MT23-Algèbre linéaire

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1 MT23-Algèbre linéaire Chapitre 4 : Valeurs propres - Vecteurs propres ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC juillet 2014

2 suivant Chapitre 4 Valeurs propres - Vecteurs propres 4.1 Vecteurs propres - Valeurs propres Matrices à coefficients complexes Sous-espace propre Réduction d une matrice Compléments Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2

3 chapitre section suivante 4.1 Vecteurs propres - Valeurs propres Valeur et vecteur propres d un endomorphisme Valeur et vecteur propres d une matrice Lien entre les valeurs propres d une matrice et celles d un endomorphisme Polynôme caractéristique Valeurs propres et matrices particulières Valeurs propres et matrices semblables Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 3

4 section suivant Valeur et vecteur propres d un endomorphisme Exercices : Exercice A.1.1 Exercice A.1.2 Exemples : Exemple B.1.1 Soit E un espace vectoriel sur K (IR ou C) de dimension finie. Soit u un endomorphisme de E. Dans ce chapitre, on va chercher des bases de E pour lesquelles la matrice associée à u est la plus simple possible (diagonale, triangulaire). On parlera alors de diagonalisation et trigonalisation. La notion de vecteur propre permettra d atteindre ce but. Définition λ K est une valeur propre de u s il existe un vecteur y E non nul tel que u( y) = λ y. (4.1.1) y est appelé un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ. Il est fondamental de préciser " y non nul". En effet quand y = 0, on a u( y) = 0. De plus, pour tout λ K, λ y = 0 donc u( y) = λ y(= 0). Donc tout scalaire de K serait valeur propre de u. Exemple : Soit E = F 1 F 2 où F 1 et F 2 sont différents de { 0}. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 4

5 section suivant On définit l endomorphisme p projection sur F 1 parallèlement à F 2, alors x 1 F 1, p( x 1 ) = x 1, x 2 F 2 p( x 2 ) = 0. On a donc 1 est valeur propre de p et tout vecteur non nul de F 1 est un vecteur propre associé à cette valeur propre ; 0 est valeur propre de p et tout vecteur non nul de F 2 est un vecteur propre associé à cette valeur propre. Valeur et vecteur propres d un endomorphisme Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 5

6 précédent section suivant Valeur et vecteur propres d une matrice Exercices : Exercice A.1.3 Exercice A.1.4 Exemples : Exemple B.1.2 Soit A une matrice carrée. Définition On dit que λ K est une valeur propre de A M n,n (K ) s il existe un vecteur Y M n,1 (K ), Y 0 tel que AY = λy. (4.1.2) On dit que Y est un vecteur propre associé à la valeur propre λ et que (λ,y ) est un couple propre de A. Montrer en exercice que si Y est vecteur propre de A associé à la valeur propre λ, si α K,α 0, alors αy est également vecteur propre de A associé à la valeur propre λ : les vecteurs propres ne sont pas uniques. Exemple : K = IR, A = y 1 y 2 y On cherche les valeurs propres λ et les vecteurs propres Y = Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 6

7 précédent section suivant La condition (4.1.2) s écrit y 1 = λy 1, y 2 = λy 2, 0 = λy 3. On a donc deux familles de couples propres α λ 1 = 1 et Y 1 = β, où α et β sont des réels quelconques, λ 2 = 0 et Y 2 = γ, où γ est un réel quelconque. Pour que Y 1 et Y 2 soient vecteurs propres, donc non nuls, il faut de plus (α,β) (0,0) et γ 0. Valeur et vecteur propres d une matrice On peut montrer en exercice que les résultats constatés sur l exemple précédent se généralisent : Les valeurs propres d une matrice diagonale sont ses termes diagonaux. A non inversible 0 est valeur propre de A. Depuis le début du cours K = IR ou K = C. Si les termes de A sont réels, puisque IR C, on peut considérer A M n,n (IR) et chercher alors les valeurs et vecteurs propres dans IR ou considérer A M n,n (C) et chercher alors les valeurs et vecteurs propres dans C. Lorsque l on ne précise pas, si A M n,n (IR), on étudiera les valeurs et vecteurs propres réels de A. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 7

8 précédent section suivant Lien entre les valeurs propres d une matrice et celles d un endomorphisme On vient de définir de façon indépendante les valeurs propres et vecteurs propres d un endomorphisme u L (E,E) puis les valeurs propres et les vecteurs propres d une matrice A. Si A est une matrice associée à l endomorphisme u, y a-t-il une relation entre les valeurs propres et vecteurs propres de l une et les valeurs propres et vecteurs propres de l autre? Proposition E est muni d une base E, u L (E,E) et (λ, y) est un couple propre de u : u( y) = λ y et y 0, si A est la matrice associée à u quand on munit E de la base E, si Y est le vecteur colonne contenant les composantes de y dans la base E, alors on a : AY = λy et Y 0. Donc (λ,y ) est un couple propre de A. Démonstration AY est le vecteur colonne contenant les composantes de u( y) dans la base E, λy est le vecteur colonne contenant les composantes de λ y dans la base E. On a donc AY = λy. De plus y 0 donc Y est un vecteur colonne non nul. Exemple : Si E est un espace vectoriel muni d une base ( e 1, e 2, e 3 ), si π est le plan vectoriel engendré par ( e 1, e 2 ), si D est la droite vectorielle engendrée par ( e 3 ), si u est la projection sur π parallèlement à D, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 8

9 précédent section suivant alors la matrice de u est la matrice A = On a calculé les valeurs propres et vecteurs propres de cette matrice dans le paragraphe Valeur et vecteur propres d une matrice. On a trouvé λ 1 = 1, Y 1 = α β 0, λ 2 = 0, Y 2 = 0 0 γ Lien entre les valeurs propres d une matrice et celles d un endomorphisme D autre part, comme on l a vu dans l exercice A.1.2, les vecteurs du plan sont des vecteurs propres de u associés à la valeur propre 1 et les vecteurs de la droite sont des vecteurs propres de u associés à la valeur propre 0. On retrouve bien les mêmes valeurs propres et la correspondance entre les vecteurs propres de A et u : à Y 1 correspond y 1 = α e 1 + β e 2 ; y 1 est bien un vecteur du plan π, à Y 2 correspond y 2 = γ e 3 ; y 2 est bien un vecteur de la droite D. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 9

10 précédent section suivant Polynôme caractéristique Exercices : Exercice A.1.5 Cours : Valeur et vecteur propres d une matrice On a vu dans l exemple B.1.2 que le calcul des valeurs propres se fait en cherchant les valeurs de λ qui annulent le déterminant de la matrice A λi. D une façon plus générale, on peut définir : Définition On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme Π A (s) = det (si A). Le polynôme caractéristique de A est de degré n et, plus précisement, il est de la forme : Π A (s) = s n + α 1 s n 1 + α 2 s n α n 1 s + α n. En effet, si A est la matrice si A = s a 11 a a 1i... a 1n a 21 s a a 2i... a 2n a i 1 a i 2... s a i i... a i n a n1 a n2... a ni... s a nn 10 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents

11 précédent section suivant et donc il est clair que le terme de plus haut degré du déterminant de si A est s n. Par ailleurs α n = Π A (0) = det ( A) = ( 1) n det (A). (4.1.3) Polynôme caractéristique Le calcul des valeurs propres se fait à l aide de la proposition suivante : Proposition Une condition nécessaire et suffisante pour que λ soit valeur propre de A est qu elle soit racine du polynôme caractéristique, c est-à-dire : det (λi A) = 0. (4.1.4) Démonstration C est immédiat. En effet, si l on reprend la définition on a : λ est valeur propre dea Y 0 (λi A)Y = 0 Ker (λi A) 0 λi A n est pas inversible det (λi A) = 0. Il suffit de reprendre les propriétés d une matrice carrée vues dans les chapitres précédents. Définition On dit que λ est une valeur propre de A de multiplicité r si λ est racine de multiplicité r du polynôme caractéristique Π A. Lorsque r = 1, on dit que la valeur propre est simple, lorsque r = 2, on dit que la valeur propre est double, lorsque r = 3, on dit que la valeur propre est triple. Pratiquement : Pour déterminer les valeurs propres d une matrice, on calcule le polynôme caractéristique Π A (s) = det (si A). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 11

12 précédent section suivant Ses racines λ i sont les valeurs propres de la matrice. Il est équivalent de chercher les racines du polynôme det (A si ). Pourquoi? La recherche des vecteurs propres se fait en résolvant alors le système AY i = λ i Y i : Polynôme caractéristique Exemple : Soit la matrice alors donc ( 5 2 A = 2 2 ), ( s 5 2 si A = 2 s 2 ) π A (s) = det (si A) = (s 5)(s 2) 4 = s 2 7s + 6 = (s 1)(s 6). On obtient donc 2 valeurs propres simples réelles λ = 1 et λ = 6, on détermine les vecteurs propres associés : λ = 1, { (A λi )Y = 0 Y 0 λ = 6, { (A λi )Y = 0 Y 0 4y 1 + 2y 2 = 0 2y 1 + y 2 = 0 (y 1, y 2 ) (0,0) y 1 + 2y 2 = 0 2y 1 4y 2 = 0 (y 1, y 2 ) (0,0) { y2 = 2y 1 (y 1, y 2 ) (0,0) { y1 = 2y 2 (y 1, y 2 ) (0,0) ( 1 Y = α 2 α IR ( ) 2 Y = β 1 β IR. ) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 12

13 précédent section suivant On constate sur cet exemple toutes les propriétés qui ont été énoncées : π A est un polynôme de degré 2, il existe toujours une infinité de vecteurs propres associés à une valeur propre donnée. Il est IMPOSSIBLE que le calcul de vecteurs propres conduise à la solution unique y 1 = y 2 = 0. Si λ est une valeur propre de A, et si les calculs sont corrects, alors on trouve TOUJOURS des vecteurs non nuls solutions de AY = λy. Polynôme caractéristique Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13

14 précédent section suivant Valeurs propres et matrices particulières Exercices : Exercice A.1.6 Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 Proposition Si A M n,n est une matrice triangulaire, alors les valeurs propres de A sont les termes diagonaux de A. Démontrer cette propriété en exercice. Proposition Si A M n,n (C), alors : λ valeur propre de A λ valeur propre de Ā (avec la même multiplicité). 2. Si A M n,n (IR), alors : λ valeur propre de A Démontrer cette propriété en exercice. λ valeur propre de A (avec la même multiplicité). Proposition Si A M n,n, alors A et A T ont les mêmes polynômes caractéristiques et donc elles ont les mêmes valeurs propres avec la même multiplicité. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 14

15 précédent section suivant Démonstration On a vu dans le chapitre sur les déterminants que, pour toute matrice B, det B = det B T, on a donc det (si A) = det (si A) T = det (si A T ). Les deux matrices A et A T ont le même polynôme caractéristique, elles ont donc les mêmes valeurs propres avec la même multiplicité. Valeurs propres et matrices particulières Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 15

