Fonctions réciproques et cyclométriques

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1 Fonctions réciproques et cyclométriques Table des matières Fonctions réciproques.... Introduction.... Définitions Propriétés.... Fonctions injectives/surjectives applications bijectives...5. Fonctions réciproques Eercices... Fonctions cyclométriques.... Définitions..... Fonction arc sinus..... Fonction arc cosinus Fonction arc tangente Et arc cotangente? Eercices...6. Dérivation Dérivation de arcsin Dérivation de arccos Dérivation de arctan Eercices.... Quelques identités fondamentales..... sin(arcsin )..... arcsin(sin )..... cos(arccos )..... arccos(cos ) Lien entre arcsin, arcsin(-), arccos, arccos(-) cos(arcsin ) et sin(arccos ) sin(arctan ) tan(arccos ) Résumé en un coup d'oeil Eercices...9. Équations cyclométriques Principe de résolution Méthode de résolution Écrire correctement la CR d'une équation cyclométrique Équations en arcsin et arccos Équations en arctan..... Eemples Eercices Cas particulier : sommes et différences d'arc tangentes Une transformation utile Méthode complétée Astuce de calcul bien pratique Eemples Eercices...7 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

2 .5 Démonstration d'identités cyclométriques Méthode Eercices...8 Règles de «de l'hospital»...9. Limite en un réel...9. Limite en l'infini Eemples et remarques Eercices...5 Etudes de fonctions cyclométriques...5 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

3 Fonctions réciproques. Introduction. Définitions Propriétés Rappels TNI-0 Une relation f d un ensemble A vers un ensemble B est un triplet (A,B,G), où G A B est appelé le graphe de la relation f Une fonction est une relation par laquelle chaque réel possède au plus une image : La relation f =( A, B, G ) est une fonction ssi A, y, z B : ( ; y ) G et ( ; z ) G y=z ssi A, y, z B : f ( ) = y et f ( )= z y=z Réciproque d'une fonction La relation réciproque d'une fonction réelle est la relation qui fait correspondre à chaque réel y le ou les réels dont y est l'image par cette fonction. TNI-0 Définition équivalente : Soient A ℝ, B ℝ,G f A B : la relation réciproque de la fonction f =( A, B, G f ) est la relation g =( B, A,G g ) telle que ( ; y ) G f ( y ; ) G g TNI- NB : Pour la facilité, nous convenons que lorsque l'on parlera de "réciproque" sans préciser, on sous-entendra toujours "relation réciproque" et non «fonction réciproque» Propriétés Tout réel de dom f est appliqué sur un réel de Im f par la fonction f ; tout réel de Im f est appliqué sur un ou plusieurs réels de dom f par la réciproque de f^. TNI- En effet : tout réel de Im f est l'image d'au moins un réel de dom f, il a donc pour image par la réciproque de f au moins un réel de dom f. Dans un repère orthonormé, les graphes cartésiens de f et de sa réciproque sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la bissectrice du premier quadrant. TNI-6 Stratégie de démonstration :. Démontrer que deu figures sont symétriques, cela revient à démontrer que pour chaque point A de l'une, il y a un point de l'autre qui est le symétrique de A et réciproquement.. Démontrer que deu points A et B sont symétriques par rapport à une droite d se fait en distinguant cas : a) Les deu points sont confondus : dans ce cas, ils sont symétriques l'un de l'autre si et seulement si ils appartiennent à d. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

