Racine carrée. 1 Introduction 1. 2 Définition 2. 3 Propriétés 2. 4 Simplifier une racine carrée 4. 6 Quantité conjuguée 6

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1 Table es matières Racine carrée 1 Introuction 1 Définition Propriétés 4 Simplifier une racine carrée 4 Équation x a = Quantité conjuguée 6 1 Introuction On veut connaître la mesure es iagonales e ivers rectangles ont la largeur est notée l et la longueur L. L l l 7 0,9, 1 L ,6 1) Compléter la ligne u tableau ci-essus en utilisant le théorème e Pythagore. l 7 0,9, 1 L , ,81 4, Le nombre peut-il être négatif? Pourquoi? Non, car une istance est toujours positive. ) Compléter alors la ernière ligne en utilisant la touche e la machine. l 7 0,9, 1 L , ,81 4, 1 4,1 6,,6 4) Est-on sûr, pour chacune es cases e la ligne précéente, avoir onné la valeur exacte e? Pour quelle case ne peut-on pas l affirmer? Pour la ernière case, la calculatrice ne onne qu une valeur approchée. Reprenre la valeur e la ernière case : A-t-on le roit écrire =, ? Afin e réponre à cette question, examinons les eux séquences calculatrice suivantes : 1) : x Affichage : ) :, Affichage : 4, Comme 1 = 169, on peut écrire 169 = 1 ; e même, 4, 1 = 16,81, onc 16, 81 = 4, 1. En revanche, il n existe pas e nombre rationnel (voir le chapitre sur les Nombres) ont le carré égal à. Dans la ernière case u tableau, la valeur exacte e s écrit onc et se lit «racine carrée e cinq». Dans ce cas, la calculatrice ne peut onner qu une valeur approchée e. On a onc : =, Pierre Delouya Collège Janson 1 6 juillet 014

2 Définition On consière l opération un nombre. Partant e, on l élève au carré, on obtient = 9. Inversement, quel est le nombre positif qui, élevé au carré, onne? Ce nombre s appelle la racine carrée e et se note. Plus généralement, le nombre positif qui, élevé au carré, onne a est la racine carrée e a et se note a. Cette opération s appelle : un nombre. Pour tout a 0, a est le seul nombre positif ont le carré est égal à a ; on a onc ( a) = a Remarque : On a supposé a 0 et on suppose a 0. Autrement it, seuls les nombres positifs ont une racine carrée et cette racine carrée est positive. Dans R, n existe pas et a =, non plus. On amettra que les eux opérations et sont eux opérations réciproques l une e l autre. ( a) = a a Exemples : est le seul nombre positif ont le carré est égal à : ( ) = ( ) = 1 est le seul nombre positif ont le carré est égal à 1 : Remarque : Il est possible e relier la racine carrée avec l élévation à la puissance : Supposons que l on puisse écrire a = a n et n est un nombre quelconque. On a la propriété a n a p = a n + p ( ) 1 = 1 Puisque a est le seul nombre positif ont le carré est égal à a, on a onc a n a n = a 1 soit, a n = a 1 ce qui onne n = 1 et n = 1. Autrement it, on peut écrire a = a 1 La éfinition e ( ) a evient onc a 1 = a 1 = a 1 = a Propriétés Racine carrée et multiplication Pour tous nombres a et b positifs, on a : a b = a b si une égalité entre prouits e nombres est vraie, l égalité reste vraie si l on pren la racine carrée e chaque nombre : 1 1 = 180 onc, 1 1 = 180 Cette propriété est un cas particulier e la propriété a n b n = (ab) n (pour n = 1, voir plus haut) Exemples : = = = 1 7 = 900 = 0 Pierre Delouya Collège Janson 6 juillet 014

3 00 = 100 = = 6 10 = 6 10 Remarque : Partant e eux nombres a et b positifs, il est inifférent e e chacun, puis multiplier les eux racines carrées (membre e gauche) multiplier les eux nombres, puis u prouit (membre e roite) Autrement it, la racine carrée un prouit est égale au prouit es racines carrées. Cette propriété est illustrée sur le schéma ci-essous. (a, b) ( a, b) a b a b = a b Remarque : il est possible e consiérer le prouit e plus e eux racines carrées. Avec un prouit e quatre racines carrées, on obtient : a b c = abc Cas particulier a = b : (a, a) a a = a ( a, a) a a = ( a) = a a a = ( a), si l on utilise la éfinition a a = a, si l on utilise la propriété (flèches gauche et bas) (flèches haut et roite) On obtient eux expressions ifférentes e a a ; elles sont onc égales. On peut résumer cette propriété par la phrase suivante : Le carré e la racine carrée e a : ( a) est égal à la racine carrée u carré e a : a. On a onc l égalité : ( a) = a = a. Il est onc possible e permuter les eux opérations et comme l illustrent les schémas ci-essous : a a = a = ( a) a a a a ( a) = a = a Partant un nombre a 0, il est inifférent e : prenre sa racine carré, puis l ou l, puis prenre sa racine carrée. Exemple : ( ) = = Pierre Delouya Collège Janson 6 juillet 014

