1.3 Les ensembles de nombres

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1 . Les ensembles de nombres Le tableau suivant présente les ensembles de nombres de façon détaillée. Ensemble de nombres (symbole) Définition Notation décimale Nombres naturels Nombres qui servent à. {0,,,,,, } La partie décimale des nombres naturels est. Exemples : Nombres entiers Nombres naturels et leurs. {...,,,, 0,,,,...} La partie décimale des nombres entiers est. Exemples : Nombres qui peuvent s exprimer sous la forme d une de deux nombres entiers. - Certains nombres rationnels ont une représentation décimale finie. On dit alors que ces nombres ont une représentation décimale infinie de période égale à 0. Soit b a où a ϵ et b ϵ *. Ex.: ) ) 0% Nombres rationnels - Certains nombres rationnels ont une représentation décimale infinie de période non égale à 0. Ex.: ) la période est. ) 7 ) la période est. la période est.

2 Nombres irrationnels Nombres dont la valeur exacte ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction composée de nombres entiers. Les nombres irrationnels ont une représentation décimale infinie non périodique. On ne peut pas les représenter de façon précise à l aide de la notation décimale. Ex: ) π π ) ) e e est le nombre d'euler ou la constante de Néper Lorsque a n'est pas un nombre naturel carré parfait, a est nombre irrationnel. ) ) a peut être un nombre irrationnel ou rationnel. Tu dois vérifier avec ta calculatrice 6) 6 7) 00 Nombres réels Ensemble qui correspond à l union des nombres et des nombres. Les nombres réels s écrivent en notation décimale exacte seulement s il s agit de nombres rationnels.

3 Voici un diagramme qui illustre la relation entre les ensembles de nombres. Inscris les noms des cinq ensembles de nombres aux bons endroits dans le diagramme (dans les rectangles gris) Place les nombres suivants dans le diagramme : c) Indique par un X l ensemble auquel appartiennent les nombres suivants. -0 π, , 7 6 c) π 7 e), f) π 6 g) 888 h) i) 0 j) π

4 EXERCICES. Écris les nombres suivants en notation décimale. 7 7 c) 6 e) 8 g) 7 00 f) 80 h) 8. Associe chaque fraction à sa notation décimale ,, c) 90 99, 0,0 0, e) f) ,0. Les nombres suivants sont-ils rationnels ou irrationnels? (Appartient à ou?). Nomme les ensembles auxquels appartient chacun des nombres ci-dessous. (Choisis parmi les ensembles,,, et. Un nombre peut appartenir à plus d'un ensemble) -,0, c) π e) 0, f),x0 g) 0, h) 6x0 - i) 8 6 j) 96 k) «gogol» l) 0

5 . Que suis-je? Je suis à la fois positif et négatif. Je suis soit un nombre rationnel, soit un nombre irrationnel. c) Mon développement décimal est illimité et périodique. Mon développement décimal est illimité et non périodique. e) Mon développement décimal est illimité. f) Je symbolise l ensemble des nombres réels. g) Je suis représenté par le symbole. h) On ne peut m écrire sous la forme d une fraction. i) On peut m écrire sous la forme d une fraction. j) Je symbolise l ensemble {,,,, 0,,, }. k) Je suis le plus petit nombre appartenant à l ensemble. l) Je symbolise l ensemble des nombres rationnels négatifs. m) Je symbolise l ensemble des nombres irrationnels. 6. Vrai ou faux? Tous les nombres naturels sont réels. Le nombre 0 appartient à tous les ensembles de nombres. c) Un nombre peut être à la fois entier et rationnel. Il y a une infinité de nombres naturels. e) Si l on enlève les nombres naturels de l ensemble des nombres entiers, il reste seulement des nombres négatifs. 7. Effectue les opérations suivantes. Exprime ta réponse sous la forme d'une fraction réduite. + e) + + f) c) g) h) Nous allons finir par maîtriser ces bip bip de fractions! 6

