Année 2015/2016 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand
|
|
- Élise Laurent
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand Exercice 1 Soient A et B deux éléments de M n (C) tels AB = BA. On veut montrer A et B sont cotrigonalisables (c'est-à-dire qu'elles se trigonalisent à l'aide de la même matrice de passage). (a) Montrer A stabilise les sous-espaces propres de B. (b) Montrer A et B ont un vecteur propre commun. (c) Conclure. (a) Soit λ une valeur propre de B, E λ le sous-espace propre associé et X E λ. Alors B(AX) = BAX = A(BX) = A(λX) = λ(ax), ce qui montre AX E λ : le sous-espace propre E λ est stable par A. (b) Soit λ une valeur propre de B (une telle valeur propre existe car sur C tout polynôme est scindé donc χ B a au moins une racine) et E λ le sous-espace propre associé. Par (a), on peut dénir  : E λ E λ comme la restriction de A à E λ. Mais  est alors un endomorphisme de E λ, qui est un C-espace vectoriel de dimension nie, en consént  possède au moins un vecteur propre X E λ. Il est clair X est aussi un vecteur propre de A (car  est la restriction de A), et comme X E λ, c'est un vecteur propre de B. (c) On montre la propriété demandée (deux matrices complexes carrées de taille n n qui commutent sont cotrigonalisables) par récurrence sur n. Pour n = 1 c'est trivial, on suppose la propriété vraie pour n 1, et l'on se donne A, B M n (C) qui commutent. Par (b), A et B possèdent un vecteur propre commun X. Soit B une base de C n dont X est le premier vecteur, en notant P la matrice de passage de la base canoni à B, on a ( ) ( ) P 1 λa L AP = A et P 1 λb L BP = B, C A C B où λ A, λ B sont des scalaires, L A, L B sont des vecteurs lignes de taille n 1 et C A, C B sont des matrices carrées de taille (n 1) (n 1). Mais en calculant par bloc, on peut voir la condition AB = BA se traduit en C A C B = C B C A. Donc, par hypothèse de récurrence, les matrices C A et C b sont cotrigonalisables. Notons P GL n 1 (C) une matrice de passage qui les cotrigonalise, c'est-à-dire telle (P ) 1 C A P et (P ) 1 C B P soient triangulaires supérieures. On peut alors vérier, en notant ( ) 1 P = P P GL n (C), ( ) ( (P ) 1 AP λa L = A P (P ) 1 C A P et (P ) 1 BP λb L = B P (P ) 1 C B P ce qui montre la matrice de passage P trigonalise à la fois A et B. ), Exercice 2 Soient A et B deux matrices réelles de taille n n telles AB = BA. On suppose de plus A possède n valeurs propres distinctes. (a) Montrer B stabilise les sous-espaces propres de A. (b) Montrer A et B sont codiagonalisables. (c) Montrer B est un polynôme en A. (a) Soit λ une valeur propre de A, E λ le sous-espace propre associé et X E λ. Alors A(BX) = ABX = B(AX) = B(λX) = λ(bx),
2 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand ce qui montre BX E λ : le sous-espace propre E λ est stable par B. (b) Notons λ 1, λ 2,..., λ n les n valeurs propres de A et (X 1, X 2,..., X n ) une base de vecteurs propres associée. Pour tout i {1, 2..., n}, comme BX i E λi = CX i, on voit qu'il existe µ i R tel BX i = µ i X i : le vecteur X i est un vecteur propre de B. En conclusion, (X 1, X 2,..., X n ) est une base de vecteurs propres de A et de B : les matrices A et B sont codiagonalisables. (c) Comme dans (b), notons µ 1, µ 2,..., µ n les valeurs propres de B associées aux vecteurs propres X 1, X 2,..., X n. On note Q le polynôme d'interpolation de Lagrange (de degré n 1) tel pour tout i {1, 2,..., n}, on ait Q(λ i ) = µ i (il faut remarr qu'il est ici important les λ i soient distincts). En notant P la matrice de passage de la base canoni à (X 1, X 2,..., X n ), on a P 1 Q(A)P = Q(P 1 AP ) Q(λ 1 ) Q(λ 2 ) =... Q(λn) µ 1 µ 2 =... µn = P 1 BP. En simpliant à gauche par P 1 et à droite par P, on obtient Q(A) = B, ce qui est le résultat demandé. Exercice 3 Soit A M n (R). (a) Montrer qu'il existe un polynôme annulateur non nul de A. (b) Montrer si A est inversible, A 1 est un polynôme en A. (a) La famille (I n, A, A 2,..., A n2 ) est une famille de cardinal n de vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n 2 (à savoir M n (R)), elle ne peut donc pas être libre. Il existe donc des scalaires λ, λ 1,..., λ n 2 non tous nuls tels λ I n + λ 1 A λ n 2A n2 =, c'est-à-dire le polynôme P = λ + λ 1 X λ n 2X n2 annule A, et il n'est pas nul car il existe au moins un i {, 1,..., n 2 } tel λ i. (b) Soit P = λ + λ 1 X λ n 2X n2 un polynôme non nul qui annule A et p le plus petit indice tel λ p. On peut alors réécrire l'identité P (A) = comme donc en multipliant par A p 1 on obtient ce qui est le résultat voulu. λ p A p = n 2 k=p+1 λ k A k, A 1 = 1 n 2 p 1 λ p+1+k A k, λ p k= Exercice 4 Soient A, B M n (C), on note χ A le polynôme caractéristi de A et Sp(A) (respectivement Sp(B)) le spectre de A (respectivement B). Montrer χ A (B) est inversible Sp(A) Sp(B) =.
