AUTOMATIQUE CONTINUE exercices

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1 AUTOMATIQUE CONTINUE exercice Exercice n fonction de tranfert Calculer la fonction de tranfert S( ) H du circuit ci deou. E( ) R R e(t) C (t) Exercice n Calculer la fonction de tranfert ( ) fonction de tranfert S( ) H du circuit ci deou. E( ) R R e(t) C (t) C Exercice n 3 tranformation de Laplace Soit le fonction uivante. On demande de déterminer le tranformée de Laplace de celle ci : e() t t exp( 3t ) u( t) π 6 e() t exp( t ) co(t ) u( t) 3 e () t ( t ) u( t ) Lycée Vauban, Bret clae de PTSI

2 πt 3 4 e() t t co u( t ) Exercice n 4 théorème de la valeur initiale et finale Déterminer le valeur uivante pour le fonction de tranfert donnée : 3 dy Y, y ( ), ( ), y( ) ( ) ( ) dt 5 3 Y( ) dy, y ( ), ( ), y( ) ( )( 3 ) dt Exercice n 5 original de la tranformation de Laplace Déterminer l original de fonction de tranfert uivante : Y Y ( ) ( ) 3 3 Y exp( 3) ( ) 4 Y 5 ( )( 4 ) Exercice n 6 réducteur à engrenage La figure ci contre propoe un ytème d engrenage permettant d entraîner une mae ω de moment d inertie J avec un couple C. L axe J a un moment d inertie J et ubit un frottement C viqueux de contante K. Il et entraîné par le C K couple C et il et olidaire d une roue dentée comportant N dent. On note ω (t) a vitee ω angulaire. L axe et entraîné par la roue dentée J C poédant N dent. Son moment d inertie et K noté J et a vitee angulaire ω (t). Il ubit un frottement viqueux de contante K. On uppoe le rendement du ytème parfait. Ecrire la relation entre C et C pui ω (t) et ω (t). Donner le modèle dynamique du ytème. 3 Donner la fonction de tranfert entre l entrée C() et la ortie Ω (). Lycée Vauban, Bret clae de PTSI

3 Exercice n 7 ytème hydraulique Bac Bac q i S h S h R R q q On conidère le ytème ci deu. Le débit de chaque vanne et linéaire et uppoé proportionnel à la hauteur de liquide q h/r. Le urface de chaque bac ont notée repectivement S et S. Le bac et alimenté par un débit q i (t). Écrire le modèle dynamique du ytème. Donner la fonction de tranfert entre le débit d alimentation du bac et le débit de ortie du bac. Exercice n 8 tranformation de chéma bloc Calculer le tranmittance pour le chéma bloc ci aprè E - H H H 3 - H 4 S H 5 H 6 H 5 E H H H H 4 S H 6 Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 3

4 Exercice n 9 ytème mécanique On conidère le ytème mécanique ci contre contitué d un reort de raideur k et deux élément exerçant un frottement viqueux de contante repective ξ et ξ. Calculer la fonction de tranfert H()Y()/X() de ce ytème. k z(t) y(t) x(t) ξ ξ Exercice n aerviement d un radar On étudie l aerviement en poition angulaire d un radar de pouruite detiné à connaître avec préciion la poition et la vitee d un mobile évoluant dan l epace aérien. Le ytème comporte une antenne parabolique émettant dan une direction précie appelée axe radioélectrique. Cet axe et repéré par le angle de ite et de giement comme le montre la figure ci aprè. z Axe radioélectrique Ligne de viée z objectif ite y ite y x θ giement α x θ e giement α e De capteur de poition permettent d avoir en permanence une image θ et α. En préence d une cible réfléchiante, l écho reçu par la parabole dépend du «dépointage angulaire» entre l axe radioélectrique et la ligne de viée. Le dipoitif radar et capable de délivrer deux tenion proportionnelle aux écart angulaire α. ( θ ) et ( ) e θ e α On e propoe d étudier l aerviement en giement de la tourelle porte parabole dont l organiation matérielle et donnée ci deou. L aerviement en ite e fera ur le même principe. Hypothèe de modéliation : on néglige le frottement ; on néglige l inductance d induit du moteur ; on uppoe que la variation de ite ne modifie pa le moment d inertie autour de l axe z. Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 4

