AIDE-MÉMOIRE Fonction

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1 Collège / 1MA / Fonction / AIDE-MÉMOIRE Fonction TABLE DES MATIERES 3.A. La signification de fonction B. Le domaine de définition C. La définition d une fonction à une inconnue D. La représentation graphique E. L'images, les préimages, les zéros et l'ordonnée à l'origine (méthode graphique) F. L'équation et l'inéquation (méthode graphique) G. La représentation graphique de la fonction constante H. La représentation graphique de la fonction de degré I. Système d'équations (2 x 2) (méthode graphique) J. La représentation graphique de la fonction de degré K. La représentation graphique de la fonction racine carrée L. La représentation graphique de la fonction inverse M. Quelques exemples d intersection entre des fonctions du premier degré et d autres fonctions...15 Site : login : eleve/ mot de passe :volt1234

2 3.A. La signification de fonction Aide-mémoire Qu est ce qu une fonction à une inconnue? Exemple : 3x + 1 est une expression en x de degré 1. La valeur de cette expression dépend de la valeur (numérique) que nous attribuons à x. Par exemple: Appelons y cette expression : 3x + 1 nous dirons que y est exprimé en f onction de x : abrégé: y = f ( x ) car la valeur de y dépend de la valeur (numérique) que nous donnerons à x. Nous dirons, dans cet exemple, que f est une fonction de degré 1 en x. Par la suite, nous allons nous intéresser aux fonctions à une inconnue seulement. 3.B. Le domaine de définition y =f(x) = 3x + 1 Qu est qu un domaine de définition d une fonction? Choix des x: nous pouvons remplacer x par n importe quel nombre réel, nous obtiendrons toujours une valeur numérique pour y. y est calculable pour tous les nombres x réels que nous choisissons (par ex: si x= nous savons qu il existe y= (même si connaître ce nombre y ne nous intéresse pas)) Définition : nous appellerons le domaine de définition de cette fonction f : l ensemble D f de tous les nombres réels x pour lesquels y est calculable (l important est de savoir que l on peut calculer y pas de savoir combien vaut y) p.2

3 Exemples : Aide-mémoire a) y =f(x) = 3x + 1 Pour chaque valeur de x x R, nous obtiendrons une et une seule réponse y. Le domaine de définition de f est : D f = R. ( nous pouvons choisir n importe quel nombre réel x, multiplier par 3 et ensuite rajouter 1). b) y =f(x) = x 1 y est une fonction irrationnelle de x. Choix des x: La racine carrée d'un nombre possible uniquement possible pour les nombre réels positifs ou nul, donc la condition a respectée : x+1 0 x 1 Le domaine de définition de f est : D f = [-1; + [ c) y=f ( x)= 1 y est une fonction rationnelle de x. 2 x 1 Choix des x: Le dénominateur ne doit pas être égal à zéro (attention à la division par 0) 2x+1 0 2x 1 x 0.5 Le domaine de définition de f est : D f = R {0.5}. 3.C. La définition d une fonction à une inconnue Une fonction f est donc une expression algébrique (une loi) pour chaque nombre réel x choisi correspond une et une seule réponse y. Notation : y = f(x) Vocabulaire : a) Nous choisirons les valeurs de x dans l ensemble de départ, ou source. b) Les valeurs de y seront des éléments de l ensemble d arrivé ou but c) y est appelé image de x par f. d) x est appelé préimage de y par f. p.3

4 Exemples : a) y =f(x) = 3x + 1 f (0) = 1 si x = 0 alors y = f (0) = (calcul de y fait grâce à f) Aide-mémoire On dira que : y=1 est l image de x=0 par f ; ou encore : x= 0 est la préimage de y= 1 par f. b) y =f(x) = x 1 f (5) = 2 si x = 5 alors y = f (5) = 5 1. = 4 = 2 (calcul de y fait grâce à f) On dira que : y=2 est l image de x=5 par f ; ou encore : x= 5 est la préimage de y=2 par f. c) y=f ( x)= 1 2 x 1 1 f (0) = -1 si x = 0 alors y = f (0) =. = -1 (calcul de y fait grâce à f) On dira que : y=-1 est l image de x=0 par f ; ou encore : x= 0 est la préimage de y=-1 par f. Exemples de fonctions : a) Fonctions de 1 er degré ex : y=f ( x)= 2 x+1 3 b) Fonctions de 2 ème degré ex : y=g(x) =-3x 2 + x +2 c) Fonctions polynomiales (degré >2) ex : y= P(x) = x 5 + 2x 3-3x 2 +1 d) Fonctions rationnelles ex : y=h(x )= 1 2x 1 e) Fonctions irrationnelles ex : y= i(x) = x 1 f) Fonctions trigonométriques ex : y=k(x)= 2 sin(x) g) Fonctions exponentielles (2ème) ex : y= j(x)= 2 3x h) Fonctions logarithmiques (2ème) ex : y= s(x)= log 2 (x) etc. p.4

