Marketing quantitatif M2-MASS

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1 Marketing quantitatif M2-MASS UCBN 2 décembre 2012 UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

2 Première partie I Analyse Analyse conjointe métrique Analyse conjointe non métrique Analyse conjointe des choix UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

3 Chapitre UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

4 Analyse conjointe Objectifs Outils modéliser le choix d une persone ou d un groupe de personne devant plusieurs alternatives. marketing : choix d un produit à acheter parmi plusieurs. psychométrie : modélisation du comportement des consommateurs. anova modèles linéaires transformations monotones. modèle de régression logistique et multinomial. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

5 Pour concevoir un cours, un professeur se pose les questions suivantes : 1. Quel est la difficulté mathématiques des notions enseignées : difficile, peu difficile, aucune. 2. Adequation du cours avec des demandes professionnelles : bonne, moyenne, aucune. 3. Quel doit être l investissement hebdomadaire moyen de l étudiant : plus de cinq heures,entre une et cinq heures, aucun. On dit que trois questions sont des attributs ;difficulté, adéquation, investissement. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

6 Choix possibles L ensemble des modalités des variables qualitatives ou attributs est un ensemble ordonné. Quels sont les choix possibles quand on pose une seule question : difficulté aucune peu difficile difficile adequation aucune moyenne bonne investissement aucun entre 1h et 5h plus de 5h Le choix par attribut se fera en sélectionnant les modalités extrémales. Par exemple sur la question de l invetissement, on pourra avoir : profil 1 aucun investissement. profil 2 +5h. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

7 Un cours idéal pourrait être mathématiquement difficile, Choix optimal ayant une bonne adéquation avec le monde industriel ne demandant aucun investissement de la part de l étudiant. Problèmes : L étudiant aura -il assimilé les notions? Quel va être le coût horaire de conception du cours pour le prof? Ce cours existe t-il? On cherche une solution optimale en cherchant à prendre les meilleurs alternatives sur plusieurs critères : est ce possible? UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

8 Difficulté et adéquation etu1 difficulté adéquation difficile peu difficile facile bonne moyenne aucune Table: trade-off adéquation et difficulté rang etu1 etu2 difficulté adéquation difficile peu difficile facile bonne moyenne aucune Table: trade-off adéquation et difficulté rang etu2 UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

9 Etudes des classements les deux étudiants préfèrent la même solution : notions difficiles et une bonne adéquation du cours vis à vis du monde professionnel. Les deux étudiants sont aussi d accord sur la solution qu il préfère le moins : notion facile et aucune adéquation vis à vis du monde professionnel. Le premier étudiant classe en première et deuxième position de préférence une bonne adéquation du cours et des notions difficiles ou peu difficile : il ne fait pas de compromis, (trade-off) sur l adéquation du cours quand il doit la comparer à la difficulté des notions enseignées. Le deuxième étudiant préféfère en première et deuxième solution un cours avec des notions difficiles, et une adéquation bonne ou moyenne. Il choisit en premier la difficulté mathématique et en second l adéquation. Il ne fait pas de compromis sur la difficulté quand elle est comparée à l adéquation. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

10 Modélisation du rang A chaque modalité, on associe un nombre ou utilité partielle. L utilité totale d une combinaison sera la somme des utilités partielles des modalités utilités dans la combinaison. etu1 difficulté adéquation difficile/ 50 peu difficile/ 25 facile/ 0 bonne/ 100 1/150 2/125 4/100 moyenne/ 60 3/110 5/100 6/85 aucune/ 00 7/50 8/25 9/0 Table: trade-off adéquation et difficulté Pour cet étudiant on voit que l attribut ayant une utilité partielle maximale est la modalité bonne de l attribut adéquation (coefficient 100), tandis que la deuxième variable a une utilité partielle maximale de 50. Le rang des utilités correspond exactement aux rangs des préférences. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

