TP Test Info4 et Solution :Méthodes Numériques

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1 TP Test Info4 et Solution :Méthodes Numériques M.LICHOURI 15 Mai 2013 Dernière mise à jour : à 18:14:14 1 Exercice1 : (5pts) CHOISISSEZ UN PROBLEME PARMIS LES CINQ PROBLEMES SUIVANTS : 1.1 Problème 1 (Fonds d'investissement) Le client d'une banque dépose au début de chaque année v euros dans un fonds d'investissement et en retire, à la n de la n eme année, un capital de M euros. Nous voulons calculer le taux d'intérêt annuel moyen T de cet investissement. Comme M est relié à T par la relation : M v k1 np1 T qk v 1 T T rp1 T qn 1s, nous déduisons que T est racine de l'équation algébrique non linéaire f pt q 0 avec : f pt q M v 1 T T rp1 T qn 1s, Application Numérique Problème 1 Résoudre ce Problème par la méthode de Newton avec une tolérance de 10 12, en supposant que M 6000euro, v 1000euro et n 5. Pour trouver T on prend l'intervalle ]0.01, 0.1[. Page 1/18

2 1.1.2 Solution Problème 1 Listing 1 Probléme 1 1 c l c ; 2 clear ; 3 a = ; 4 b = 0. 1 ; 5 eps=10^ 12;nb=0; 6 e r r = 0. 1 ; 7 T0=0.06; 8 f=i n l i n e ( ' *((1+ T )./ T ).*((1+ T ).^(5) -1) ') 9 d f=i n l i n e ( ' -1000*( -1./ T ^2).*((1+ T ).^(5) -1) -1000* ((1+ T )./ T ).*(5*(1+ T ).^4) ' ) 11 f p r i n t f ( ' Etape T f(t )\ n ' ) 12 f p r i n t f ( '...\ n ' ) i f f ( a ) f ( b)<0 15 while ( e r r >eps ) 16 nb=nb+1; T1=T0 f (T0)/ d f (T0 ) ; e r r=abs (T1 T0 ) ; 19 T0=T1 ; 20 f p r i n t f ( '%3 i %12.8 f %12.8 f\n ', nb, T0, f (T0 ) ) 21 end 22 end Page 2/18

3 Résultat : Résultat Problème 1 1 f = 2 3 I n l i n e function : 4 f (T) = ((1+T). /T). ((1+T). ^ ( 5 ) 1 ) d f = 8 9 I n l i n e function : 10 d f (T) = 1000 ( 1./T^ 2 ). ((1+T). ^ ( 5 ) 1 ) ((1+T). /T). (5 (1+T). ^ 4 ) Etape T f (T) Problème 2 (Equation d'état d'un gaz) Nous voulons déterminer le volume V occupé par un gaz dont la température est T et dont la pression est p. L'équation d'état (i.e. l'équation liant p, V et T ) est donnée par : rp apn {V q 2 spv Nbq knt, où a et b sont deux coecients qui dépendent du gaz considéré, N est le nombre de molécules contenues dans le volume V et k est la constante de Boltzmann. Nous devons donc résoudre une équation non linéaire dont la racine est V Application Numérique Problème 2 Pour CO 2 (dioxyde de carbone)les coecients a et b dans ce probléme prennent les valeurs suivantes : a 0.401P a.m 6, b m 3 (Pa signie Pascal). Trouver le volume occupé par 1000 molécules de CO 2 à la température T 300K et la pression p P a par la méthode de dichotomie, avec une tolérance de (la constante de Boltzmann vaut k Joule.K 1 ). On considére l'intervalle ]0.01, 0.06[. Page 3/18