16 précédent section Valeurs propres et matrices semblables Exercices : Exercice A.1.9 On peut commencer par traiter l exercice avant de voir sa généralisation. Proposition Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique donc deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Démonstration Si A et B sont des matrices semblables, alors il existe une matrice inversible P telle que B = P 1 AP. Or et donc si B = si P 1 AP = sp 1 P P 1 AP = P 1 (si A)P Donc Π A = Π B. det (si B) = det (P 1 (si A)P) = det P 1 det (si A)det (P) = 1 det (si A)det P = det (si A). det P Attention! Si A et B sont semblables, elles ont les mêmes valeurs propres mais elles n ont pas les mêmes vecteurs propres. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 16

17 précédent section En effet, si (λ,y ) est un couple propre de A, alors AY = λy (4.1.5) or, A = PBP 1, donc PBP 1 Y = λy. (4.1.6) Valeurs propres et matrices semblables On multiplie (4.1.6) à gauche par P 1, et on obtient Si on pose Z = P 1 Y, on a B Z = λz. (P 1 )PBP 1 Y = (P 1 )λy BP 1 Y = λp 1 Y. (4.1.7) De plus, Y 0 et P 1 inversible donc Ker P 1 = {0}. Donc Y Ker P 1 et Z 0. Donc Z est un vecteur propre de B associé à la valeur propre λ (ceci démontre à nouveau que λ est valeur propre de B). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 17

18 section précédente chapitre section suivante 4.2 Matrices à coefficients complexes Existence et multiplicité des valeurs propres Valeurs propres, trace et déterminant Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 18

19 section suivant Existence et multiplicité des valeurs propres Exercices : Exercice A.1.10 Exercice A.1.11 Dans ce paragraphe, K = C. On étudie le cas le plus général des matrices à coefficients complexes. IR C, donc les matrices à coefficients réels sont des matrices à coefficients complexes. Pour ces matrices, on étudiera les valeurs propres et vecteurs propres complexes car, comme on l a vu, les valeurs propres et vecteurs propres de ces matrices ne sont pas toujours réels (revoir l exemple B.1.2 de la rotation). Les valeurs propres de la matrice A sont les racines du polynôme caractéristique de A. Puisque K = C, l existence et le nombre de valeurs propres d une matrice est une conséquence du théorème de d Alembert : Théorème de d Alembert - Un polynôme de degré n à coefficients réels ou complexes admet n racines dans C, chacune de ces racines étant comptée avec sa multiplicité. Sommaire Concepts Le polynôme Π A (s) peut donc s écrire sous la forme p Π A (s) = (s λ i ) r i i=1 Exemples Exercices Documents 19

20 section suivant où λ 1,λ 2,...,λ p sont les p racines distinctes du polynôme caractéristique (λ i λ j pour i j ), r i est la multiplicité de la racine λ i. p D après le théorème de d Alembert on a r i = n. On a donc la proposition suivante : i=1 Existence et multiplicité des valeurs propres Proposition Si A est une matrice appartenant à M n,n (C) qui admet p valeurs propres complexes distinctes notées λ 1,...,λ p, si l on note r i la multiplicité de λ i, alors p r i = n. i=1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 20

21 précédent section Valeurs propres, trace et déterminant Exercices : Exercice A.1.12 On va maintenant donner une autre façon de noter les valeurs propres. Prenons un exemple, on suppose que la matrice A M 7,7 (C) admet 3 valeurs propres distinctes : λ 1 valeur propre double, λ 2 valeur propre simple, λ 3 valeur propre de multiplicité 4. Avec les notations précédentes, on a : n = 7, p = 3,r 1 = 2,r 2 = 1,r 3 = 4. On définit maintenant µ 1 = µ 2 = λ 1, µ 3 = λ 2, µ 4 = µ 5 = µ 6 = µ 7 = λ 3. On dit que µ i,i = 1,...,7 sont les 7 valeurs propres distinctes ou confondues de A. p n On a bien sûr (s λ i ) r i = (s µ i ). i=1 i=1 Avec la notation précédente, la proposition peut s énoncer : Une matrice A appartenant à M n,n (C) admet n valeurs propres complexes distinctes ou confondues µ i,i = 1,...,n. La relation entre les coefficients d un polynôme et ses racines donne la proposition : Proposition Si A M n,n (C) et si µ 1,...,µ n sont ses valeurs propres complexes (distinctes ou confondues), alors Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 21

22 précédent section la trace de A est égale à la somme de ses valeurs propres : n n tracea = a i i = µ i, i=1 i=1 Valeurs propres, trace et déterminant le déterminant de A est égal au produit de ses valeurs propres : Démonstration det (A) = n µ i. i=1 Π A (s) = det (si A) = (s µ 1 )(s µ 2 )...(s µ n ). (4.2.1) Le coefficient de s n 1 dans det (si A) est n i=1 a i i car, dans le calcul du déterminant, seul le produit des éléments de la diagonale de si A donne un terme en s n 1. D autre part, le coefficient de s n 1 dans (s µ 1 )(s µ 2 )...(s µ n ) est n i=1 µ i. On a vu dans l équation (4.1.3) que Π A (0) = ( 1) n det (A). D autre part, Π A (0) = (0 µ 1 )(0 µ 2 )...(0 µ n ) = ( 1) n n i=1 µ i, ce qui démontre la deuxième propriété. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 22

23 section précédente chapitre section suivante 4.3 Sous-espace propre Définition du sous-espace propre Somme directe des sous espaces propres Multiplicité d une valeur propre et dimension du sous espace propre 28 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23

24 section suivant Définition du sous-espace propre Exercices : Exercice A.1.13 Exercice A.1.14 On a vu qu à une valeur propre on peut associer une infinité de vecteurs propres. Ce résultat peut être précisé de la façon suivante : Proposition Si A M nn (K ), si λ K est une valeur propre de A, si on note V λ le sousensemble de M n1 (K ) défini par alors V λ est un sous-espace vectoriel de M n1 (K ) V λ = {Y M n1 (K ) AY = λy }, Démontrer cette proposition en exercice. Définition Si λ est une valeur propre de A, on appelle sous-espace propre associé à λ le sous-espace vectoriel de M n1 (K ), noté V λ, défini par : V λ = {Y M n1 (K ) AY = λy } = Ker (A λi ). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 24

25 section suivant Le sous-espace propre V λ contient les vecteurs propres (non nuls) associés à λ et le vecteur nul. λ est une valeur propre de A, donc V λ {0}, donc dim V λ 1. Si u est un endomorphisme de E, si λ est une valeur propre de u, on peut également définir le sous-espace propre associé à λ. On a alors un sous-espace vectoriel de E : Définition du sous-espace propre Exemple : Soit la matrice A 5 = V λ = { x E,u( x) = λ x} V 1 = vect de l exercice A.1.5, alors on a, et V 2 = vect Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 25

26 précédent section suivant Somme directe des sous espaces propres Documents : Document C.1.1 Proposition Si λ 1,λ 2,...,λ p sont p valeurs propres distinctes d une matrice A appartenant à M n,n et si Y 1,Y 2,...,Y p sont p vecteurs propres associés c est à dire AY i = λ i Y i, Y i 0, alors la famille (Y 1,Y 2,...,Y p ) est libre. Démonstration Elle se fait par récurrence sur p. p = 1, il est évident que la famille (Y 1 ) est libre puisque un vecteur propre est non nul par définition. On suppose que la famille (Y 1,Y 2,...,Y p 1 ) est libre. On va démontrer par l absurde que la famille (Y 1,Y 2,...,Y p ) est libre. On suppose que (Y 1,Y 2,...,Y p ) est liée, alors, d après le chapitre 1, Y p est combinaison linéaire de (Y 1,Y 2,...,Y p 1 ). p 1 Y p = α i Y i i=1 On multiplie par la matrice A, puis on remarque que les vecteurs Y 1,Y 2,...,Y p sont des vecteurs propres : p 1 AY p = i=1 p 1 α i AY i λ p i=1 p 1 α i Y i = i=1 p 1 α i λ i Y i i=1 α i (λ i λ p )Y i = 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 26

27 précédent section suivant Or la famille (Y 1,Y 2,...,Y p 1 ) est libre donc α i (λ i λ p ) = 0 i = 1,..., p 1. Or les valeurs propres sont toutes distinctes, donc λ i λ p 0 donc α i = 0 pour tout i = 1,..., p 1. On a donc Y p = 0, ce qui impossible puisque Y p est un vecteur propre. On vient de démontrer par l absurde que la famille (Y 1,Y 2,...,Y p ) est donc libre. Somme directe des sous espaces propres Proposition Si λ 1,λ 2,...,λ p sont p valeurs propres distinctes d une matrice A appartenant à M n,n, alors les sous-espaces vectoriels V λ1,v λ2,...,v λp sont en somme directe. La démonstration de la proposition précédente est proposée en document. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 27

28 précédent section Multiplicité d une valeur propre et dimension du sous espace propre Exercices : Exercice A.1.15 Documents : Document C.1.2 Proposition Si λ est une valeur propre de A, si V λ est le sous-espace propre, si r est la multiplicité de λ et si d est la dimension de V λ, alors d r. Vous pouvez lire la démonstration de cette proposition en document. Exemple 1 : On définit la matrice ( 1 1 A = 0 1 Cette matrice est triangulaire supérieure donc ses valeurs propres sont les termes diagonaux. λ = 1 est donc valeur propre double et r = 2. Après calcul, on trouve donc dim V 1 = d = 1, on a donc d < r. ( 1 V 1 = vect < 0 ). ) > Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 28

29 précédent section Exemple 2 : La matrice identité a pour valeur propre double λ = 1 donc r = 2. ( 1 0 I = 0 1 De plus V 1 = M 21 en effet Y M 21, I Y = Y! Donc dim V 1 = d = 2. Ici, on a donc d = r. Proposition Si A M nn (K ), si λ 1,...,λ p sont les p valeurs propres distinctes appartenant à K, si d 1,...,d p sont les dimensions des sous-espaces propres V λ1,v λ2,...,v λp. alors ) Multiplicité d une valeur propre et dimension du sous espace propre p d i n. i=1 Démonstration Si on note r 1,r 2,...,r p les multiplicités des valeurs propres, on a p i=1 d i p i=1 r i. Or les valeurs propres sont les racines dans K du polynôme caractéristique. Ce polynôme est toujours de degré n, donc il admet n racines dans C et au plus n racines dans IR. Donc on a toujours p i=1 r i n. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 29

30 section précédente chapitre section suivante 4.4 Réduction d une matrice Définition de la diagonalisation Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation Condition suffisante de diagonalisation Trigonalisation d une matrice Applications de la diagonalisation Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 30

31 section suivant Définition de la diagonalisation Exercices : Exercice A.1.16 Définition On dit que la matrice A M n,n est diagonalisable dans K s il existe une matrice D M n,n (K ) diagonale et une matrice P M n,n (K ) inversible telles que A = PDP 1 ou, ce qui est équivalent, D = P 1 AP. Les matrices A et D sont semblables, donc elles ont les mêmes valeurs propres µ 1,...,µ n : ce sont les éléments de la diagonale de D. Donc D autre part Si on note Y 1,Y 2,...,Y n les colonnes de P, on a µ D = µ n D = P 1 AP AP = PD, AP = PD i = 1,2,...,n, AY i = µ i Y i. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 31