11 Difficulté et investissement On étudie ici les choix que l étudiant fait quand il croise investissement personnel et difficulté des notions. On voit que cet étudiant préfère apprendre des notions difficiles, puis après dépenser le moins de temps possible en investissement. etu1 difficulté investissement difficile/ 50 peu difficile/ 25 facile/ 0 aucun/20 1/70 4/45 7/20 1-5h/5 2/55 5/30 8/5 +5h/0 3/50 6/25 9/0 Table: trade-off adéquation et difficulté UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

12 Utilités partielles pour etu1 On dégage l ensemble des utilités partielles des modalités des attributs pour l étudiant numéro 1. adéquation u.p. difficulté u.p. investissement u.p. bonne 100 difficile 50 aucun 20 moyenne 60 peu difficile h 5 aucune 0 facile 0 +5h 0 Table: Tableau des utilités partielles UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

13 Prédiction de choix Solution 1 Solution 2 adéquation bonne 100 moyenne 60 difficulté aucune 0 difficile 50 investissement 1-5h 5 +5h 0 utilité totale Table: Prédiction des utilités L étudiant 1 devrait donc préférer la deuxième soluion à la première solution. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

14 Résumé Une étude d analyse conjointe se décompose en 1. Déterminer l ensemble des attributs 2. Déterminer le plan d expériences 3. Pour chaque personne de l échantillon, déterminer les préférences. 4. Estimer les utilités partielles. 5. Prédire l achat du consommateur ou du groupe de consommateurs. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

15 Chapitre UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

16 On étudie les préférences des consommateurs sur des produits : Chaque produit est décrit par p attributs qualitatifs X i = {m1 i, mi 2,, mi n i }. Les éléments de l ensemble des attributs X = X 1 X p sont appelés combinaisons d attributs ou stimulis. Le plan d expérience ou plan factoriel est une partie de l ensemble des attributs P X. Seuls ces combinaisons d attributs seront évaluées par les consommateurs La préférence Y d un individu pour une combinaison d attributs x P peut être note sur une échelle déterminée (rating, métrique) rang du stimuli parmi les stimulis présentés(ranking, non métrique). choix du stimuli préféré parmi un ensemble de combinaisons proposées (choice, binaires). Prédire Y (x) pour un individu, pour chaque combinaison d attributs x X. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

17 Chaque enquété doit Questionnaire trades-off classer par ordre de préférence sans ex aequo (premier=préféré) les combinaisons d attributs de couples d attributs. profils complets doit noter ou ordonner toutes les combinaisons de l ensemble des attributs. profils partiels doit noter ou ordonner une sélection de combinaisons d attributs. choix multiples doit sélectionner pour plusieurs ensembles de combinaisons, sa combinaison préférée par ensemble. choix binaire doit choisir sa combinaison préférée parmi plusieurs ensemble de deux combinaisons d attributs. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

18 Chapitre Analyse conjointe métrique UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

19 Paragraphe Analyse conjointe métrique UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

20 métrique Pour chaque enqueté, on modélise la note qu il a donné à une combinaison en fonction de cette combinaison d attributs. Attributs soit X = X 1 X p l ensemble des attributs. Echantillon indépendant on observe pour un individu (Y x ) x P les notes données à chaque combinaisons du plan d expériences d attributs x P. Un modèle métrique de la note en fonction des attributs est un modèle linéaire gaussien de variance σ 2. aléas Y µ N (µ, σ 2 ) fixe un modèle additif défini par le codage z : X M p,1 (R) lien β M p,1 (R), x X, µ(x) = z(x) β UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

21 Vocabulaire Utilité l utilité d une combinaison d attributs est { X R U : x z(x) β Utilité partielle Soit z i : X i M pi (R) un codage de l attribut X i et z un codage additif sans interactions z = z z p. l utilité partielle du ième attribut X i est { X i R U i : x z i (x) β i Importance L importance du i-ème attribut est I i = Max(U i) Min(U i ) Max(U) Min(U) UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