4 1.2.2 Solution Problème 2 On doit calculer les zéros de la fonction f pv q pv an 2 {V abn 3 {V 2 pnb knt, où N est le nombre de molécules. Listing 2 Probléme 2 1 c l c ; 2 clear ; 3 %p = ^7; 4 %a = ; 5 %b= ^ 6; 6 %N=1000; 7 %k = ^ 23; 8 %T=300; 9 10 a = ; 11 b = ; 12 eps=10^ 12; 13 f=i n l i n e ( ' * V / V / V.^ ') 14 eps = ; 15 nb=0; 16 f p r i n t f ( 'nb V f(v) \n ' ) 17 f p r i n t f ( ' \n ') 18 i f f ( a ) f ( b)<0 19 while ( b a)>eps 20 nb=nb+1; 21 V=(a+b ) / 2 ; 22 i f f ( a ) f (V)<0 23 b=v; 24 e l s e 25 a=v; 26 end 27 f p r i n t f ( '%i %10.5 f %10.5 f \n ', nb, V, f (V) ) 28 end 29 end Page 4/18

5 Résultat : Résultat Problème 2 1 f = 2 3 I n l i n e function : 4 f (V) = V /V /V. ^ nb V f (V) >> 1.3 Problème 3 (Projectile) Un projectile, envoyé avec une vitesse v 0 et un angle α dans aun tunnel de hauteur h, atteint son maximum quand α est tel que sinpαq p2gh{v0 2 q, où g 9.8m{s 2 est l'accélération de la gravité Application Numérique Problème 3 Calculer α en utilisant la méthode de Newton, en supposant que v 0 10m{s et h 1m Solution Problème 3 a On doit calculer le zéro de la fonction f pxq sinpxq p2gh{v0 2 q Page 5/18

6 Listing 3 Probléme 3 1 c l c ; 2 clear ; 3 % g = 9. 8 ; 4 % h=1; 5 % v0 =10; 6 % 7 % x = 0 : 0. 1 : p i ; 8 % f=s i n ( x) s q r t ( / ) ; 9 % p l o t ( x, f ) 10 % g r i d on 11 % Y en a deux r a c i n e un s u r l ' i n e r v a l l e ] 2. 5, 3 [ e t l ' a u t r e 12 % s u r ] 0, 0. 5 [ 13 % 14 a = 2. 5 ; 15 b=3; 16 eps=10^ 12;nb=0; 17 e r r = 0. 1 ; 18 x0 =2; 19 f=i n l i n e ( ' sin (x ) ' ) 20 d f=i n l i n e ( ' cos (x) ' ) 21 f p r i n t f ( ' Etape x f(x )\ n ' ) 22 f p r i n t f ( '...\ n ' ) i f f ( a ) f ( b)<0 25 while ( e r r >eps ) 26 nb=nb+1; xt=x0 f ( x0 )/ d f ( x0 ) ; e r r=abs (xt x0 ) ; 29 x0=xt ; 30 f p r i n t f ( '%3 i %12.8 f %12.8 f\n ', nb, x0, f ( x0 ) ) 31 end 32 end Page 6/18

7 Résultat : Résultat Problème 3 1 f = 2 3 I n l i n e function : 4 f ( x ) = sin ( x ) d f = 8 9 I n l i n e function : 10 d f ( x ) = cos ( x ) Etape x f ( x ) >> 1.4 Problème 4 (Couloire) Un couloir a la forme indiquée sur la Figure La longueur maximale L d'une barre qui peut passer d'une extrémité à l'autre en glissant sur le sol est donnée par : L l 2 {psinpπ γ αqq l 1 {sinpαq, où α est solution de l'équation non linéaire : l 2 cospπ γ αq sin 2 pπ γ αq l 1 cospαq sin 2 pαq 0, Application Numérique Problème 4 Calculer α par la méthode de dichotomie pour l 2 10, l 1 8 et γ 3π{5. Page 7/18

