 2 (n)) x 2 (n + 1) = f 2 (x 1 (n), x 2 (n)) Pour étudier ces systèmes on utilise souvent des portraits de phases. Pour

75 FIG. 1.3 Système x(n + 1) = x 3 (n) x 2 (n) + 1 : une orbite tends vers le point fixe x s = 1 tracer le portrait de phases d un système dynamique défini par l application f : R 2 R 2 ( ) f(x1 f1 (x, x 2 ) = 1, x 2 ) f 2 (x 1, x 2 ) on choisit sur le plan une grille de points (x 1, x 2 ) assez dense et l on trace dans chaque point la direction du départ de l orbite ( ) qui commence dans ce point. Cette x1 direction pour un point initial x(0) = est définie par le vecteur x 2 x(1) x(0) = f( x(0)) x(0) Cela donne un aperçu (voir le figure 1.5) de toutes les orbites possibles du système. Si l on s intéresse à une orbite particulière, on peut la retrouver sur le portrait de phases, en suivant les directions du champ de vecteurs tracées à partir du point initial de l orbite en question.

76 FIG. 1.4 Système x(n + 1) = x 3 (n) x 2 (n) + 1 : une orbite s éloigne du point fixe x s = y x FIG. 1.5 Le portrait de phases d un système dynamique non-linéaire On peut observer à l aide d un portrait de phases les points fixes du système. Ce sont les points tels que f( x) = x. Donc, le vecteur de direction du portrait

77 de phases doit être nul dans un point fixe. Le comportement des orbites du système autour d un point fixe est important. Le portrait de phases nous permet une première analyse qualitative de ce comportement. Sur la figure 1.5 sont tracées quelques orbites commençant dans des points proches des points fixes. Sur un portrait de phases on peut également apercevoir des orbites périodiques, si le système en a. Dans ce cas, on peut distinguer des courbes closes formées par un groupe de vecteurs de directions.

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79 Chapitre 2 Systèmes dynamiques discrets d ordre 1 de dimension 1 Nous allons étudier dans ce cours les propriétés fondamentales des SDD de dimension 1. Soient D R et f : R R une fonction numérique. Elle définit un SDD (D, f) de dimension 1 : x(0) = x 0, x(n + 1) = f(x(n)), n = 0, 1, 2,... Nous allons décrire les propriétés d un système dans deux contextes différents : comportement local et comportement global. En décrivant les propriétés locales d un système on s intéresse surtout au comportement des orbites autour des points fixes et des orbites périodiques.

80 Quelques exemples d étude graphique que nous avons vus dans le cours précédent montrent que certains points fixes "attirent" les orbites, d autres les "repoussent". Nous allons expliquer ici comment ces phénomènes sont liés aux propriétés de la fonction f(x) qui définit le système. Une autre question qui se pose est de savoir si un système donné possède un seul point fixe, ou plusieurs, ou s il a des orbites périodiques et de quelles périodes. Il s agit donc de décrire le comportement global du système. Il se trouve que, au moins dans quelques cas relativement simples, la réponse peut être donnée.

81 1. Quelques rappels sur les propriétés des fonctions différentiables Théorème 2.1. Soit [a, b] R un intervalle et soit g : [a, b] R une fonction différentiable sur [a, b]. Alors, il existe un point c [a, b] t.q. g(b) g(a) = g (c)(b a) Théorème 2.2. Soit g : [a, b] R une fonction continue. Supposons que g est dérivable dans tous les points de l intervalle [a, b] sauf éventuellement un nombre fini de points. Alors, pour tout couple de points x, y [a, b] il existe un point c [x, y] t.q. g(x) g(y) = g (c) x y Les deux théorèmes qui suivent peuvent être utilisés pour analyser l existence des points fixes des systèmes. Théorème 2.3. Soit I = [a, b] un intervalle fermé. Soit g : I I une fonction continue. Si I g(i) alors g a un point fixe dans l intervalle I.

82 Théorème 2.4. Soit g : [a, b] R une fonction différentiable sur [a, b]. Supposons que g (x) < 1, x [a, b] Alors la fonction g(x) a un unique point fixe x s t.q. g(x s ) = x s dans l intervalle [a, b].

83 2. Stabilité des points fixes et des orbites périodiques 2.1. Stabilité des points fixes. Définitions La notion de stabilité est très importante pour l étude du comportement des systèmes autour de leurs points fixes. Cette notion est assez intuitive.

