LEÇON N 54 : Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.

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1 LEÇON N 54 : Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application. Pré-requis : Suites : définition, bornées, convergentes, extraites, unicité de la limite (si elle existe) ; Toute suite convergente est bornée ; Limites de fonctions Suites divergentes Définition 1 : Une suite réelle (u n ) n N est dite divergente dans R si elle ne converge pas dans R. Autrement dit, l R, ε > 0 N N, n N u n l > ε. Proposition 1 : (i) Toute suite non bornée de R est divergente. (ii) Toute suite admettant une suite extraite divergente est divergente. (iii) Toute suite admettant deux suites extraites de limites différentes est divergente. (i) Si une suite est non bornée, elle ne peut pas converger, donc elle diverge. (ii) Soit u ϕ(n) une suite divergente extraite de (u n ). Alors l > 0, ε > 0 N N, ϕ(n) N u ϕ(n) l > ε. Puisque ϕ est une application de N dans N strictement croissante, il existe un entier m tel que ϕ(n) = m. On a finalement l > 0, ε > 0 N N, m N u m l > ε. C est la définition de la divergence de la suite (u n ). (iii) On raisonne par l absurde en supposant que la suite (u n ) converge. Dans ce cas, la limite est unique. Par conséquent, celle des deux suites extraites est nécessairement la même, ce qui est absurde.

2 2 Suites divergentes 1. Soit (u n ) la suite de terme général u n = ( 1) n. On a u 2n = 1 et u 2n+1 = 1. Or 1 1, donc la suite (u n ) diverge. 2. Soit (u n ) la suite de terme général u n = ( 1) n n. Cette suite est non bornée, donc elle diverge Suite admettant une limite infinie Définition Définition 2 : On dit qu une suite (u n ) n N tend vers + (resp. ) si A R, N N n N u n A (resp. u n A). On note alors lim u n = ± ou u n ±. Proposition 2 : Soit (u n ) n N une suite croissante (resp. décroissante). Alors lim u n = + si et seulement si (u n ) est non majorée (resp. non minorée). " " : évident... " " : (u n ) est non majorée, donc pour tout A R, il existe N N tel que u N A. Or (u n ) est aussi croissante, donc pour tout n N, n N u n u N A. Au final, la définition de la divergence de la suite (u n ) est vérifiée. Exemple : Soit (u n ) n N la suite de terme général u n = (u n ) est clairement croissante. De plus, n k=1 1 k. u 2n u n = 1 n n n 2n = 1 2. Si (u n ) était convergente, on aurait lim u 2n u n = 0. Or cette limite est supérieure à 1/2, donc (u n ) diverge. Par conséquent, (u n ) est non majorée Comparaison Théorème 1 : Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites telles que u n v n à partir d un certain rang. Alors (i) lim u n = + lim v n = + ; (ii) lim v n = lim u n =.

3 Suites divergentes 3 (i) La limite de (u n ) est infinie, donc A R, N 1 N n N 1 u n A. Or N 2 N n N 2, v n u n. Finalement, A R, N = max(n 1, N 2 ) N n N v n A. D où le résultat. (ii) Ce point se démontre de manière analogue. Corollaire 1 : Pour tout a > 1, on a lim a n = +. a n = ( (a 1) + 1 ) n 1 + n(a }{{ 1 } ). > 0 Soit u n = 1 + n(a 1). Il est clair que lim u n = +, donc lim an = +. Corollaire 2 : S il existe a > 1 et N N tels que n N u n > 0 et u n+1 lim u n = +. u n a, alors Pour tout m N, u m u N = u m u m 1 u N+1 u N a m N, u m donc lim = +, et puisque u N > 0, lim m u u m = +. N m Exemple : Soit (u n ) n N la suite de terme général positif u n = n! 2. n On a que u n+1 = n + 1, et pour tout n 2, u n+1 3 > 1, donc lim u n 2 u n 2 u n = Opérations algébriques Théorème 2 : Soient (u n ) n N une suite qui tende vers + (resp. ) et (v n ) n N une autre suite. Alors : (i) Si (v n ) est minorée (resp. majorée), alors lim(u n + v n ) = + (resp. ) ; (ii) Si (v n ) est minorée (resp. majorée) par une constante strictement positive (resp. négative), alors lim(u n v n ) = + ; 1 (iii) Si u n > 0 à partir d un certain rang, alors lim = 0. u n

4 4 Suites divergentes (i) (v n ) minorée m R n N, v n m. De plus, (u n ) tend vers l infini, donc A R, N N n N u n A m. On en déduit que sous ces conditions, u n + v n (A m) + m = A. D où lim u n + v n = +. (ii) (v n ) minorée m R n N, v n m > 0. De plus, (u n ) tend vers l infini, donc A R, N N n N u n A/m. On en déduit que sous ces conditions, u n v n (A/m) m = A. D où lim u nv n = +. (iii) A R +, N N n N u n A car (u n ) tend vers l infini. En posant ε = 1 A, cette définition devient : ε R +, N N n N 1 u n ε, d où le résultat. Récapitulatif 1. Limite de la somme :? désigne une forme indéterminée. * u n = n et v n = 1 n : u n + v n = 1 ; * u n = n et v n = 2n : lim u n + v n =. 2. Limite du produit : u n v n l ?? u n v n l = 0 l > 0 l < 0 + +? + +? + +? désigne toujours une forme indéterminée, et l la limite finie de la suite (v n ), quand elle existe Composition par une application Théorème 3 : Soient α R, l R = R {± } et f une application définie sur I = [α, + [ (resp. ], α]) telle que lim f(x) = l (resp. lim f(x) = l). Alors pour toute suite (x x n) de x points de I telle que lim x n = + (resp. ), on a lim f(x n) = l.

5 Suites divergentes 5 La limite de f vaut l, donc : ε > 0, A I x A f(x) l < ε. De plus, la suite (x n ) tend vers +, donc K R, N N n N x n K. En posant A = K, on a x n A à partir d un certain rang, et la première relation devient alors ε > 0, A I x n A f(x n ) l < ε, d où le résultat. 1. Soit (u n ) la suite de terme général u n = sin(π 1 + n 2 ). u n = sin(π ( ) 1 + n 2 ) = sin nπ 1 + 1n ( = sin nπ + π 2 2n + o( 1) ) }{{ n} nπ 2. lim n 2 = et lim x ex = 0, donc lim e n2 = Soit (u n ) la suite de terme général u n = a 0 + a 1 n + + a p n p. On a alors ( u n = n p a0 n + a 1 p n + + a ) p 1 p 1 n + a p, }{{} donc lim u n = ( signe(a p ) ) (+ ). ap 0. c 2010 par Martial LENZEN. Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l article L du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite sans l autorisation expresse de l auteur.