8 Figure Solution Problème 4 Listing 4 Probléme 4 1 c l c ; 2 clear ; 3 % l 1 =8; 4 % l 2 =10; 5 % gamma=3 p i / 5 ; 6 % 7 % alpha = 0 : : p i / 4 ; 8 % f =10 ( c o s ( alpha ). / ( s i n ( alpha ) ). ^ 2 )... 9 % 8 ( c o s ( alpha ). / ( s i n ( alpha ) ). ^ 2 ) ; 10 % p l o t ( alpha, f ) 11 % g r i d on 12 % Y en a une r a c i n e un s u r l ' i n e r v a l l e ] 0. 5, 0. 6 [ 13 % 14 a = 0. 5 ; 15 b = 0. 6 ; 16 eps=10^ 12; 17 f=i n l i n e ( ' 10*( cos ( alpha )./( sin ( alpha )).^2) *( cos ( alpha )./( sin ( alpha )).^2) ') 19 nb=0; 20 f p r i n t f ( 'nb alpha f( alpha ) \n ' ) 21 f p r i n t f ( ' \n ') 22 i f f ( a ) f ( b)<0 23 while ( b a)>eps 24 nb=nb+1; 25 alpha =(a+b ) / 2 ; 26 i f f ( a ) f ( alpha )<0 27 b=alpha ; 28 e l s e 29 a=alpha ; 30 end 31 f p r i n t f ( '%i %10.5 f %10.5 f \n ', nb, alpha, f ( alpha ) ) Page 8/18

9 32 end 33 end Résultat : La méthode de Dichotomie donne la valeur approchée en 37 itérations. On en déduit que la longueur maximale d'une barre pouvant passer dans le couloir est L m. Résultat Problème 4 1 f = 2 3 I n l i n e function : 4 f ( alpha ) = 10 ( cos ( alpha ). / ( sin ( alpha ) ). ^ 2 ) (cos ( alpha ). / ( sin ( alpha ) ). ^ 2 ) 6 7 nb alpha f ( alpha ) >> L = 10/( sin ( alpha ) ) + 8/ sin ( alpha ), L = >> Page 9/18

10 1.5 Problème 5 Considérons la fonction f pxq dénie par : f pxq ax 4 bx 3 cx 2 dx e, 1. Retrouvez la fonction f pxq qui passe par les points : pa, b, c, dq (3,207) ; (5,1375) ; (-4,592) ; (-7,5047) 2. Tracez cette fonction ainsi que les points considérés. 3. Dans le même graphe, tracez la fonction gpxq dénie par : gpxq xe x, 4. En utilisant la méthode de dichotomie retrouvez la racine de la fonction hpxq tel que : hpxq f pxq 3gpxq sur [4, 8] avec : ɛ ; 5. En utilisant la commande subplot tracez les graphes de f pxq et gpxq ainsi que la racine trouvé dans (4) dans une section et hpxq dans une autre Solution du Problème 5 En remplaçons les coordonnées des points a,b,c et d, on aura le systéme d'équation suivant : $ 81a+27b+9c+3d+e=207, '& 625a+125b+25c+5d+e=1375, 256a-64b+16c-4d+e=592, '% 2401a-343b+49c-7d+e=5047, On va résoudre le système Ax b en utilisant x Azb Page 10/18

11 Probléme 5 : Question 1 1 >> A=[ ; ; ; ] 3 A = >> b=[ ] ' 10 b = >> x=a\b 16 x = D'ou le polynôme recherché : f pxq 2x 4 5x 2 Probléme 5 : Question 2 et >> x = [ 1 0 : : 1 0 ] ; 3 >> f =2 x.^4+5 x. ^ 2 ; 4 >> plot ( x, f, 'r ' ) 5 >> hold on 6 >> t i t l e ( ' Representation du polynome f(x) ') 7 >> plot ( 3, 2 0 7, 'r* ' ), plot ( 5, , 'r* ' ), plot ( 4,592, 'r* ' ) 8 >> plot ( 7,5047, 'r* ' ) 9 >> g=x. exp ( x ) ; 10 >> plot ( x, g, 'b ' ) 11 >> hold o f f 12 >> Page 11/18

12 Listing 5 Probléme 5-Question 4 1 c l c ; 2 clear ; 3 a =4; 4 b=8; 5 eps = ; 6 h=i n l i n e ( '2* x.^4 + 5* x.^2 - x.* exp (x) ' ) 7 nb=0; 8 f p r i n t f ( 'nb x h(x) \n ' ) 9 f p r i n t f ( ' \n ') 10 i f h ( a ) h ( b)<0 11 while ( ( b a)>eps ) 12 nb=nb+1; 13 x=(a+b ) / 2 ; 14 i f h ( a ) h ( x)<0 15 b=x ; 16 e l s e 17 a=x ; 18 end 19 f p r i n t f ( '%3 i %10.8 f %10.8 f \n ', nb, x, h ( x ) ) 20 end 21 end Page 12/18