5 3.D. La représentation graphique Aide-mémoire Pour toutes ces lois avec chaque valeur de x (choisie dans le domaine de définition) on obtient une et une seule image y par f. Notation : f : x y=f(x) en précisant la source et le but de la fonction f : f : ensemble de départ ensemble d arrivée ou f : source but Pour visualiser ou illustrer l ensemble des couples définis par chaque fonction, il nous faut une représentation graphique. Nous ne cherchons pas à calculer ou à déterminer une valeur de x ou de y particulière, car nous pourrions obtenir une infinité de couples (x;y) avec x D f et y R ( Pour chaque valeur de x choisie dans le domaine de définition de f, il y aura un y). Vocabulaire : x est appelée 1 ère coordonnée ou abscisse, y est appelée 2 ème coordonnée ou ordonnée. Définition : Nous appellerons graphe de f l ensemble de tous les couples (x:y) de nombres réels dont la 2 ème coordonnée est l image de la 1 ère coordonnée. La courbe de la fonction f est la représentation graphique de cet ensemble de couples, dans un repère en général orthonormé. Cette courbe représentative permet de visualiser le comportement de l image y lorsque x varie (augmentation, diminution, variations lentes ou rapides, valeur maximum ou minimum de y ). Exemple : voir graphique ci-contre Pour le couple (-5 ;2) : -5 est appelée 1 ère coordonnée ou abscisse, 2 est appelée 2 ème coordonnée ou ordonnée. 2 est l'image de -5 par f. -5 est la préimage de 2 par f. f(-5)=2 p.5

6 Aide-mémoire 3.E. L'images, les préimages, les zéros et l'ordonnée à l'origine (méthode graphique) Soit f la fonction ci-dessous donnée par sa courbe représentative : D f = R y b f y 0 x 0 a 1 x 1 x 2 a 2 x Nous pouvons lire sur cette représentation graphique de f que : f ( 0 )= y 0 f ( a 1 ) = b f ( a 2 ) =b f ( x 0 ) =0 Lors du chapitre sur l algèbre, nous cherchions les zéros des polynômes ( rappel : trouver les x lorsque P(x)=0). Nous allons faire de même avec les fonctions : a) Les zéros de la fonction f sont : x 0 ; x 1 et x 2 car f ( x 0 ) =0 f ( x 1 ) =0 f ( x 2 ) =0 Cela nous permet de trouver l intersection de la fonction avec l axe des abscisses : f 0x ={ (0 ; x 0 ) ; (0 ; x 1 ) ; (0 ; x 2 ) } b) f ( 0 ) est la deuxième coordonnée du seul point d intersection de f avec l axe des y =ordonnée à l'origine f 0y ={ (y 0 ; 0 ) } Questions : Combien peut-on avoir d image au maximum d un x? Une seule image pour un x (c.f. définition d e fonction) Combien peut-on avoir de préimage au maximum d un y? Il peut avoir une infinité de préimage pour un y p.6

7 3.F. L'équation et l'inéquation (méthode graphique) Aide-mémoire Soit f la fonction ci-dessous donnée par sa courbe représentative : Équations : a) f(x)=0 S= { x 0 ; x 1 ; x 2 } A quoi correspond la préimage de y=0 par f? Les préimages de 0 correspondent au zéro de la fonction. b) f(x)=b S= { a 1 ; a 2 } Inéquations : a) f (x)> 0 S= ]x 0 ; x 1 [ U ] x 2 ;+ [ b) f (x) 0 S= ]- ;x 0 ] U[ x 1 ; x 2 ] p.7

8 Voici les courbes représentatives de quelques fonctions fondamentales: Aide-mémoire 3.G. La représentation graphique de la fonction constante Fonction constante ( le degré de x est nul ) f : x y = c avec c R R R Exemple : f(x)= 2 - Les zéros de f? Pas de zéro de f -L'image de x par f? -Les préimages de 2 par f? -Les préimages de 1 par f? L image sera toujours de 2 par f L ensemble des nombres réels seront les préimages de f Aucune préimage de 1 par f p.8

9 3.H. La représentation graphique de la fonction de degré 1 Aide-mémoire f : x y = ax + b avec a R et b R R R Pente : a = déplacement.verticale déplacement.horizontale = pente Exemple s: pente de f =2 car a= +2 (déplacement selonl ' orientation del' axe y ) +1(déplacement selon l' orientation de l' axe x ) La fonction est croissante (a>0) (si x augmente, f(x) augmente) car a= pente de h = ( déplacementselon l' orientationde l' axe y, senscontraire) +2(déplacement selon l' orientationde l' axe x) La fonction est décroissante (a<0) (si x augmente, f(x) augmente) Ordonnée à l origine : b = 2ème coordonnée du point d intersection de la droite avec l axe des y ( il faut que f(0)= b) = Ordonnée à l origine Exemples : l ordonnée à l origine de f est 0, car f(0)=0 l ordonnée à l origine de h est 1, car f(0)=1 p.9