22 Paragraphe Analyse conjointe métrique UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

23 Problématique On modélise l utilité d un cours par un étudiant, en lui demandant de noter entre 1 et 9 certaines propositions. Attributs On définit trois attributs Le premier attribut est la nature du cours : X 1 = {professionnel, theorique} Le deuxième attribut caractérise les prérequis X 2 = {M1, sans} Le troisième attribut caractérise le niveau du cours X 3 = {difficile, facile} plan factoriel On choisit un plan factoriel complet P = X = X 1 X 2 3 Modele On considère un modèle additif sans interactions pour les utilités partielles : si z i est un codage de X i, alors on prend comme codage de X : z = z 1 + z 2 + z 3 UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

24 Les données nature prerequis niveau note 1 professionnel M1 difficile 7 2 professionnel M1 facile 6 3 professionnel sans difficile 6 4 professionnel sans facile 4 5 theorique M1 difficile 9 6 theorique M1 facile 8 7 theorique sans difficile 9 8 theorique sans facile 7 Table: La notation d un étudiant UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

25 La régression linéaire On a choisit ici des contrastes à somme nulle, on a par exemple pour le contraste de l attribut nature z 1 (nature) = δ professionnel (nature) δ theorique (nature) Le signe plus est pour la première modalité (ordre alphabéthique). Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) nature prerequis niveau UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

26 prerequis Utilités partielles Pour l étudiant enquété, les utilités partielles sont nature niveau U 2 (prerequis) = 0.5(δ M1 (prerequis) δ sans (prerequis)) { 0.5 si prerequis = M1 = 0.5 si prerequis = sans U 1 (nature) = 1.25(δ professionnel (nature) δ theorique (nature { 1.25 si nature = professionnel = 1.25 si nature = theorique U 2 (niveau) = 0.75(δ difficile (niveau) δ facile (niveau)) { 0.75 si niveau = difficile = 0.75 si niveau = facile UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

27 Utilité L utilité d une combinaison d attributs x X est la somme des utilités partielles et du terme constant. U(x) = Cst + U 1 (x 1 ) + U 2 (x 2 ) + U 3 (x 3 ) Calculons l utilité de la combinaison x = (nature = theorique, prerequis = sans, niveau = difficile) X Cette combinaison est appréciée puisque que son utilité est estimée à U(x) = = 8.5 UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

28 utilité les extrema de l utilité sont Importances Min(U) = Max(U) = Max(U) Min(U) = 2( ) = 5 nature L importance de l attribut nature est Min(U 1 ) = 1.25 Max(U 1 ) = 1.25 I 1 = Max(U 1) Min(U 1 ) Max(U) Min(U) = = 50% UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

29 X.pred=X;X.pred$note=predict(m) plot.design(note~.,data=x.pred) theorique Graphiques mean of note M1 sans difficile facile professionnel nature prerequis niveau Factors UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

30 X.pred=X;X.pred$note=predict(m) plot.design(note~.,data=x.pred) theorique Graphiques mean of note M1 sans difficile facile professionnel nature prerequis niveau Factors UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

31 Conclusions L attribut le plus important dans la préférence de cette étudiant est l attribut nature il compte pour moitié dans l appréciation du cours. L attribut le moins important sont le prérequis. Le cours le plus apprécié serait un cours de nature théorique, ayant des prerequis de M1 et difficile. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

32 Chapitre Analyse conjointe non métrique UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

33 Paragraphe Analyse conjointe non métrique UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

34 L individu questionné ordonne les combinaisons d attributs selon sa préférence. Le modèle n est plus un modèle linéaire, mais un modèle dit d analyse de la variance mononone. Soit n le nombre de combinaisons du plan factoriel Soit T η : R R croissante on cherche T η et β telque la fonction de lien s écrive : T η (µ x ) = z(x) β La procédure transreg permet de trouver cette tronsformation appelée MONANOVA. On analyse de la variance monotone. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

35 Paragraphe Analyse conjointe non métrique UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

36 UCBN Figure: MarketingTransformation quantitatif M2-MASS mononote 2 décembre / 61 Analyse Transformation monotone Voici la transformation trouvée par SAS dans l exemple précédent A n a l y s e c o n j o i n t e n o n m e t r i q u e f ( n o t e ) n o t e