6 Voici des symboles couramment utilisés en notation ensembliste. Symbole (signification) Exemple en mots Notation (est élément de) Le nombre est élément de (ou appartient à) l ensemble. Opérations sur les ensembles (n est pas élément de) + (positif, écrit en indice) - (négatif, écrit en indice) * (non nul) (inclus) (est complément de) (union) (intersection) Le nombre n est pas élément de (ou n appartient pas à) l ensemble. Tous les éléments de Tous les éléments de qui sont positifs. qui sont négatifs. Tous les nombres naturels sauf 0. L ensemble des nombres entiers est inclus dans l ensemble des nombres rationnels. (le symbole se lit «prime») Tous les éléments qui n appartiennent pas à l ensemble. Union des éléments des ensembles. L intersection de et de. et Remarque : On dit que deux ensembles sont égaux lorsqu ils sont composés de tous les mêmes éléments. On utilise le symbole d égalité () pour les associer. Ex. : Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Corrige les énoncés erronés. + { } c) e) * * * f) 7

7 EXERCICES 8. Complète les énoncés avec le symbole ou c) e)... f),6... g) π... h) Les énoncés sont-ils vrais ou faux? - * 0 c),6 e) 7 f) 7 - g), 89 h), 0. Complète par le symbole ou qui convient. Pour indiquer que x est un élément d un ensemble A on écrit x A. Pour indiquer qu un ensemble A est un sous-ensemble d un ensemble B on écrit A B.. Complète par le symbole ou.. c) +. - e) * f). g). * h) * + i) -.. *. À quel ensemble de nombres peux-tu associer chacune des opérations suivantes? Exemple :. + c) * e) f) g) h). Complète les expressions suivantes à l aide du symbole approprié ( ou ). e) π i) 7, f) 6 j) 7 c) -0, g) 0 k) π h) l) 8. On considère les nombres,,,, 6, 7, 9, 6 et. Quels sont ceux qui sont rationnels? Quels sont ceux qui sont irrationnels? 8

8 . Le cube et la racine cubique Le symbole signifie. Extraire la racine cubique consiste à chercher le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre qui se trouve sous le radical. Il s agit de l opération inverse d élever au cube. L expression a se lit «racine cubique de a». L expression a se lit «a au cube». Les nombres cubiques sont : Exemples : 8 donc 8, donc, Attention! La racine carrée d un nombre négatif est impossible! Ex. : Si x a alors a. Ex. : Calcule la racine cubique des nombres suivants e) c) f) 7 EXERCICES. Sans utiliser ta calculatrice, détermine la mesure de l arête d un cube dont le volume est de : cm m. de l arête : c) cm 7 m. de l arête : cm m. de l arête : 0 9 cm m. de l arête : 8

9 . Les exposants fractionnaires Il est possible de représenter les racines carrées et cubiques, et même les racines énièmes, par des exposants fractionnaires de forme n. Ainsi, pour tout nombre a positif : a est équivalent à a est équivalent à n est équivalent à a EXERCICES 6. Écris les expressions ci-dessous à l aide d un radical. 7. Écris les expressions ci-dessous sans radical. (exposants fractionnaires) 8. Sans utiliser ta calculatrice, calcule la valeur des expressions suivantes. 6 c) 9 e) 8 f) 6 g) 0,00 h) ( ) 9. À l aide de ta calculatrice, donne une valeur approximative arrondis au centième de : 6 c) Calcule la valeur exacte des expressions suivantes en appliquant les lois des exposants. 6 c) 0, e) 8 f) ( 8) g) 6 7 h) ( 7)

10 . Vrai ou faux? Calcule la valeur des expressions suivantes. 6 c) ( 8) 0,07 e ) 6 c) 6 6 f ) 9. Calcule la valeur des expressions suivantes. Si ce n est pas possible, explique pourquoi. 9 9 c) ( 9) ( 9). Complète le tableau ci-contre. Radical Notation exponentielle c) ( 6) e) 7 f ) 808 g) 9