3 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand Le polynôme caractéristi de A étant scindé, on note λ 1, λ 2,..., λ n ses racines (comptées avec mutliplicité) de telle sorte χ A (X) = (X λ k ). À partir de là, en remarquant qu'un produit de matrices est n inversible k=1 si et seulement si cha facteur du produit est inversible, n χ A (B) est inversible (B λ k I n ) est inversible k=1 k {1, 2,..., n}, B λ k I n est inversible k {1, 2,..., n}, λ k / Sp(B) λ Sp(A), λ / Sp(B) Sp(A) Sp(B) =. Exercice 5 Soient E un espace vectoriel de dimension nie et u L(E). On suppose qu'il existe un polynôme P annulant u tel P () = et P (). Montrer Im(u) + Ker(u) = E. Compte tenu des hypothèses, on sait P s'écrit P = a 1 X + a 2 X a n X n avec a 1. On va montrer Im(u) Ker(u) = {}, pour cela on se donne y Im(u) Ker(u). En particulier, y = u(x) pour un certain x E. Et de plus u(y) = u 2 (x) =, donc u k (x) = pour tout k 2. En évaluant P (u) en x on trouve donc = P (u)(x) = a 1 u(x) + a 2 u 2 (x) a n u n (x) = a 1 u(x) = a 1 u(x). Comme a 1, on en conclut u(x), c'est-à-dire y, est nul. Cela permet de voir Im(u) et Ker(u) sont en somme directe, mais comme la somme de leur dimension est égale à celle de E (par le théorème du rang), on peut en conclure Im(u) + Ker(u) = E. Exercice 6 Soit E un espace euclidien de dimension n, on note la norme associée. Soit (e i ) 1 i n une famille de vecteurs de E telle x E, x 2 = x, e i 2. (a) Montrer i {1,..., n}, e i 1. (b) Soit i {1,..., n}. En considérant y (Vect(e j ) j i ), montrer e i 1. (c) Montrer (e i ) 1 i n est une base orthonormée de E. (a) Soit i {1,..., n}, on prend x = e i dans la formule donnée par l'énoncé : e i 2 = e i, e j 2 j=1 e i, e i 2 = e i 4. Mais il est facile de voir si e i > 1, on aurait e i 4 > e i 2, de sorte nécessairement e i 1. (b) Comme Vect(e j ) j i est de dimension au plus n 1, le sous-espace vectoriel (Vect(e j ) j i ) est de dimension au moins 1, donc on peut trouver un élément y qui y appartient. En appliquant la relation de l'énoncé avec
4 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand x = y, y 2 = y, e j 2 j=1 = y, e i 2 y 2 e i 2, où l'on a d'abord utilisé le fait y est orthogonal à e j pour j i puis l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il sut alors de diviser par y 2 pour obtenir le résultat souhaité. (c) D'après (a) et (b) les vecteurs e 1, e 2,..., e n sont tous unitaires. Si on se donne i {1, 2,..., n}, en appliquant la formule de l'énoncé avec x = e i, 1 = e i 2 = e i, e j 2 j=1 = 1 + j i e i, e j 2. Cela signie e i, e j 2 =, et donc e i, e j = pour i j. Mais i est arbitraire, cela signie donc j i les vecteurs e 1, e 2,..., e n sont deux à deux orthogonaux. Comme on sait de plus qu'ils sont unitaires et qu'il y en a n, c'est-à-dire la dimension de E, on voit (e i ) 1 i n est une base orthonormée de E. Exercice 7 Soient E un espace euclidien et (e 1, e 2,..., e m ) une famille de vecteurs de E. On note M la matrice ( e i, e j ) 1 i,j m. Montrer (e 1, e 2,..., e m ) est libre si et seulement si det(m). Montrons plutôt (e 1, e 2,..., e m ) est liée si et seulement si det(m) =. Pour le sens direct, on suppose l'on a une relation de liaison, c'est-à-dire qu'un des vecteurs ( l'on note e j ) est combinaison linéaire des autres : il