14 Propriétés de Thalès

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1 14 ropriétés de halès IÉ 1. Utiliser le théorème de halès pour calculer des longueurs 2. éterminer par le calcul si deux droites sont parallèles À la fin de ce chapitre, je vais savoir 3. grandir ou réduire une figure à l aide des propriétés de halès 4. Utiliser l effet d un agrandissement ou d une réduction sur l aire d une surface vant de démarrer HII L É roite des milieux ans la figure ci-contre, on donne = 5 cm. 1. n est sûr que les droites (IJ) et () sont parallèles quand : a. IJ = 2,5 cm b. J = 2,5 cm c. = 2,5 cm 2. i les droites (IJ) et () sont parallèles, on est sûr que : a. J = 2,5 cm b. IJ = 2,5 cm c. = 2,5 cm 3. i les droites (IJ) et () sont parallèles et si = 4,4 cm, alors on est sûr que : a. I = 2,2 cm b. IJ = 8,8 cm c. IJ = 2,2 cm J I roportionnalité 1. ans la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles. n sait alors que : a. c. = = b. = = = = 2. i 35, 21, =, alors est égal à : 2 a. 1,2 b. 1,4 c. 1,8 grandissement, réduction ans la figure ci-contre, est une réduction à l échelle 0,8 du triangle. a. i = 5 cm, alors = 4,2 cm b. n est sûr que les angles et sont égaux c. est un agrandissement de facteur 1,25 de 234

2 UVU U... Le nom d un théorème halès a donné son nom à un célèbre théorème mais est-on sûr qu il en soit vraiment l auteur? Àla fin du XIX e siècle, les enseignants ont pris l habitude d associer certains théorèmes à des mathématiciens célèbres. armi ceux-ci, halès de ilet, qui vécut au VI e siècle avant notre ère, est souvent considéré comme l un des fondateurs des mathématiques grecques. elon la légende, halès parvint à calculer la hauteur des pyramides en utilisant la longueur des ombres grâce au théorème qui porte son nom. ourtant, aucun texte ancien ne permet de lui attribuer la paternité de ce principe de calcul. ans le papyrus de hind, il existe même une version de «son» théorème bien antérieure à son époque. Le papyrus de hind aurait été recopié vers 1650 avant J.-. par le scribe hmès. Il doit son nom à l'écossais Henry hind qui l acheta en 1858 à Louxor. Il n est donc pas étonnant que selon les pays, un même nom soit attribué à des théorèmes différents. n voici une illustration pour le théorème de halès. ans quelle situation utilise-t-on le théorème associé en rance à halès?

3 ctivités ÉIL bjectif : prolonger à la configuration croisée les résultats étudiés en 4 e. ette activité, réalisable sur papier ou à l aide d un logiciel de géométrie, est proposée sur site. our visualiser la manipulation de la partie 2, on peut faire découper le triangle et le faire replacer sur. 1 héorème de halès 1. n constate a. onstruire sur papier ou à l aide d un logiciel de géométrie une figure comme celle ci-contre dans laquelle les droites () et () sont parallèles. b. À l aide de mesures, puis de calculs, comparer les quotients et,. 2. n démontre n utilise dans cette partie la figure obtenue dans la partie 1. a. racer les points et symétriques respectifs des points et par rapport au point. b. xpliquer pourquoi les droites ( ) et () sont parallèles. c. Quelles égalités de quotients peut-on en déduire? d. émontrer le résultat constaté dans la partie 1. ÉIL bjectif : conjecturer le parallélisme à partir d égalités de quotients. ette activité, réalisable sur papier ou à l aide d un logiciel de géométrie, est proposée sur site. 2 éciproque du théorème de halès 1. a. onstruire sur papier ou à l aide d un logiciel de géométrie un triangle tel que = 4 cm, = 6 cm et = 8 cm. b. lacer un point sur la droite () et un point sur la droite () tels que : = = 07,. c. xpliquer, à l aide de figures, pourquoi il y a quatre situations possibles pour disposer les points et. 2. a. ans combien des quatre situations repérées à la question 1c les points, et d une part, et les points, et d autre part, sont-ils situés dans le même ordre? b. Que constate-t-on alors pour les droites () et ()? ÉIL bjectif : conjecturer sur un exemple l effet sur l aire d un agrandissement. ette activité et une démonstration sont proposées sur site. n pourra signaler aux élèves que cette activité peut être adaptée pour le cas d une réduction, par exemple en inversant le rôle des deux triangles. 3 ire et agrandissement 1. a. après le codage de la figure, que peut-on dire des droites () et ()? b. Quel facteur permet de passer des dimensions du triangle à celles du triangle? c. Que représente alors le triangle pour le triangle? 2. après le découpage suggéré par la figure, quel facteur permet de passer de l aire du triangle à celle du triangle? 236

