Introdution à la logique en mathématique

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1 Introdution à la logique en mathématique Mickaël Péchaud 2008 Table des matières 1 Introduction Propositions Un peu d abstraction Opérateurs Logiques Opérateur «non» Opérateur «et» Opérateur «ou» Construire de nouvelles formules Combiner des opérateurs Tables de vérité Équivalence Tautologie Associativité, commutativité et distributivité Double négation Lois de Morgan Implication 13 4 Équivalence 15 5 quelques types de démonstrations Modus Ponens Contraposition Démonstration par l absurde Correction des exercices 19 1

2 Ce document est sous licence Creative Commons ccpnc2.0 : http ://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/fr/ En gros, vous pouvez faire ce que bon vous semble avec ce document, y compris l utiliser pour faire des papillotes, ou faire une performance publique (gratuite) durant lequel vous le mangez feuille par feuille (ce que je déconseille tout de même), aux conditions expresses que : vous en citiez l auteur. vous n en fassiez pas d utilisation commerciale. Par respect pour l environnement, merci de ne pas imprimer ce document si ça n est pas indispensable (et ça n est pas indispensable). 2

3 Ce document est une petite introduction au formalisme logique en mathématiques. Il s adresse à un public ayant un niveau TS ou équivalent. La logique est la discipline dont les bases ont été jetées par Aristote permettant de comprendre ce qu est un raisonnement, et en particulier de savoir si un raisonnement est juste ou faux. Elle est donc un prérequis essentiel à de nombreuses disciplines, telles que les mahématiques, l informatique, la philosophie ou encore la rhétorique. Ce document constitue une petite introduction à la logique, en particulier sous l angle mathématique - attention, il ne s agit en aucun cas d un exposé complètement rigoureux des fondements de la logique formelle... Il y a en particulier régulièrement des abus de langage et de notation, et beaucoup de notions ne sont pas définies rigoureusement pour ne pas trop compliquer le propos. Donc si vous avez l intention d étudier formellement la logique propositionnelle, vous feriez mieux de trouvez un autre poly! 1 Introduction 1.1 Propositions À la base de la logique se trouve la notion de proposition. Il est assez délicat de définir mathématiquement ce qu est une proposition, nous nous bornerons donc à la définition intuitive suivante : Définition (Proposition) Une proposition est une phrase, une formule mathématique, etc, etc... à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité, c est-à-dire qui est soit vrai soit fausse. Voici quelques exemple de propositions : «2 + 2 = 4» «si x > 4 alors x > 2» «Paris est en France» «2 0 = 4» «si x > 2 et y > 4 alors x + y < 0» «Bordeaux est la capitale d Espagne» les 3 premières sont vraies, alors que les 3 dernières sont fausses. Par contre, les phrases suivantes ne sont pas des propositions : «salut!» : ce n est ni vrai ni faux, celà n a même pas de sens de parler de «vérité» dans ce cas là. «x > 2» : ce n est ni vrai ni faux, celà dépend de la valeur de x. «Il fait chaud» : sorti de tout contexte, ce n est ni vrai ni faux non plus. Les propositions sont les objets de base sur lesquels nous allons pouvoir effectuer des raisonnements. Comme nous allons le voir, l intérêt de la logique est de proposer des manières générales de raisonner, qui dépendent seulement de la valeur de vérité d une proposition (c est-à-dire si elle est vrai ou fausse), et non pas de la proposition elle-même. 3

4 1.2 Un peu d abstraction En logique, nous allons raisonner non pas sur des propositions précises comme celles du paragraphe précédent, mais sur des propositions que nous appelerons p, q ou r par exemple. L intérêt de procéder à cette abstraction est le suivant : nous allons faire raisonnement et trouver des règles générales sur des propositions p, q, etc... suivant qu elles soient vraies ou fausses, puis, si nous voulons voir ce que celà donne sur des propositions réelles, il suffira de remplacer p, q, etc... par ces propositions. Pour cette raison, p, q,... s appellent des variables ou variables propositionnelles. 1.3 Opérateurs Logiques Nous allons définir quelques opérateurs très utile, permettant de combiner des propositions pour fabriquer des formules propositionnelles Opérateur «non» À partir d une proposition p, nous pouvons construire une formule propositionnelle, appelée p lire «non p». La valeur de vérité de p est définie de la façon suivante : si p est vraie, p est fausse. si p est fausse, p est vraie. Ceci est résumé dans le tableau suivant : p p V F F V Fig. 1 Table de vérité de l opérateur «non» Voici quelques exemples en remplaçant la variable p par une proposition : avec p =«2 + 2 = 4» : «(2+2 = 4)» est fausse, car «2+2 = 4» est vraie. Cette proposition peut-également s écrire avec p =«2 0 = 4» : «(2 0 = 4)» (ou encore «2 0 4» ) est vraie, car «2 + 0 = 4» est fausse. 4