4 b) Les deu points sont distincts : dans ce cas, ils sont symétriques l'un de l'autre si le segment qui les joint est perpenticulaire à d et si le milieu de AB appartient à d. Démonstration (selon cette stratégie): Hypothèse : A ( a ; b ) G f f ( a ) =b A' ( b ; a ) Greciproque. Il est donc déjà acquis qu'à chaque point de Gf correspond un point A' de Greciproque et réciproquement. Thèse : A est le symétrique de A' par rapport à d y=, la bissectrice du premier quadrant. Démonstration : Si A et A' sont confondus, alors a=b, A=A' est un point de d. Il est donc son propre symétrique. Si A et A' sont distincts, alors a b : a+b ; : c'est ( a+b ) Le milieu du segment AA' a pour coordonnées donc un point de la bissectrice du premier quadrant. y A ' y A a b = =, ce A ' A b a qui est l'inverse de l'opposé du coefficient angulaire de d. AA' est donc perpendiculaire à d. Le coefficient angulaire du segment AA' vaut Comme le raisonnement s'applique à tous les points de G f, le symétrique de chaque point de G f appartient à G reciproque et inversement. Le graphique de la réciproque de f est donc le symétrique du graphique de f par rapport à la bissectrice du premier quadrant. Comment faire pour trouver la réciproque d'une fonction? Graphiquement: Dans un repère orthonormé, le graphe cartésien de la réciproque de f est le symétrique du graphe cartésien de f par rapport à la bissectrice du premier quadrant. Algébriquement :. On remplace par y et y par.. On eprime (si possible), y en fonction de pour obtenir l'epression analytique de la réciproque de f.. Au cours de ce processus, on rassemble les CE et les CR éventuelles, qui servent à déterminer le domaine de définition de la réciproque. Eemples f :ℝ ℝ : f ( ) = :. y= devient = y.. Isolons y : y= 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

5 . Aucune CE ni CR n'a été rencontrée. La réciproque de f est une fonction : f :ℝ ℝ : f ( ) = g :ℝ ℝ : g ( )= :. y= devient = y. On remarque donc que 0 (CR).. Isolons y : y=±. La réciproque de g n'est pas une fonction : c'est une relation h de ℝ+ dans ℝ (on n'écrira pas h :ℝ + ℝ : (... ), ce type de notation étant réservé au fonctions, et on ne la désignera pas par g-). Figure : La réciproque de la fonction "cube" est une fonction. Figure : La réciproque de la fonction "carré" n'est pas une fonction. (TNI-0) (TNI-50). Fonctions injectives/surjectives applications bijectives On voit que les réciproques sont particulièrement intéressantes lorsque ce sont des fonctions, et que cela dépend de caractéristiques de la fonction parfois délicates à eprimer clairement. Un peu de vocabulaire pour nous comprendre... Soit une fonction f : A B: f ( ) ( A ℝ, B ℝ ) : f est injective si et seulement si chaque élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au plus élément de l'ensemble de départ. TNI-6 Ou encore (attention : on choisit des élément de dom f, pas de A!) :... si et seulement si deu réels distincts et quelconques de son domaine de définition ont deu images différentes.... si et seulement si chaque réel de l'ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent.... ssi, dom f : f ( )= f ( ) =.... ssi, dom f : f ( ) f ( ). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 5/7

6 OK OK (TNI-60). B A Figure : Graphe d'une fonction injective de A dans B. f est surjective si et seulement si tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont l'image d'au moins élément de l'ensemble de départ. TNI-7 Ou encore :... si et seulement si chaque réel de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.... ssi B = Im f... ssi y B, A: f ( ) = y. OK TNI-70 OK B A Figure : Graphe d'unefonction surjective de A dans B. f est une application si et seulement si tout élément de l'ensemble de départ possède une image. TNI-8 Ou encore :... si et seulement si chaque réel de l'ensemble de départ est l'antécédent d'un réel de l'ensemble d'arrivée... ssi A = dom f... ssi A, y B : f ( )= y OK OK TNI-80 A B Figure 5: Graphe d'une application de A dans B. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 6/7