4 ours ÉIL n pourra attirer l attention des élèves sur le fait qu il s agit d une généralisation des théorèmes de la droite des milieux. 1 héorème de halès héorème oit () et () deux droites sécantes en. i les droites () et () sont parallèles, alors = =. xemples : onnées : () // () onclusion : = = emarque : ans les deux configurations, si () et () sont parallèles, le triangle est une réduction (ou un agrandissement) du triangle dans le rapport k = = =. Info n appelle ces situations des «configurations de halès». 2 éciproque du théorème de halès éciproque i d une part les points, et, et d autre part les points, et sont alignés dans le même ordre, et si =, alors les droites () et () sont parallèles. xemples : onnées :,, et,, sont alignés dans le même ordre et =. onclusion : () // () ÉIL n pourra signaler aux élèves que les expressions agrandissement ou réduction de rapport k, de facteur k ou encore de coefficient k sont synonymes. 3 grandissement ou réduction ropriété ans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k 2. xemple : i on agrandit une figure dans le rapport 3, son aire est multipliée par 3 2 = 9. hapitre 14 ropriétés de halès 237

5 xercices je découvre, j utilise Utiliser le théorème de halès pour calculer des longueurs Énoncé ans la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles. = 7,2 cm, = 10,8 cm, = 6 cm et = 5,1 cm. alculer et. apacité 1 olution omme les droites () et () sont parallèles, les triangles et sont dans une configuration de halès. après le théorème de halès, on a : = =, d où 72, 6 = =. 10, 8 51, 72, 6 L égalité = donne 7,2 = 10,8 6 10, 8 donc = 10, 8 6 = 9 donc = 9 cm. 72, 72, L égalité = donne 10,8 = 7,2 5,1 10, 8 5, 1 72, 51, donc = = 34, donc = 3,4 cm. 10, 8 ommentaires n a choisi d écrire : côtés de côtés de n utilise les produits en croix. 1 ans la figure ci-dessous, () et () sont parallèles, = 5,6 cm, = 4 cm, = 8,4 cm, = 3 cm. alculer et onstruire un triangle tel que : = 9 cm, = 7 cm et = 5 cm. oit le point de [] tel que = 4 cm. oit le point de () tel que () // (). 2. alculer et (arrondir au mm). 3 eprendre l exercice précédent en plaçant sur la demi-droite [) mais à l extérieur du segment []. 4 ans la figure dessous, () et (L) sont parallèles, = 7 cm, = 4,2 cm, L = 2,4 cm et = 3,2 cm. alculer et L racer deux droites (d) et (d ) sécantes en. lacer sur (d), de part et d autre de, deux points et tels que = 3 cm et = 5 cm. lacer sur (d ) un point tel que = 2,7 cm et un point tel que () et () soient parallèles. 2. alculer. L 238

