Cours PCSI( ) Limites et continuité d'une fonction réelle Lycée Baimbridge

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1 Table des matières Introduction...2 I- Limite d'une fonction en un point s...3 a- Limite réelle...3 b- Limite infinie...4 c- a est égal à plus ou moins l'infini...4 d- Limites à gauche, limites à droites Premières propriétés...5 a- Unicité de la limite...5 b- Caractère locale de la limite en a...6 c- Convergence et encadrement Convergences et inégalités...7 a- Existence de la limite...7 b- Passage à la limite dans les inégalités Opérations sur les limites...8 a- Fonctions ayant une limite nulle...8 b- Fonctions ayant une limite réelle...8 c- Fonctions qui tendent vers l'infini Théorèmes d'existence de la limite...9 a- Limite d'une fonction composée...9 b- Caractérisation de la limite avec les suites...10 c- Limite d'une fonction monotone...10 II- Continuité en un point et prolongement par continuité Continuité à droites, et à gauches Image d'une suite par une fonction continue Opérations...12 a- Combinaisons linéaires...12 b- Produit et quotient...12 c- Composition...12 III- Continuité sur un intervalle Propriétés générales Les grand théorèmes...13 a- Valeurs intermédiaires...13 b- Réciproque d'une fonction continue strictement monotone...15 c- Image d'un intervalle fermé et borné...17 IV- Continuité des fonctions à valeurs complexes /18

2 Introduction Fonctions sont les éléments fondamentaux de l'analyse. La base de l'algèbre est la loi de composition qui permet de définir les structures fondamentales (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels). La notion de limite est la base de l'analyse. Elle permet de définir la continuité, la dérivabilité, et l'intégration. L'algèbre donne l'architecture d'un ensemble et la notion de limite permet de traduire l'idée de proximité. On est passé d'une notion basée sur l'intuition géométrique à une notion rigoureuse (Bolzano, Cauchy). 2/18

3 I- Limite d'une fonction en un point 1- s a- Limite réelle Ī est l'intervalle contenant I est ses extrémités. a Ī si a I ou a est une extrémité de I. Soient f F(I,R), et a Ī. On dit que f converge vers un réel L lorsque x tend vers a si : ǫ>0, δ>0, x I, xa δ f (x)l ǫ. Dans ce cas on note : f (x) x a L et lim a f =L Exemples : fonctions usuelles, fonctions puissances prolongées en 0. φ a (x)=x a =e a ln(x) a R. Si a>0, alors la fonction se prolonge par continuité en 0, en posant : φ a (x) x 0 0 f (x)= sin(x) x f (x) x 0 1 peut être prolongée en 0 par f(0)=1. Changement de variables : f (x) x a L f (a+h) h 0 L Remarque : si a I, la limite ne peut être que f (a). Limite nulle On applique la définition avec L=0. Soient f F(I,R), et a Ī. On dit que f admet pour limite 0 au point a, si : ǫ>0, δ>0, x I, xa δ f (x) ǫ. Propriété : f (x) x a L f ( x) L x a 0 3/18

4 b- Limite infinie Soient f F( I,R), et a Ī. On dit que f admet pour limite + au point a, si : A R, δ>0, x I, xa δ f (x) A Exemples : I=]0,+ [ et f (x)= 1 x, fonction tan. Soient f F( I,R), et a Ī. On dit que f admet pour limite au point a, si : A R, δ>0, x I, xa δ f (x) A Exemples : g(x)=ln(x), f (x)=tan(x) c- a est égal à plus ou moins l'infini. Soit f une fonction définie au voisinage de l'infini, c'est-à-dire sur un intervalle de la forme : [A,+ [. On dit que f admet pour limite L en +, si : ǫ>0 R, M, x I, x M f (x)l ǫ. On dit que f admet pour limite + en +, si : A R, M, x I, x M f (x) A. On dit que f admet pour limite en +, si : A R, M, x M f (x) A. On a des définitions similaires en. 4/18