5 avec p = «Paris est la capitale de France» : «(Paris est la capitale de France)» (soit «Paris n est la capitale de France» ) car fausse car p est vraie. Exercice 1 Déterminez la valeur de vérité des propositions suivantes : «(2 2)» «(2 = 4)» «(Nice est en Allemagne)» correction Opérateur «et» À partir de 2 propositions p et q, nous allons une formule appelée conjonction de p et q, et noté de la façon suivante : que l on prononce «p et q». p q Ce «et» logique correspond au «et» que nous utilisons couramment en français. p q est vraie si p est vraie est q est vraie, et fausse dans tous les autres cas. p q p q V V V V F F F V F F F F Fig. 2 Table de vérité de l opérateur «et» Quelques exemples : «(2+3 = 5) (0 = 0)». Cette proposition est vraie car «2+3 = 5» et «0 = 0» sont vraies (1ère ligne du tableau). «(2 + 3 = 5) (Nice est en Écosse)» est fausse car «2 + 3 = 5» est vraie et «Nice est en Écosse» est fausse (2ème ligne du tableau). «(2+2 = 5) (La ème décimale de π est 3)» est fausse. En effet, je n ai aucune idée de ce que vaut la ème décimale de π, mais par contre je sais que Si la ème décimale de π vaut 3, on est dans 3ème ligne du tableau, et sinon, on est dans la 4ème ligne du tableau. Dans tous les cas, notre proposition est fausse. 5

6 Exercice 2 Déterminez la valeur de vérité des propositions suivantes : «(2 2) (3 > 4)» «(2 = 4) (3 = 3)» «(2 < 8) (Nice est en France)» correction Opérateur «ou» Toujours à partir de 2 propositions p et q, nous allons cette fois-ci construire la disjonction de p et q noté de la façon suivante : que l on prononce «p ou q». p q Contrairement au cas du «et», le «ou» logique ne correspond pas au «ou» que nous utilisons couramment en français : dans le langage courant, le «ou» à souvent un caractère exclusif, c est à dire que les 2 possibilités s excluent mutuellement : si je dis «je vais à la plage ou à la montagne», c est l un ou l autre, mais pas les 2 en même temps. En revanche, en mathématique, le «ou» est inclusif : p q est vraie si p est vraie, q est vraie ou si les deux sont vraies, et donc fausse seulement si p et q sont fausses. p q p q V V V V F V F V V F F F Fig. 3 Table de vérité de l opérateur «ou» Quelques exemples : «(2+3 = 5) (0 = 0)». Cette proposition est vraie car «2+3 = 5» et «0 = 0» sont vraies (1ère ligne du tableau). «(2 + 2 = 5) (Nice est en Écosse» ) est fausse car «2 + 3 = 5» est fausse et «Nice est en Écosse» est fausse (4ème ligne du tableau). «(2+2 = 4) (La ème décimale de π est 3)» est vraie. En effet, je n ai toujours aucune idée de ce que vaut la ème décimale de π, mais par contre je sais que = 4. Si la ème décimale de π vaut 3, on est dans 1ème ligne du tableau, et sinon, on est dans la 2ème ligne du tableau. Dans tous les cas, notre proposition est vraie. 6