6 éterminer par le calcul si deux droites sont parallèles Énoncé Les droites () et () ci-dessous sont-elles parallèles? t les droites () et (L)? onnées onnées = 2,4 cm, = 3 cm, = 3,5 cm = 2,4 cm, = 8 cm, L = 2,7 cm et = 2,8 cm. et = 8,9 cm. apacité 2 L olution roites () et () et = 3 35 = 24,, 28, donc = 3 2,8 = 8,4 3,5 2,4 = 8,4 omme de plus les points, et d une part et, et d autre part sont alignés dans le même ordre, d après la réciproque du théorème de halès, les droites () et () sont parallèles. roites () et (L) L et = 24, 8 = 27, 89, L 2,4 8,9 = 21,36 donc 8 2,7 = 21,6 i les droites () et (L) étaient parallèles, d après le théorème de halès, on aurait L =, ce qui est faux. onc les droites () et (L) ne sont pas parallèles. ommentaires n tente d appliquer la réciproque du théorème de halès. our comparer les quotients, on peut comparer leurs produits en croix. ttention à ne pas conclure à l égalité en comparant seulement des valeurs approchées. n tente d appliquer la réciproque du théorème de halès. omme les quotients ne sont pas égaux, on ne peut pas appliquer la réciproque du théorème de halès. est le théorème de halès qui permet de conclure. our les exercices 6 et 7, on considère la figure suivante qui n est pas dessinée en vraie grandeur. Les longueurs sont en cm. 6 Indiquer si () // () lorsque : a. = 27, = 45, = 20, = 21, = 35. b. = 14, = 18, = 30, = 20, = Indiquer si () // () lorsque : a. = 12, = 15, = 28, = 36, = 25. b. = 22, = 30, = 20, = 26,4, = 36. hapitre 14 ropriétés de halès 239

7 xercices je découvre, j utilise apacité 3 grandir ou réduire une figure en utilisant les propriétés de halès Énoncé oit un triangle. 1. onstruire un agrandissement de rapport 3 de ce triangle. 2. Justifier la construction. olution 1. n reporte trois fois la longueur des côtés [] et [] comme dans la figure ci-contre. 2. = 3 et = 3 donc =. omme de plus les points, et d une part et les points, et d autre part sont alignés dans le même ordre, d après la réciproque du théorème de halès, les droites () et () sont parallèles. n peut donc utiliser le théorème de halès et on obtient : = = (= 3). est donc bien un agrandissement de dans le rapport 3. ommentaires n aurait aussi pu obtenir le point à l intersection de la droite () et de la parallèle à () menée par onstruire une figure comme celle ci-contre dans laquelle () // (), = 3 cm et = 4 cm. 2. rouver que le triangle est un agrandissement du triangle. réciser le facteur. 3. ur la même figure, placer deux points et de telle sorte que le triangle soit un agrandissement de de rapport onstruire un triangle tel que : = 6 cm, = 7 cm et = 4,5 cm. 2. onstruire un triangle qui soit une réduction de dans le rapport 1. réciser les étapes de la construction onstruire un triangle Q qui soit un agrandissement de dans le rapport 9. réciser les étapes de la construction n utilisant le quadrillage, émi a obtenu le triangle qui est une réduction du triangle. armi les valeurs proposées, indiquer le facteur de cette réduction : a. 1 2 b. 2 3 c. 3 5 d eproduire sur quadrillage le triangle et construire à la règle seule un triangle qui soit une réduction de rapport 4 de a. onstruire un rectangle. b. onstruire, sans effectuer de mesures à la règle, et en laissant les traits de construction apparents, un agrandissement de rapport 2 de ce rectangle. 2. ur une nouvelle figure, reprendre la question 1b pour une réduction de rapport 0,5. 240

8 apacité 4 Utiliser l effet d un agrandissement ou d une réduction sur l aire d une surface Énoncé n a représenté ci-contre un carré bleu dont l aire réelle est b = 80 cm 2. Le carré orange est une réduction de rapport 1 du carré bleu et le carré rouge est 4 un agrandissement de rapport 3 du carré bleu. 2 alculer : a. l aire o du carré orange b. l aire r du carré rouge olution a. ans une réduction de rapport 1 4, 2 1 l aire est multipliée par = donc o = b = 5. onc o = 5 cm 2. ommentaires 1 < 1, ce qui correspond bien à une réduction. 4 n utilise le résultat du cours. ÉIL n pourra faire interpréter la démarche utilisée dans la première partie de la solution en utilisant des expressions comme «côtés quatre fois plus petits», «aire seize fois plus petite». b. ans un agrandissement de rapport 3 2, 2 3 l aire est multipliée par = donc r = b = onc r = 180 cm 2. 3 > 1, ce qui correspond bien à un agrandissement. 2 n utilise le résultat du cours. 12 élanie a construit à l aide d un logiciel de géométrie un triangle tel que = 2 cm, = 2,5 cm et = 3 cm. lle a ensuite fait 2,48 cm2 afficher l aire de ce triangle. 1. onstruire un triangle qui soit un agrandissement de rapport 1,4 de. 2. alculer l aire de (arrondie au mm 2 ) ecopier et compléter : 1 cm 2 est l aire d un de cm de côté. 2. xpliquer pourquoi 1 cm 2 est égal à 100 mm Un architecte réalise une maquette à l échelle 1/100 d un de ses projets d immeuble. ar combien est divisée l aire réelle du toit? 15 Lors de la rénovation d un bâtiment, on double les dimensions d une baie vitrée. st-il vrai qu il faudra deux fois plus de verre pour réaliser la nouvelle baie vitrée? ourquoi? 16 eux plats à tarte circulaires et de même hauteur ont pour diamètres respectifs 20 cm et 30 cm. aïté utilise le premier pour 4 personnes. À combien de personnes correspond le deuxième? hapitre 14 ropriétés de halès 241