32 section suivant Démontrer cette équivalence. P est inversible, donc ses colonnes sont non nulles donc Y i 0. Donc les colonnes Y i de P sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres µ i. Définition de la diagonalisation Une matrice A diagonale appartenant à M n,n (K ) est diagonalisable dans K : il suffit de choisir D = A, P = I. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 32

33 précédent section suivant Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation Documents : Document C.1.3 Cours : Diagonalisation - définition Théorème A M n,n (K ) est diagonalisable dans K si et seulement si il existe une base de M n,1 (K ) constituée de vecteurs propres de A, c est-à-dire une base B = (Y 1,Y 2,...,Y n ) de M n,1 (K ) telle que AY i = µ i Y i, µ i K. Démonstration Dans toute cette démonstration les matrices ou vecteurs sont à coefficients dans K. A est diagonalisable il existe D diagonale, il existe P inversible qui vérifient D = P 1 AP il existe D diagonale, il existe P inversible qui vérifient PD = AP il existe une base (Y 1...Y n ) de M n,1 (K ) dont les vecteurs vérifient AY i = µ i Y i il existe une base de M n,1 (K ) constituée de vecteurs propres de A. Bien-sûr, dans la démonstration précédente, les Y i sont les colonnes de P et les µ i sont les termes diagonaux de D. On a déjà utilisé cette notation dans le paragraphe Diagonalisation-définition Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 33

34 précédent section suivant Théorème A M n,n est diagonalisable dans K si et seulement si elle admet p valeurs propres distinctes dans K vérifiant p r i = n et d i = r i i = 1...p i=1 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation ou, ce qui est équivalent, p d i = n i=1 (r i est la multiplicité de λ i, d i est la dimension du sous-espace propre associé à λ i ). p On peut remarquer que, si K = C, la condition r i = n est toujours vérifiée. La démonstration de ce théorème est proposée en document. i=1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 34

35 précédent section suivant Condition suffisante de diagonalisation Exercices : Exercice A.1.17 Proposition Si A appartient à M n,n (K ) et si A admet n valeurs propres distinctes (donc simples) dans K alors A est diagonalisable dans K Démonstration A admet n valeurs propres distinctes dans K. Or A admet au plus n valeurs propres comptées avec leur multiplicité, donc les valeurs propres sont simples : n r 1 = r 2 =... = r n = 1, donc r i = n. D autre part V λi {0} donc d i 1. i=1 De plus d i r i = 1, donc d i = r i = 1. On peut donc appliquer le théorème Sommaire Concepts Cette condition suffisante n est pas nécessaire. En effet, la matrice identité I a pour valeur propre 1, de multiplicité n, et pourtant I est diagonale (et donc diagonalisable!). Exemples Exercices Documents 35

36 précédent section suivant Attention! Une matrice peut être diagonalisable dans C et pas diagonalisable dans IR. Par exemple si A est la matrice de la rotation d angle θ kπ dans le plan, alors A n est pas diagonalisable dans IR car elle n a pas de valeurs propres réelles. Par contre elle est diagonalisable dans C, puisqu elle admet 2 valeurs propres complexes distinctes. Condition suffisante de diagonalisation Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 36

37 précédent section suivant Trigonalisation d une matrice Documents : Document C.1.4 Cours : Multiplicité d une valeur propre et dimension du sous espace propre Il existe des matrices qui ne sont pas diagonalisables. Par exemple, la matrice ( 1 1 A = 0 1 est triangulaire supérieure, elle admet une seule valeur propre λ = 1 qui est double : µ 1 = µ 2 = 1. Si A était diagonalisable alors elle serait semblable à la matrice identité et on aurait A = PI P 1 = I! Ceci est faux, donc A n est pas diagonalisable ( ni dans IR, ni dans C). ) Autre démonstration : on a étudié cette matrice dans le cours référencé et on a montré que d = 1,r = 2 donc d < r. Donc la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation n est pas vérifiée, donc la matrice A n est pas diagonalisable! Quand on ne peut pas diagonaliser une matrice, on peut chercher une autre forme de matrice semblable, par exemple une matrice T triangulaire supérieure. Théorème Toute matrice A M n,n (C) est semblable à une matrice triangulaire supérieure T M n,n (C). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 37

38 précédent section suivant La démonstration de ce théorème est donnée en document. On peut citer un autre théorème en remplaçant triangulaire supérieure par triangulaire inférieure. Trigonalisation d une matrice La trigonalisation d une matrice A, c est-à-dire la recherche d une matrice triangulaire semblable à A, nécessite la connaissance de toutes les valeurs propres de A, ce qui est coûteux numériquement. C est donc une opération que l on évite de faire effectivement. Mais, sur le plan mathématique, cela est très important, comme on le verra plus tard. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 38

39 précédent section Applications de la diagonalisation Parmi les applications de la réduction de matrices, on peut en citer deux : Calcul de la puissance d une matrice Si A M n,n (K ) est diagonalisable dans K, alors il existe une matrice diagonale D = µ µ n et une matrice inversible P telles que A = PDP 1. On peut montrer facilement que A k = PD k P 1 avec D k = µ k µ k n Sommaire Concepts Résolution d un système de suites récurrentes Exemples Exercices Documents 39

40 précédent section (u n ) et (v n ) sont deux suites réelles définies par : u 0, v 0 donnés u n+1 = a 11 u n + a 12 v n,n N v n+1 = a 21 u n + a 22 v n,n N Applications de la diagonalisation On pose Dans ce cas, le système précédent s écrit : ( un X n = v n ). avec X n+1 = AX n ( a11 a 12 A = a 21 a 22 ). On a alors X n = A n X 0 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 40

41 section précédente chapitre 4.5 Compléments Théorème de Cayley-Hamilton Formes de Jordan Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 41

42 section suivant Théorème de Cayley-Hamilton Exercices : Exercice A.1.18 Exercice A.1.19 Préliminaire : Si A est une matrice carrée, A M n,n (K ), on peut définir ses puissances successives A 2, A 3,... Si π est un polynôme à coefficients dans K donné par : on peut alors définir la matrice carrée π(s) = s n + c 1 s n 1 + c 2 s n c n 1 s + c n, π(a) = A n + c 1 A n 1 + c 2 A n c n 1 A + c n I. La matrice π(a) commute avec A, c est à dire A π(a) = π(a) A. En effet, le produit matriciel est distributif par rapport à la somme et, de plus, A commute avec A k, c est à dire A A k = A k A = A k+1. Théorème Si A appartient à M n,n (K ), si π A est son polynôme caractéristique noté Sommaire Concepts alors π A (s) = s n + α 1 s n α n 1 s + α n, π A (A) = A n + α 1 A n α n 1 A + α n I = 0. Exemples Exercices Documents 42

43 section suivant Remarque : Une des conséquences de ce théorème est que A n = α 1 A n 1 α n 1 A α n I et donc, pour tout k tel que k n, A k peut s écrire comme une combinaison linéaire de I, A,... A n 1. Théorème de Cayley- Hamilton Démonstration.- On ne va pas donner la démonstration de ce théorème dans le cas général,mais seulement dans le cas particulier où A est diagonalisable dans K. On suppose donc qu il existe une base (Y 1,...,Y n ) de M n,1 (K ) constituée de vecteurs propres de A. D après l exercice A.1.18, une matrice B appartenant à M nn (K ) est nulle si et seulement si, i = 1,...,n, BY i = 0. On applique ce résultat à la matrice π A (A). On va donc montrer que pour i = 1,...,n on a : (A n + α 1 A n α n 1 A + α n I )Y i = 0. (4.5.1) (µ i,y i ) est un couple propre de A, on a donc pour tout k = 1,2,...,n A k Y i = A k 1 (AY i ) = µ i A k 1 Y i = µ 2 i Ak 2 Y i = = µ k i Y i. On a donc : (A n + α 1 A n α n 1 A + α n I )Y i = A n Y i + α 1 A n 1 Y i +...α n 1 AY i + α n Y i = µ n i Y i + α 1 µ n 1 i Y i +...α n 1 µ i Y i + α n Y i = (µ n i + α 1µ n 1 i +...α n 1 µ i + α n )Y i = π A (µ i )Y i = 0Y i = 0. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 43

44 section suivant En effet, µ i est racine du polynôme caractéristique π A, donc π A (µ i ) = 0. On vient donc d établir la relation et le théorème est démontré dans le cas particulier d une matrice diagonalisable. ( Exemple : Soit A = ). Son polynôme caractéristique est Théorème de Cayley- Hamilton π A (s) = (s 2) = s 2 4s + 5. Calculons A 2 : On a bien : ( π A (A) = ) ( 4 ( A 2 = ). ) ( ) ( 0 0 = 0 0 ) = 0. Le théorème de Cayley-Hamilton permet aussi de calculer l inverse d une matrice. Dans l exemple précédent, A 2 4A + 5I = 0, donc et donc 1 A( A + 4I ) = I 5 A 1 = 1 ( A + 4I ). 5 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 44

45 précédent section Formes de Jordan Cours : Trigonalisation d une matrice On a démontré dans le cours référencé que toute matrice carrée A était semblable à une matrice triangulaire. En fait, on peut même obtenir une forme triangulaire supérieure particulière appelée forme de Jordan de la matrice A. On appelle bloc de Jordan associé à la valeur propre λ de A, une matrice carrée J λ de la forme : λ λ λ J λ = λ λ La matrice triangulaire supérieure J λ a une taille qui dépend de la valeur propre λ de A. Cette matrice est telle que : tous ses éléments diagonaux sont égaux et valent λ, seule la première sur-diagonale est non-nulle et ses éléments valent 1.. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 45

46 précédent section Il est alors possible de montrer que A est semblable à une matrice J de la forme : J λ J λ J = Formes de Jordan J λm La matrice J est donc une matrice diagonale par blocs. Les blocs de Jordan J λk ont une taille que l on peut déterminer théoriquement. Les valeurs propres λ 1,...,λ m étant distinctes ou non (évidemment, si v k est la taille de la matrice J λk, on a m k=1 v k = n). Cela veut dire qu à une valeur propre on peut associer plusieurs blocs de Jordan de tailles diverses. Si la valeur λ est simple, alors le bloc de Jordan associé est réduit à une matrice 1 1 qui est donc la valeur propre elle-même! Exemple de forme de Jordan : Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 46

47 précédent section Voici un exemple de forme de Jordan. On suppose que λ 1,λ 2,...,λ 5 sont distinctes. : A = λ λ λ λ 1 λ λ λ 2 λ λ 2 λ λ 3 λ 4 λ 4 λ 5 Formes de Jordan Pour plus de lisibilité, les termes nuls ne sont pas indiqués. Dans ce cas, on a n = 14 : taille de la matrice A. m = 7 : nombre de blocs de Jordan. Sommaire Concepts A a 5 valeurs propres distinctes : λ 1 de multiplicité 4, λ 2 de multiplicité 5, λ 3 double, λ 4 double, λ 5 simple. Exemples Exercices Documents 47

