Les nombres de Fermat

Transcription

1 Divisibilité et division euclidienne - TS Les LPO de Chirongui 5 juillet 2015

2 1 - - I En 1640 le mathématicien Pierre de pensait que tous les nombres F n = 2 2n + 1 étaient (on appelle ces nombres les ). Vérifiez à l aide de votre calculatrice que F 0, F 1, F 2, F 3 et F 4 sont. En 1732, Euler prouve que F 5 n est pas premier. On le vérifie facilement aujourd hui avec un logiciel comme Xcas. Vérifiez le en entrant factoriser_entier( ) ou factor(( ) Que pensez-vous de F 6? Aujourd hui encore factoriser un nombre de...est long et compliqué. Sachant que F 30 s écrit avec 10 8 chiffres et que vous écrivez 5 chiffres par seconde, combien vous faudrait-il de temps pour écrire F 30? Vérifiez que tous les sont impairs. Démontrez par récurrence que pour tout entier n non nul F 0 F 1... F n 1 = F n 2 Déduire des deux questions précédentes que si d est un diviseur commun à 2 alors d = 1 Sachant que tout entier admet au moins un facteur premier, déduire de ce qui précède une démonstration de l infinité des nombres.

3 2 - - I Théorème: Tout entier naturel au moins égal à 2 est premier ou produit de nombres.

4 2 - - II Démonstration: On raisonne par l absurde. La propriété est vraie pour les entiers : 2; 3; 4 = 2 2 : 5; 6 = 2x3... Supposons qu elle ne soit pas vraie pour tous les entiers et notons n le premier entier ni premier, ni produit de nombres. n admet un diviseur premier p et on peut donc écrire n = p d où 1 < d < n. Comme n est le premier entier ne satisfaisant pas la propriété, d la satisfait mais l écriture n = p d même alors à une contradiction.

5 2 - - III Théorème: admis La décomposition naturel n en produit de nombres est unique

6 2 - - IV Exemple Soit n un entier égal au carré m (c.a.d n = m 2 ) dont la décomposition en est m = p a1 1 pa pa k k où p 1, p 2,..., p k sont des nombres. Alors = k m 2 = p 2a1 1 p 2a p 2a k k = On peut de ce fait facilement caractériser les carrés parfaits par leur décomposition en i=1 k i=1 p ai i p 2ai i

7 2 - - V Algorithme de décomposition en :

8 2 - - VI Propriété: Une caractérisation des Un entier naturel d divise un entier naturel n si, et seulement si, les exposants des de la décomposition de d sont au plus égaux à ceux de la décomposition de n. Autrement dit, il n existe pas dans la décomposition de d un nombre premier qui ne soit pas présent dans la décomposition de de n.

9 2 - - VII Démonstration: Supposons que l entier d divise n. Soit p un facteur premier de d apparaissant avec l exposant α. p α divise d, donc divise n. Donc p apparaît au moins avec l exposant α dans la décomposition de n. Réciproquement,supposons que tous les de d soient des de n. Alors n = p α 1 1 p α p α k = k i=1 avec i, 0 α i α i Dans ce cas d divise n et k p α i i et d = p α 1 1 p α p α k ( ( ) k n = d p α 1 α 1 1 p α 2 α p α k α k = d k i=1 k = k i=1 p α i α i i ) p α i i

10 2 - - VIII Exemple 12 = 2 2 x3. Les diviseurs positifs de 12 sont donc les entiers s écrivant sous la forme 2 β 3 γ, avec 0 β 2 et 0 γ 1, c est-à-dire les entiers : ; ; ; ; ; ; 2; 4; 3; 6; 12

11 2 - - I Savoir Faire: diviseurs de 150

12 2 - - II Correction: 150 = 2x3x5 2. Ses diviseurs sont de la forme 2 α x3 β x5 γ avec α {0; 1}, β {0; 1}, γ {0; 2} Il y a donc 2x2x3 = 12 diviseurs. On peut obtenir tous les diviseurs de 12 à l aide d un arbre.

13 2 - - I Exercice 1 Décomposer 231 en et, à l aide d un arbre, donner tous ses diviseurs positifs. Soit p un nombre premier. Quels sont les diviseurs positifs de p 2? Quels sont les entiers qui admettent exactement 3 diviseurs positifs?

14 2 - - Savoir Faire: Peut-on trouver un entier naturel b tel que le nombre de diviseurs A = 50x2 b ait 14 diviseurs dans N? Un entier n a pour décomposition en : n = p a q b r c (où p, q, r sont des nombres ). Quel est le positifs de n? En s aidant de l algorithme et du programme de décomposition en proposé dans le cours, écrire un programme pour la calculatrice retournant le nombre de diviseurs de l entier naturel non nul N donné en entrée.

15 2 - - I Correction: On décompose A en : A = (2x5 2 )2 b = b+1 = a, où a = b + 1 est un entier naturel non nul. On construit un schéma de l arbre ( on ne connaît pas la valeur de a) On en déduit le de A : 3(a + 1). Comme 14 n est pas divisible par 3, on ne peut pas donner à b de valeur satisfaisant la condition imposée. Si n = p a q b r c et en appliquant le principe multiplicatif (principe de l arbre) : le de n est égal à (1 + a)(1 + b)(1 + c).

16 2 - - II Correction: Un entier N ayant pour décomposition en p α 1 1 p α p α k = k k p α i i possède (α 1 +1) (α 2 +1)... i=1 (α k + 1) diviseurs positifs. Dans le programme de décomposition donné dans le cours ci-contre, on introduit une variable S qui prendra successivement les valeurs (α 1 + 1), (α 2 + 1),..., (α k + 1) et une variable P qui prendra successivement les valeurs : 1; (α 1 + 1); (α 1 + 1) (α 2 + 1); (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α 3 + 1); ; (α 1 + 1) (α 2 + 1)... (α k + 1)

17 2 - - I Exercice 2 Quel est le positifs de l entier :