9 xercices faire le point en classe 17 ans les figures ci-dessous, les droites rouges sont parallèles. Écrire les égalités de quotients obtenues en utilisant le théorème de halès. H Q L 18 ans la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles, = 4 cm et = 5 cm. V Z 1. n donne : = 4,8 cm. a. Quelle longueur peut-on alors calculer? b. ffectuer ce calcul. 2. n donne = 4,5 cm. a. Quelle longueur peut-on alors calculer? b. ffectuer ce calcul. J ans une figure du même type que celle cicontre, on donne : = 5,5 cm, = 3,5 cm, = 8,4 cm et = 13,2 cm. st-on sûr que les droites () et () sont parallèles? ourquoi? 2. ême question avec : = 14,7 cm, = 8,4 cm, = 3,5 cm et = 6,3 cm. 21 évin prétend que dans la figure ci-dessous, les droites (), () et (Q) sont parallèles. -t-il raison? ourquoi? onstruire le triangle représenté cidessous en vraie dimension. 3,6 cm 4,8 cm Q 19 ans la figure cicontre, les droites () et () sont parallèles, = 2,8 cm et = 4,2 cm. 1. n donne : = 3 cm. a. Quelle longueur peut-on alors calculer? b. ffectuer ce calcul. 2. n donne = 3,2 cm. a. Quelle longueur peut-on alors calculer? b. ffectuer ce calcul. 5,3 cm 2. n utilisant uniquement une règle graduée, tracer une réduction du triangle dans le rapport Quel rapport d agrandissement permet de multiplier l aire d une figure par : a. 16? b. 25? c. 100? 2. Quel rapport de réduction permet de diviser l aire d une figure par : a. 49? b. 36? c. 144? 242

10 alcul mental 24 ans les figures suivantes, les droites rouges sont parallèles. alculer x. x 12 x fig. 1 fig ans les figures suivantes, trouver x de telle manière que les droites vertes soient parallèles. 2,4 1,2 x 3, ,4 x fig. 1 fig. 2 j évalue mes capacités Q hoisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). 26 i () // (), alors : a. = b. = c. = 27 i dans l exercice 26, = 6 cm, = 10 cm et = 9 cm, alors : a. = 12 cm b. = 15 cm c. = 18 cm 28 i () // (J), alors : J a. J = b. J J = c. J = 29 Quelle valeur de x rend les droites () et () parallèles? 2,8 cm x cm 7,5 cm 6 cm a. x = 3,4 b. x = 3,5 c. x = 3,6 30 ans cette figure : H a. le triangle est une réduction de H dans le rapport 1 3 b. le triangle est un agrandissement de dans le rapport 3 c. le triangle est un agrandissement de H dans le rapport 1,5 31 Lorsqu on agrandit une figure dans le rapport 5, son aire est multipliée par : a. 5 b. 10 c. 25 pour vérifier les résultats, voir page 298 hapitre 14 ropriétés de halès 243

11 xercices je m entraîne es égalités de quotients 32 ans les figures suivantes, les droites bleues sont parallèles. 1. Indiquer deux quotients égaux à H H. 2. Indiquer deux quotients égaux à. H H ans les exercices 33 et 34, les droites rouges sont parallèles. Écrire des égalités de quotients obtenues en appliquant le théorème de halès. b. b. 33 a. 34 a. Z H Q 35 ans la figure ci-dessous, on a : () // () et () // (). 1. Indiquer deux quotients égaux à. 2. Indiquer d autres égalités de quotients. 36 ans la figure ci-dessous, on a : (L) // () et () // (). 1. Indiquer deux quotients égaux à. 2. Indiquer d autres égalités de quotients. 37 ans la figure ci-dessous, on a : () // () et () // (). 1. Indiquer deux quotients égaux à. 2. Indiquer d autres égalités de quotients. L n utilisant le codage de la figure, expliquer pourquoi les droites rouges sont parallèles. 2. ompléter de deux manières différentes la série d égalités L = =. L 244