7 f est bijective (ou f est une bijection) si et seulement si tout réel de l'ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent et tout réel de l'ensemble de départ possède une image. TNI-9 Ou encore :... si et seulement f est une application à la fois injective et surjective.... y B,! A: f ( )= y et A, y B : f ( )= y TNI-90 A B Figure 6: Graphe d'une bijection de A dans B. Remarquez que : Être injectif, surjectif, bijectif n'a de sens que si on précise un ensemble de départ et d'arrivée : f ( ) = est surjectif de ℝ dans ℝ + mais pas de ℝ dans ℝ. Être injectif ou surjectif n'impose jamais de conditions sur l'ensemble de départ. Si l'on souhaite imposer que tous les éléments de l'ensemble de départ aient une image (ils ne peuvent pas en avoir plus d'une puisque nous travaillons avec des fonctions), on imposera que la fonction soit une application. Tout fonction strictement croissante ou strictement décroissante (c'est-à-dire strictement monotone) sur A est injective. Attention, c'est une condition suffisante, mais pas nécessaire : la fonction ci-dessous est injective, sans être monotone : TNI-00 Figure 7: Graphique d'une fonction injective, mais pas strictement monotone. Les adjectifs injectif et surjectif peuvent s'appliquer à des fonctions qui ne sont pas nécessairement des applications. Mais il faut alors bien parler de fonction injective ou surjective, et non d'injection ou de surjection. Ces deu derniers termes sont des synonymes d'application injective ou surjective. Par contre, l'adjectif bijectif (et donc le terme bijection) ne s'applique que à des fonctions définies partout, i.e. des applications. Remarquons que si f est une bijection, alors #A=#B (le contraire serait franchement choquant). C'est d'ailleurs de cette façon qu'on peut dire que des ensembles infinis ont même cardinalité. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 7/7

8 Eemples Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une fonction de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y (chaque touriste est éventuellement associé à une chambre). Les touristes souhaitent que la fonction soit une application (c'est-à-dire que chaque touriste soit associé à une chambre) et soit injective (c'est-à-dire que chaque chambre ne soit associée qu'à un seul touriste). Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres. L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée par au moins une personne. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres. Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte que chaque touriste ait une chambre, qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : la fonction sera alors une application à la fois injective et surjective ; c'est-à-dire une application bijective ou une bijection.. Fonctions réciproques Lorsque la réciproque d'une fonction est elle-même une fonction, on la désigne par f, et dans ce cas, on a dom f =Im f et Im f =dom f. Eemple : f ( ) = + dom f = ;+ et Im f = ;. Réciproque : y= + devient = y+ y += (CE : y+ 0 y, CR : 0 ) y+=( ) y=( ) =( ) La réciproque de f est une fonction, on écrit donc f ( ) =( ) dom f = ;, Im f = ;+ Le graphique de f- est donc la moitié gauche d'une parabole. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 8/7

9 TNI-0/ 00 Figure 8: Graphique de et sa réciproque. Remarque importante : l'epression ( ) est définie sur ℝ, mais le domaine de définition de f - est plus limité, du fait des conditions qui sont apparues lors de la définition de l'epression algébrique de la réciproque. On remarque néanmoins que l'utilisation des CE n'est pas indispensable, puisque l'on peut tirer parti du fait que (comme la réciproque est une fonction) dom f =Im f et Im f =dom f. Propriétés La réciproque d'une fonction f : A B : f ( ) est une fonction si et seulement si f est injective de A dans B. TNI-0 En effet, si chaque réel de B n'est l'image par f que d'au plus un réel de A, chaque réel de B n'aura qu'une image au plus par la réciproque de f. La réciproque d'une bijection de A sur B est une bijection de B sur A. TNI-0 En effet, une bijection possède par rapport à ses ensembles de départ et d'arrivée des propriétés parfaitement symétriques : f TNI-0 A f B Figure 9: Graphe d'une bijection de A dans B. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 9/7

10 Si f : A B : f ( ) est une fonction injective alors f est une bijection de dom f sur Im f. TNI-5 La propriété est évidente lorsqu'on eamine la figure suivante: f TNI-6 Im f dom f B A Figure 0: Graphe d'une bijection de dom f dans Im f. Si f est une fonction injective de A dans B, alors la composée f f est la fonction identité sur dom f A et la composée f f est la fonction identité sur Im f B (ou sur dom f B ). TNI-50 La propriété est évidente lorsqu'on eamine la figure suivante: f TNI-5 dom f f Im f B A Figure : Graphique de la composée d'une fonction injective et de sa réciproque: c'est celui de la fonction identité sur dom f ou Im f, selon l'ordre de la composition. Eemple (où dom f et Im f sont identiques) f ( ) =, f ( )= ( + ), dom f =Im f =ℝ. On calcule : ( f f ) ( )= f ( f ( ))= f = + ==Id dom f ( f f ) ( )= f ( f ( ))= f ( ( + ))= ( ( + )) = =Id Im f f f = Id dom f et f f =Id Im f ( ) ( ) Eemple (où dom f et Im f sont différents) Soit f : ;+ ℝ : f ( ) =( ). On voit aisément que dom f = ;+, + Im f =ℝ, que cette fonction est injective et que sa réciproque est f :ℝ + ;+ : f ( ) = + 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 0/7