48 précédent section Si A est semblable à A, alors A = PA P 1. A admet les mêmes valeurs propres avec la même multiplicité. En utilisant les propriétés du produit matriciel, on peut montrer facilement que P 1, la première colonne de P, est vecteur propre de A associé à λ 1, P 5, et P 8 sont vecteurs propres de A associé à λ 2, P 10 est vecteur propre de A associé à λ 3, P 12 et P 13 sont vecteurs propres de A associé à λ 4, P 14 est vecteur propre de A associé à λ 5. Formes de Jordan On peut en déduire que d 1 1,d 2 2,d 3 1,d 4 2,d 5 1. On peut montrer (admis) que la dimension de chacun des sous-espaces propres vaut d 1 = 1,d 2 = 2,d 3 = 1,d 4 = 2,d 5 = 1. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 48

49 précédent suivant Annexe A Exercices A.1 Exercices du chapitre A.2 Exercices de TD Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 49

50 chapitre section suivante A.1 Exercices du chapitre 4 A.1.1 Ch4-Exercice A.1.2 Ch4-Exercice A.1.3 Ch4-Exercice A.1.4 Ch4-Exercice A.1.5 Ch4-Exercice A.1.6 Ch4-Exercice A.1.7 Ch4-Exercice A.1.8 Ch4-Exercice A.1.9 Ch4-Exercice A.1.10 Ch4-Exercice A.1.11 Ch4-Exercice A.1.12 Ch4-Exercice A.1.13 Ch4-Exercice A.1.14 Ch4-Exercice A.1.15 Ch4-Exercice A.1.16 Ch4-Exercice A.1.17 Ch4-Exercice A.1.18 Ch4-Exercice A.1.19 Ch4-Exercice Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 50

51 section suivant Exercice A.1.1 Ch4-Exercice1 Quels sont les vecteurs propres de l application identité? Préciser les valeurs propres associées. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 51

52 précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch4-Exercice2 On demande de répondre à cet exercice de façon intuitive, on verra plus loin comment l aborder de façon plus systématique : Si u est la projection de l espace sur un plan parallèlement à une droite, citer des vecteurs propres de u et les valeurs propres associées. Si u est la rotation du plan d angle α : quand α = π, citer des vecteurs du plan qui soient vecteurs propres de u, préciser les valeurs propres associées, quand α = π 3, pouvez-vous citer des vecteurs du plan qui soient vecteurs propres de u? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 52

53 précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch4-Exercice3 Montrer que si Y, est vecteur propre de A, alors αy est vecteur propre de A (pour tout α K non nul). Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 53

54 précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch4-Exercice4 1. Soit I la matrice identité de M n,n, déterminer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. 2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de la matrice A = Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible 0 est valeur propre de A.. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 54

55 précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch4-Exercice5 Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres réels (K = IR) des matrices : ( ) ( ) ( ) ( ) A 1 =, A 2 =, A 3 =, A 4 =, A 5 = 0 1 0, A 6 = 0 1 0, A 7 = Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres complexes (K = C) des matrices précédentes ( ) 1 1 puis de la matrice :A 8 =. i + 1 2i Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 55

56 précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch4-Exercice6 Démontrer la propriété suivante : si A M n,n est une matrice triangulaire ses valeurs propres sont ses termes diagonaux. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 56

57 précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch4-Exercice7 Démontrer les propriétés suivantes : si A M n,n : 1. {λ valeur propre de A} { λ valeur propre de Ā} ( avec la même multiplicité). 2. Si A M n,n (IR), alors : {λ valeur propre de A} { λ valeur propre de A ( avec la même multiplicité) }. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 57

58 précédent section suivant Exercice A.1.8 Ch4-Exercice8 Les matrices A et A T ont-elles les mêmes vecteurs propres? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 58

59 précédent section suivant Exercice A.1.9 Ch4-Exercice9 ( 5 2 Soient A = 2 2 ) ( 1 2, P = 2 5 ) ( 5 2. On peut vérifier que P 1 = 2 1 ). On définit B = P 1 AP, calculer B, ses valeurs propres et ses vecteurs propres, comparer avec ceux de A. Qu en pensezvous? Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 59

60 précédent section suivant Exercice A.1.10 Ch4-Exercice10 Vérifier sur les matrices de l exercice A.1.5 que p i=1 r i = n (notations de la proposition 4.2.1). retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 60

61 précédent section suivant Exercice A.1.11 Ch4-Exercice11 Pour chacune des affirmations suivantes répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre réponse à l aide de démonstrations, d exemples ou de contre-exemples selon le cas. 1. Toute matrice A M 2,2 (IR) admet 2 valeurs propres réelles. 2. Il existe des matrices A M 2,2 (IR) qui admettent 2 valeurs propres réelles. 3. Il existe des matrices A M 2,2 (C) qui admettent 2 valeurs propres réelles. 4. Toute matrice A M 2,2 (IR) admet 2 valeurs propres complexes distinctes ou non. 5. Il existe des matrices A M 2,2 (IR) qui admettent 1 valeur propre réelle et 1 valeur propre complexe non réelle. 6. Il existe des matrices A M 2,2 (IR) qui admettent 1 seule valeur propre réelle simple. 7. Il existe des matrices A M 3,3 (IR) qui n admettent pas de valeur propre réelle. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 61

62 précédent section suivant Exercice A.1.12 Ch4-Exercice12 Vérifier sur les matrices de l exercice A.1.5 que la trace d une matrice est la somme de ses valeurs propres et que son déterminant est le produit de ses valeurs propres. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 62

63 précédent section suivant Exercice A.1.13 Ch4-Exercice13 On définit : : V λ = {Y M n1 AY = λy }. montrer que : V λ est un sous espace vectoriel de M n1 Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 63

64 précédent section suivant Exercice A.1.14 Ch4-Exercice14 Soit A la matrice définie par : A = Reprendre les calculs qui ont déja été faits dans le paragraphe "Valeur et vecteur propres d une matrice" pour donner une base de V 0 et V 1.. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 64

65 précédent section suivant Exercice A.1.15 Ch4-Exercice15 Reprendre les matrices de l exercice A.1.5 dans le cas K = C. Pour chacune d elles, donner la multiplicité r i de chacune de ses valeurs propres λ i et préciser la dimension d i du sous espace propre V λi. Vérifier l inégalité entre r i et d i. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 65

66 précédent section suivant Exercice A.1.16 Ch4-Exercice16 Montrer que si A = PDP 1 où la matrice D est diagonale, alors les colonnes de P sont vecteurs propres de A, les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 66

67 précédent section suivant Exercice A.1.17 Ch4-Exercice17 Les matrices de l exercice A.1.5 sont-elles diagonalisables dans IR, dans C? Si oui, donner une matrice D diagonale et une matrice P régulière telle que D = P 1 AP. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 67

68 précédent section suivant Exercice A.1.18 Ch4-Exercice18 Soit B M n,n et soit X M n,1 (vecteur non nul), est-ce que B X = 0 = B = 0? Montrer que si (X 1,..., X n ) est une base de M n,1, alors B X i = 0, i = 1,...,n = B = 0. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 68

69 précédent section Exercice A.1.19 Ch4-Exercice19 Soit A M n,n (K ) telle que π A (s) = s n 1 Donner A 1 en fonction de A. retour au cours Solution Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 69

70 section précédente chapitre A.2 Exercices de TD A.2.1 TD4-Exercice A.2.2 TD4-Exercice A.2.3 TD4-Exercice A.2.4 TD4-Exercice A.2.5 TD4-Exercice A.2.6 TD4-Exercice A.2.7 TD4-Exercice A.2.8 TD4-Exercice A.2.9 TD4-Exercice A.2.10 TD4-Exercice A.2.11 TD4-Exercice Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 70

71 section suivant Exercice A.2.1 TD4-Exercice1 1. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres réels, puis complexes, des matrices : A 1 = , A 2 = , A 3 = Déterminer, suivant la valeur de a, les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice : 1 a A 4 = (4 + a) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de : ( A1 0 A 5 = 0 A 2 ). Sommaire Concepts réponses : 1. (a) λ 0 = 0,λ 1 = 1,λ 2 = 2, Y 0 = α 4 3 2,Y 1 = β 4 0 1,Y 2 = γ Exemples Exercices Documents 71

72 section suivant (b) λ 1 = 1,λ 2 = 2, Y 1 = α 1 1 1,Y 2 = β (c) λ 1 = 0,λ 2 = 1 + j,λ 3 = 1 + j 2, 1 1 Y 1 = α 1 1,Y 2 = β j j 2,Y 3 = γ 2. λ = 1. Si a = 0, Y = α Si a 0, Y = α β + β γ j 2 j γ Exercice A.2.1 TD4-Exercice1 Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 72

73 précédent section suivant Exercice A.2.2 TD4-Exercice2 Soit A M n,n (IR) : A = α n α n 1 α 1 1. Quel est le polynôme caractéristique de la matrice A? 2. Si λ est valeur propre de A, déterminer les vecteurs propres correspondants. Question 1 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 73

74 précédent section suivant Exercice A.2.3 TD4-Exercice3 Si (λ,y ) est un couple propre de la matrice A, donner un couple propre de la matrice A + αi. Si (λ,y ) est un couple propre de la matrice A, donner un couple propre de la matrice A 2. Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 74

75 précédent section suivant Exercice A.2.4 TD4-Exercice4 Soit A M n,n (IR). 1. (a) Montrer que si A 2 + I = 0, alors A n admet aucune valeur propre réelle. (b) Donner une matrice A M 2,2 (IR) vérifiant A 2 = I. 2. Montrer qu il n existe aucune matrice appartenant à M 3,3 (IR) telle que A 2 + I = 0. Question 1a Aide 1 Aide 2 Question 1b Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 75

76 précédent section suivant Exercice A.2.5 TD4-Exercice5 1. Soient 2 matrices A et B appartenant à M n,n. (a) Montrer que si 0 est valeur propre de AB alors 0 est valeur propre de B A. (b) Montrer que AB et B A ont les mêmes valeurs propres. 2. Soient 2 matrices A et B appartenant respectivement à M n,m et M m,n. Soit λ une valeur propre non nulle de AB. On note V λ le sous espace propre correspondant. (a) Montrer que λ est valeur propre de B A. On note W λ le sous-espace propre correspondant. (b) Soit (Y 1,Y 2,...,Y p ) une base de V λ, montrer que (BY 1,BY 2,...,BY p ) est une famille libre. (c) En déduire que dim V λ dim W λ. (d) En déduire que dim V λ = dim W λ On définit X = 1 1,Y = 0 1,C = X Y T. Calculer X T Y. Calculer les valeurs et vecteurs propres de C. Les résultats obtenus dans cette question peuvent être généralisés, c est ce que l on verra à la question suivante. 4. Soient 2 vecteurs colonnes non nuls X et Y appartenant à M n,1 avec n > 1. (a) Montrer que 0 est valeur propre de X Y T. Quelle est la dimension de V 0? En déduire une inégalité sur la multiplicité de la valeur propre 0. (b) On suppose que X T Y 0, en déduire une autre valeur propre de X Y T. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 76