5 Valeur numérique réducteur Parabole θ Moteur à CC θ m θ θ m ampli U U r U A U inertie de l antenne ( roue de réducteur) : J a 5 kg.m² ; inertie du moteur ( pignon du réducteur) : J m 5. 3 kg.m² ; rapport de réduction : r ; coefficient de vitee du moteur K m,5 V.rad. ; réitance de l induit moteur R,5 Ω ; coefficient d amplification de puiance : A. Calculer l inertie équivalente J de l enemble ur l arbre moteur. Réalier un chéma bloc ou la forme : U () Ω m () Ω () Θ () Tenion entrée ampli Vitee moteur Vitee parabole Poition parabole On enviage le fonctionnement du ytème en aerviement, ce qui conduit au chéma fonctionnel de la figure ci deou : Θ e () - radar α U () Θ (). Montrer que la FTBF et du deuxième ordre. Exprimer le coefficient uuel, K f, ξ f et ω f.. Quelle valeur faut il donner au coefficient α pour que le temp de répone à 5 % aprè une excitation en échelon de poition oit le plu faible poible. Calculer t R..3 Pour la valeur α calculée précédemment, exprimer pui calculer l erreur de lim θ θ t ) (ou erreur de traînage) i l objectif évolue à une pouruite (ε T ( )( ) t vitee angulaire eniblement contante : e () t Ω t θ avec Ω,5 rad. e Exercice n identification Identifier le paramètre de ytème dont le répone à un échelon unitaire ont : Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 5

6 ,8,6,4,,8,6,4, ,5,5, ,6,4,,8,6,4,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9,6,4,,8,6,4,,5 5 7,5,5 5 7,5 Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 6

7 Exercice n lieux de tranfert Repréenter le troi lieux de tranfert (Nyquit, Bode, et Black) pour le quatre ytème uivant de fonction de tranfert : H,, H( ),,, H( ),,, ( ) H,, ( )( ) Exercice n 3 répone temporelle Soit la fonction de tranfert H, on applique à on entrée un créneau d'amplitude V et de durée, la ortie étant notée S(). En décompoant le ignal d'entrée en omme de deux ignaux de durée infinie, calculer l'expreion de la répone temporelle (t). Calculer la répone temporelle (t) en utiliant le produit de convolution. 3 Réalier graphiquement le réultat du produit de convolution (en faiant glier par pa de, la courbe du créneau devant la courbe de h et en notant à chaque foi la urface commune aux deux courbe). Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 7

8 Exercice n 4 ditribution automatique de tube Le ytème repréenté ci deou fait partie d'un dipoitif de ditribution automatique de tube de diamètre compri entre et 6 mm et de longueur comprie entre et mm. L'altitude de barre dan le bac et aervie grâce à un vérin hydraulique aocié à un électro-ditributeur à commande proportionnelle. Le capteur de poition et analogique. L'enemble formé du bac, de a charge variable, de la tige et du piton du vérin et appelé "équipage mobile". Sa poition notée y(t) et fonction de la mae d'huile, notée m(t), contenue dan la chambre d'admiion du vérin. On fera l'hypothèe que la fonction de tranfert de l'équipage mobile et de la forme : K m ( ) a a Y M, dan laquelle, a,3, a 45,9 3 et K m m kg. La pompe hydraulique à cylindrée auto réglable alimente le ditributeur proportionnel qui délivre un débit maique d'huile noté q(t) proportionnel à a tenion de commande u r (t). La fonction de tranfert a la forme : Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 8

9 ( ) K e Q, kg V, Ur Le capteur de poition délivre une tenion notée u m (t) proportionnelle à l'altitude y(t) de barre. La fonction de tranfert a la forme : Quetion U Y K c m V m, Quelle et la relation entre la mae d'huile m(t) contenue dan la chambre d'admiion du vérin et le débit maique d'huile q(t)? En déduire la relation entre M() et Q(), Repréenter le chéma bloc avec le fonction de tranfert de contituant préenté figure précédente. On prendra : l'entrée du ytème U r (), la ortie du proceu U m (), U m 3 Donner la fonction de tranfert du ytème H, U r 4 Pour boucler le ytème, le ignal de commande u r (t) et élaboré grâce à un comparateur amplificateur de gain A, 4. Deiner le chéma-bloc de l'aerviement, Um 4. Donner la fonction de tranfert du ytème G ( ) Uc, 5 On conidère dan l'étude en pouruite du ytème, que l'arrivée de barre provenant de l'unité de débit, et interrompue. On déire régler la poition de l'équipage mobile notée y(t) en faiant varier la tenion u c (t). 5. Mettre la fonction de tranfert en boucle ouverte ou forme canonique notée K FTBO( ) ξ ω ω Donner l'expreion de K en fonction de K c, K e, K m et A. Calculer numériquement ξ et ω, 5. Le ytème et oumi à une conigne u c (t) U(t), U(t) repréentant l'échelon de Heaviide. Déterminer l'écart tatique en y et le temp de répone à 5 %, 5.3 Montrer que l'écart dynamique (erreur de traînage) en tenion obtenue pour une conigne u c ( t) t U( t) et égal à /K où K déigne le gain en boucle ouverte, en déduire la valeur numérique de l'erreur de traînage en y(t), Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 9