5 d- Limites à gauche, limites à droites. f admet une limite à droite au point a si la restriction de lim f ( x) une limite en a. On note x a ou lim f ( x). x>a x a + f à l'ensemble D=]a,+ [ I a f admet une limite à gauche au point a si la restriction de lim f ( x) a une limite en a. On note x a ou lim f ( x). x<a x a f à l'ensemble D=],a[ I Exemple : ces deux limites peuvent exister et être différentes. Fonction inverse, fonctions parties entières, fonctions en escaliers. Remarque : La définition de la limite reste valable si a I, et la fonction est définie sur I/{a}. On parle de limite épointée. 2- Premières propriétés. a- Unicité de la limite. Propriété: Si la limite existe, alors elle est unique. Démonstration: On suppose que f tend vers L et L'. Supposons que L L '. Il existe ǫ>0 tel que: ] Lǫ, L+ǫ[ ] L'ǫ, L'+ǫ[=. η>0, xa η f (x)l ǫ Et η'>0, xa η' f ( x)' L ǫ. Soit α=min(η,η'). Et on choisit x tel que x α et f (x) ]Lǫ, L+ǫ[ ]L 'ǫ, L '+ǫ[. Contradiction. Même principe que pour les suites. 5/18

6 b- Caractère locale de la limite en a : - si a est réel un voisinage de a est un intervalle ouvert centré en a. ]ah,a+h[ avec h>0 - Si a=+ c'est un intervalle de la forme [A,+ [. (A R) - Si a= c'est un intervalle de la forme ], A]. ( A R) : On dit qu'une propriété est vraie localement ou au voisinage de a, s'il existe un voisinage V de a tel que la propriété soit vraie sur I V. Propriété Si f et g coïncident localement et si g converge vers L lorsque x tend vers a, alors f tend vers L, lorsque x tend vers a. c- Convergence et encadrement. Théorème: Si f a une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a. Démonstration : On prend ǫ=1. η>0 tel que : x [aη, a+η], f ( x)l 1 x [aη,a+η],ǫ f ( x) L ǫ x [aη, a+η],ǫ+ L f ( x) ǫ+ L Remarque : on ne peut pas dire que f est bornée sur tout son domaine de définition. 6/18

7 3- Convergences et inégalités a- Existence de la limite. Théorème : Si f (x) g(x) si g(x) a comme limite 0 en a, alors f a comme limite 0 en a. Exemple : g( x)=a x avec 0<a<1. limite en l'infini. Théorème : Si f (x)l g(x) si g tend vers zéro au point a, alors f tend vers L en a. Propriété: Si f converge vers L réel, alors f tend vers L. Théorème des gendarmes. Soient f,g, et h trois fonctions réelles qui vérifient au voisinage de a : f (x) g(x) h(x). Si f et h tendent vers L au point a, alors g tend vers L au point a. Démonstration : Théorème : Si f g, au voisinage de a, si f tend vers + en a alors g tend vers + en a. Si g tend vers en a alors f tend vers en a. b- Passage à la limite dans les inégalités. Propriété Si f converge vers L, alors m<l, il existe un voisinage de a, dans lequel: on a: m<f (x). ( f est minorée par m au voisinage de a). Corollaire 1 Si f converge vers L>0, alors il existe un réel m strictement positif qui minore f au voisinage de a. 7/18

8 Corollaire 2 si f converge L 0, alors il existe un réel m strictement positif qui minore f, au voisinage de a. Théorème : Si f converge vers L quand x tend vers a et si f est strictement positive au voisinage de a, alors : L 0 Propriété Si au voisinage de a, f (x)<g(x), et qu'elles convergent respectivement vers L et L' alors L L '. 4- Opérations sur les limites. a- Fonctions ayant une limite nulle. Propriété L'ensemble des fonctions qui convergent vers 0, est un sous-espace vectoriel de F(I,R). Propriété L'ensemble des fonctions qui convergent vers 0, est stable par la multiplication par une fonction bornée au voisinage de 0, et par conséquent stable par la multiplication interne. Exemple : f (x)=x sin(x) b- Fonctions ayant une limite réelle Propriété L'ensemble des fonctions qui convergent au point a, est un sous-espace vectoriel de F(I,R) et l'application qui à une fonction associe sa limite est linéaire. Propriété (*) L'ensemble des fonctions qui ont une limite au point a est un sous-anneau de F(I,R). 8/18

9 Et l'application qui à une fonction associe sa limite est un morphisme d'anneau. Propriété : Si f a une limite L non nul, alors 1 f tend vers 1 L. Corollaire : Si f tend L 0 et g tend vers L' alors g f tend vers L ' L. c- Fonctions qui tendent vers l'infini Propriété Les fonctions qui tendent vers l'infini sont stables par addition et multiplication par un réel strictement positif, ou par une fonction minorée par un nombre strictement positif. Si f tend vers + alors 1 f tend vers 0. Remarque : par contre f peut tendre vers 0 sans que 1 f Si elle est de signe constant au voisinage de a, alors 1 f ait une limite si son signe change. tend vers + ou. 5- Théorèmes d'existence de la limite. a- Limite d'une fonction composée. Théorème Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I et J, et a et b appartenant à Ī et J, tels que lim f ( x)=b x a et lim g(x)=c x b alors : lim x a g f ( x)=c Démonstration Corollaire : en particulier, la composée de deux fonctions continues est continue (locale ou globale). Exemple : limite en + de f (x)=x sin ( 1 x). 9/18