77 précédent section suivant 5. Soit A une matrice de rang 1 appartenant à M n,n avec n > 1. (a) On suppose que la trace de A est différente de 0, déterminer toutes les valeurs propres de A et leur multiplicité. (b) On suppose que la trace de A est nulle. Quelles sont toutes les valeurs propres de A et leur multiplicité? (c) A quelle condition la matrice A est-elle diagonalisable? Exercice A.2.5 TD4-Exercice5 Question 1a Aide 1 Aide 2 Question 1b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2a Aide 1 Question 2b Aide 1 Aide 2 Question 2c Aide 1 Question 2d Aide 1 Question 3 Aide 1 Question 4a Aide 1 Aide 2 Question 4b Aide 1 Aide 2 Question 5a Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 5b Aide 1 Aide 2 Question 5c Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 77

78 précédent section suivant Exercice A.2.6 TD4-Exercice6 ( ) 2 2 Soit A = et f l application définie par f (x) = Ax, x M 2,1 (IR) Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de A. Montrer qu il existe une base de M 2,1 (IR) constituée de vecteurs propres de A. Donner la matrice  associée à f quand on choisit cette base. ( 2 Réponse : λ 1 = 1,λ 2 = 4,Y 1 = α 1 ) ( 1,Y 2 = α 1 2. Montrer que si A = P ÂP 1, alors A n = P  n P 1,(n 0). Donner A n en fonction de n. ( ( 4) Réponse : A n = 1 n + 2( 1) n 2( 4) n + 2( 1) n ) 3 ( 4) n + ( 1) n 2( 4) n + ( 1) n. 3. La relation précédente est-elle encore valable pour n = 1? 4. On considère les suites réelles (v n ) et (w n ) définies par : w 0 IR, v 0 IR, v n+1 = 2v n + 2w n, w n+1 = v n 3w n. Exprimer v n+1 et w n+1 à l aide v 0, w 0 et n. 5. On considère la suite réelle (u n ) définie par ). u 0 IR et u n+1 = 2u n + 2 u n 3. Exprimer u n en fonction de n et de u 0. (On écrira u n = v n w n ). On suppose que u n est défini pour tout n. La suite est-elle convergente? Si oui, donner sa limite. Réponse : oui et si u 0 = 2,l = 2, si u 0 2,l = 1. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 78

79 précédent section suivant Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Question 3 Aide 1 Question 4 Aide 1 Aide 2 Question 5 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Exercice A.2.6 TD4-Exercice6 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 79

80 précédent section suivant Exercice A.2.7 TD4-Exercice7 1. Les matrices de l exercice A.2.1 sont-elles diagonalisables dans C? réponse : A 1, A 2, A 3, A 5 : oui ; A 4 : non. 1 a 1 2. On définit A = 0 1 b, pour quelles valeurs de a,b,c la matrice A est-elle diagonalisable 0 0 c? Pour quelles valeurs de a, b, c la matrice A est-elle inversible? réponse : A est inversible c 0, A est diagonalisable c 1, a = 0. 1 a a 1 1 b a a 1 b 3. On définit A =, pour quelles valeurs de a,b la matrice A estelle b a 1 a 1 + b 0 a a 0 diagonalisable? Pour quelles valeurs de a,b la matrice A est-elle inversible? réponse : A est diagonalisable a = b = 0. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 80

81 précédent section suivant Exercice A.2.8 TD4-Exercice8 ( Sans calculs dire si la matrice A = 0 1 ) est diagonalisable. 2. Soit A M n,n qui est diagonalisable et qui admet une valeur propre de multiplicité n, que vaut A? Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 81

82 précédent section suivant Exercice A.2.9 TD4-Exercice9 Soient 2 matrices A et B appartenant à M n,n, on suppose que AB=B A. Soit λ une valeur propre de A, on note V λ le sous-espace propre associé. 1. Montrer que si Y V λ alors BY V λ. 2. On suppose maintenant que λ est de multiplicité 1, en déduire que si Y est vecteur propre de A associé à la valeur propre λ alors Y est vecteur propre de B. 3. On suppose que A admet n valeurs propres distinctes dans K. Montrer alors que A et B sont diagonalisables dans K. On montrera plus précisément qu il existe une base de M n,1 (K ) constituée de vecteurs propres communs à A et B. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 82

83 précédent section suivant Exercice A.2.10 TD4-Exercice10 Soit la matrice J appartenant à M n,n, n 2, définie par : 1. J est elle diagonalisable? J = λ λ λ λ 2. Déterminer les valeurs propres de J, leur multiplicité et la dimension du sous-espace propre associé.. Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 83

84 précédent section Exercice A.2.11 TD4-Exercice Soit la matrice A = (a) Calculer les valeurs propres de A et leur multiplicité. On ne demande pas de calculer les vecteurs propres maintenant. Réponse : λ 1 = 1,λ 2 = 2. (b) Montrer que dim Ker (A I ) = 1,dim Ker (A 2I ) = 1,dim Ker (A I ) 2 = (a) Montrer dans le cas général que Ker (A I ) Ker (A I ) 2. (b) Montrer que dans le cas particulier ici, l inclusion est stricte. On pourra donc en déduire qu il existe z vérifiant : { z Ker (A I ) 2 (c) Montrer que { z Ker (A I ) 2 z Ker (A I ) z Ker (A I ) (A I )z = y 1 où y 1 est un vecteur propre associé à 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 84

85 précédent section 3. Si y 1 est un vecteur propre de A associé à 1, si y 2 est un vecteur propre de A associé à 2, si z vérifie (A I )z = y 1. Montrer que la famille (y 1, y 2, z) est libre (penser à utiliser A I ). 4. On définit l application linéaire u de M 3,1 dans M 3,1 par u(x) = Ax (a) Quelle est la matrice de u quand on munit M 3,1 de la base canonique? (b) Quelle est la matrice de u quand on choisit la base (y 2, y 1, z)? (c) En déduire que A = PT P 1 avec T = 0 1 1, P = (y 2 y 1 z) (d) Calculer y 1, y 2, z pour obtenir P Une réponse possible :P = Utilisez le théorème de CAYLEY-HAMILTON pour calculer A 4 et A 1 en fonction de A 2, A et I. Réponse : A 4 = 11A 2 18A + 8I, A 1 = 1 2 (A2 4A + 5I ). Exercice A.2.11 TD4-Exercice11 Question 1b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2b Aide 1 Aide 2 Question 2c Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 4a Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 4b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 4c Aide 1 Question 5 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 85

86 précédent suivant Annexe B Exemples B.1 Exemples du chapitre Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 86

87 chapitre B.1 Exemples du chapitre 4 B B Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 87

88 section suivant Exemple B.1.1 Soit u L (E;E) non injective alors Ker u { 0}. Il existe donc un vecteur y non nul tel que u( y) = 0 = 0 y. Donc 0 est valeur propre et tous les vecteurs non nuls du noyau sont vecteurs propres associés à la valeur propre nulle. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 88

89 précédent section Exemple B.1.2 Soit A la matrice de la rotation plane ( cosθ sinθ A = sinθ cosθ Pour que (λ,y ) K M n1 soit un couple propre, on doit avoir ). { y1 cosθ y 2 sinθ = λy 1, y 1 sinθ + y 2 cosθ = λy 2, ou encore { y1 (cosθ λ) y 2 sinθ = 0, y 1 sinθ + y 2 (cosθ λ) = 0, Si le déterminant de ce système est non nul, la seule solution est y 1 = y 2 = 0, donc pour que ce système admette une solution non nulle, il faut que son déterminant soit nul, ce qui conduit à (cosθ λ) 2 + sin 2 θ = 0 On va donc étudier deux cas K = IR ou K = C Si K = IR, on cherche λ dans IR et dans ce cas si sinθ 0 il n y a pas de valeurs propres réelles (donc pas de vecteurs propres réels). Si θ = 2kπ,k ZZ, on obtient λ = 1, y 1, y 2 quelconques. Si θ = (2k + 1)π,k ZZ, on obtient λ = 1, y 1, y 2 quelconques. On retrouve bien le résultat intuitif que l on avait trouvé dans l exercice A.1.2 : si θ kπ, k ZZ, il n y pas de vecteurs propres réels, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 89

90 précédent section si θ = 2kπ, k ZZ, la rotation est alors l identité, donc tout vecteur non nul est propre et 1 est valeur propre, si θ = (2k + 1)π, k ZZ, la rotation est alors la symétrie, donc tout vecteur non nul est propre et 1 est valeur propre. Si K = C, on obtient 2 valeurs propres complexes possibles : Exemple B.1.2 Les vecteurs propres correspondants sont : ( ) 1 λ 1 = e iθ, Y 1 = γ, γ C, i ( ) 1 λ 2 = e iθ, Y 2 = γ, γ C. i { λ1 = cosθ + i sinθ λ 2 = cosθ i sinθ. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 90

91 précédent Annexe C Documents C.1 Documents du chapitre Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 91

92 chapitre C.1 Documents du chapitre 4 C.1.1 Démonstration de la proposition sur la somme directe des sous espaces propres C.1.2 Mutiplicité et dimension du sous espace propre C.1.3 Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante C.1.4 Trigonalisation Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 92

93 section suivant Document C.1.1 Démonstration de la proposition sur la somme directe des sous espaces propres Proposition - Si λ 1,λ 2,...,λ p sont p valeurs propres distinctes d une matrice A appartenant à M n,n alors les sous espaces vectoriels V λ1,v λ2,...,v λp sont en somme directe. Démonstration On a vu, dans le chapitre 1, la propriété caractéristique d une somme directe H = E 1 E 2 de deux sous-espaces vectoriels, à savoir que la décomposition d un élément de H en la somme d un élément de E 1 et d un élément de E 2 est unique. C est cette propriété caractéristique qui se généralise au cas d une somme directe de p sous-espaces vectoriels H = E 1 E 2... E p, à savoir H = E 1... E p { y H,! y 1 E 1,...,! y p E p y = y y p }. Revenons à la démonstration de la proposition et posons H = V λ V λp. Par définition de la somme de sous-espaces vectoriels, on a : Y H Y 1 V λ1,..., Y p V λp tels que Y = Y Y p. Il reste à démontrer l unicité d une telle décomposition. Supposons donc qu il existe deux décompositions : Y Y p = Ŷ Ŷ p (Y 1 Ŷ 1 ) (Y p Ŷ p ) = 0. Or chacun des vecteurs (Y i Ŷ i ) est un vecteur de V λi, donc c est le vecteur nul ou c est un vecteur propre associé à λ i. Si Y i Ŷ i, on aurait donc une relation linéaire entre des vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes, ce qui est impossible puisque l on a montré (proposition 4.3.2) qu une telle famille était libre. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 93

94 précédent section suivant Document C.1.2 Mutiplicité et dimension du sous espace propre Proposition C.1.1. Soit λ une valeur propre de A, on note r la multiplicité de λ et d la dimension de V λ, alors d r. Démonstration Si la dimension de V λ est d, il existe une base de V λ (Y 1,Y 2,...,Y d ). On a bien sûr AY i = λy i. On complète la famille libre (Y 1,Y 2,...,Y d ) de façon à obtenir une base de M n,1, ˆB = (Y 1,Y 2,...,Y n ). On note u l application linéaire de M n,1 dans M n,1 définie par : u(y ) = AY. La matrice de u quand on choisit la base canonique est A, la matrice de u quand on choisit la base ˆB est : λ 0 0.  = C 0 0 λ Ĉ En effet AY i = λy i, i, 1 i d, on obtient ainsi les d premières colonnes de Â, les matrices C et Ĉ sont des matrices appartenant respectivement à M d,n d et M n d,n d. A et  sont semblables, elles ont donc le même polynôme caractéristique : π A (s) = det (si n Â) = (s λ) d det (si n d Ĉ ) On en déduit donc que la multiplicité de λ est supérieure ou ègale à d. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 94

