Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

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1 Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant sur un noeud est nulle) impliquent que les potentiels aux noeuds V i sont solutions du système d équations non linéaires i = 1,..n, f i,j (V i V j ) = (1) j (i,j) E Corr. La question contient la réponse... On définit V = (V 1,..., V n ) R n le vecteur associé aux potentiels. Soit la fonction F (V) = (i,j) E F i,j (V i V j ) Montrer que F (V) i = f i,j (V i V j ) j (i,j) E Corr. Il suffit de calculer les dérivées partielles en V i pour avoir ce résultat. En déduire qu un vecteur... Le système (1) se réécrit F (V) = Ses solutions sont donc des points stationnaires de la fonction F (V). Question 2 Un circuit électrique : utilisation du principe du minimum Montrer que la fonction F (V) est strictement convexe (pour la stricte convexité utiliser le fait que le circuit est connexe). Corr. La fonction F i,j (t) est strictement convexe puisque sa dérivée est strictement croissante. Considérons la fonction h(t) = F (U + tv) ECP 27-28

2 Mathématiques 2 2 qui est la restriction de F (V) à une droite. Il faut montrer que cette fonction est strictement convexe pour tout V. Or h(t) = F i,j ((U i U j ) + t(v i V j )) i,j (i,j) E C est une fonction convexe comme somme de fonctions convexes. Il est plus délicat de montrer qu elle est strictement convexe. L un des termes V i V j est différents de zéros, sinon V i = Cte (si le circuit est connexe) et donc V i = (car un noeud au moins est à potentiel fixé), donc l une des fonctions F i,j ((U i U j )+t(v i V j )) est non constante et donc est strictement convexe. On en déduit que h(t) est strictement convexe. Montrer que F (V) est coercive... Corr. F (V) M F i,j (V i V j ) M Comme les fonction F i,j (t) tendent vers l infini à l infini cela implique qu il existe β i,j tel que V i V j β i,j. Il suffit de prendre α = min i,j β i,j. Considérons, pour fixer les idées, que le noeud n + 1 est une masse ; le circuit étant connexe il existe un chemin de longueur au plus n reliant un noeud i et le noeud n + 1, donc V i = V i V n+1 nα Nous avons ainsi montré que F (V) M α V nα ce qui équivaut à la coercivité de la fonction F (V). En déduire que le système (1) qui définit les potentiels V dans le circuit admet une solution et une seule. Corr. Les solutions du système (1) sont des points stationnaires de la fonction F (V). Un point stationnaire d une fonction convexe ne peut être qu un minimum d après la proposition 7. Or d après le théorème 14 du chapitre 2 du cours : une fonction coercive et strictement convexe sur un espace de dimension finie admet un minimum et un seul. Donc le système (1) admet une solution et une seule. Question 3 du profil d une route Il faut résoudre le problème d optimisation { C = {u C([, L]) / x, y [, L] u(x) u(y) α x y } u C J(ū) J(u) (2) Vérifier que C est un convexe. Corr. Immédiat, c est de plus un convexe fermé pour la convergence en, i.e. la convergence uniforme. Donner un argument (de génie civil et non pas de mathématiques...) en faveur du choix φ(y) = y 2. Corr. Si le profil des talus ou des tranchées a une pente oblique constante, la quantité de matières par unité de longueur est proportionnelle à la surface d une section et donc au carré de la hauteur de cette ECP 27-28

3 Mathématiques 2 3 section. Montrer que pour ce choix de la fonction φ, la solution ū de (2) est la projection, au sens de la norme de L 2 ([, L]), de la fonction g sur le convexe C. Corr. Par définition... Les conditions du théorème de projection énoncé dans le cours sont-elles vérifiées? Corr. Le théorème de projection affirme l existence et l unicité de la projection d un point sur un convexe fermé au sens de la norme de L 2 ([, L]). Le problème délicat est ici de montrer que C est fermé au sens de la norme de L 2 ([, L]) ce qui n est pas évident. La démonstration qui suit n est pas au programme. Soit f n une suite de fonctions de C qui converge au sens de L 2 ([, L]) vers une fonction f, i.e. L (f n (x) f(x)) 2 dy f n est donc une suite de Cauchy au sens de L 2 ([, L]), nous allons montrer que c est une suite de Cauchy au sens de la convergence ponctuelle ce qui impliquera que sa limite est dans C. Comme f n (x) f p (x) est uniformément lipschitzienne de constante 2α il suffit, pour établir le critère de Cauchy, de montrer que si une suite de fonction uniformément lipschitzienne f n tend vers au sens de L 2 ([, L]) elle tend vers ponctuellement. On a, pour tout h R tel que [x h, x + h] [, L] On a aussi (f n (x)) 2 dy f n (x) f n (y) α x y tout comme f n (x) + f n (y) α x y donc, en choisissant la première inégalité, et donc f n (x) dy 2hf n (x) f n (y) dy α f n (y) dy 2αh 2 en majorant x y par h. Comme, d après Cauchy-Schwartz, x y dy il vient ou encore f n (y) dy 2h 2hf n (x) 2h f n (x) 1 x+h 2h f n (y) 2 dy f n (y) 2 dy + 2αh 2 f n (y) 2 dy + αh ECP 27-28