10 b- Caractérisation de la limite avec les suites Théorème Soit f une fonction telle que lim x a L. f ( x)= L. Soit u une suite qui tend vers a, alors f (u n ) tend vers Démonstration : Théorème réciproque f converge vers L, si et seulement si toute suite u n qui converge vers a, vérifie f (u n ) tend vers L. Démonstration : contraposée. On suppose que f ne tend par vers L, alors on peut construire une suite qui tend vers a et telle que f (u n ) ne tende pas vers L c- Limite d'une fonction monotone Théorème de la limite monotone: Soit f une fonction réelle croissante définie sur [a, b[. On a 2 cas : - Si f est majorée alors f a une limite finie en b et - Si f n'est pas majorée, alors f tend vers + en b. lim x b f ( x)= sup f (x) x [a, b[ Démonstration : Corollaire Si f est monotone sur un intervalle, alors f admet en tout point une limite à droite et une limite à gauche. 10/18

11 II- Continuité en un point 1- et prolongement par continuité. Si a I, si la limite existe elle ne peut être que a. (local). lim f ( x)= f (a) x a f (a) et on dit que la fonction est continue en Si a n'appartient pas à l'intervalle, a est une borne de l'intervalle. On peut prolonger la fonction par continuité au point a, en posant : f (a)=lim f(x) x a Exemples : fonctions usuelles, fonctions puissances prolongées en 0. φ a (x)=x a =e a ln(x) a R. Si a>0, alors la fonction se prolonge par continuité en 0, en posant : φ a (x) x 0 0 f (x)= sin(x) x f (x) x 0 1 peut être prolongée en 0 par f(0)=1. 2- Continuité à droites, et à gauches. f est continue à droite au point a si la restriction de f à D=[ a,+ [ I est continue. f est continue à gauche si la restriction de f à D=],a] I est continue. Théorème f est continue à droite au point asi et seulement si la limite à droite en a existe et est f (a). 11/18

12 Théorème f est continue à gauche au point a si et seulement si la limite à gauche existe et est f(a). Théorème f est continue au point a si et seulement si elle est continue à gauche et continue à droite, au point a. Exemples : - fonction partie entière. Elle est continue en tout point de R/Z. En tout point de Z, elle est continue à droite et discontinue à gauche. - f (x)=0 si x 0 et f (x)=e 1 x 2. Remarque : on étudie la continuité à droite et à gauche, lorsque la fonction a des expressions différentes à gauche et à droite de a. 3- Image d'une suite par une fonction continue. Théorème : Soit f une fonction continue en a, et u une suite d'éléments de I telles que : lim u=a I. Alors : lim f (u n )= f (a) Application : u n+1 = f (u n ), la limite L éventuelle doit vérifier nécessairement : L= f (L). 4- Opérations a- Combinaisons linéaires. b- Produit et quotient. c- Composition. 12/18

13 III- Continuité sur un intervalle. 1- Propriétés générales. Si f est continue en tout point de l'intervalle I, alors f est continue sur I. (global) Notation : L'ensemble des fonctions continues sur I, est noté C(I) ou C 0 (I). L'ensemble E des fonctions continues d'un intervalle à valeurs dans I est noté C 0 (I,R) ou C(I,R). E est un sous-espace vectoriel de F(R,R). E est un sous-anneau de F(R,R). Si f ne s'annule pas sur I, et f et g deux éléments de E, alors g f E Sup( f,g) et inf ( f, g) sont continues et en particulier f + et f Les fonctions continues sont stables par composition. 2- Les grand théorèmes a- Valeurs intermédiaires Théorème Si f est une fonction continue de [a, b] à valeurs dans R avec f (a) et f (b) de signes différents ( f (a) f (b) 0), alors c [a,b], tel que f (c)=0 Démonstration : suites adjacentes. Par dichotomie. On construit deux suites a et b de la façon suivante. On pose : a 0 =a et b 0 =b. Soit α= a n +b n 2. Si f (a n )f (α)>0 alors on pose : a n+1 =α et b n+1 =b n. Si f (b n )f (α) 0 alors on pose : a n+1 =a n et b n+1 =α. f (a n ) est du même signe que f (a) et f (b n ) est du même signe que f (b) Les suites a et b sont adjacentes. 13/18