existe des scalaires (λ i ) tels e j = λ i e i. On note C 1, C 2,..., C m les colonnes de M, et l'on eectue l'opération C j C j λ i C i, on note ˆM la matrice obtenue. Si k {1, 2,..., m}, le coecient (k, j) de la matrice ˆM vaut ˆM kj = M kj λ i M ki = e k, e j λ i e k, e i = e k, e j λ i e i = e k, =. Cela montre la j-ième colonne de conclure. ˆM est nulle, donc det( ˆM) = mais det(m) = det( ˆM), c'est donc susant pour Pour le sens récipro, on suppose det(m) = : les colonnes C 1, C 2,..., C m de la matrice M sont liées, c'est-àdire qu'il existe j {1, 2,..., m} et des scalaires (λ i ) tels C j = λ i C i. En écrivant cela ligne par ligne, cela
5 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand signie pour tout k {1, 2,..., m}, e k, e j = λ i e k, e i. Ou, écrit autrement, cela veut dire le vecteur x = e j λ i e i est orthogonal à e k pour tout k {1, 2,..., m}. En particulier, il est orthogonal à toute combinaison linéaire de (e 1, e 2,..., e m ), et donc orthogonal à lui même. C'està-dire x 2 = x, x =, et donc x =. Mais comme on peut le voir, dire x = revient à dire la famille (e 1, e 2,..., e m ) possède une relation de liaison non triviale. Exercice 8 Soit n N. On munit E = R n [X] du produit scalaire déni par P, Q = (a) Vérier, est bien un produit scalaire. P (t)q(t) dt pour P, Q R n [X]. (b) Justier qu'il existe un uni P R n [X] tel Q R n [X], Q() = P, Q. (c) Montrer P est scindé à racines simples et toutes ses racines sont situées dans ], 1[. (a) Se reporter à son cours. (b) L'application ϕ : Q Q() est une forme linéaire sur R n [X]. D'après le théorème de représentation des formes linéaires, il existe un uni P R n [X] tel ϕ(q) = P, Q pour tout Q R n [X]. (c) On peut voir facilement P n'est pas nul : il sut d'évaluer la relation dénissant P avec Q = 1. Supposons alors par l'absurde P ne soit pas scindé à racines simples, avec toutes ses racines dans ], 1[. Notons < x 1 < x 2 <... < x p < 1 les points ], 1[ en lesls P change de signe. Comme ces points sont nécessairement des racines, on a alors p < n, en particulier le polynôme Q(X) = X p (X x i ) est de degré au plus n, et change lui aussi de signe en x 1, x 2,..., x p. En consénce P Q est de signe constant. Comme de plus P Q n'est pas identiment nul (comme produit de deux polynômes non nuls), on a Mais c'est une contradiction avec le fait Q() =. P (t)q(t) dt. Exercice 9 Soit E un espace euclidien, on note la norme associée. On se donne p un projecteur (lcon). Montrer p est un projecteur orthogonal si et seulement si x E, p(x) x. Pour le sens direct, on suppose p est un projecteur orthogonal. Si x E est un vecteur lcon, comme p(x) et x p(x) sont alors orthogonaux (faire un schéma), le théorème de Pythagore s'écrit x 2 = p(x) 2 + x p(x) 2. Il est alors clair p(x) x avec égalité si et seulement si x = p(x) (c'est-à-dire x Im(p)) d'ailleurs. Pour le sens récipro, on raisonne par contraposée et on suppose p n'est pas un projecteur orthogonal : cela signie qu'il existe y Im(p) et z Ker(p) tels y, z. On cherche alors un x tel p(x) > x sous la forme x = y + λz, avec λ R (on aurait pu chercher sous la forme x = µy + λz mais par linéarité de p et homogénéité de la norme on peut supposer µ = 1). Dans ce cas p(x) = y donc p(x) 2 = y 2, et x 2 = y 2 + 2λ y, z + λ 2 z 2.