4 Mathématiques 2 4 En utilisant au départ la deuxième égalité, on montrerait de même f n (x) 1 x+h 2h f n (y) 2 dy + αh et donc f n (x) 1 x+h 2h f n (y) 2 dy + αh Choisissant h assez petit on peut rendre le second terme petit, en faisant tendre n vers l infini on peut alors rendre le premier terme petit, on a donc montré que f n (x) tend vers. Montrer que la fonction J(u) est convexe, et strictement convexe si φ est strictement convexe. Corr. Montrons la stricte convexité de la fonction v 1 φ(v(x)) dx, la stricte convexité de J(u) en découle. C est un cas particulier d un résultat du cours. On utilise l inégalité de convexité pour φ(x) φ(λv 1 (x) + (1 λ)v 2 (x)) λφ(v 1 (x)) + (1 λ)φ(v 2 (x)) l inégalité étant stricte sur un intervalle en x si les deux fonction v 1 et v 2 sont distinctes, et on intègre 1 φ(λv 1 (x) + (1 λ)v 2 (x))) dx < λ 1 φ(v 1 (x)) dt + (1 λ) 1 φ(v 2 (x)) dx En déduire l unicité de la solution si la fonction φ(x) est strictement convexe. Corr. Une fonction strictement convexe admet au plus un minimum sur un convexe, en effet s il y en avait deux distincts u 1 et u 2 on aurait J( v 1 + v 2 ) < J(v 1) + J(v 2 ) 2 2 Corr. Montrons, c est hors programme, l existence du minimum. La fonction J(u) est continue sur C muni de la distance induite par la norme infinie. L ensemble des fonctions u C telles que J(u) Cte est borné pour la norme infinie : supposons le contraire, soit M une constante positive, s il existe x tel que u(x ) M on a u(x) = u(x ) + u(x) u(x ) u(x ) + α x x et donc x [, L] u(x) M αl Soit M 1 une constante positive, en choisissant M assez grand et en tenant compte de la coercivité de φ(x) il en résulterait que φ(u(x) g) > M 1 et donc J(u) = L φ(u g)dx M 1L. L ensemble des fonctions u C telle que J(u) Cte, est donc fermé borné, il suffit donc de montrer que les parties fermées bornées de C sont compactes pour la norme infinie pour obtenir l existence d un minimum sur C. Cela résulte d une forme faible du théorème d Ascoli : Une suite bornée et uniformément Lipchiztienne de fonctions sur un intervalle [, L] admet une sous suite qui converge uniformément. Montrer que si φ(y) = y 2 on a L ū(x) g(x) dx = ECP 27-28

5 Mathématiques 2 5 Corr.Si le minimum est atteint en ū C, la fonction ū + t est aussi dans C. On a donc t R J(ū) J(ū + t) et donc ce qui s écrit Question 4 L d dt J(ū + t) t= = ū(x) g(x) dx = Approximation du problème du profil d une route On approche l intégrale J(u) en remplaçant les intégrales exactes par leur approximation par la formule des trapèzes xi x i 1 φ(u(x) g(x)) dx h 2 (φ(u(x i 1) g(x i 1 )) + φ(u(x i ) g(x i ))) ce qui donne J(u) I(U) = h( 1 2 φ(u g ) + φ(u 1 g 1 ) φ(u n 2 g n 2 ) φ(u n 1 g n 1 )) Soit C h est le polyèdre de R n défini par les inéquations Montrer que C h = {U R n / i, 1 i n 1 u i u i 1 αh} u V h C U C h Corr. De gauche à droite c est évident, de droite à gauche, si x [x i, x i+1 ], y [x j, x j+1 ] on a u(y) u(x) y x = (y x u(y) u(x j ) j) +...+(x y x k+1 x k ) u(x k+1 u(x k )) j x k+1 x k y x +...+(x i+1 x) u(x i+1 ) u(x) x i+1 x Si U est dans C h tous les rapports du second membre sont inférieurs à α, il en est donc de même de u(x) u(y) x y qui est une combinaison convexe de ces rapports. Pour approcher (2) on pose le problème d optimisation { Ch = {U R n / i, 1 i n 1 u i u i 1 αh} U C h I(Ū) I(U) (4) Montrer, si φ(y) = y 2, l existence et l unicité de la solution du problème (4). Corr. Ici contrairement au problème exact il n y a aucune difficulté à appliquer le théorème de projection pour la norme issue du produit scalaire x, y = h( 1 2 x y + x 1 y x n 2 y n x n 1y n 1 ) (3) ECP 27-28

6 Mathématiques 2 6 car C h est un convexe fermé pour la convergence dans R n. Pour le cas général, il faut montrer que que l ensemble E M = {U / I(U) M} est fermé borné, ce qui résulte de la continuité et de la coercivité de φ(x), donc l ensemble E M C h est fermé borné dans R n, donc compact, l existence du minimum de I(U) sur C h en résulte. On choisit φ(y) = y. Montrer que le problème d optimisation (4) est équivalent au problème 1 min u i,z i 2 z + z z n z n 1 sous les contraintes : i, 1 i n 1 u i u i 1 αh i, i n 1 z i h u i g i et que ce problème est un problème de minimisation d une fonction linéaire sous des contraintes d inégalité linéaire. Corr. Le problème (4) s écrit min h( 1 u i 2 u g + u 1 g u n 2 g n u n 1 g n 1 ) sous les contraintes : i, 1 i n 1 u i u i 1 αh (6) Soit U C h et z i, i = 1,..., n 1 des nombres tels que z i h u i g i, on a 1 2 z +z z n z n 1 h( 1 2 u g + u 1 g u n 2 g n u n 1 g n 1 ) donc le minimum dans (5) est supérieur au minimum dans (6), comme ce minimum est atteint si on choisit z i h ū i g i, où les ū i réalisent le minimum de (6), les deux problèmes ont la même solution. Note : nous verrons ultérieurement un algorithme, la méthode du simplexe, qui fournit la solution en un nombre fini d étapes. (5) ECP 27-28