95 précédent section suivant Document C.1.3 Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante Théorème - Une condition nécessaire et suffisante pour que A M n,n soit diagonalisable est qu elle admette p valeurs propres distinctes dans K vérifiant p i=1 r i = n et d i = r i, i 1 i p (r i : multiplicité de λ i, d i : dimension du sous-espace propre associé à λ i ). Démonstration Il est facile de montrer que : { p i=1 r i = n p d i = r i, i, 1 i p d i = n V λ1 V λ2...v λp = M n,1 On doit donc montrer maintenant que : M n,1 = V λ1 V λ2...v λp i=1 il existe une base de M n,1 constituée de vecteurs propres de A. Le théorème permet ensuite de conclure que A est diagonalisable. implication - Si M n,1 = V λ1 V λ2...v λp l union des bases de tous les sous-espaces propres est donc une base de M n,1, il existe donc une base de M n,1 constituée de vecteurs propres de A. réciproque - S il existe une base de M n,1 constituée de vecteurs propres Y 1,...,Y n, alors tout vecteur Y appartenant à M n,1 est une combinaison linéaire des éléments de cette base et en regroupant la combinaison de vecteurs propres correspondant à une même valeur propre, il est facile de voir que Y = Z Z p, c est-à-dire que Y V λ1... V λp. Donc on a M n,1 = V λ1... V λp Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 95

96 précédent section suivant retour au cours Document C.1.3 Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 96

97 précédent section Document C.1.4 Trigonalisation Théorème - Toute matrice A M n,n (C) est semblable à une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) T M n,n (C). Démonstration On va montrer, par exemple, que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure et pour cela on va raisonner par récurrence sur la dimension n de la matrice A. - Tout d abord si n = 1, le théorème est évident et pour comprendre l idée de la démonstration, nous allons établir le résultat pour n = 2. Soit A M 2,2 (C) et (λ,y ) C M 2,1 (C) un couple propre de A. Il existe donc un vecteur Z M 2,1 (C) tel que (Y, Z ) soit une base de M 2,1 (C). Soit P la matrice dont les colonnes sont Y et Z (on a donc P 1 = Y, P 2 = Z ) et soit T = P 1 AP, quelle est la première colonne de T? On a T I 1 = P 1 API 1 = P 1 AY = λp 1 Y = λp 1 P 1 = λi 1, donc T est de la forme ( λ t12 T = 0 t 22 ce qui démontre le résultat pour n = 2. - Supposons le résultat vrai pour toute matrice d ordre n 1 et montrons le pour A M n,n (C). Soit (λ,y ) C M n,1 (C) un couple propre de A et soient Q 2,Q 3,...,Q n des vecteurs de M n,1 (C) tels que la famille (Y,Q 2,Q 3,...,Q n ) soit une base de M n,1 (C) et Q la matrice constituée par ces vecteurs colonnes (on a donc en particulier Q 1 = Y ). Par le même raisonnement que précédemment on ) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 97

98 précédent section sait que S = Q 1 AQ est de la forme S = λ s s 1n 0... Ŝ 0, Document C.1.4 Trigonalisation où Ŝ M n 1,n 1 (C). Il résulte alors de l hypothèse de récurrence qu il existe une matrice ˆP M n 1,n 1 (C), régulière, telle que ˆT = ˆP 1 Ŝ ˆP soit triangulaire supérieure. Soit alors P la matrice de la forme suivante (matrice régulière) dont l inverse est de la forme : P = , P 1 = 0... ˆP ˆP 1 0. La matrice T = P 1 SP prend alors la forme T = ˆP 1 0 λ s s 1n 0... Ŝ ˆP 0, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 98

99 précédent section soit T = ˆP 1 0 λ t t 1n 0... Ŝ ˆP 0 = λ t t 1n 0... ˆP 1 Ŝ ˆP 0. Document C.1.4 Trigonalisation On a donc T = λ t t 1n 0... ˆT 0, qui est bien triangulaire supérieure puisque ˆT l est. On a donc montré l existence d une matrice T triangulaire supérieure telle que ce qui achève la démonstration. T = P 1 SP = P 1 Q 1 AQP = (QP) 1 A(QP) retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 99

100 Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, Multiplicité d une valeur propre et dimension le gras italique à un document, et le romain à un du sous espace propre , 37 grain où le concept est mentionné. C Cayley-Hamilton D Diagonalisation - applications Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante Diagonalisation - condition suffisante Diagonalisation - définition , 33 J Jordan M P Polynôme caractéristique S Somme directe des sous espaces propres Sous-espace propre - définition T Trigonalisation d une matrice , 45 V Valeur et vecteur propres d un endomorphisme 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 100

101 Valeur et vecteur propres d une matrice... 6, 10 Valeurs propres - existence et multiplicité Valeurs propres d une matrice et d un endomorphisme - lien Valeurs propres et matrices particulières Valeurs propres et matrices semblables Valeurs propres-trace-déterminant Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 101

102 Solution de l exercice A.1.1 Tous les vecteurs, sauf le vecteur nul, sont vecteurs propres de l identité, la valeur propre associée est 1.

103 Solution de l exercice A.1.2 Pour la projection, les vecteurs non nuls du plan sont des vecteurs propres associés à la valeur propre 1, les vecteurs non nuls de la droite sont des vecteurs propres associés à la valeur propre 0. Pour la rotation si : α = π, la rotation est alors une symétrie, tout vecteur non nul du plan est vecteur propre associé à la valeur propre 1. α = π 3, on ne peut citer aucun vecteur propre.

104 Solution de l exercice A.1.3 αy 0, A(αY ) = α(ay ) = αλy = λ(αy ), donc αy est vecteur propre associé à la valeur propre λ.

105 Solution de l exercice A Tout vecteur non nul Y est vecteur propre de I car I Y = Y : la valeur propre associée est 1. y 1 3.5y 1 3.5y 1 = λy 1 2. Si Y = y 2, AY = 5.2y 2 = λy 5.2y 2 = λy 2. y 3 6.9y 3 6.9y 3 = λy 3 Ce système admet comme solutions : 1 λ = 3.5, y 2 = 0, y 3 = 0, y 1 quelconque non nul (pour que Y 0) : Y = y λ = 5.2, y 1 = 0, y 3 = 0, y 2 quelconque non nul (pour que Y 0) : Y = y λ = 6.9, y 1 = 0, y 2 = 0, y 3 quelconque non nul (pour que Y 0) : Y = y Ce résultat se généraliserait au cas d une matrice diagonale quelconque : λ = a i i est valeur propre, les vecteurs propres associés sont proportionnels à la i-ème colonne de I. On a en effet d après les propriétés du produit matriciel : AI = A AI i = A i = a i i I i donc A(αI i ) = αai i = αa i i I i = a i i (αi i ) On a donc un couple propre (a i i,αi i ). On retrouve sur ces exemples très simples que si Y est vecteur propre associé à λ alors αy est également vecteur propre associé à λ. 3. A non inversible Y 0, AY = 0, en effet le système AY = 0 admet toujours la solution nulle, et ce système admet une solution non nulle (c est-àdire n admet pas de solution unique) si et seulement si A n est pas inversible. On a donc :

106 A non inversible 0 est valeur propre de A

107 Solution de l exercice A.1.5 Pour A 1 : π A (s) = (s + 1)(s + 2) 2 = s 2 + 3s = s(s + 3) : 2 valeurs propres simples 0 et 3. Recherche des vecteurs propres : λ = 0, (A λi )Y = 0 y 1 + 2y 2 = 0 y 1 = 2y 2 Y = α ( 2 1 ),α IR. λ = 3, ( ) 1 (A λi )Y = 0 2y 1 + 2y 2 = 0 y 1 = y 2 Y = α,α IR. 1 Il était prévisible que 0 était valeur propre de cette matrice. En effet puisque ses 2 colonnes sont proportionnelles, elle n est pas inversible, donc 0 est valeur propre. Pour A 2 : π A (s) = (s + 1)(s + 2) 2 = s 2 + 3s = s(s + 3), on obtient le même polynôme caractéristique que pour la matrice A 1. Ce résultat est général : les matrices sont transposées l une de l autre. Recherche des vecteurs propres : λ = 0, (A λi )Y = 0 y 1 + y 2 = 0 y 1 = y 2 Y = α λ = 3, (A λi )Y = 0 2y 1 + y 2 = 0 y 2 = 2y 1 Y = α ( 1 1 ),α IR. ( 1 2 ),α IR.

108 On remarque en revanche que les vecteurs propres ne sont pas les mêmes que pour la matrice A 1. Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes de A 1 et A 2 on obtient bien sûr les mêmes valeurs propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant à M n1 (C) donc on choisit les coefficients α complexes. Pour la matrice suivante tourner la page.

109 Pour A 3 : π A (s) = (s 1) : il n existe pas de valeurs propres réelles. Si on cherche les valeurs propres complexes, on obtient 2 valeurs propres complexes 1 + i et 1 i (on peut remarquer que ces valeurs propres sont conjuguées : ce résultat est général, on le démontrera ultérieurement). Recherche des vecteurs propres : λ = 1 + i, (A λi )Y = 0 i y 1 y 2 = 0 y 2 = i y 1 Y = α λ = 1 i, (A λi )Y = 0 i y 1 + y 2 = 0 y 2 = i y 1 Y = α Pour la matrice suivante tourner la page. ( 1 i ( 1 i ),α C. ),α C.

110 Pour A 4 : π A (s) = s(s 2) + 1 = s 2 2s + 1 = (s 1) 2 : on a une valeur propre double λ = 1 Recherche des vecteurs propres : λ = 1, ( ) 1 (A λi )Y = 0 y 1 y 2 = 0 y 1 = y 2 Y = α,α IR. 1 Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes de A 4 on obtient bien sûr la même valeur propre (réelle donc complexe), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant à M n1 (C) donc on choisit les coefficients α complexes. Pour la matrice suivante tourner la page.

111 Pour A 5 : π A (s) = (s 1) 2 (s 2) : λ = 1 est valeur propre double, λ = 2 est valeur propre simple. Recherche des vecteurs propres : λ = 1, (A λi )Y = 0 y 3 = 0 Y = α β 0 = α β 0 1 0,α,β IR. λ = 2, { { y1 + y 3 = 0 (A λi )Y = 0 y 2 = 0 y1 = y 3 y 2 = 0 1 Y = α 0,α IR. 1 Pour A 6 : π A (s) = (s 1) 2 (s 2), λ = 1 est valeur propre double, λ = 2 est valeur propre simple. Recherche des vecteurs propres : λ = 1, (A λi )Y = 0 λ = 2, (A λi )Y = 0 { y2 = 0 y 3 = 0 { y1 + y 2 = 0 y 2 = 0 Y = α { y1 = 0 y 2 = 0,α IR.