13 Résultat : Résultat Problème 5 1 h = 2 3 I n l i n e function : 4 h ( x ) = 2 x.^4 + 5 x.^2 x. exp ( x ) 5 6 nb x h ( x ) >> Probléme 5 : Question 5 1 >> x = [ 1 0 : : 1 0 ] ; 2 >> f =2 x.^4+5 x. ^ 2 ; 3 >> g=x. exp ( x ) ; 4 >> h=2 x.^4 + 5 x.^2 x. exp ( x ) ; 5 >> subplot ( 2, 1, 1 ) 6 >> plot ( x, f, 'r ' ) 7 >> hold on 8 >> plot ( x, g, 'g ' ) 9 >> t i t l e ( ' representation de f(x) et g(x) ' ) 10 >> hold o f f 11 >> subplot ( 2, 1, 2 ) 12 >> plot ( x, h ) 13 >> t i t l e ( ' representation de h(x) ' ) 14 >> Page 13/18

14 1.6 Référence : Probléme 1 à 4 : Alo Quarteroni, Fausto Saleri, Paola Gervasio ; Calcul Scientique Cours, exercices corrigées et illustrations en MATLAB et Octave Exercice2 : (3pts) CHOISISSEZ UNE MANIP PARMIS LES DEUX SUIVANTES : 2.1 Manipule 1 : (Les polynômes) Soit le polynôme suivant P pxq x 4 12x 3 5x Donner son vecteur de représentation en Matlab.(Vecteur de coeecients) 2. Evaluer ce polynôme avec les valeurs 1,2 et Calculer P 1 p0q et P 2 p4q 4. Trouver les racines de P pxq 5. Trouver la valeur maximale de ce polynôme. Indications 1- La valeur maximale d'une fonction f(x) est la racine de sa dérivée second f(x). 2- Les principaux commandes utilisées en Matlab pour traiter les polynômes sont : polyval, polyder et roots. Page 14/18

15 2.1.1 Solution du Manipule 1 Résultat Manipule1 : 1 >> P=[ ] % P( x)=x^4 12x^3 2 3 P = >> polyval (P, [ ] ) %P( 1 ), P( 2 ) e t P( 5 ) 8 9 ans = >> polyval ( polyder (P), 0 ) %P ' ( 0 ) ans = >> polyval ( polyder ( polyder (P ) ), 4 ) %P ' ' ( 4 ) ans = >> roots (P) ans = >> roots ( polyder ( polyder (P ) ) ) % r a c i n e de P ' ' ( x ) ans = >> Page 15/18

16 2.2 Manipule 2 : (Les matrices) A= Soit la matrice carrée A : Créer une matrice A. 2. Calculez le determinant. 3. Trouver la matrice inverse de A. 4. Générer un vecteur colonne t qui va de 1 à 10 par pas de 0, Extraire la première ligne. 6. Extraire la deuxiéme colonne. 7. Extraire la diagonale. 8. Extraire le bolc contenant la deuxiéme et la troisiéme ligne avec la premiére et la deuxiéme colonne Solution du Manipule 2 Résultat Manipule1 : 1 >> A=[ ; ; ] 2 3 A = >> det (A) % d e t e r m i n a n t de A ans = >> inv (A) % m a t r i c e i n v e r s e de A ans = >> t = [ 1 : 0. 5 : 1 0 ] % v e c t e u r t t = Page 16/18

17 26 27 Columns 1 through Columns 8 through Columns 15 through >> A( 1, : ) % p r e m i e r l i g n e de A ans = >> A( :, 2 ) % deuxieme c o l o n n e de A ans = >> diag (A) % d i a g o n a l e de A ans = >> A( 2 : 3, 1 : 2 ) ans = >> Page 17/18

18 3 Bonus (1pts) Soit la matrice D dénie par : D Exprimer D en fonction de eye, ones, zeros et rand Bonus Bonus 1 >> D=[eye ( 2, 2 ), zeros ( 2, 3 ) ; rand ( 2, 4 ), ones ( 2, 1 ) ] 2 3 D = >> Page 18/18