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85 Prenons l exemple d un pendule. 6

86 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. θ 6

87 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π θ θ = 0 6

88 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π θ 6 θ = 0 6 Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0

89 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π θ θ = Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0 et il est écarté de cet état à θ 0 par une petite perturbation,

90 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π θ θ = Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0 et il est écarté de cet état à θ 0 par une petite perturbation, nous savons que le pendule va osciller autour du point d équilibre, sans jamais dépasser l écart initial θ 0.

91 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π θ θ = Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0 et il est écarté de cet état à θ 0 par une petite perturbation, nous savons que le pendule va osciller autour du point d équilibre, sans jamais dépasser l écart initial θ 0. Ainsi, toute orbite qui commence près du point stationnaire θ 1 = 0 ne s en éloigne pas. Ce point est "stable".

92 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π 6 θ θ = Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0 et il est écarté de cet état à θ 0 par une petite perturbation, nous savons que le pendule va osciller autour du point d équilibre, sans jamais dépasser l écart initial θ 0. Ainsi, toute orbite qui commence près du point stationnaire θ 1 = 0 ne s en éloigne pas. Ce point est "stable". En revanche, quand le pendule se trouve à l état d équilibre avec θ = θ 2 = π

93 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π 6 θ θ = Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0 et il est écarté de cet état à θ 0 par une petite perturbation, nous savons que le pendule va osciller autour du point d équilibre, sans jamais dépasser l écart initial θ 0. Ainsi, toute orbite qui commence près du point stationnaire θ 1 = 0 ne s en éloigne pas. Ce point est "stable". En revanche, quand le pendule se trouve à l état d équilibre avec θ = θ 2 = π il suffit d une toute petite perturbation

94 Prenons l exemple d un pendule. La position du pendule est décrite par l angle θ défini par rapport à la verticale. Le système a deux points fixes : θ 1 = 0 et θ 2 = π. θ = π 6 θ θ = Si le pendule se trouve dans l état d équilibre avec θ = θ 1 = 0 et il est écarté de cet état à θ 0 par une petite perturbation, nous savons que le pendule va osciller autour du point d équilibre, sans jamais dépasser l écart initial θ 0. Ainsi, toute orbite qui commence près du point stationnaire θ 1 = 0 ne s en éloigne pas. Ce point est "stable". En revanche, quand le pendule se trouve à l état d équilibre avec θ = θ 2 = π il suffit d une toute petite perturbation pour que la force de gravitation l entraîne vers le bas. Ainsi, dans cet exemple, toute orbite qui commence près du point fixe s en éloigne. Ce point fixe est "instable".

95 Passons maintenant au cas général. Soit un SDD d ordre 1 de dimension 1 défini par une fonction f : D D. Ici D = [a, b] R est un intervalle. Supposons que ce système possède un point fixe x s. Nous allons utiliser les notations suivantes. Pour un nombre positif δ > 0 nous notons par U δ (x) le δ-voisinage du point x : U δ (x) = {y : y x < δ} Nous notons par f (n) (x) la n-ème itération d une application f. Pour éviter toute confusion, la n-ème dérivée sera toujours notée par dn f dx n. Définition 2.1. Un point fixe x s s appelle stable si ε > 0 il existe un δ > 0 tel que si x 0 x s < δ alors pour tout n > 0 f (n) (x 0 ) x s < ε Autrement dit, toutes les orbites qui commencent près du point x s restent dans un voisinage de ce point : si x 0 U δ (x s ) alors pour tout n > 0 f (n) (x 0 ) U ε (x 0 ) Remarque 2.1. Nous avons vu quelques exemples où toutes les orbites d un système dynamique convergeaient vers un point fixe. Cette situation n est qu un cas particulier d un point fixe stable. Nous en parlerons plus tard dans ce même

96 cours. La définition même de stabilité n impose pas cette convergence. Il existe bien des situations quand les orbites restent près du point fixe sans converger. Voici un exemple. Exemple 2.1. Soit f(x) = 1 x. Le seul point fixe est x s = 0.5. Remarquons que pour tout autre point x l orbite correspondante est périodique : f(x 0 ) = 1 x 0, f(f(x 0 )) = x 0 Aucune orbite ne converge donc vers le point fixe. Néanmoins, tous les éléments d une orbite restent à la même distance du point x s = 0.5. C est donc un point fixe stable. Définition 2.2. Un point fixe s appelle instable s il existe un ε > 0 tel que r > 0 il existe un x 0 U r (x s ) et il existe un n N tels que f (n) (x 0 ) x s > ε Cela signifie que pour tout voisinage du point fixe x s il existe une orbite qui, en commençant dans ce voisinage s éloigne du point x s. Remarque 2.2. Remarquons qu il suffit d une seule orbite qui "diverge" pour qu un point fixe soit instable. Nous allons plus tard discuter le cas extrême d instabilité quand toutes les orbites quittent le voisinage du point fixe.