112 Y = α 0 0 1,α IR. Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes de A 5 et A 6 on obtient bien sûr les mêmes valeurs propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant à M n1 (C) donc on choisit les coefficients α et β complexes. Pour la matrice suivante tourner la page.

113 Pour A 7 : π A (s) = (s 1)(s 2)(s + 1), 1, 2, 1 sont valeurs propres simples. Recherche des vecteurs propres : λ = 1, (A λi )Y = 0 Y = α 1 0 0,α IR. y 2 + y 3 = 0 y 2 + 3y 3 = 0 y 3 = 0 λ = 2, { y1 + y 2 + y 3 = 0 (A λi )Y = 0 y 3 = 0 1 Y = α 1,α IR. 0 λ = 1, { 2y1 + y 2 + y 3 = 0 (A λi )Y = 0 3y 2 + 3y 3 = 0 0 Y = α 1,α IR. 1 { y3 = 0 y 2 = 0 { y1 = y 2 y 3 = 0 { y1 = 0 y 2 = y 3 On démontrera plus tard la propriété que l on vient de constater sur les matrices A 5, A 6, A 7 : à savoir les valeurs propres d une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale. Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes de A 7 on obtient bien sûr les mêmes valeurs propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant à M n1 (C) donc on choisit les coefficients α complexes.

114 Pour la matrice suivante tourner la page.

115 Pour A 8, π A (s) = (s 1)(s 2i ) (i + 1) = s 2 + s( 1 2i ) + i 1 = (s i 1)(s i ) on obtient 2 valeurs propres complexes 1 + i et i. Recherche des vecteurs propres : λ = 1 + i, (A λi )Y = 0 i y 1 + y 2 = 0 y 2 = i y 1 Y = α λ = i, (A λi )Y = 0 (1 i )y 1 + y 2 = 0 y 2 = (i 1)y 1 ( ) 1 Y = α,α C. i 1 ( 1 i ),α C.

116 Solution de l exercice A.1.6 Si A est triangulaire, il en est de même pour si A donc det (si A) est le produit des termes diagonaux c est-à-dire : n π A (s) = (s a kk ), d où les racines évidentes. k=1

117 Solution de l exercice A π A (s) = det (si A) = det ( si Ā) = πā( s). On en déduit donc la propriété suivante : λ valeur propre de A π A (λ) = 0 πā( λ) = 0 λ valeur propre de Ā 2. On utilise la question précédente : si A M nn (IR), alors A = Ā donc si λ est valeur propre de A, λ est aussi valeur propre de A (on a constaté cette propriété pour la matrice A 3 de l exercice A.1.5)

118 Solution de l exercice A.1.8 Les matrices A et A T n ont pas les mêmes vecteurs propres, voir les matrices A 1 et A 2 de l exercice A.1.5.

119 Solution de l exercice A.1.9 On obtient : ( B = ( 9 Y 1 = α 4 λ 1 = 1,λ 2 = 6, ),Y 2 = α On avait déja calculé les valeurs et vecteurs propres de la matrice A dans le paragraphe "Polynôme caractéristique". A et B ont les mêmes valeurs propres 1 et 6. Les vecteurs propres de A étaient : ( 1 X 1 = α 2 ), ( 8 3 ) ( 2, X 2 = α 1 Les vecteurs propres de A et B ne sont pas les mêmes, mais on a les relations ). ). Y 1 = P 1 X 1, Y 2 = P 1 X 2

120 Solution de l exercice A.1.11 Dans cet exercice on fait référence aux matrices de l exercice A FAUX : voir la matrice A VRAI : prendre par exemple la matrice A VRAI : on peut prendre comme précédemment la matrice A 1, ou si l on cherche une matrice à coefficients complexes non réels, on peut prendre ou. ( ) ( ) 1 i 1 i i 0 2 i 1 + i 4. VRAI : A M 22 (IR) M 22 (C) (voir le paragraphe "Valeurs propres - existence et multiplicité"). 5. FAUX : une matrice A M 22 (IR) admet 2 valeurs propres complexes (éventuellement confondues, éventuellement réelles), mais si λ 1 IR,λ 2 C, sont valeurs propres de A, λ 2 est également valeur propre de A, or comme λ 2 n est pas réelle, λ 2 n est pas réelle donc différente de λ 1, de plus λ 2 λ 2, on aurait donc une matrice ( M 22 ) avec 3 valeurs propres λ 1,λ 2, λ 2 ce qui est impossible. 6. FAUX : si A M 22 (IR), alors A M 22 (C) donc A admet 2 valeurs propres complexes, or A a une seule valeur propre réelle simple, donc la 2e valeur propre serait non réelle et on serait ramené à 5). 7. FAUX Les valeurs propres complexes non réelles vont par 2 (les 2 complexes conjugués) et 3 n est pas un multiple de 2!

121 Solution de l exercice A.1.12 tracea 1 = 3 = 0 + ( 3), det A 1 = 0 = 0 ( 3), idem pour A 2, tracea 3 = 2 = (1 + i ) + (1 i ), det A 3 = 2 = (1 + i ) (1 i ), tracea 4 = 2 = 1 + 1, det A 4 = 1 = 1 1, tracea 5 = 4 = , det A 5 = 2 = 1 1 2, idem pour A 6, tracea 7 = 2 = ( 1), det A 7 = 2 = 1 2 ( 1), tracea 8 = 2i + 1 = (1 + i ) + i, det A 8 = i 1 = (1 + i ) i

122 Solution de l exercice A.1.13 On montre que : V λ car 0 V λ, V λ est stable : Y 1 et Y 2 V λ = α 1 Y 1 + α 2 Y 2 V λ

123 Solution de l exercice A.1.14 Une base de V 0 est 0 0 1,V 0 est de dimension 1. Une base de V 1 est 1 0 0, 0 1 0,V 1 est de dimension 2.

124 Solution de l exercice A pour λ = 0,r = 1,d = 1 ; pour λ = 3,r = 1,d = 1 2. pour λ = 0,r = 1,d = 1 ; pour λ = 3,r = 1,d = 1 3. pour λ = 1 + i,r = 1,d = 1 ; pour λ = 1 i,r = 1,d = 1 4. pour λ = 1,r = 2,d = 1 5. pour λ = 1,r = 2,d = 2 ; pour λ = 2,r = 1,d = 1 6. pour λ = 1,r = 2,d = 1 ; pour λ = 2,r = 1,d = 1 7. pour λ = 1 ou λ = 2 ou λ = 1,r = 1,d = 1 8. pour λ = 1 + i,r = 1,d = 1 ; pour λ = i,r = 1,d = 1

125 Solution de l exercice A.1.16 A = PDP 1 AP = PD AP i = PD i = d i i P i : ce que l on vient d écrire découle uniquement des propriétés du produit matriciel, on a bien sûr utilisé de plus le fait que D est diagonale. On obtient donc que P i est vecteur propre de A associé à la valeur propre d i i.

126 Solution de l exercice A.1.17 Les matrices A 1, A 2, A 7 sont diagonalisables dans IR donc dans C puisqu elles admettent n valeurs propres distinctes, on a ( ) ( ) D 1 =,D 2 =,D 7 = Comme on l a vu une matrice P possible est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres, donc par exemple : ( ) ( ) P 1 =,P 2 =,P 7 = La matrice A 3 n est pas diagonalisable dans IR, mais diagonalisable dans C (ses valeurs propres sont distinctes) ( ) ( ) 1 + i D 3 =,P 3 =. 0 1 i i i Les matrices A 4, A 6 ne sont pas diagonalisables (ni dans IR, ni dans C) car la valeur propre 1 a pour multiplicité 2, la dimension de V 1 est égal à 1 donc d < r. La matrice A 5 est diagonalisable dans IR et C car r 1 = d 1 = 2,r 2 = d 2 = 1, D 5 = ,P 5 = 2 r k = 3. k=

127 Solution de l exercice A.1.18 Soit ( 1 1 B = 1 1 ) ( 1, X = 1 on a B X = 0 et pourtant B 0 et X 0. En revanche si B X i = 0 pour tous les vecteurs X i d une base E de M n,1, on obtient que B X = 0 pour tout vecteur X de M n,1 (il suffit de décomposer X sur la base E ). Ensuite, si on choisit successivement pour X les vecteurs de la base canonique de M n,1, on obtient que toutes les colonnes de B sont nulles, donc B est nulle. ),

128 Solution de l exercice A.1.19 A n I = 0 donc A A n 1 = I, l inverse de A est A n 1.

129 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.1 Voir le paragraphe "Polynôme caractéristique".

130 Aide 2, Question 1, Exercice A.2.1 Quand une valeur propre est réelle, quelle est la différence entre chercher les vecteurs propres réels et chercher les vecteurs propres complexes?

131 Aide 3, Question 1, Exercice A.2.1 Pour la matrice A 3, penser à utiliser j, racine cubique de l unité.

132 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.1 Voir le paragraphe "Polynôme caractéristique".

133 Aide 2, Question 2, Exercice A.2.1 On obtient π A (s) = (s 1) 4 Chercher les vecteurs propres.

134 Aide 3, Question 2, Exercice A.2.1 Si a = 0, les composantes x 1, x 2, x 3, x 4 des vecteurs propres doivent vérifier : x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 Attention, la famille génératrice que vous avez obtenue pour V 1 n est pas forcément la même que celle proposée dans la solution. Comment savoir dans ce cas si votre solution est correcte? Si a 0, les composantes x 1, x 2, x 3, x 4 des vecteurs propres doivent vérifier : { x2 = 0 x 1 + 2x 2 + x 4 = 0.

135 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.1 Voir le paragraphe "Polynôme caractéristique".

136 Aide 2, Question 3, Exercice A.2.1 Revoir l exercice du chapitre précédent sur les déterminants des matrices triangulaires par blocs.

137 Aide 3, Question 3, Exercice A.2.1 Chercher à déterminer les vecteurs propres écrits par blocs.

138 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.2 Voir le paragraphe "Polynôme caractéristique".

139 Aide 2, Question 1, Exercice A.2.2 Si A M nn, on note p n (s) = det (si A). Trouver une relation de récurrence entre p n et p n 1.

140 Aide 3, Question 1, Exercice A.2.2 On obtient p n (s) = sp n 1 (s) + α n. Calculez p 1, p 2,... pour établir l expression, que vous démontrerez ensuite par récurrence.

141 Aide 4, Question 1, Exercice A.2.2 On démontre par récurrence que : p n (s) = α n + α n 1 s α k s n k s n.

142 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.2 Résoudre AY = λy, puis préciser Y 0.

143 Aide 2, Question 2, Exercice A.2.2 Montrer que l on peut exprimer y 2, y 3,..., y n en fonction de y 1. Penser à vérifier la dernière équation.

