Pyramide et Cône de révolution

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1 Pyramide et Cône de révolution I ) Pyramide 1 ) Présentation : a) Une pyramide est un solide constitué d un polygone appelé base dont les sommets sont reliés à un point, n appartenant pas au plan de base, appelé sommet de la pyramide. b) Dessin : Règles de représentation plane d un objet de l espace - Des arêtes à supports parallèles sur l objet sont représentées par des segments de supports parallèles sur le dessin. - Toute face de l objet, situé dans un plan vertical de face (position frontale), est dessinée sans déformation : il ya conservation des angles et des rapports de longueurs. - Les arêtes visibles sont représentées par des «traits pleins» et les arêtes cachées par des «traits pointillés». Dessin d une pyramide

2 - Le polygone ABCDE (pentagone) est la base de la pyramide. - Le point S est le sommet de la pyramide. - Les segments [SA], [SB], [SC], [SD] et [SE] sont les arêtes latérales de la pyramide. - Les triangles SAB, SBC, SCD, SDE et SEA sont les faces latérales de la pyramide. c) Hauteur d une pyramide On appelle hauteur d une pyramide la droite qui passe par son sommet et qui est perpendiculaire au plan de sa base. (- Une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan. - Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point alors elle est perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par ce point d intersection.) Exemple : La droite (SO) est la hauteur de la pyramide SABCDE (ci-dessus). Le mot hauteur désignera, selon le contexte, la droite (SO), le segment [SO] ou la distance SO. d) Volume d une pyramide Soit le volume d une pyramide, B l aire de sa base et h sa hauteur. 1 3 B h e) Aire totale d une pyramide L aire totale d une pyramide est égale à la somme de l aire latérale et l aire de sa base. L aire latérale d une pyramide est égale à la somme des aires des faces latérales. L aire de sa base est l aire du polygone de base. Soit T l aire totale, L l aire latérale et B l aire de sa base. T L + B f) Tétraèdre Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.

3 ) Pyramide régulière a) On dit qu une pyramide est régulière lorsque : - sa base est un polygone régulier (Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Il admet un cercle circonscrit et un cercle inscrit.) - sa hauteur passe par le centre du polygone de base - ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. b) Exemple : Pyramide régulière à base carrée - Dessin ABCD est un carrée : AB BC CD DA SA SB SC SD OA OB OC OD. O est le milieu de [AC] ; O est le milieu de [BD] (SO) (OA) ; (SO) OB - Patron

4 c) Aire latérale d une pyramide régulière - L aire latérale d une pyramide régulière est égale à l aire d une face latérale multipliée par le nombre de côtés du polygone régulier de base. Exemple : L aire latérale L de la pyramide régulière à base carrée ci-dessus est : - Autre méthode : DC SI L 4 Soit L l aire latérale de la pyramide régulière, P le périmètre du polygone régulier de base et a l apothème de la pyramide régulière. L P a (L apothème d une pyramide régulière est la hauteur d une face latérale issue du sommet de la pyramide). Exemple : L aire latérale L de la pyramide régulière à base carrée ci-dessus est : L ( DC 4) d) Tétraèdre régulier SI Le tétraèdre régulier est constitué de quatre triangles équilatéraux identiques. 3 ) Section d une pyramide par un plan parallèle à la base a) Propriété La section d une pyramide par un plan parallèle à la base un polygone de même nature que cette base. C est une réduction du polygone constituant la base de la pyramide. Les côtés de ces polygones sont parallèles deux à deux.

5 b) Exemple : Section d une pyramide régulière par un plan parallèle à la base SABCD est une pyramide régulière, sa base est le carré ABCD. Le plan (P) est parallèle à la base. Donc, la section est le carré A B C D. On a : (AB) // (A B ), (BC) // (B C ), (CD) // (C D ), (DA) // (D A ), (AO) // (A O ) (On peut utiliser le théorème e Thalès. Exemple : A [SA], O SO et AO // A O SA' SO' A'O' donc d après le théorème de Thalès : SA SO AO Le carré A B C D est une réduction du carré ABCD. La pyramide SA B C D est une pyramide régulière à base carrée, réduction de pyramide régulière à base carrée SABCD. Dans une réduction (ou un agrandissement), si les longueurs sont multipliées par un nombre k, alors les aires sont multipliées par k et les volumes par k 3 Le coefficient de réduction des longueurs k est : k longueur obtenue longueur initiale SO' SA' SB' A'B' B'C' SO SA SB AB BC (Exemple: SO k SO)