10 Aide-mémoire Soit f(x)= a x + b 6 cas possibles : 1) f : a est positif b est positif 2) g : a est positif b est nul 3) h:a est positif b est négatif Exemples : f(x)= 2x+1 g(x)= 0.5x h(x)= x-4 Les fonctions sont croissantes (si x augmente, f(x) augmente) 4) k : a est négatif b est positif 5) m : a est négatif b est nul 6) n : a est négatif b est négatif Exemples : k(x)= -2x+1 m(x)= -0.5x n(x)= -x-4 Les fonctions sont décroissantes (si x augmente, f(x) diminue) p.10

11 Aide-mémoire 3.I. Système d'équations (2 x 2) (méthode graphique) 3 cas possibles: 1) S= Pas de solution (deux droites strictement parallèles) Exemple: { y=x+1 =f ( x) y=x 2 =g(x) f g= S= Résolution algébrique (c.f. brochure verte) Aucune intersection sur la représentation graphique 2) S= {( x; y)} Une solution (deux droites sécantes,un point intersection I) Exemple: { y=x+1 =f ( x) y= 5 2 x =g(x) f g= {( 2; 1)} S= {( 2; 1)} Résolution algébrique (c.f. brochure verte) La représentation graphique de cet ensemble-solution est un point 3) S= {( x; y) x R et y=ax +b} Une infinité de solution (deux droites confondues) Exemple: { y=x+1 =f (x) y=x+1 =g(x) f g=f =g S= {(x; y) x R et y=x+1} Résolution algébrique (c.f. brochure verte) La représentation graphique de cet ensemble-solution est une droite p.11

12 Aide-mémoire 3.J. La représentation graphique de la fonction de degré 2 f : x y = a x 2 + b x + c avec a R * et b, c R R R 6 cas possibles de paraboles: 1) f a est positif pas de zéro de f Ex. : f(x)= x ) g : a est positif 1 zéro de f Ex. : g(x)= (x+2) 2 3) h : a est positif 2 zéros de f Ex. : h(x)= (x+7)(x+4) Remarques : -Ces fonctions ont un extremum (minimum) et l on peut placer le sommet S ( -b/2a ; f(-b/2a)) - Axe de symétrie des paraboles : x= -b/2a ou lorsque il y a deux zéros de f: x= (x 1 +x 2 ):2 Exemple : la fonction h -Le sommet S(-5.5 ; -2.25) On dit alors que y=2.25 est le minimum de h et que x=-5.5 est le point de minimum de h. - Axe de symétrie : x= Les zéros de h sont : -7 et 4 - l ordonnée à l origine de h est 28 (car y= f(0)= 28) p.12

13 Aide-mémoire 4) k : a est négatif pas de zéro de f Ex. : k(x)= -x ) m : a est négatif 1 zéro de f Ex. : m(x)= -(x+2) 2 6) n : a est négatif 2 zéros de f Ex. : n(x)= -(x+7)(x+4) Remarques : -Ces fonctions ont un extremum (maximum) et l on peut placer le sommet S (-b/2a ; f(-b/2a)) - Axe de symétrie des paraboles : x= -b/2a Exemple : La fonction n - S(-5.5 ; 2.25) On dit alors que y=2.25 est le maximum de n et que x=-5.5 est le point de maximum de n. - Axe de symétrie des paraboles : x= Les zéros de h sont : -7 et 4 - l ordonnée à l origine de h est -28 (car y= f(0)= -28) p.13

14 3.K. La représentation graphique de la fonction racine carrée Aide-mémoire f : x y = x avec x, y [ [ [ 3.L. La représentation graphique de la fonction inverse f : x y = 1 x R * R avec x R * p.14

15 Aide-mémoire 3.M. Quelques exemples d intersection entre des fonctions du premier degré et d autres fonctions Dans les trois exemples ci-dessous, l intersection entre deux fonctions peut s écrire comme un système d équations (2x2). Les systèmes d équations peuvent se simplifier en une équation de degré deux et à une inconnue (c.f. série d exercices). On pourra obtenir : - aucune solution, une solution ou deux solutions pour le système - aucune, une ou deux intersections sur le représentation graphique Voici des exemples avec deux points d intersection (deux solutions) : Intersection d une fonction de degré 1 et la fonction de degré 2 Exemple { y=x2 x+1 =f ( x) y=2 x 1 =g(x) S ={ (0;-1); (3;5)} Résolution algébrique (c.f. série d exercices) Deux points d intersection possible I 1 (0;-1) eti 2 (3;5) f g={ (0;-1); (3;5)} p.15

16 Aide-mémoire Intersection d une fonction de degré 1 et la fonction racine carrée { y= x Exemple y= 1 4 x+ 7 4 =f (x) =g(x) S ={ (1;1); (9;3)} Résolution algébrique (c.f. série d exercices) Deux points d intersection possible I 1 (1;1) eti 2 (9;3) f g={ (1;1); (9;3)} Intersection d une fonction de degré 1 et la fonction inverse Exemple { y= 1 =f (x) x y=0.55 x 0.6 =g( x) S ={ (2; 0.5); (-1;-1)} Résolution algébrique (c.f. série d exercices) Deux points d intersection possible I 1 (2;0.5) eti 2 (-1;-1) f g={ (2 ; 0.5); (-1; -1)} p.16