10 6 Afin de 'affranchir d'une étude mécanique, de eai ur le prototype ont conduit à modélier la chute d'une barre par un déplacement moyen vertical de l'équipage mobile. On conidère donc que la perturbation aociée à la chute d'une barre et modéliée par un échelon de poition y p valant 5 mm. y p (t) y r (t) u c (t) SYSTEME K c u m (t) 6. Repréenter le nouveau chéma bloc de l'aerviement de la poition du bac du module de chargement, 6. Par hypothèe, on conidère que la répone indicielle du ytème où l'entrée et U c, a atteint on régime permanent. On e propoe d'étudier le comportement du ytème lorqu'une barre tombe dan le bac, 6.. On ouhaite vérifier que le ytème et capable d'effacer l'influence d'une Um perturbation en y. Donner la fonction de tranfert de la régulation, Yp 6.. Rechercher l'erreur de poition en y r (t). Conclure ur le performance de cette régulation. Exercice n 5 écart et erreur de traînage Un ytème du deuxième ordre (ξ,5 et /ω ) et oumi à une entrée de type rampe définie par e(t) α.t.u(t). Déterminer le expreion de la répone (t) et de l'écart ε(t) e(t) (t). Quelle ont le valeur de l'erreur de traînage (en fonction de α) et du temp de répone? Exercice n 6 fonction de tranfert Un ytème aervi répond au chéma fonctionnel uivant : E S C () G () - G ( ) C( ) fonction de tranfert du correcteur fonction de tranfert d'un proceu à réguler ; Lycée Vauban, Bret clae de PTSI

11 Déterminer la fonction de tranfert en boucle ouverte T ( ). Déterminer la fonction de tranfert en boucle fermée H( ). 3 Déterminer l'expreion de ε en fonction de H( ) et ( ) 4 On choiit C K (avec K réel > ), en déduire ( ) E. H. Déterminer la valeur de K pour que la répone impulionnelle oit du e ordre peudopériodique d'amortiement ξ,7. En déduire la valeur de la peudo pulation ω. 5 On choiit K, déterminer l'écart tatique ε ( ) à la répone indicielle à partir de l'expreion de ε. 6 On choiit C. Déterminer H( ), ε et en déduire la nouvelle valeur de l'écart tatique ε ( ) à la répone indicielle. p Exercice n 7 éolienne L'éolienne étudiée et une éolienne de forte puiance à calage variable de pale. elle comporte une unité de tranformation de puiance upportée par un mât tubulaire en acier permettant l'accè par une échelle interne (figure ). L'unité de tranformation de puiance inclut le rotor (pale moyeu), le ytème de calage de pale, la nacelle, le multiplicateur, la génératrice, la pompe hydraulique et le ytème d'orientation (figure ). Le rotor entraîne le multiplicateur. La génératrice et liée à l'arbre rapide du multiplicateur et produit du courant alternatif. Un frein à dique d'urgence et intercalé entre le multiplicateur et la génératrice. Une unité électrique tranforme (courant alternatif en courant continu pour le batterie) et tranmet l'énergie électrique. Le rotor orienté face au vent comporte troi pale à, chaque pale et longue de 4 m. Le pale ont en matériau compoite «fibre de verre» ou «boi époxy» et ont liée (liaion pivot par roulement à rouleaux) à un moyeu. Le moyeu et à 3 m du ol. Le module de calage variable de pale permet, d'une part, d'avoir une vitee de rotation contante pour de vitee de vent de 3 à 5 m/ et, d'autre part, de mettre l'éolienne en drapeau pour de vitee de vent upérieure. Le calage de Lycée Vauban, Bret clae de PTSI