6 k aire obtenue aire initiale aire de la base A'B'C'D' aire de la base ABCD (Exemple : aire de la base A B C D k aire de la base ABCD) k 3 volume obtenu volume initial volume de la pyramide réduite SA'B'C'D' volume de la pyramide initiale SABCD (Exemple : Volume de la pyramide réduite SA B C D k 3 volume de la pyramide SABCD). II ) Cône de révolution 1) Présentation a) Un cône de révolution est un solide dont la base est un disque et le sommet est un point appartenant à l axe du disque et n appartenant pas au plan du disque. (L axe d un disque est la droite passant par le centre du disque et perpendiculaire au plan du disque). Autre définition : Lorsque l on fait tourner un triangle rectangle autour de l un des côtés de l angle droit, on obtient un solide appelé cône de révolution. b) Dessin :

7 - Tout segment qui joint le sommet du cône de révolution et un point du cercle de base est appelé une génératrice. Dans le dessin ci-dessus, [SA] et [SB] sont des génératrices. Toutes les génératrices d un cône de révolution ont la même longueur. c) Hauteur d un cône de révolution La hauteur d un cône de révolution est la droite qui passe par le sommet et qui est perpendiculaire au plan du disque de base en son centre. Dans le dessin ci-dessus, (SO) est la hauteur du cône de révolution. (SO) est perpendiculaire au plan du disque de base en son centre O et A est un point du cercle donc : (SO) (OA). (SO) (OA) donc SOA est un triangle rectangle en O. D après le théorème de Pythagore, on a: SO + OA SA h + r g h + r g h g r h + r g r g h g h + r h g r r g h Remarque : - Le mot hauteur désignera, selon le contexte, la droite (SO), le segment [SO] ou la distance SO. - Le mot rayon désignera, selon le contexte, le segment [OA] ou la distance OA. ) Volume d un cône de révolution Soit le volume d un cône de révolution, B l aire de sa base et h sa hauteur. 1 3 B h La base du cône de révolution étant un disque de rayon r donc : B π r 1 3 B h 1 3 π r h. 1 3 π r h

8 3) Patron d un cône de révolution Soit g la longueur de la génératrice du cône de révolution, x la mesure de l angle au centre du secteur circulaire représentant la surface latérale et l AB la longueur de l arc de cercle AB : l π g x AB 180 La longueur l AB de l arc de cercle AB est égale au périmètre du disque de base de rayon r : l AB π r l AB π g x 180 et l π g x AB π r donc : 180 π r x 360 r g Soit L l aire latérale d un cône de révolution : L π g r Justification : - Propriété : L aire d un secteur circulaire est proportionnelle à la longueur de l arc de cercle. L l aire latérale du cône de révolution est proportionnelle à l AB la longueur de l arc AB qui est égale au périmètre du disque de base (l AB π r). l aire du disque de rayon g ( π g ) (disque qui a engendré la surface latérale du cône de révolution) est proportionnelle à la longueur de l arc qui est égale au périmètre du disque ( π g)

9 L est proportionnelle à π r et π g est proportionnelle à π g donc : A π g L π r π g AL r π g g L g π g r L g g r π g r π L π g r Soit T l aire totale d un cône de révolution, L l aire latérale et B l aire de sa base : T L + B π g r + π r T π g r + π r 4) Section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base Propriété : La section d un cône de révolution par un plan à sa base est un disque. b) Exemple : Section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base

10 Le plan (P) est parallèle au plan du disque de base. Donc la section est un disque. Le disque de rayon r est une réduction du disque de rayon r. Le cône de révolution de sommet S et de rayon de base r est une réduction du cône de révolution de sommet S et de rayon r. On a : (OA) // (O A ) (On peut utiliser le théorème e Thalès. Exemple : A [SA], O SO et OA) // (O A ) SA' SO' O'A' donc d après le théorème de Thalès : SA SO OA ) Dans une réduction (ou un agrandissement), si les longueurs sont multipliées par un nombre k, alors les aires sont multipliées par k et les volumes par k 3 Le coefficient de réduction des longueurs k est : k longueur obtenue longueur initiale SO ' SA ' O ' A ' SO SA OA (Exemple: SO k SO) k aire obtenue aire initiale airedu disque de rayon r' aire du disque de rayon r (Exemple : aire du disque de rayon r k aire du disque de rayon r k 3 volume obtenu volume initial volume du cône réduit volume du cône initial (Exemple : Volume du cône réduit k 3 volume du cône initial.

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