I Champ de forces centrales I-1) Forces centrales I-2) Forces centrales newtoniennes I-3) Energie potentielle

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1 Chapitre III : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives I Champ de forces centrales I-1) Forces centrales I-2) Forces centrales newtoniennes I-3) Energie potentielle II Lois générales de conservation II-1) Le moment cinétique II-1-1) Conservation du moment cinétique II-1-2 Loi des Aires II-1-3 Lois de Binet II-2) Energie mécanique II-2-1 Energie potentielle effective II-2-2 Discussion qualitative du mouvement II-2-3 Cas de l interaction newtonienne III Mouvement dans un champ de forces newtoniens III-1) Equation de la trajectoire III-1-1 Conservation de l Em III-1-2 Formules de Binet III-2) Le vecteur de Runge-Lenz III-2-1 Définition III-2-2 Propriétés du vecteur de Runge-Lenz III-2-3 Equation de la trajectoire III-3) Etude quantitative des trajectoires III-3-1 Nature de la trajectoire III-3-2 Mouvement parabolique III-3-3 Mouvement hyperbolique III-3-4 Mouvement elliptique IV Mouvement des planêtes et des satellites IV-1) Généralités IV-2) Satellite en orbite circulaire IV-3) Satellite en orbite elliptique IV-4) Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 20

2 Chapitre III : Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives Introduction L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 21

3 I Champ de forces centrales I-1) Forces centrales Soit un point M, repéré par son vecteur position OM=ru r, soumis à l action d une force centrale f=f(r).u r qui passe constamment par le point fixe O. I-2) Forces centrales newtoniennes Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux interactions newtoniennes qui sont du type : f(r)=k/r² où k est une constante. a) Interaction de gravitation r Gm1m 2 r -2 F =. ur où G=6,67 N.m².kg r² b) Interaction électrostatique r q1q2 r F =. ur où ε0 =8, F.m -1, l interaction est répulsive si les charges sont de même 4 πε 0r² signe et elle est attractive dans le cas inverse. I-3) Energie potentielle Soit r uuuur r r r r r dep = F. dom = f ( r). ur. d( r. ur ) = f ( r). ur.[ dr. u r + rdur )] r r = f ( r). dr r. f ( r). ur. dur = f ( r). dr Car u r est un vecteur unitaire. Pour notre champ newtonien on a donc Soit de = f ( r). dr = k / r². dr E = k / r + cste p Par convention E p ( )=0 d où Ep(r)=-k/r p II Lois générales de conservation II-1) Le moment cinétique II-1-1) Conservation du moment cinétique Appliquons au point M, ayant un mouvement à force centrale le TMC(O) : dl0 ( M ) uuur ur uuuur ur = M 0( F) = OM ^ F = 0 dt R uuuuuuur uuuur uur ainsi L 0( M ) = cste = L0. uz Le moment cinétique du point M se conserve au cours du mouvement de M. Donc les vecteurs OM et v restent dans le même plan xoy orthogonal à l axe Oz. Donc le mouvement est plan dans xoy L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 22

4 II-1-2 Loi des Aires L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 23

5 II-1-3 Lois de Binet L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 24

6 II-2) Energie mécanique II-2-1 Energie potentielle effective Soit E m =E k +E p où la seule force présente est conservative, par conséquent l énergie mécanique se conserve Em = mv² + E p ( r) = m( r& ² + r² & θ ²) + E p( r) = mr& ² + mr² & θ ² + E p ( r) = mr& ² + mc² / r² + E p( r) = mr& ² + E peff ( r) où E peff ( r) = mc² / r² + E p( r) II-2-2 Discussion qualitative du mouvement a) Limites du mouvement radial L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 25

7 b) Etats de diffusion c) Etats liés L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 26

8 II-2-3 Cas de l interaction newtonienne a) Expression de Ep eff (r) 1 On a E peff ( r) = mc² / r² + k / r 2 L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 27

9 b) Interaction répulsive (k>0) L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 28

10 c) Interaction attractive (k<0) 1 On a E peff (r 0 )=0 mc² / r0 ² k / r0 0 mc² / 2k 2 = =r 0 L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 29

11 III Mouvement dans un champ de forces newtoniens III-1) Equation de la trajectoire III-1-1 Conservation de l Em L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 30

12 III-1-2 Formules de Binet L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 31

13 III-2) Le vecteur de Runge-Lenz III-2-1 Définition L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 32

14 III-2-2 Propriétés du vecteur de Runge-Lenz III-2-3 Equation de la trajectoire L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 33

15 III-3) Etude quantitative des trajectoires III-3-1 Nature de la trajectoire III-3-2 Mouvement parabolique III-3-3 Mouvement hyperbolique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 34

16 III-3-4 Mouvement elliptique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 35

17 L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 36

18 L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 37

19 IV Mouvement des planêtes et des satellites IV-1) Généralités En toute rigueur le mouvement des planêtes doit être fait dans le référentiel de Copernic. Mais on peut utiliser en première approximation le référentiel héliocentrique. Le mouvement des satellites artificiels est étudié dans le référentiel géocentrique La terre est assimilé à un astre sphérique. Chaque point M est soumis au champ de ur Gm uur T gravitation : G =. ur où r=r+z r² IV-2) Satellite en orbite circulaire IV-3) Satellite en orbite elliptique Ils satisfont aux lois de Képler et sont principalement caractérisés par : - une trajectoire elliptique de demi grand axe a, de période T dont le centre de la terre est un des foyers - Un rapport T 3 /a²=4π²/gm T - Une énergie mécanique E m =-k/2a L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 38

20 IV-4) Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année - Page 39