37 Chapitre Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

38 Paragraphe Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

39 Choix discrets On désire modéliser le choix d individus faces à un ensemble finis d alternatives en fonction de covariables dépendant des alternatives et de variables dépendant de l individu. Marketing Choix d un produit, modéliser le choix, prédire le choix pour une population, études de l impact de prix. Trafic Choix d un trajet d un moyen de transport, problème de routage. Economique Modélisation du choix individuels de formation. L analyse conjointe traditionnelle estime d abord les préférences de chacun des alternatives possibles, puis les probabilités de choisir une des alternatives. Les modèles de choix discrets modélisent le choix de l alternative directement. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

40 Paragraphe Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

41 L abréviation veut dire Choice Based Conjoint Attributs Soit X = X 1 X p l ensemble des attributs (alternatives) Ensemble de choix Soit (C j ) 1 j q une famille de partie de X (choice sets). Réponse Parmi tous les ensembles de choix C j l enquêté doit choisir la combinaison d attributs préféré. La réponse est donc binaire par ensemble de choix. Objectif Modéliser la probabilité de choisir un élément ou une alternative d un ensemble de choix en fonctions des combinaisons d attributs. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

42 de décision discrète Choice sets Soit C j = {x 1,j,, x pi,j} X. Un ensemble de choix. individu A chaque individu i I de la population enquêtée, on associe le numéro de la modalité préférée du j-ème ensemble de choix n j opt Utilité L individu i définit utilités U i (x) pour chaque combinaisons d attributs. U i : X R. choix L individu i choisit l alternative n j opt de l ensemble de choix C j si l utilité de l alternative x n j opt,j est strictement plus grande que toutes les autres utilités de l ensemble de choix C j. U i (x n j opt,j) > U i(x k,j ), k [1, p i ], k c UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

43 Paragraphe Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

44 Modélisation de l utilité L utilité d une alternative x X pour l individu i I va être la somme de deux termes : 1. d un effet fixe qui dépend l individu et de l alternative. Soit z : X M p,1 (R) un codage caractérisant un modèle additif. 2. d un effet aléatoire qui dépend l individu et de l alternative. U i (x) = z(x) β + ɛ i,x On ne peut pas mesurer précisément l utilité ( analyse conjointe métrique ou non métrique). On recueille le choix fait pas l individu. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

45 Probabilité du choix L individu i choisit l alternative j C = [1, J] si U j = z(x j ) β + ɛ j > z(x j ) β + ɛ j j C j P j = Pr([U j > (U j ) j C j]) = Pr([ɛ j < z(x j ) β z(x j ) β + ɛ j, j C j]) = ɛj =+ ɛ2=z(x j ) β z(x 2) β+ɛ j ɛ j = ɛ 2=... ɛj =z(x j ) β z(x J ) β+ɛ j ɛ J = f (ɛ)dɛ ou l on suppose que f (ɛ) est la densité du vecteur (ɛ 1,, ɛ J ). UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

46 Indépendance Si on suppose l indépendance du vecteur ɛ alors P j = Pr( j C,j j[ɛ j < z(x j ) β z(x j ) β + ɛ j ]) UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

47 multinomial On suppose que 1. l indépendance des composantes (ɛ 1,, ɛ J ) On a alors f (ɛ) = Π k C f ɛj (ɛ j ) P j = = ɛj =+ ɛ j = ɛj =+ ɛ j = ( ) ɛk =z(x j ) β z(x k ) β+ɛ j f ɛj (ɛ j )Π k j f ɛk (ɛ k )dɛ k dɛ ɛ k = f ɛj (ɛ j ) ( Π k j F ɛk (z(x j ) β z(x k ) β + ɛ j ) ) dɛ j UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