12 pale et commandé par un vérin hydraulique alimenté par la pompe. Le module d'orientation et compoé d'un moteur hydraulique (alimenté par la pompe) et d'un pignon monté ur l'axe du moteur. Ce pignon engrène ur une couronne olidaire du mât. Un module d'aerviement contrôle la manoeuvre. Étude du module d'orientation Cette étude concerne l'aerviement de poition pour l'orientation de l'éolienne face au vent. Le moteur hydraulique, lié à la nacelle (figure ), permet, quand la machine et à l'arrêt, de la poitionner face au vent grâce à la girouette. A cette fin, un pignon olidaire du moteur vient 'engrener ur une couronne liée au mât. Une foi l'éolienne correctement placée, le moteur et arrêté, le circuit hydraulique rete ouvert et permet d'amortir le faible changement de direction du vent. Si la nacelle n'et pa alignée face au vent pendant plu de 5 econde, le moteur hydraulique entre en action pour réaligner la nacelle dan la direction de la girouette. On déire donc aervir la poition angulaire θ de la nacelle à la poition angulaire qc, de la girouette. La poition angulaire θ c de la girouette et convertie en une tenion Vc, proportionnelle à θ c, par un potentiomètre linéaire circulaire de gain K 5 V/8. c La poition angulaire q de la nacelle et meurée par un capteur de poition dont le gain et également K 5 V/8, et qui fournit une tenion V proportionnelle à θ. p L'écart entre la tenion de conigne Vc et la tenion meurée V et évalué au niveau d'un outracteur idéal qui élabore le ignal ε v Vc V. Le ignal ε v et traité par un correcteur de fonction de tranfert C(p) pour fournir la tenion U aux borne d'un amplificateur de gain K A, ma/v, permettant 3 d'attaquer avec le courant I la ervovalve de gain K 4 cm / / ma. On appelle Q le débit d'huile en ortie de la ervovalve ; ce débit pilote le moteur hydraulique entraînant la nacelle. La poition angulaire θ de la nacelle e déduit de Q par la fonction de tranfert v ( ) H p ξ Qp p p ω ω avec Q 8 m rad 6 3 -, - ω rad et ξ,5. Mettre en place le chéma fonctionnel complet de l'aerviement. Montrer que ce chéma peut e ramener à un celui d'un ytème bouclé à retour unitaire, où la conigne angulaire θ c erait directement comparée à la poition angulaire θ de la nacelle pour former le ignal d'erreur ε θ. Déterminer la fonction de tranfert en boucle fermée de ce ytème aervi. 3 Déterminer l erreur tatique pour une entrée indicielle et C(p). Lycée Vauban, Bret clae de PTSI

13 Nomenclature : pale : moyeu 3 : nacelle 5 : arbre lent 6 : multiplicateur 7 : frein à dique d urgence 8 : arbre rapide 9 : génératrice : girouette : module d aerviement 4 : moteur hydraulique 5 : couronne 7 : mât Quelque élément de répone Exercice : ( ) RC R R R R R C S E Exercice : ( ) S E R C R C R R C Exercice 3 : ( ) 3 3 C Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 3

14 3 ( ) [ ( ) 4] ( ) exp π 3 exp 3 π 3 4 ( ) ( ( ) ) dy dt dy, dt Exercice 4 : y ( ), ( ) 3,y( ) y 4,y 3 ( ) ( ) ( ) n' exite pa Exercice 5 : y() t ( exp( t )) u(t ) t 3 3 y(t ) exp co t in t u(t ) 3 y(t ) t 9 exp( t 3 )u t 3 3 ( ) ( ) ( ) Exercice 6 : 3 ( ) K J Ω C K avec N J N J J et N N N K K N K N N Exercice 7 : Q Q R R S S ( R S R S R S ) Exercice 9 : Y X ξ ξ ξ ( ξ k ) ( ξ ξ ) ξ ξ k Exercice :. H,4,α,α ξf,4 ω.3 ε Ω rad T f Exercice 3 : et () t [ exp( t ) ( exp( ( t ) ))] u( t ) 3t π Exercice 5 : () t α t exp(,5t ) co U() t 3 6, erreur de traînage α, temp de répone 4,37. Lycée Vauban, Bret clae de PTSI 4