SIMILITUDES. 2. Composées de transformations élémentaires Soit t1 et t2 deux transformations, on cherche la nature de leur composée t2ot1.

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1 SIMILITUDES I. RAPPELS SUR LES TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES def une transformation S du plan est une bijection du plan dans lui-même ; ceci signifie que * à tout point M du plan est associé un unique point S(M) (M a une seule image) * pour tout point N, il existe un unique point M tel que S(M) = N (N a un seul antécédent) 1. Exemples déjà étudiés compléter fiche : définition géométrique avec figures, def complexe Peut-être faire remarquer et compléter les propriétés (effet sur les grandeurs / sur les propriétés géométriques), sinon on le fera au fur et à mesure? Faire remarquer les écritures complexes qui ressemblent aux fonctions élémentaires : z = z+b ; z = az+b avec a réel (homothétie) ou /a/=1 (rotation) ; demander à quelles autres «fonctions» on pourrait s intéresser Eventuellement on pourrait peut-être s amuser à étudier une définition bizarre du genre «z = z²» ou «z' = 1/z» ou «symétrie par rapport à un cercle», mais faire remarquer que ce ne sont pas des transformations! proposition de généralisation : z' = az+b 2. Composées de transformations élémentaires Soit t1 et t2 deux transformations, on cherche la nature de leur composée t2ot1. M M' M'' a) composée de deux translations t1 translation de vecteur u1 d'affixe b1 et t2 translation de vecteur u2 d'affixe b2 prop : t2 o t1 est la translation de vecteur u1+u2. (d'affixe b1+b2) preuves Soit M d'affixe z un point qcq du plan ; on notera M' = t1(m), d'affixe z' et M'' = t2(m'), d'affixe z''. Ainsi M'' = t2ot1(m) * preuve utilisant la def géométrique M' image de M par t1 translation de vecteur u1 d'affixe b1 signifie que MM' =u1 M'' image de M' par t2 translation de vecteur u2 d'affixe b2 signifie que M'M'» =u2 par somme : MM'' = mm'+m'm'' (Chasles) = u1+u2, ce qui signifie que m»» est l'image de M par t, translation de vecteur u1+u2. * preuve utilisant la déf complexe M' (z') image de M(z) par t1 translation de vecteur u1 d'affixe b1 signifie que z' = z+b1 M'' (z'') image de M'(z') par t2 translation de vecteur u2 d'affixe b2 signifie que z'' = z'+b2 En remplaçant : z'' = z'+b2 = (z+b1)+b2 = z + (b1+b2), ce qui signifie que M'' est l'image de M par t, translation de vecteur d'affixe b1+b2, qui est le vecteur u1+u2. b) composée de deux homothéties (exercice) * de même centre ; h1 homothétie de centre et de rapport k1 et h2 homothétie de centre et de rapport k2 ; conjecture : h2oh1 est homothétie de centre et de rapport k1k2. preuves * preuve utilisant la def géométrique M' image de M par h1 homothétie de centre et de rapport k1 signifie que M' = k1 M M'' image de M' par h2 homothétie de centre et de rapport k2 signifie que M'' = k2 M' en remplaçant : M'' = k2 M' = k2 k1 M, ce qui signifie que M'' est l'image de M par h, homothétie de centre et de rapport k1k2. * preuve utilisant la déf complexe M'(z') image de M(z) par h1 homothétie de centre ( w ) et de rapport k1 signifie que z'-w = k1(z-w) M''(z'') image de M'(z') par h2 homothétie de centre ( w ) et de rapport k2 signifie que z''-w = k2(z'-w) En remplaçant : z''-w = k2(z'-w)= k2k1(z-w), ce qui signifie que M'' est l'image de M par h, homothétie de