12 Utiliser le théorème de halès arallélisme 39 ans la figure ci-contre, () // ( L), = 2,2 cm, = 2,8 cm, L = 4,8 cm et = 3,3 cm. alculer et L. L 44 ans la figure suivante, on donne : = 3,2 cm, = 3,5 cm, = 4,2 cm, = 1,8 cm, = 1,5 cm et = 4,6 cm. 40 ans la figure ci-dessous, () // (), = 2,5 cm, = 1,8 cm, = 3 cm et = 3,5 cm. alculer et. 1. Les droites () et () sont-elles parallèles? 2. Les droites () et () sont-elles parallèles? 41 ans la figure ci-contre, (H) // (J), H = 2 cm, H = 2,4 cm, = 6 cm et J = 5,5 cm. alculer J, puis J. 42 ans la figure suivante, () // (), = 3 cm, = 5,4 cm, = 4 cm et = 2 cm. alculer, et. J H 45 ans la figure suivante, on donne : = 4,5 cm, = 3 cm, = 6 cm, = 3,9 cm, = 2,6 cm et L = 5,1 cm. Indiquer si les triangles et L sont rectangles. L 43 ans la figure suivante, () // (), = 18,9 cm et = 8,6 cm. 46 Une table à repasser peut être schématisée par la figure ci-dessous. Le point peut coulisser sous le plateau [] pour régler la hauteur. 1. À l aide du codage, déterminer le quotient. 2. alculer, puis. xpliquer pourquoi, si [] est horizontal, il en est de même pour []. hapitre 14 ropriétés de halès 245

13 xercices j approfondis 47 après brevet La figure ci-dessous n est pas réalisée en vraie grandeur et n est pas à reproduire. Les points, et sont alignés ainsi que les points, et. Les droites () et () sont parallèles. = 3 cm, = 8,4 cm et = 11,2 cm. 50 aths et physique L appartement de arinette se compose d une chambre carrée à laquelle on accède par la porte [], d un couloir JH et d un séjourcuisine H tous deux rectangulaires. arinette remarque que lorsque les deux lampes fixées à la verticale de et de sont allumées, le sol est éclairé de différentes façons schématisées cidessous. J 1. alculer la longueur. 2. oit le point du segment [] et le point du segment [] tels que : = 6,3 cm et = 8,4 cm. ontrer que les droites () et () sont parallèles. H 48 après brevet Les points, et sont alignés, de même que les points, et ainsi que les points, et. n donne : () // ( ), () // ( ), = 4 cm, = 6 cm, = 3 cm et = 4,8 cm. 1. alculer. 2. alculer. 3. émontrer que () et ( ) sont parallèles. 49 rendre des initiatives ans la figure suivante, l aire du trapèze jaune est 12 cm 2. Quelle est l aire du triangle? 1. xpliquer les différentes nuances d éclairage. our simplifier la suite de l exercice, on considérera que tous les points sont dans un même plan horizontal. 2. n donne : = = 3,50 m, H = 1,40 m, = 0,70 m et = 5,60 m. a. alculer H puis H et en déduire. b. alculer J puis J et en déduire. c. n déduire les longueurs et H. je trouve de l aide page Il faut exactement 1,5 kg de peinture pour couvrir un panneau de bois. 1. ombien faut-il de peinture pour couvrir un nouveau panneau qui est un agrandissement du premier dans le rapport 2,5? 2. La peinture est vendue en pots de 2 kg. ombien faut-il acheter de pots pour couvrir : a. le premier panneau? b. le deuxième panneau? 3. Le nombre de pots est-il proportionnel à l aire de la surface à peindre? 246