6 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand Or, on peut voir qu'en prenant λ assez petit et positif (si y, z < ) ou négatif (si y, z > ), on a 2λ y, z + λ 2 z 2 <, puis pour λ assez petit le terme en λ 2 est négligeable devant celui en λ. Et avec un λ choisi de la sorte, on voit p(x) 2 > x 2, ce qui est précisément ce l'on voulait montrer. Exercice 1 Soit E un espace euclidien de dimension n, on note la norme associée. Soit p un projecteur orthogonal. (a) Montrer x, y E, p(x), y = x, p(y) = p(x), p(y). (b) Soit (e i ) 1 i n une base orthonormée de E. Calculer p(e i ) 2. (a) Soient x et y des éléments de E, on écrit x = x 1 + x 2 et y = y 1 + y 2, où x 1, y 1 Im(p) et x 2, y 2 Ker(p). En particulier, l'orthogonalité de p garantit x 1, y 2 = et x 2, y 1 =. On peut donc écrire p(x), y = x 1, y 1 + y 2 = x 1, y 1 = p(x), p(y), et le rôle joué par x et y étant symétri, on peut aussi voir x, p(y) = p(x), p(y). (b) En s'aidant de (a), p(e i ) 2 = = p(e i ), p(e i ) e i, p(e i ). Mais e i, p(e i ) n'est autre le coecient (i, i) de la matrice de p dans la base orthonormée (e i ) 1 i n, matrice l'on note M. En conclusion p(e i ) 2 = M ii = Tr(M) = Tr(p) = rg(p), le passage de l'avant-dernière à la dernière ligne étant une identité (bien connue?) valable pour tout projecteur, qu'il soit orthogonal ou non. Exercice 11 Déterminer [ ] min (t ln(t) at b) 2 dt ainsi le couple (a, b) qui réalise le minimum. (a,b) R 2 Il faut comprendre en quoi c'est un problème relié aux espaces euclidiens. On note E l'ensemble des fonctions continues sur [, 1] l'on munit du produit scalaire f, g E, f, g = f(t)g(t) dt. (Pour rester dans le cadre du programme et en particulier des espaces euclidiens de dimension nie, il faudrait prendre pour E l'espace engendré par t 1, t t et t t ln(t)). On note f E la fonction dénie par f(t) = t ln(t) et G le
7 Année 215/216 Semaine 8 Classe de PC*1, lycée Louis le Grand sous-espace engendré par les fonctions t 1 et t t. Le problème est alors de calculer ainsi l'élément de G qui réalise le minimum. min f g 2 g G Mais on sait l'élément de G qui réalise le minimum est la projeté orthogonal de f sur G. Pour le calculer, plutôt de trouver une base orthonormée de G, on va utiliser le fait ce projeté g est caractérisé par le fait qu'il appartient à f et f g appartient à G, c'est-à-dire { g G. h G, f g, h Grâce à la première condition, on sait qu'il existe a et b tels g(t) = at + b, et pour vérier la deuxième, il sut de montrer g est orthogonale aux fonctions t 1 et t t, c'est-à-dire (t ln(t) at b) dt = 1. t(t ln(t) at b) dt = Il faut d'abord calculer les intégrales, en particulier grâce à des intégrations par parties on voit et t 2 ln(t) dt = 1, de sorte (a, b) vérie le système linéaire 9 t ln(t) dt = 1 4 { 1 2 a + b = a b = 1. 9 On trouve a = 1 6 et b = 1 3. Lors du calcul de la valeur minimale, pour s'épargner un calcul trop lourd on peut remarr f g 2 = f g, f g = f, f g puis f, f g =. C'est-à-dire la quantité l'énoncé demande de calculer vaut Des intégrations par parties montrent [(t ln(t)) 2 16 t2 ln(t) + 13 ] t ln(t) dt. (t ln(t)) 2 dt = 2, de telle sorte 27 [ ] min (t ln(t) at b) 2 dt (a,b) R 2 = = 1 18.
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détail6 Equations du première ordre
6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détail1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité
1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (
Plus en détail