97 Exemple 2.2. Considérons la fonction f(x) = x + x 3. Le SDD correspondant a un seul point fixe x s = 0. On remarque facilement que si x 0 > 0 alors x(0) < x(1) < < x(n) <... et que x(n) quand n. Si x 0 < 0 alors x(0) > x(1) > > x(n) > et x(n) quand n. Aucune orbite ne reste près du point fixe. Il est donc instable Stabilité des orbites périodiques. Définitions. Rappelons qu un point x p est périodique de période r si f (r) (x p ) = x p Un point périodique de période r est donc un point fixe de l application f (r). L orbite qui commence en un tel point est une suite périodique, elle n a que r points distincts. Chacun de ces r points est un point périodique de période r. Une telle orbite s appelle orbite périodique de période r. On définit sa stabilité comme suit. Définition 2.3. Soit x p un point périodique de période r d un SDD défini par une fonction f(x). L orbite périodique correspondante O(x p ) s appelle stable ( instable) si chacun de ses points est un point fixe stable ( instable ) de l application f (r).

98 Exemple 2.3. Soit f(x) = 1 x. Tout point x 0.5 est un point périodique de période 2. Or l application f (2) (x) = 1 (1 x)) x est l application identité. Tous les points sont des points fixes stable s de cette application. Donc pour tout point x 0.5 l orbite correspondante O(x) = {x, 1 x} est une orbite périodique stable Critère de stabilité Nous savons déjà que la dynamique d un système dépend des propriétés de la fonction f(x) qui le définit. Notamment on peut dans beaucoup de cas établir l existence des points fixes en étudiant la dérivée de la fonction f. Il existe aussi un théorème qui permet de savoir très facilement si un point fixe donné est stable. Théorème 2.5. Soit I = [a, b] un intervalle. Soit f : I I une fonction continue sur I ayant un point fixe x s I. S il existe un voisinage U ε (x s ) I tel que la fonction f est dérivable sur ce voisinage et que alors le point x s est stable. d dx f(x) 1, x U ε(x s ) Un point est instable si la dernière condition du théorème n est pas vérifiée dans tout un voisinage de x s. Voici un exemple.

99 Exemple 2.4. Soit f(x) = x x 2 d. Le point fixe est x s = 0. f(x) = 1 2x. dx On remarque que 0 < f(x) < 1 et que si 0 < x < 1 alors d f(x) < 1. Ainsi dx toute trajectoire qui commence dans l intervalle (0, 1) tend vers le point fixe. Or d pour x < 0 la dérivée est supérieure à 1 : f(x) > 1 et f(x) < 0. On en déduit dx que les trajectoires avec x 0 < 0 tendent vers. Cette situation est illustrée sur la figure 2.3. On voit que le point fixe x s = 0 n est pas stable x(0)= 0.1 x(0)= FIG. 2.1 Étude graphique du système f(x) = x x 2

100 3. Attracteurs et sources 3.1. Points fixes Nous allons discuter ici deux cas extrêmes de stabilité et d instabilité. Soit f : R R une fonction et x s un point fixe du SDD correspondant. Définition 2.4. Un point fixe x s s appelle attractif s il existe un ε > 0 tel que x 0 U ε (x s ) x(n) = f (n) (x 0 ) x s, quand n Cette définition, bien qu assez intuitive, n est pas toujours facile à appliquer. Voici un critère.

101 Théorème 2.6. Soit I = [a, b] un intervalle. Soit f : I I une fonction continue sur I ayant un point fixe x s I. Supposons qu il existe un ε > 0 tel que la fonction f est dérivable sur tout le voisinage U ε (x s ) du point x s et que la dérivée de la fonction f est continue au point x s. Alors le point x s est attractif si et seulement si d dx f(x s) < 1. Quand les hypothèses du théorème sont vérifiées nous pouvons facilement estimer la vitesse à laquelle les orbites convergent vers le point attractif x s. Le fait que d dx s) < 1 et que la dérivée est continue en x s implique qu il existe un γ tel que d dx s) < γ < 1 et un voisinage U δ(x s ) I tel que d dx < γ, x U δ(x s ) Alors, en utilisant le théorème de la valeur moyenne 2.2 on trouve x(1) x s = f(x 0 ) f(x s ) γ x 0 x s x(2) x s = f(x(1)) f(x s ) γ x(1) x s γ 2 x 0 x s... x(n) x s = f(x n 1 ) f(x s ) γ x n 1 x s γ n x 0 x s (2.1)