14 52 ans la figure suivante, on donne = 11 cm et = 5 cm. Les deux cercles ont pour diamètres [] et [] et pour centres et. n donne = 4 cm et les points,, sont alignés. 1. onstruire cette figure et tracer les droites () et (). 2. a. Que constate-t-on pour les droites () et ()? b. rouver que ce résultat est vrai. 3. alculer. 4. rouver que les droites () et ( ) sont parallèles. je trouve de l aide page onstruire une figure comme celle ci-dessous telle que = 4,8 cm, = 3,6 cm, = 6 cm et = 7,5 cm. 2. a. Quelle est la nature précise du triangle? Le prouver. b. Qu en déduit-on pour les droites () et ()? 3. a. alculer. b. Qu en déduit-on pour le triangle? 55 pérer avec escartes Le texte ci-dessous, dont l auteur est ené escartes, date du xvii e siècle. 53 Une réduction 1. a. onstruire un quadrilatère et placer un point à l intérieur comme dans la figure cidessous. b. Joindre à chacun des sommets,, et. hoisir un point sur []. onstruire les points, et U comme ci-dessus de telle manière que : () // (), () // () et (U) // (). 2. a. racer la droite (U). Quelle conjecture peut-on émettre pour les droites (U) et ()? b. rouver que ce résultat est vrai. 3. n suppose pour cette question que = 2 3 et que le quadrilatère a pour aire 81 cm 2. a. rouver que le triangle U est une réduction de. réciser le rapport de la réduction. b. alculer l aire du quadrilatère U. je trouve de l aide page 291 U our la suite de l exercice, on prend = 1 dm. 1. a. ans le premier paragraphe, expliquer pourquoi =. b. Utiliser la méthode de escartes pour obtenir un segment de longueur 1,2 0,65 dm. c. esurer sur la figure la valeur de ce produit. 2. a. ans le deuxième paragraphe, quel mot devraiton utiliser à la place de «produit» dans le langage actuel? b. xpliquer pourquoi =. c. Utiliser la méthode de escartes pour obtenir un segment de longueur 066, dm. 12, d. esurer sur la figure la valeur de ce quotient. 56 onstruire sur une même figure trois carrés de côté 4,2 cm :, et H. oit le point d intersection des droites () et () et le point d intersection des droites () et (). alculer la longueur. hapitre 14 ropriétés de halès 247

15 xercices 57 La figure ci-dessous schématise un pont horizontal [] (en rouge) soutenu par cinq piles verticales (bleues) qu on envisage de construire au-dessus d une vallée de profondeur H. H n donne : H = 120 m, H = 100 m, = = = = = = 50 m. alculer la hauteur de chaque pile (arrondie au m). 58 Infographie Les concepteurs de jeux vidéo sont confrontés au problème de la perspective. Lorsqu un personnage s éloigne, son image devient plus petite. n a schématisé ci-dessous en coupe ce phénomène : l écran est représenté en noir ; le personnage est représenté par des segments superposables [] puis [] et son image sur l écran par [ ] puis [ ] ; les droites () et (L) sont parallèles à l écran. H écran 1. rouver que H H = puis que =. L 2. n déduire que = L. 3. omparer et si : a. L = 2 b. L = 3 L 59 ans la figure ci-dessous, est un parallélogramme. 1. n utilisant le codage, déterminer et expliquer comment on peut en déduire que est le milieu de []. 2. émontrer ensuite que est le milieu de []. 60 acine et agrandissement 1. onstruire un carré Q et le découper en quatre triangles rectangles isocèles comme dans la figure 1. isposer ensuite les quatre triangles comme indiqué dans la figure 2. Q Q fig. 1 fig. 2 n admet pour la suite que dans la figure 2, on obtient ainsi deux carrés et Q. 2. onner sans calcul le rapport airede aire de Q 3. n déduire sans calcul le nombre k tel que : 1 2 = k. je trouve de l aide page aths et physique n optique, une lentille convergente placée en donne d un objet [] une image renversée []. n représente la situation par le schéma ci-dessous. n donne : = 60 cm, = 2,10 m et = 70 cm. Les droites () et () sont perpendiculaires à la droite (). Les droites () et () se coupent en. 3 n justifiant, calculer la longueur en centimètres de l image []. 248