14 On a : Montrons par récurrence que n N, a n b n. et f (a n ) 0et f (b n ) 0 et b n a n = (ba) 2 n. On a : La propriété est vraie pour n=0. On suppose a n b n, f (a n ) 0et f (b n ) 0 et bn a n = (ba) 2 n Soit : a n+1 =a n et b n+1 = a n +b n 2. Soit : a n+1 = a n+b n 2 et b n+1 =b n. Dans tous les cas on a : an a n+1 b n+1 b n. et bn+1 a n+1 = (b na n ) b n a n = (ba) 2 n et lim n + b n a n =0. On a : 2 n - n N,a n b n - La suite a est croissante et la suite b est décroissante. - Et lim b n a n =0 n + Les suites a et b sont adjacentes. Elles sont donc convergentes et ont la même limite. Soit c la limite commune des suites a et b. Montrons que f(c)=0. a n converge vers c [a,b], et f est continue sur [a,b], donc : f (c)= lim f(a n ) (n + ). Or f (a n ) 0 donc f (c) 0. De même f (b n ) 0 et f (c) 0. Remarques : on a la preuve de l'existence de c, et en plus une méthode pour approcher sa valeur. Application : toute fonction polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Corollaire : toute fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas, est de signe constant. 14/18

15 Théorème des valeurs intermédiaires. Si f est continue de [a, b] sur R, toute valeur comprise entre f (a) et f (b) est atteinte par la fonction f sur l'intervalle [a ;b]. Démonstration : g(x)=f (x)y. Et on applique le théorème précédent à la fonction g. g(a)= f (a) y 0 et g(b)= f (b) y 0. Remarque : dans les problèmes, on utilise souvent la stricte monotonie, pour montrer l'unicité de la solution. Corollaire : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Démonstration : Soient y 1 et y 2 deux valeurs de f (x 2 )=y 2. f (I). Soit par exemple x 1 tel que f (x 1 )=y 1 et x 2 tel que Soit d [y 1,y 2 ] on applique le théorème des valeurs intermédiaires. Et on a c tel que:f(c)=d. Et d f (I). Et f(i) est un intervalle. b- Réciproque d'une fonction continue strictement monotone Théorème si f est une fonction monotone sur un intervalle I, si f (I) est un intervalle alors f est continue. Démonstration : On utilise l'existence de la limite à droite et à gauche pour une fonction monotone et on fait une démonstration par l'absurde. On suppose f croissante sur I. On suppose qu'il existe a I, tel que f ne soit pas continue en a. Au point a, il existe une limite à droite et une limite à gauche. Supposons que la limite à droite L, soit différente de f (a). On a f (a)<l. 15/18

16 Soit d tel que f (a)<d<l. L=lim x a + f (x). Il existe b I, tel que : L f (b). L=inf (f (x),x>a). On a : f (a)<d<f(b). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c [a,b] tel que : f (c)=d. On a : a<c et f (c)<l, contradiction avec : L=inf (f (x), x>a) 16/18

17 Théorème Si f est une application continue strictement monotone sur un intervalle I elle réalise une bijection de I sur J = f (I) qui est un intervalle, et la bijection réciproque est continue.(et strictement monotone de même monotonie que f ) Démonstration : On a : f 1 (J)=I. f 1 est monotone et transforme un intervalle en un intervalle. D'après ce qui précède. f 1 est continue. Remarques : théorème utile pour démontrer la continuité des fonctions réciproques : arccos, arcsin, arctan, argsh, argch, argth. c- Image d'un intervalle fermé et borné. Théorème L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné. Si est continue sur [a, b], alors : f ([a,b])=[m, M] avec m= min f (x) et M= max f (x) x [a, b] x [ a, b] f Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes. Théorème admis. Remarque : cela signifie que f prend toutes les valeurs comprises entres m et M. 17/18

18 IV- Continuité des fonctions à valeurs complexes. a I, l C et f F(I,C) f (x) x a l f (x)l x a 0 La limite si elle existe est unique. Propriété : f tend vers l=a+i b(a,b) R 2, si et seulement si R( f ) et I( f ) tendent respectivement vers a et b lorsque x tend vers a. Propriété : Toute fonction qui a une limite finie en a est bornée au voisinage de a. f est continue en a si f (x) x a f (a). Propriété : f est continue en a si et seulement si R( f ) et I( f ) sont continues en a. Propriété : f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point de I. Propriété f est continue sur I si et seulement si R( f ) et I( f ) sont continues sur I. Opérations sur les limites (continuité) : combinaison, linéaire, produit et quotient. 18/18