7 Exercice 3 Déterminez la valeur de vérité des propositions suivantes : «(2 2) (3 > 4)» «(2 = 4) (3 = 3)» «(8 < 2) (Nice est en Belgique)» correction 2 Construire de nouvelles formules 2.1 Combiner des opérateurs Pour l instant nous avons vu comment construire des formules à partir de propositions, et des opérateurs, et. Nous pouvons également utiliser ces opérateurs pour construires des formules plus complexes en utilisant les règles suivantes : 1. toute proposition (ou une variable propositionnelle) est une formule. 2. si F est une formule, F est une formule. 3. si F 1 et F 2 sont des formules, F 1 F 2 est une formule. 4. si F 1 ou F 2 sont des formules, F 1 F 1 est une formule. On peut voir celà comme des règles de constructions de formules. Les règles 2, 3 et 4 expliquent comment construire de nouvelles formules à partir de formules que l on a déjà, et la règle 1 nous fournit le matériaux de base à partir duquel construire les formules : les variables propositionnelles. En combinant tout ceci, nous pouvons construire de nouvelles formules. Par exemple, si p, q et r sont des propositions, S = (p q) r est une formule (les parenthèses sont parfois nécessaires pour éviter les ambigités, par exemple entre p (q r) et (p q) r). En effet, p et q sont des formules (règle 1), donc (p q) est une formule (règle 3). r est une formule (règle 1),donc r est une formule (règle 2). Par conséquent, S qui est la disjonction des 2 est une formule (règle 4). Nous pouvons également déterminer les valeurs de vérités de ces formules plus complexes si nous connaissons celles des propositions de départ. Soit par exemple la formule suivante : ((2 < 3) (3 < 4)) (5 < 2) (3 < 4) est vraie, donc (3 < 4) est fausse. Donc ((2 < 3) (3 < 4)) est fausse. De plus, (5 < 2) est également fausse. Donc notre formule ((2 < 3) (3 < 4)) (5 < 2) est fausse. Exercice 4 Voici quelques formules. Déterminez leur valeur de vérité. «((1 < 2) (4 < 3)) (5 < 2)» 7

8 «( (2 < 1) (6 < 3)) ((Paris est en France) (π est un nombre entier) )» «(Paris est en France) (Paris est en France)» «(Paris est en France) (Paris est en France)» correction 2.2 Tables de vérité Nous avons déjà vu des tables de vérité, sans préciser exactement de quoi il s agissait. En fait, une table de vérité est simplement un tableau qui, pour chaque valeur de vérité possible (vrai ou faux) des variables apparaissant dans la formule, indique quelle est la valeur de vérité de la formule. Voici par exemple la table de vérité de la formule S présentée ci-dessus : p q r S = (p q) r V V V V V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V Fig. 4 Table de vérité de S Comment avons-nous construit cette table? Nous avons commencé par écrire les tables de vérité de S 1 = (p q) et S 2 = r : p q r S 1 = (p q) S 2 = r V V V V F V V F V V V F V F F V F F F V F V V F F F V F F V F F V F F F F F F V Fig. 5 Construction de la table de vérité de S Nous avons ensuite S = S 1 S 2. Pour construire la colonne correspondant à S, nous regardons donc les colonnes correspondant à S 1 et S 2, et nous effectuons un «ou» logique 8

9 sur ces 2 colonnes : nous écrivons vrai dès que l une des deux au moins est vraie : p q r S 1 = (p q) S 2 = r S=S 1 S 2 V V V V F V V V F V V V V F V F F F V F F F V V F V V F F F F V F F V V F F V F F F F F F F V V Fig. 6 Construction de la table de vérité de S Combien de lignes contient une table de vérité? Cela dépend du nombre de variables différentes présentes dans la formule. S il n y a qu une variable, il n y a que 2 cas à considérer : sa valeur de vérité est vraie ou fausse. Il y aura donc 2 lignes dans la table. S il y a 2 variables différentes p et q, il y a 4 cas à considérer : (p vraie, q vraie), (p vraie, q fausse), (p fausse, q vraie) et (p fausse, q fausse). De façon générale, s il y a n variables différentes, il y aura 2 n ligne dans la table de vérité. Exercice 5 Écrire la table de vérité des formules suivantes : p p (q q) (p q) (p q) correction 2.3 Équivalence Définition (Équivalence) Deux formules sont équivalentes si elles ont la même table de vérité. Considérons les 2 formules suivantes : S 1 = (p q) (p q) S 2 = (p q) ( p q) Elles ont toutes deux la même table de vérité : 9