16 62 artage de segment 1. a. racer un segment []. b. ur une droite qui passe par, reporter plusieurs fois au compas la même longueur choisie au hasard comme ci-dessous. oit et les points déterminés par le deuxième arc et le cinquième arc. c. Joindre les points et. onstruire la parallèle à ( ) passant par. ette droite coupe la droite () en. d. rouver que = 2 5. e. onstruire à partir de un point sur () qui vérifie lui aussi = 2 5. f. xiste-t-il d autres points sur () qui ont la même propriété que et? 2. ur une nouvelle figure, tracer un segment []. n s inspirant de la question 1, construire les points et de la droite () tels que = = 3 7. Lire et comprendre 63 our chacun des cas suivants, indiquer si l utilisation du théorème de halès est envisageable sans tracés supplémentaires. xpliquer pourquoi. a. b. c. d ,5 cm 6 cm 7,5 cm epérer et corriger les erreurs 64 Voici ce qu un élève a noté sur son cahier de brouillon pour résumer un problème qu il doit résoudre. t voici sa solution. 1. elever les erreurs. 2. ésoudre le problème. hapitre 14 ropriétés de halès 249

17 xercices evoirs à la maison 65 ans la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles, de même que les droites () et (). 1. a. onstruire une telle figure. b. racer les droites () et (). Quelle conjecture peut-on émettre à leur sujet? L objectif de ce qui suit est de prouver le résultat constaté à la question 1b. 2. xprimer : a. le quotient à l aide de, et b. le quotient à l aide de, et 3. a. À l aide des produits en croix, montrer que =. b. onclure. je trouve de l aide page oit un trapèze tel que () // (), = 3,8 cm, = 3 cm et = 5,7 cm. () est la parallèle aux bases qui passe par. 1. a. éaliser une telle figure. b. Que constate-t-on pour les longueurs et? 2. L objectif de cette question est de prouver le résultat constaté à la question 1b. a. alculer, puis puis. b. À l aide du théorème de halès, calculer, puis. c. n déduire que ces deux quotients sont égaux puis conclure. je trouve de l aide page 291 asse-tête afae a construit un carré de 8 cm de côté puis l a partagé en deux trapèzes superposables et deux triangles rectangles superposables, qu elle a coloriés comme ci-contre. Quelle est l aire de ce carré? 5 cm 3 cm 2. lle a ensuite découpé chacun des quatre 8 cm morceaux et les a assemblés comme ci-contre. «J obtiens ainsi un rectangle de dimensions 5 cm sur 13 cm, donc d aire 65 cm 2!» a-t-elle déclaré. ourquoi est-ce faux? xpliquer l origine de son erreur. 5 cm 3 cm etits exposés Historique de halès. es applications du théorème de halès dans d autres disciplines (optique, astronomie, etc.) I HH Vous raconterez sur votre feuille les différentes étapes de votre recherche, les observations que vous avez pu faire et qui vous ont fait progresser ou changer de méthode. L évaluation ne portera pas uniquement sur la solution (elle peut être juste, fausse ou incomplète) mais sur votre travail de recherche. racer un triangle. onstruire un carré dont les quatre sommets soient sur les côtés du triangle.???? 250

18 ide à... la démonstration et au raisonnement Énoncé ans la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles et on donne = 4,2 cm, = 3 cm, = 6,3 cm, = 2,8 cm et = 2 cm. 1 alculer. 2 Les droites () et () sont-elles parallèles? echerche 1. onnées () // () es longueurs connues. ut alcul d une longueur. 2. onnées es longueurs connues. ut echerche de parallélisme. ilan n va tenter d utiliser le théorème de halès dans la configuration suivante. ilan n va tenter d utiliser la réciproque du théorème de halès dans la configuration suivante. u brouillon, on essaie d identifier le type de problème. n rédige. édaction 1 omme les droites () et () sont parallèles, les triangles et sont dans une configuration de halès et d après le théorème de halès, on a : = =, d où = =,. 63, =, donne 4,2 = 3 6,3 donc = 3 6, 3 = 4,5 (en cm). 63, 42, 2 n calcule séparément. et = 2 45 = 28,, 63, 2 6,3 = 12,6 donc =. 4,5 2,8 = 12,6 omme de plus les points, et d une part, et, et d autre part sont alignés dans le même ordre, d après la réciproque du théorème de halès, les droites () et () sont parallèles. hapitre 14 ropriétés de halès 251