144 Aide 3, Question 2, Exercice A.2.2 En déduire que Y = y 1 1 λ... λ n 1. avec y 1 0.

145 Aide 1, Exercice A.2.3 Voir le paragraphe "Valeur et vecteur propres d une matrice".

146 Aide 2, Exercice A.2.3 Que vaut (A + αi )Y, A 2 Y?

147 Aide 1, Question 1a, Exercice A.2.4 On suppose que : AY = λy Y 0 et on montre que λ 2 = 1

148 Aide 2, Question 1a, Exercice A.2.4 Utilisez l exercice A.2.3et n oubliez pas que Y 0.

149 Aide 1, Question 1b, Exercice A.2.4 La matrice doit avoir une trace nulle, pourquoi? Le déterminant de la matrice vaut 1, pourquoi?

150 Aide 2, Question 1b, Exercice A.2.4 Utiliser 1(a) : les valeurs propres sont i et i donc la trace est nulle et on peut choisir les termes diagonaux nuls. D autre part, le déterminant vaut 1. On peut donc choisir : ( ) 0 a 1/a 0

151 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.4 Voir le paragraphe "Valeurs propres et matrices particulières".

152 Aide 2, Question 2, Exercice A.2.4 Est-il possible qu une matrice de M 3,3 (IR) n admette aucune valeur propre réelle? Voir l exercice A On rappelle de plus que si P Q, alors nonq nonp.

153 Aide 1, Question 1a, Exercice A.2.5 Voir le paragraphe "Polynôme caractéristique".

154 Aide 2, Question 1a, Exercice A.2.5 Utiliser le déterminant d un produit de matrices.

155 Aide 1, Question 1b, Exercice A.2.5 Voir le paragraphe "Valeur et vecteur propres d une matrice". On se place dans la cas d une valeur propre non nulle (pourquoi?).

156 Aide 2, Question 1b, Exercice A.2.5 On suppose que (λ,y ) (λ 0) est un couple propre de AB, écrire ce que cela signifie.

157 Aide 3, Question 1b, Exercice A.2.5 Montrer que BY est vecteur propre de B A. Ne pas oublier de vérifier que BY 0.

158 Aide 1, Question 2a, Exercice A.2.5 On peut utiliser la question 1(b).

159 Aide 1, Question 2b, Exercice A.2.5 Revoir la définition d une famille libre.

160 Aide 2, Question 2b, Exercice A.2.5 X = 0 AX = 0.

161 Aide 1, Question 2c, Exercice A.2.5 Revoir le chapitre 1. Quelle inégalité existe entre le cardinal d une famille libre et dimension d un sous-espace vectoriel?

162 Aide 1, Question 2d, Exercice A.2.5 A et B jouent des rôles similaires.

163 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.5 Voir le paragraphe "Polynôme caractéristique".

164 Aide 1, Question 4a, Exercice A.2.5 Revoir l un des derniers exercices du chapitre 2 sur le rang d une matrice X Y T.

165 Aide 2, Question 4a, Exercice A.2.5 Utiliser la relation entre le nombre de colonnes, la dimension du noyau, le rang de A...

166 Aide 1, Question 4b, Exercice A.2.5 Utiliser le résultat de la question 2.

167 Aide 2, Question 4b, Exercice A.2.5 Le scalaire X T Y est valeur propre de la matrice X Y T. Faites bien la différence entre scalaire et matrice.

168 Aide 1, Question 5a, Exercice A.2.5 Comme précédemment le rang de A permet d obtenir la dimension de Ker A.

169 Aide 2, Question 5a, Exercice A.2.5 On en déduit que µ 1 = µ 2 =... = µ n 1 = 0, c est-à-dire que 0 est valeur propre de multiplicité supérieure ou égale à n 1. Que vaut µ n?

170 Aide 3, Question 5a, Exercice A.2.5 On utilise la trace de A et on obtient que µ n = trace A.

171 Aide 1, Question 5b, Exercice A est valeur propre de multiplicité supérieure ou égale à n 1, pourquoi? Est-il possible qu il existe une valeur propre non nulle?

172 Aide 2, Question 5b, Exercice A.2.5 N oubliez pas que la trace de A est nulle. Montrez que 0 est valeur propre de multiplicité n.

173 Aide 1, Question 5c, Exercice A.2.5 Etudier les cas trace A = 0 et trace A 0. Reprendre les questions (a) et (b).

174 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.6 Si y est vecteur propre de f que vaut f (y)?

175 ( λ1 0 On a bien sûr  = 0 λ 2 ). Aide 2, Question 1, Exercice A.2.6 On pourrait retrouver ce résultat par le calcul  = P 1 AP, avec P = ( ).

176 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.6 Que vaut D n quand D est une matrice diagonale?

177 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.6 Pour savoir si B est l inverse de A, il suffit de calculer le produit AB. La réponse est oui, la relation précédente est encore valable pour n = 1. Dans le cas particulier ici, rappeler l expression de l inverse d une matrice à 2 lignes et 2 colonnes.

178 Aide 1, Question 4, Exercice A.2.6 Représenter matriciellement la relation de récurrence.

179 ( vn+1 Ecrire w n+1 ) ( vn = A w n ) et itérer cette relation. Aide 2, Question 4, Exercice A.2.6

180 Aide 1, Question 5, Exercice A.2.6 Montrer que si u n = v n w n, avec v n et w n qui vérifient les relations de la question précédente, alors On choisit v 0 = u 0, w 0 = 1. u n+1 = 2u n + 2 u n 3

181 Aide 2, Question 5, Exercice A.2.6 Utiliser la question précédente pour en déduire v n et w n donc u n.

182 Aide 3, Question 5, Exercice A.2.6 On obtient u n = (u 0 2) + 2 ( 1 4) n (u0 + 1) (2 u 0 ) + ( 1 4) n (u0 + 1) En déduire la limite de u n. Vous avez déjà étudié ces suites en MT21, les valeurs 2 et 1 sont les points fixes de la fonction f définie par : f (x) = 2x + 2 x 3

183 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.7 Voir le paragraphe "Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante" (le deuxième théorème).

184 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.7 Voir les paragraphes "Diagonalisation - condition suffisante" et "Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante" (le deuxième théorème).

185 Aide 2, Question 2, Exercice A.2.7 Calculer les sous-espaces propres et comparer la multiplicité des valeurs propres à la dimension des sous-espaces propres.

186 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.7 Voir le paragraphe "Diagonalisation - condition nécessaire et suffisante".

187 Aide 2, Question 3, Exercice A.2.7 Calculer toutes les valeurs propres et les sous-espaces propres correspondants et raisonner cas par cas.

188 Aide 3, Question 3, Exercice A.2.7 Par exemple pour λ = 0 (valeur propre double) on montre que pour a 0 le sous-espace propre est de dimension 1, donc A n est pas diagonalisable...

189 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.8 La réponse a été donnée dans le cours.

190 Aide 2, Question 1, Exercice A.2.8 Voir le paragraphe "Trigonalisation d une matrice".

191 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.8 A = λi. Pourquoi?

192 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.9 Voir le paragraphe "Sous-espace propre - définition".

193 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.9 Voir le paragraphe "Multiplicité d une valeur propre et dimension du sous espace propre".

194 Aide 2, Question 2, Exercice A.2.9 Quelle est la dimension de V λ?

195 Aide 3, Question 2, Exercice A.2.9 La famille (Y,BY ) est-elle liée?

196 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.9 Est-ce que A est diagonalisable?

197 Aide 2, Question 3, Exercice A.2.9 Lorsque A est diagonalisable, que peut-on dire sur les vecteurs propres de A?

198 Aide 3, Question 3, Exercice A.2.9 Utiliser 2. pour conclure quant aux vecteurs propres de B.

199 Aide 4, Question 3, Exercice A.2.9 En déduire que B est diagonalisable.

200 Aide 1, Question 1, Exercice A.2.10 Revoir l exercice A.2.8 et raisonner par l absurde.

201 Aide 1, Question 2, Exercice A.2.10 λ est une valeur propre de multiplicité n. Calculer les vecteurs propres et montrer que le sous-espace propre est de dimension 1.

202 Aide 1, Question 1b, Exercice A.2.11 Penser au rang

203 Aide 2, Question 1b, Exercice A.2.11 Calculer les matrices (A I ),(A 2I ),(A I ) 2, leur rang se calcule facilement.

204 Aide 3, Question 1b, Exercice A.2.11 pour chacune des matrices la dimension du noyau plus le rang vaut 3, d où le résultat.

205 Aide 1, Question 2b, Exercice A.2.11 on a vu dans le chapitre 2 que Ker (A I ) Ker (A I ) 2. Redémontrez cette inclusion.

206 Aide 2, Question 2b, Exercice A.2.11 les dimensions de Ker (A I ) et Ker (A I ) 2, sont différentes, donc l inclusion est stricte.

207 Aide 1, Question 2c, Exercice A.2.11 Que signifie y 1 est vecteur propre de A associé à la valeur propre 1?

208 Aide 2, Question 2c, Exercice A.2.11 On a (A I )((A I )z) = 0, (A I )z 0.

209 Aide 3, Question 2c, Exercice A.2.11 On a bien A((A I )z) = (A I )z, (A I )z 0. Ce qui permet de conclure.

210 Aide 1, Question 3, Exercice A.2.11 Ecrire a 1 y 1 + a 2 y 2 + az = 0

211 Aide 2, Question 3, Exercice A.2.11 Si a 1 y 1 + a 2 y 2 + az = 0 alors (A I )(a 1 y 1 + a 2 y 2 + az) = 0. Que vaut Ay 1, Ay 2, (A I )z?

212 Aide 3, Question 3, Exercice A.2.11 (A I )(a 1 y 1 + a 2 y 2 + az) est une combinaison linéaire nulle des vecteurs y 1, y 2 qui sont linéairement indépendants : pourquoi? En déduire que a 2, a donc a 1 sont nuls.

213 Aide 1, Question 4a, Exercice A.2.11 Calculer u(e 1 ). Quelles sont ses composantes sur la base (e 1,e 2,e 3 )?

214 Aide 2, Question 4a, Exercice A.2.11 Revoir le produit matriciel dans le chapitre 2. u(e 1 ) = Ae 1 = On obtient ainsi la première colonne de la matrice. a 11 a 21 a 31 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3.

215 Aide 3, Question 4a, Exercice A.2.11 On détermine les autres colonnes et on trouve finalement que la matrice associée à u quand on choisit la base canonique est A.

216 Aide 1, Question 4b, Exercice A.2.11 Que vaut Ay 1, Ay 2, Az?

217 Aide 2, Question 4b, Exercice A.2.11 Ay 1 = y 1, Ay 2 = 2y 2, Az = z + y 1 d où la matrice.

218 Aide 3, Question 4b, Exercice A.2.11 la matrice est : T =

219 Aide 1, Question 4c, Exercice A.2.11 c est évident, A et T sont les matrices de u quand on choisit sur M 2,1 2 s differentes

220 Aide 1, Question 5, Exercice A.2.11 Voir le paragraphe "Cayley-Hamilton".

221 Aide 2, Question 5, Exercice A.2.11 Procéder comme dans l exemple du paragraphe.

222 Aide 3, Question 5, Exercice A.2.11 A partir de l équation du polynôme caractéristique, calculer A 3 en fonction de A 2, A et I, puis multiplier le tout par A et réutiliser la même équation pour obtenir A 4 en fonction de A 2, A et I.