10 p q S 1 ou S 2 V V F V F V F V V F F F et elles sont donc équivalentes. Elles correspondent toutes deux au «ou» courant, appelé ou exclusif, et souvent noté XOR ou. du langage Un second exemple : S 1 = p S 2 = ( p) p p S 1 S 2 V F V V F V F F Une formule est donc équivalente à la négation de sa négation. 2.4 Tautologie Définition (Tautologie) On appelle tautologie une formule équivalente à V, c est-à-dire dont toutes les entrées dans la table de vérité sont vraies. Exercice 6 Par exemple, vérifiez que les formules suivantes sont des tautologies : p p (cette tautolgie est appelée tiers-exclu : elle dit essentiellement que soit une formule est vraie, soit sa négation est vraie). (p p) (p q) ( p r) 2.5 Associativité, commutativité et distributivité Voici quelques résultats importants concernat les opérateurs et et ou. Théorème (Associativité) (p q) r et q (p r) sont équivalentes. (p q) r et q (p r) sont équivalentes. 10

11 En conséquence, on pourra écrire p q r ou p q r, sans se soucier de l emplacement des parenthèses. Théorème (Commutativité) p q et q p sont équivalentes. p q et q p sont équivalentes. Théorème (Distributivité) r (p q) et ((r p) (r q)) sont équivalentes. r (p q) et ((r p) (r q)) sont équivalentes. Exercice 7 Vérifiez ces théorèmes. 2.6 Double négation Comme nous l avons vu ci-dessus, Théorème p et ( p) sont équivalentes. 2.7 Lois de Morgan Un autre théorème concernant la négation. Théorème (Lois de Morgan) (p q) et ( p q) sont équivalentes. (p q) et ( p q) sont équivalentes. Exercice 8 Vérifiez ce théorème. Par exemple, la négation de la propriété est soit encore et non pas 4 > 3 4 < 5 (4 > 3) (4 < 5)

12 Exercice 9 En utilisant les lois de Morgan, écrivez (en français) les négations des formules suivantes : «la 39ème décimale de π est 3 ou 5.» «35! est divisible par 3 ou par 4.» correction Exercice 10 Reprenons les deux tautologies suivantes, déjà étudiées dans un exercice précédent. (p p) (p q) ( p r) Prouvez que ce sont des tautologies en utilisant les théorèmes ci-dessus et le tiers-exclu. correction 12

13 3 Implication À partir de 2 formules P et Q, nous pouvons construire une formule noté de la façon suivante : P Q (lire «P implique Q» ) et définie par la table de vérité suivante : P Q P Q V V V V F F F V V F F V P est appelée prémisses ou hypothèses, et Q conclusion. Les théorèmes mathématiques utilisent très souvent des implications, sous la forme si...alors. Remarquez qu un théorème dit seulement que la conclusion doit être vraie si la prémisse l est. En revanche, si la prémisse est fausse, la conclusion peut-être indifféremment vraie ou fausse. Du point de vue de la déduction mathématique, cela signifie qu à partir d une formule fausse on peut démontrer n importe quoi. Voici un théorème : «si n 1 est divisible par 3, alors n n est pas divisible par 3.» Prouvons rapidement ce théorème. Démonstration : Nous avons juste à nous occuper du cas où la prémisse est vraie, et montrer alors que la conclusion est également vraie. Supposons que n 1 est divisible par 3 On peut donc écrire n 1 = 3k avec k entier. On a donc n = 3k + 1 et n n est pas divisible par 3. En revanche, si le prémisse n 1 = 3k n est pas vérifié, ce théorème ne dit rien sur la valeur de vérité de «n n est pas divisible par 3» : si n = 3, elle est vraie si n = 4, elle est fausse 13

14 Exercice 11 Démontrer que «n pair n 2 pair» 1. correction Exercice 12 Prouver que les formules suivantes sont des tautologies : p p (p (p q)) q correction On a la propriété suivante, très importante : Théorème p q est équivalente à p q. Exercice 13 Démontrez cette propriété. 1 On appelle entier pair un entier qui peut s écrire sous la forme 2k avec k entier. Un entier impair est un entier qui peut s écrire sous la forme 2k + 1 avec k entier 14

