VI CISAILLEMENT SIMPLE

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Damien Robert
il y a 7 ans
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1 VI CISAILLEMENT SIMPLE Il existe de nombreux dispositifs utilisant la sollicitation de cisaillement (outils, cisailles, poinçons ). Le cisaillement simple correspond dans la pratique à une sollicitation d extension - compression biaxiale. 1. Définition a). Cisaillement pur L état de cisaillement pur est caractérisé en tout point d une section (S) de normale n par une contrainte normale nulle et une répartition uniforme de la contrainte tangentielle : M (S) : σ = 0 n τ = Cste nt Remarque : Cette définition s applique à une section droite et non à l ensemble de la poutre b). Cisaillement simple Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsque les actions mécaniques de liaison de réduisent dans une section droite (S) à deux résultantes directement opposées et perpendiculaires à l'axe de la poutre. La section (S) est alors appelée «section de cisaillement» ou «section cisaillée» Remarque : Sous l action des deux résultantes F et F la poutre (P) tend à se séparer en deux tronçons (P 1 ) et (P 2 ) glissant l un par rapport à l autre dans le plan de (S) (action de couteaux d une cisaille) RDM - VI - 1 / 5

2 c). Sollicitations En réalité, les plans de coupe (S A ) et (S B ) de chaque cisaille ne peuvent se placer rigoureusement dans le même plan. Considérons une section droite (S) de la poutre comprise entre (S A ) et (S B ). Soit (P 1 ) le tronçon de la poutre sur lequel est appliquée la résultante F de l effort de coupe supérieur en A. Soit le centre de la section (S) et (,x, y,z) le repère de définition des sollicitations. Le torseur des efforts de cohésion dans la section (S) s écrit : [ T ] = coh M R avec R = F où F = F y et A = x x M = A F En projection sur les axes de (, x, y, z) on a : / y : F = T = Effort tranchant en valeur algébrique / z : F x = M f = Moment de flexion 2. Essai de cisaillement 0 dans le cas du cisaillement simple ( x très petit) R = T y et M = 0 L étude expérimentale est réalisée avec une poutre de section rectangulaire parfaitement encastrée, sur laquelle on applique un effort variable uniformément réparti dans le plan de (S). On note F la résultante en un point A à uns distance très petite x de la section d encastrement (S). RDM - VI - 2 / 5

3 a). Modélisation Considérons le tronçon (P 1 ) de (P). La réduction au centre de surface de (S) du torseur des T = R = F,M = B F forces de cohésion s écrit : [ coh ] { } Soit, en projection dans le repère R (,x, y,z) = : [ T ] coh 0 = F F x Remarque : Pour que cette modélisation soit conforme à la définition du cisaillement de la section (S), il est nécessaire que On peut par contre réaliser l essai avec un moment fléchissant suivant z. x soit nul, ce qui n est pas possible expérimentalement. x très petit ( 0), ce qui permettra de négliger le R b). Résultats Au cours de l essai, la section droite (S A ) glisse transversalement de admet que ce glissement se fait sans déformation interne de (S) et (S A ). y par rapport à (S). On La courbe enregistrée au cours de l essai donne la relation entre l intensité de la force F et le glissement transversal y de la section (S A ) par rapport à (S). RDM - VI - 3 / 5

4 c). Déformations Dans la zone de déformation élastique, il y a proportionnalité entre le glissement transversal y et l effort de cisaillement F : F = k y. La valeur de k dépend des dimensions de l éprouvette. Si on représente un graphique avec : - en abscisse, le rapport y x appelé glissement relatif ou déviation γ (sans unité) - en ordonnée, le rapport F S appelé effort unitaire de cisaillement ( en MPa) On obtient alors des courbes identiques qui ne dépendent que du matériau de l éprouvette. F y On note : = S x où est le module d élasticité transversale ou module de Coulomb (en MPa) (*) Propriété : Pour la plupart des métaux, on a = E avec υ = 0. 3, soit = 3 E 0. 4 E 1 +ν 8 3. Contraintes a). Contrainte enne de cisaillement La contrainte en tout point M d une poutre soumise au cisaillement, par rapport à une surface (S) orientée suivant sa normale extérieure n, vérifie : C(M,n) = τ y +τ z ( σ = 0 ) xy ( ) xz x Démonstration : Equilibre du tronçon (P 1 ) de la poutre soumise au cisaillement Remarque : Dans la section cisaillée, la contrainte est tangentielle, mais on ignore la façon dont elle est répartie. Valeur enne : τ = ( τ xy en un point peut être supérieure à τ ) T S RDM - VI - 4 / 5

5 b). Loi de Hooke Dans la relation (*) exprimant la proportionnalité entre l effort de cisaillement et le glissement relatif, le premier terme représente la contrainte enne τ. On en déduit une relation plus générale : τ = γ avec τ = Contrainte tangentielle du cisaillement ( en MPa) = Module de Coulomb (en MPa) γ = lissement relatif = x y (sans unité) c). Condition de résistance La courbe de l essai de cisaillement permet de définir las caractéristiques du matériau : τ e = F e S : Contrainte tangentielle enne limite élastique τ r = F max S : Contrainte tangentielle enne de rupture τ On peut alors définir une contrainte tangentielle pratique : τ = Où s = coefficient de sécurité (> extension ou compression, compris entre 5 et 8) On obtient alors la condition de résistance au cisaillement : τ τ p p s e Remarque : En pratique, on prend : τ = 0.5 Re pour les aciers doux e 0.7 Re pour les aciers mi-durs 0.8 Re pour les aciers durs et fontes (où Re est la limite élastique du matériau) Condition de non-matage (clavettes) Lorsque la pression de contact P c = F S dépasse une certaine limite appelée pression de matage (écrasement permanent du matériau) accentuation du jeu de fonctionnement (P mat =30 MPa pour l acier doux) Condition de non-matage : Pc P mat RDM - VI - 5 / 5

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