11 .6 D autres lois des exposants Ce tableau présente deux nouvelles lois des exposants. Il reprend également la loi du calcul d une puissance d une puissance que tu as vue à la page 6, mais en y ajoutant cette fois un exemple avec des exposants fractionnaires. Loi Puissance d un produit La puissance d un produit est égale au produit des puissances de même exposant. ) ( ) ) ) Exemples ( a m ) 0 ) ( x y ) Puissance d un quotient La puissance d un quotient est égale au quotient des puissances de même exposant. ) ) a ( ) b m 7 ) où b 0 ) 6 m ) n Ex:. Calcule la valeur exacte des expressions suivantes en appliquant au moins une loi. e) 96 f) 7 6 c) g) i) 8 0

12 EXERCICES. Calcule la valeur exacte des expressions suivantes. 7 c) e) 7 f) g) h) 00 i) 0 6. Les nombres ci-dessous sont rationnels ou irrationnels? 9 π 9 c) ( 0,) ( 0, ) 0 π 7. Calcule la valeur exacte de ces expressions en appliquant au moins une loi des exposants e) c) 7 f) 6 8 g) 7 0 h)

13 8. Selon toi à quoi correspond 8? 9. Place les expressions suivantes de la plus petite à la plus grande. 6 7 ( ) 6 0. Calcule chacune des expressions suivantes. Exprime tes réponses en notation exponentielle, sous la forme d une puissance de. 6 c) 6 7 e) f) 8 g) h). Réduis les expressions suivantes. 6 b 8 b 6 c) e) x y ( xy ) 6xy f) xy 9

14 Consolidation. La figure suivante est formée du rectangle BCDG et des carrés ABGH et GDEF, dont les aires mesurent cm et 8 cm. Quelle est la mesure exacte du côté CE? A B C H cm G D? 8 cm F E Rép. :. Les cubes ci-dessous sont placés de telle sorte qu ils délimitent un rectangle. Le volume du gros cube est de cm et le volume du petit cube est de cm. Quelle est l aire exacte du rectangle délimité par ces deux cubes? Rép. :. Complète les expressions suivantes à l aide du symbole approprié ( ou ). Pour t aider, simplifie chaque expression à l'aide des lois des exposants puis compare-les. c) , 6 0

15 . Parmi les expressions suivantes, laquelle n est pas équivalente aux autres? Justifie chacune de tes réponses en simplifiant les expressions Détermine si chacune des expressions ci-dessous est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse. a b a ( ) b c) a a a a ( 8 + a ) + a a b b b a 6. Calcule les chaînes d opérations suivantes ( ) 7. Un cube a un volume de 6 cm. Exprime son aire totale sous la forme d une puissance de 6. 6

16 8. Exprime les produits suivants à l aide d une expression exponentielle de base. 9. Écris dans chaque case le symbole ou qui convient. 0. Complète par le symbole ou. 7 0

17 . Lis l article suivant, puis réponds aux questions qui l accompagnent. La Nouvelle-Orléans sous les eaux! Le 8 août 00, l ouragan Katrina s est abattu sur les côtes de La Nouvelle-Orléans, ville du sud des États- Unis. Avec des vents atteignant les 80 km/h et des vagues de 9 mètres, les barrages n ont pas réussi à protéger la ville, qui est bâtie en partie sous le niveau de la mer. Des météorologues ont établi que la relation entre la durée t en heures et le diamètre D en kilomètre d un ouragan s exprime par la formule D 80t. Selon eux, l impact dévastateur de Katrina, dont le rayon des vents mesurait plus de 90 km, est attribuable autant à la durée qu à la force de cet ouragan. La Manchette, er septembre 00. Combien de temps a duré l ouragan Katrina? Un ouragan typique dure environ 8heures. Quel est le diamètre d un tel ouragan? c) Quelle est la superficie d un ouragan qui dure 0 heures? Signature d un parent : Le document doit être complété p. à 8 avant l évaluation et le travail doit être de «qualité». 8