2 centre ( w ) et de rapport k1k2. rq si k1k2=1 z'' = z donc en fait h2oh1 est l'identité du plan * et de centres différents? Exercice1 : nature de la composée des homothéties h1 de centre 1 (0) et de rapport 2, suivie de h2 de centre 2 (2) et de rapport (-1,5) Exercice1 : nature de la composée des homothéties h1 de centre 1 (0) et de rapport 2, suivie de h2 de centre 2 (i) et de rapport (0,5) [NB : cas général : z'-a = k(z-a) puis z''-b = k'(z'-b) alors z'' = k'(z'-b) +b = k'[k(z-a) +a-b]+b = kk'z-kk'a+k'(a-b)+b est une homothétie de rapport k1k2 pb si k1k2=1!, et de centre = beurk! ] * composée de deux rotations (exercice) * de même centre en exercice : conjecture * preuve géométrique: M'' = M' = M et ( M; M'' )= ( M; M'' ) + ( M; M'' ) = * preuve complexe : il suffit de remplacer, dans la démonstration utilisant l'écriture complexe, k par ei * rq si = 0 * et de centres différents? Conjecture à partir analyse travail sur l'homothétie II. TRANSFORMATIONS Z'=aZ+b cas particuliers * a=1 : translation (de vecteur u d'affixe b) * a réel : homothétie de rapport a) * /a/=1 : rotation d'angle = arg(a) 1. Etude d'un exemple : z' = 3iz-2 selon leurs idées : * points invariants * effet sur les angles ; effet sur les longueurs??? * écriture z'-w = a(z-w) nature de cette transformation 2. Cas général : points invariants z=az+b ssi (1-a)z=b trois cas a) si a=1 et b=0, l'équation est 0z=0 : tout point est invariant ; en effet z' = z est l'écriture complexe de l'identité du plan. b) si a=1 et b 0, l'équation est 0z=b : pas de point invariant; en effet z'=z+b est l'écriture complexe d' une translation (de vecteur u d'affixe b). b c) si a 1, un unique point invariant d'affixe w = 1 a pb : quelle est alors cette transformation? écriture z'-w = a(z-w) nature de cette transformation th si a 1, s a un unique point invariant et s est la composée commutative d'une rotation et d'une homothétie de même centre rq sur le rapport et l'angle on dit que s est une similitude de centre, de rapport k=/a/ et d'angle = arg(a) problème : Am Nord juin 2006 (annales 2008 page 274)

3 3. expression à partir de deux points et leurs images (exercice) : quelle est la nature de la transformation de la forme z--> az+b qi transforme A(2+i) en A'(2) et B(-1-i) en B'(-5+4i)? similitude z' = (1-2i)z=(-2+3i)de centre (1,5+i), vérification au vidéoprojecteur avec géogebra th d'unicité : Etant donnés quatre points A, B, A' et B' avec A A' et B B', il existe une unique transformation z'=az+b transformant A en A' et B en B'. dem : on pose A(z1), B(z2), A'() et B'() avec z1 z2 et On procède exactement comme pour trouver l'équation d'une droite passant par deux points, puisqu'on a un système de deux équations z ' 1 = A z 1 B et z ' 2 = A z 2 B dans lesquelles on cherche a et b : par soustraction : a = z' 2 z ' 1 z 2 z 1 on peut alors calculer b en remplaçant la valeur de a trouvée dans une des deux équations problème : france juin 2005 (annales 2008 p276) en DM pour lundi 7 février 4. propriétés : effet sur les angles ; effet sur les longueurs exercices d'applications des similitudes : * étude de configurations * recherche de lieux * résolution de problèmes de construction

4 III. SIMILITUDES 1. définition géométrique a) def Une similitude est une transformation du plan qui conserve les rapports de distance càd : si AB/CD = r alors A'B' / C'D' = r (càd on a égalité des rapports AB/CD = A'B' / C'D') b) rapport d'une similitude prop une similitude est une transformation qui multiplie les longueurs par un réel k constant, appelé rapport de la similitude dem : si une longueur AB est multipliée par k càd A'B' = k AB, alors A'B'/AB = k donc d'après l'égalité des rapports déduite de la définition, C'D'/CD = k la longueur CD est bien multipliée elle aussi par k. isométrie def une similitude de rapport 1 est une isométrie : elle conserve les longueurs (A'B' = AB) exemples : une translation, une rotation, une symétrie axiale sont des isométries une homothétie de rapport k est une similitude de rapport /k/ prop une transformation z'=az+b est une similitude de rapport k = /a/ preuve : A'B' = /zb'-za'/ = / (aza+b)-(azb+b)/ = / a(zb-za)/ = /a/ * /zb-za)/ = /a/ * AB 2. composée de deux similitudes la composée de deux similitudes est une similitude attention : la composition n'est pas toujours commutative : exemple et contre-exemple (voir act3 p70) la transformation réciproque d'une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1/k 3. similitudes et points fixes th une similitude ayant trois points fixes non alignés est l'identité du plan. Dem raisonnons par l'absurde : supposons que s ne soit pas l'identité : il existe alors un point M d'image M' telle que M' M. * par déf de similitude A'M'/B'C' = AM/BC or ABC sont invariants, d'où AM'/BC = AM/BC donc AM'=AM, et A est sur la médiatrice de [MM'] on montre de même que B et C sont eux aussi sur la médiatrice de [MM'], ce qui est en contradiction avec l'hypothèse ABC non alignés. s ne peut donc être que l'identité. Th une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l'identité du plan., soit une symétrie axiale une similitude ayant deux points fixes est une isométrie car le rapport k = A'B'/AB = AB/AB = 1 soit C un point n'appartenant pas à (AB), et C' = s(c) si C' = C, alors s a trois points fixes non alignés et s est l'identité si C' dif C, s étant une isométrie, A'C'=AC, avec A invariant donc AC'=AC et A est sur la médiatrice de [CC'] on montre de même que B est aussi sur la médiatrice de [CC'], On en déduit que la droite (AB) est la médiatrice de [CC'] : on reconnaît la définition de la symétrie axiale d'axe (AB).