15 4 Équivalence À partir de 2 formules P et Q, nous pouvons construire une formule noté de la façon suivante : (lire «P équivaut à Q» ) et définie par la table de vérité suivante : p q P Q P Q V V V V F F F V F F F V P Q sera donc vraie si et seulement si P et Q ont la même valeur de vérité. Cette construction s appelle «équivalence». Attention, ce mot n a pas le même sens que lorsque nous parlons de formules équivalentes. Cependant, on relier les deux notions : Théorème P et Q sont équivalentes si et seulement P Q est une tautologie. Démonstration : en effet, si P et Q sont équivalentes, leurs tables de vérité sont les mêmes. Par exemple, si P et Q dépendent de variables p i, on a avoir une table de vérité qui ressemble à ceci : p 1 p 2... p n P Q. V F... F V V F V... F F F F F... F V V. les colonnes correspondant à P et Q ayant les mêmes valeurs. On aura donc la table de vérité suivante pour P Q. p 1 p 2... p n P Q P Q. V F... F V V V F V... F F F V F F... F V V V. 15

16 et P Q est une tautologie. De la même façon, si P Q est une tautologie, il n y a que des valeurs V dans la dernière colonne de sa table de vérité, et les valeurs sont donc identiques dans les colonnes correspondant à P et Q. En mathématiques, lorsque l on souhaitera démontrer une formule, on pourra démontrer une formule équivalente. On a également le théorème suivant : Théorème P Q et (P Q) (Q P ) sont équivalentes qui affirme essentiellement que pour montrer que P et Q sont équivalentes, il suffit de montrer que P implique Q et que Q implique P. En mathématiques, beaucoup de théorème sont sous la forme...si et seulement si... (que l on note en général...ssi...). Pour démontrer de tels théorèmes, on procédera aux démonstrations des implications dans les 2 sens. Voici un exemple : «n est pair Ssi n + 2 est pair.» Démonstration : pour le démontrer, nous procédons en 2 étapes : «n est pair n + 2 pair.» Supposons n pair. On peut écrire n = 2k pour un certain entier k. On a alors n+2 = 2k +2 = 2(k +1) avec k + 1 entier, et donc n + 2 est pair. «n + 2 pair n est pair.» Supposons n+2 pair. On peut écrire n+2 = 2k pour un certain entier k. On a alors n = 2k 2 = 2(k 1) avec k 1 entier, et donc n est pair. Exercice 14 Montrer que «n est pair Ssi n + 1 est impair.» Exercice 15 Montrer que l implication n est pas associative. correction 16

17 5 quelques types de démonstrations Certaines tautologies sont extrèments utilisées en mathématiques. 5.1 Modus Ponens La plus courante, que nous avons déjà vue est appelée modus ponens : (p (p q)) q elle correspond à la déduction naturelle. Elle affirme simplement que si nous avons un théorème p q et si ses hypothèses p sont vérifiées, alors ses conclusions q sont vérifiés. En voici l exemple tarte-à-la-crème : théorème : tout homme est mortel (ou homme mortel) prémisse : (or) Socrate est un homme conclusion : (donc) Socrate est mortel et un exemple plus mathématique : théorème : n pair n 2 pair prémisse : (or) est pair conclusion : (donc) est pair Exercice 16 Démontrer que la formule ci-dessus est bien une tautologie. 5.2 Contraposition Encore appelée Modus tollens, il s agit de la tautologie suivante. (p q) ( q p) Si un théorème permet de déduire une conclusion à partir d hypothèses, il permet également de déduire que les hypothèses sont fausses si la conclusion n est pas vérifiée. Voici un exemple simple. Considérons le théorème «si k est pair, k 2 alors est pair». Par contraposition, on en déduit immédiatement le théorème suivant : «si k 2 est impair, alors k est impair». Il sera parfois plus pratique de démontrer la contraposé d une théorème plutôt que le sens direct. Exercice 17 Démontrer que la formule ci-dessus est bien une tautologie. 5.3 Démonstration par l absurde Considérons la tautologie suivante ( p F) (p) 17