4 Racine carrée et quotient Pour tous nombres a et b positifs et b 0, on a : a b = a b Autrement it, la racine carrée un quotient est égale au quotient es racines carrées. Le carré e la racine carrée e a : ( a) est égal à la racine carrée u carré e a : a. On a onc l égalité : ( a) = a = a. 4 4 Exemples : = = , 6 = 7 7 = Partant e eux nombres a et b positifs, il est inifférent e les iviser, puis en (membre e gauche) e chacun, puis e iviser les eux racines carrées (membre e gauche) C est une propriété analogue à la précéente ans laquelle il suffit e remplacer la multiplication par la ivision. Remarque importante A la ifférence e la multiplication et e la ivision, l aition et la soustraction ne sont pas compatibles avec la racine carrée. Autrement it, si on consière a, b et a + b comme les longueurs es trois côtés un triangle, on a, en utilisant l inégalité triangulaire : a + b < a + b. Exemple : + 6 = 61 7,8 + 6 = + 6 = 11 ; onc, + 6 < + 6 De même, a b + b > a, soit a b > a b = 7 7, = 11 8 = ; onc, > Simplifier une racine carrée De la même façon qu il est possible e simplifier une fraction en ivisant le numérateur et le énominateur par leur plus gran iviseur commun (p.g.c..), il est possible écrire une racine carrée sous la forme a b en «extrayant» le plus gran carré parfait qui est un iviseur u nombre écrit sous le raical. Pour cela, on utilise la propriété a b = a b ; c est-à-ire que l on écrit le nombre écrit sous le raical sous la forme un prouit. Si on ne voit pas imméiatement le ou les carré(s) par le(s)quel(s) le nombre est ivisible, on peut écrire une écomposition quelconque puis, recommencer avec chacun es facteurs jusqu à ce que l on puisse regrouper les racines carrées ientiques afin obtenir le plus gran nombre entier possible ; ce qui revient à écomposer le nombre sous le raical en un prouit e facteurs premiers. Exemple : 10 Si on ne voit pas imméiatement que est le carré par lequel 10 est ivisible, on peut écrire, par exemple, 10 = et 10 ayant es iviseurs propres et n étant pas es carrés parfaits, on peut recommencer la même opération avec ces eux nombres, ce qui onne : 10 = 1 10 = Les nombres, et étant premiers, on ne peut pas continuer. Maintenant, on regroupe les facteurs ientiques e façon à pouvoir utiliser la éfinition : a a = a = = = 6 = 6 On aurait pu (û) écrire : 10 = 6 = 6 Conclusion : 10 = 6 Pierre Delouya Collège Janson 4 6 juillet 014

5 Vérification : ( 10) = 10 après la éfinition, onc ( 6) oit être aussi égal à 10. ( 6) = ( 6) = 6 = 10 Autres exemples : 80 = 8 10 = ( 4) ( ) = (on utilise la éfinition : a a = a) = 4 = 4 80 = 16 = 4 1 = = (on utilise la propriété : a = a) = = 180 = = ( 9) ( ) = (on utilise la éfinition : a a = a) = 6 = = 6 = 6 = 4 88 = 8 11 = 4 11 = 4 11 = 11 (on utilise la éfinition : a a = a) = 4 = 4 = 16 = = 4 = = 10 = = 9 4 = = 1 Réuire une expression contenant es racines carrées ont les ifférents nombres ont un iviseur commun. Il s agit écrire chaque racine carrée sous la forme a b = = = = ( + 6 7) = Pierre Delouya Collège Janson 6 juillet 014

6 Équation x a = 0 On consière l équation x a = 0. Dans le cas où a > 0, l équation x a = 0 amet une factorisation : en effet, si on remplace a par ( a), l équation x a = 0 s écrit alors x ( a) = 0. On reconnaît une ientité remarquable e la forme a b ont la factorisation est a b = (a + b)(a b). Ici, a = x et b = a ; ce qui onne : x ( a) = 0 (x + a)(x a) = 0 (qui est une équation prouit-nul) Si un prouit e facteurs est nul, alors l un, au moins, es facteurs est nul. x + a = 0, onc x = a x a = 0, onc x = a ont les solutions sont a et a ce qui s écrit : S = { a; a} Suivant les valeurs u nombre a, l équation x a = 0 amet eux solutions a et a pour tout a > 0. une solution x = 0 si a = 0 ; onc 0 = 0. aucune solution réelle pour tout a < 0. Pour a < 0, elle en amet eux, mais ans un ensemble ont vous entenrez parler en Terminale S Exemples : x = 0 amet pour factorisation (x + )(x ) = 0 et les solutions sont : x = et x = x = 0 x = onc x =. Cette équation amet eux solutions : x 1 = { } S = ; ( ) Vérification : = ( = = 0 ; ou x = ) = = = 0 Autre possibilité : On utilise l ientité remarquable a b = (a + b)(a b) (x ) ( ) = 0 ( x )( x + ) = 0 (équation prouit-nul onc, l un es eux facteurs est nul) que l on écrit : x = 0, soit x = = 6 Quantité conjuguée ou x + = 0, soit x = = Quan une fraction comporte une racine carrée au énominateur, pour renre entier son énominateur, il suffit e multiplier le numérateur et le énominateur e cette fraction par la quantité conjuguée u énominateur en utilisant l ientité remarquable (a b)(a + b) = a b Exemple : + Le énominateur est onc égal à + ; pour le renre entier, il suffit e le multiplier par, car ( + )( ) = ( ) = 9 = 4 + = ( ) ( + )( ) = ( ) 4 = Pierre Delouya Collège Janson 6 6 juillet 014