5 IV SIMILITUDES DIRECTES, SIMILITUDES INDIRECTES 1. effet sur les angles prop : une similitude transforme un triangle en un triangle semblable ; elle conserve donc les angles géométriques si A,B,C A',B',C' alors comme une similitude multiplie les longueurs par un nombre k fixé, les triangles ABC et A'B'C' sont semblables, dans un rapport k. Leurs angles sont donc égaux (CF th 2de): ABC = A'B'C'. pb : conserve-t-elle les angles orientés? * Les translations, les homothéties, les rotations conservent les angles orientés : (AB,CD ) = (A'B',C'D') : ce sont des similitudes directes * les symétries axiales transforment les angles orientés en leur opposé : (AB,CD ) = (A'B',C'D') : ce sont des similitudes indirectes. problème : inde avril 2003 (page 280) 2. similitudes directes def une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés th les similitudes directes sont les transformations dont l'expression complexe peut s'écrire sous la forme z'=az+b * si f a une expression de la forme z'=az+b, alors f est bien une similitude car elle multiplie les longueurs par /a/. En effet : A'B' = /zb'-za'/ = / (aza+b)-(azb+b)/ = / a(zb-za)/ = /a/ * /zb-za)/ = /a/ * AB. De plus f est la composée d'une homothétie et d'une rotation qui conservent toutes deux les angles orientés : elle va donc bien être une similitude directe * réciproquement, soit f est une similitude directe; notons O (0), I(1) et M(z) et leurs images par f : O'(p'), I'(q'), M'(z') f est une similitude donc (def) elle conserve les rapports de longueurs, càd O'M'/O'I' = OM/OI d'où /.../ = /.../ f est une similitude directe donc (def) elle conserve les angles orientés, càd ( O'I';O'M') = (OI ; OM) d'où arg( ) = arg ( ) on en déduit l'égalité des complexes :.../... =.../... qui donne z' = (q'-p')z+p' En posant a = q'-p' (non nul car O' I') et b=p', on déduit bien que l'écriture complexe de f est de la forme z'=az+b. 3. similitudes indirectes def une similitude indirecte est une similitude qui transforme les angles orientés en leur opposé th les similitudes directes sont les transformations dont l'expression complexe peut s'écrire sous la forme z'=az+b * Soit f une transformation ayant une expression de la forme z'=az+b, alors - f est bien une similitude car elle multiplie les longueurs par /a/. En effet : A'B' = /zb'-za'/ = / (aza+b)- (azb+b)/ = / a(zb-za)/ = /a/ * /zb-za)/ = /a/ * AB. - f est indirecte car f est la composée de la symétrie axiale d'axe (Ox), (z zbar), puis d'une similitude directe z»=az'+b. La symétrie inverse les angles orientés, qui sont ensuite conservés tels quels : la composée a bien transformé les angles orientés en leurs opposés: f est bien une similitude indirecte * réciproquement, soit f est une similitude indirecte; notons s la symétrie axiale d'axe (Ox) et étudions la transformation S = fos: - S est la composée de deux similitudes, donc S est une similitude - les deux similitudes f et s sont indirectes, leur composée conserve donc les angles orientés : S est donc une similitude directe, et elle a une écriture de la forme z'=az+b. Par suite Sos = (fos)os = fo(sos) = f d'où f(z) = Sos(z) = S(zbar) = azbar+b