18 où F est une formule toujours fausse (une antilogie). Cette formule dit simplement que pour montrer p, il suffit de montrer que p F, c est-à-dire que p permet d aboutir à une contradiction. Ce type de raisonnement est très souvent utile pour démontrer qu il n existe pas d objet vérifiant certaines propriétés : on va supposer qu il en existe un, et aboutir à une contradiction. Un premier exemple. Montrons que «il n y a pas de plus grand nombre entier». Supposons, par l absurde, qu il y ait un plus grand nombre entier, et appelons le n. Alors, n + 1 est un nombre entier, et n + 1 est plus grand que n, ce qui est absurde de par notre choix de n. Ceci montre donc notre formule. Voici un exemple classique un peu plus compliqué. Nous voulons montrer que 2 p q pour tout entiers p et q. Nous allons supposer la négation de cette formule, soit 2 = p pour 2 entiers p et q. q Si p et q sont pairs, nous pouvons les diviser tous les 2 par deux. En recommençant un nombre suffisant de fois, nous pouvons écrire p = 2 i p 1 et q = 2 i q 1, avec p 1 impair ou q 1 impair. On a p = p 1 q q 1 et donc p 1 = 2q 1 soit en passant au carré p 2 1 = 2q1 2 donc p 2 1 est pair. On en déduit que p 1 est pair (cf. paragraphe sur la contraposée), et donc p 1 = 2p pour un certain p. D où p 2 1 = 4p 2. On en déduit que q1 2 = 2p 2 et q1 2 est pair puis q 1 est pair. p 1 et q 1 sont donc pairs, ce qui est en contradiction avec notre choix de p 1 et q 1. Nous avons démontré que 2 ne s écrit pas comme division de 2 entiers, c est-à-dire n est pas rationnel. Exercice 18 Démontrer que la formule ci-dessus est bien une tautologie. Voici une autre variante de la démonstration par l absurde. ((p q) F) (p q) sous un aspect un peu barbare, cette formule dit la chose suivante : si nous voulons montrer que p implique q, il suffit de supposer que p est vraie (les hypothèses sont vraies) et que q est fausses (les conclusions) sont fausses, et d aboutir à une contradiction (F) Exercice 19 Démontrer que la formule ci-dessus est bien une tautologie. 18

19 Correction des exercices Solution de l exercice 1 retour «(2 2)» Faux «(2 = 4)» Vrai «(Nice est en Allemagne)» Vrai Solution de l exercice 2 retour «(2 2) (3 > 4)» Faux «(2 = 4) (3 = 3)» Faux «(2 < 8) (Nice est en France)» Vrai Solution de l exercice 3 retour «(2 2) (3 > 4)» Vrai «(2 = 4) (3 = 3)» Vrai «(8 < 2) (Nice est en Belgique)» Faux Solution de l exercice 4 retour «((1 < 2) (4 < 3)) (5 < 2)» Vrai «( (2 < 1) (6 < 3)) ((Paris est en France) (π est un nombre entier) )» Vrai «(Paris est en France) (Paris est France)» Faux «(Paris est en France) (Paris est France)» Vrai p p (p q) Solution de l exercice 5 retour S = (p q) (p q) p p p p V F F F V F p q q p q V V F V V F V V F V F F F F V V 19

20 Solution de l exercice 6 retour Il suffit d écrire leurs tables de vérité! Pour la seconde par exemple : p q p q p q (p q) S V V V V F F V F V F V V F V V F V V F F F F V F p p p p (p p) V F F V F V F V Solution de l exercice 9 retour «la 39ème décimale de π n est pas 3 et n est pas 5.» «35! n est pas divisible par 3 et n est pas divisible par 4.» Solution de l exercice 10 retour En appliquant la loi de Morgan, on voit que (p p) est équivalente à p p, qui par double-négation est équivalente à p p. Cette dernière formule est le tiers-exclu, qui est une tautologie. (p q) ( p r) est équivalente à p q p r par associativité. Par commutativité, elle est équivalente à p p q r puis à (p p) (q r) par associativité. p p est une tautologie. Notre formule est donc équivalente à V... et est donc une tautologie. Solution de l exercice 11 retour On suppose que n est pair. On peut donc écrire n = 2k. En élevant les deux membres de l égalité au carré, on obtient donc n 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) avec (2k 2 ) entier. Donc n 2 est pair. Solution de l exercice 12 retour Il suffit d écrire les tables de vérité : p p p V V F V p q p q p (p q) (p (p q)) q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 20

21 Solution de l exercice 15 retour Considérons S 1 = (p q) r et S 2 = p (q r). On pourrait écrire leurs tables de vérités, et constater qu elles sont différentes, mais on peut aussi utiliser des formules équivalentes. S 1 est équivalente à (p q) r alors que S 2 est équivalentes à p q r. On voit alors que si p et r sont fausses et q est vraie, S 1 est fausse, alors que S 2 est vraie. 21