48 Paragraphe Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

49 P j = ɛj =+ ɛ j = logit Hypothèses : indépendance L indépendance du vecteur ɛ loi la fonction de répartition est F ɛ = exp( e ɛ ). Ces lois doublement exponentielles sont dites de Gumbel. La densité est f ɛj (ɛ j ) = e ɛ j exp( e ɛ j ) = = = ɛj =+ ɛ j = ɛj =+ ɛ j = ɛj =+ ɛ j = e ɛ j exp( e ɛ j ) exp( e z(x j ) β z(x k ) β+ɛ j dɛ k j ( ) e ɛ j exp( e z(x j ) β z(x k ) β+ɛ j k e ɛ j exp( e z(x j ) β z(x k ) β+ɛ j )dɛ j k e ɛ j exp( e ɛ j e z(x j ) β z(x k ) β )dɛ j UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61 k

50 logit En faisant le changement de variable y = exp( ɛ j ). P j = = = = y= y=0 exp( y k 1 k ez(x j ) β z(x k ) β 1 k ez(x j ) β z(x k ) β e z(x j ) β k ez(x k) β e z(x j ) β z(x k ) β )dy [ exp( y k e z(x j ) β z(x k ) β ) ] y= y=0 On trouve un modèle ou les probabilités de choisir l alternative j sont proportionnelles aux exponentielles des utilités. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

51 Paragraphe Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

52 logit Si l ensemble des alternatives est constant et a deux éléments, on peut choisir le modèle linéaire généralisé binomial de fonction de lien logit. multinomial Si l ensemble des alternatives est toujours le même, on peut alors modéliser la décision par un modèle linéaire généralisé mutinomial. probit Si pour la variable ɛ on prend une loi gaussienne, on obtient des modèles multinomiaux probits. On peut alors construire des modèles emboîtés ou le choix est un arbre de décision. mult. probit Sans l hypothèse d indépendances, le choix à l intérieur d un ensemble d alternatives sont dépendants, on obtient des modèles mixtes. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

53 Paragraphe Analyse conjointe des choix de choix discrets multinomial logit UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

54 Plan factoriel noir texture noisette CHOICEID 1 lait elastique FALSE 1 2 lait elastique TRUE 2 3 lait tendre FALSE 3 4 lait tendre TRUE 4 5 noir elastique FALSE 5 6 noir elastique TRUE 6 7 noir tendre FALSE 7 8 noir tendre TRUE 8 Les alternatives sont codées par un nom ou un numéro, on trouve souvent le nom id. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

55 Choice sets SET CHOICE1 CHOICE2 CHOICE3 CHOICE4 CHOICE5 CHOICE6 CHOICE Table: un ensemble de choix, 8 alternatives SET CHOICE1 CHOICE2 CHOICE3 CHOICE Table: deux ensembles de choix à 4 alternatives L ensemble numéro 2 contient les alternatives numéro 5,6,7 et 8. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

56 Table résultats ID SET CHOICE L indivu 2 a choisi dans l ensemble de choix numéro 1, la 6 ème alternative. UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

57 Table avant analyse noir texture noisette CHOICEID CHOICE ID SET 1 lait elastique FALSE lait elastique TRUE lait tendre FALSE lait tendre TRUE noir elastique FALSE noir elastique TRUE noir tendre FALSE noir tendre TRUE Table: Choix du premier individu pour le premier ensemble UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

58 Résultats agrégés noir texture noisette noir tendre TRUE 0 FALSE 1 elastique TRUE 5 FALSE 2 lait tendre TRUE 0 FALSE 0 elastique TRUE 2 FALSE 0 UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

59 Identification R > summary(m) Call: coxph(formula = Surv(2 - CHOICE, CHOICE == 1, type = "right") ~ noir + texture + noisette + strata(id), data = X1, method = "breslow", model = TRUE, x = TRUE) n= 80 coef exp(coef) se(coef) z p noirlait textureelastique noisettefalse UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

60 Résultats noir noisette texture Utilite proba 1 lait FALSE elastique lait TRUE elastique lait FALSE tendre lait TRUE tendre noir FALSE elastique noir TRUE elastique noir FALSE tendre noir TRUE tendre UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

61 Importances coefs importance noirlait textureelastique noisettefalse UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre / 61

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