11 On voit ensuite que : ( f f ) ( ) = ( + ) += += sur dom f = ;+ ( f f ) ( ) =( + )= sur dom f =Im f =ℝ +. Remarque : le fait que est-il en contradiction avec cette propriété? Non car la fonction f :ℝ ℝ : f ( )= n'est pas une fonction injective. Sa réciproque n'est donc pas une fonction et donc certainement pas la fonction g :ℝ ℝ : g ( )= (la réciproque de f est la relation h, telle que h ( )=± )! La fonction k ( ) = n'est pas la composée d'une fonction et de sa réciproque, et cette propriété ne s'applique donc pas. Il n'y a aucune raison de s'attendre à obtenir la fonction identité. Par contre, si on considère la fonction f : ℝ + ℝ : f ( )=, qui est injective et dont la réciproque est la fonction g, on constate bien que la composée des deu est la fonction identité sur ℝ + ce qui est bien cohérent avec =, puisque ℝ + : = Quelques propriétés complémentaires (dépassement) sont énoncées et démontrées à la section.6..5 Eercices 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

12 Fonctions cyclométriques Lors de la résolution d'équations trigonométriques, nous devons trouver les angles qui ont un sinus, un cosinus, une tangente ou une cotangente qui ont une valeur particulière. En cherchant un angle dont le sinus vaut k, nous avons utilisé la réciproque de la fonction sinus... Il n'est pas difficile de constater que les réciproques des fonctions trigonométriques ne sont pas des fonctions : aucune des fonctions trigonométriques n'est injective (il est possible de trouver amplitudes d'angles qui ont le même sinus, le même cosinus, la même tangente...). Figure : Réciproque de la fonction sinus. Figure : Réciproque de la fonction cosinus. TNI-00abc - 0 Figure : Réciproques de la fonction tangente. Comme nous disposons d'outils beaucoup plus riches et nombreu pour manipuler les fonctions que pour manipuler les relations, nous souhaiterons disposer de réciproques qui sont des fonctions, ce qui impose au fonctions de départ d'être injectives. Il faudra donc partir non pas des fonctions circulaires, mais de fonctions similaires obtenues en faisant pour chacune une restriction du domaine, sur laquelle la fonction est strictement monotone (donc injective), tout en conservant son ensemble-image. Les réciproques des fonctions trigonométriques ainsi restreintes sont des fonctions, appelées fonctions cyclométriques. Remarque : Tout comme les fonctions trigonométriques, les fonctions cyclométriques n'ont de sens que si l'on travaille en radians. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

13 . Définitions.. Fonction arc sinus Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, on limite le domaine de définition à ;. (graphique dans le manuel p.5). (TNI-00/ ) Figure 5: Fonction arc sinus. arcsin : ; ; : arcsin tel que arcsin = y =sin y et y (TNI-05) Remarques et propriétés : La restriction de sin est une bijection de ; sur -;. ; arcsin est une bijection de -; sur. dom arcsin =-;, Im arcsin = ;. arcsin est aussi noté sin- (sur les calculatrices uniquement) mais cette notation est anormale : f désigne la fonction réciproque de f, et sinus n'en possède pas! Ne confondons pas : même sur les calculatrices, sin ( sin ) =, alors que sin sin =( sin )! Comme sin, arcsin est une fonction impaire. On admet que arcsin est continue sur son domaine. La présence d'une fonction arcsinus dans une epression introduit un nouveau type de condition d'eistence : arcsin n'eiste que si ;. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

14 A la calculatrice : On travaille en radians. ASIN ou ARC SIN ou SIN- selon les modèles... Fonction arc cosinus Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, on limite le domaine de définition à 0 ; (manuel p.6). (TNI-0/ ) Figure 6: Fonction arc cosinus. arccos : ; 0 ; : arccos tel que arccos = y =cos y et 0 y (TNI-5) Remarques et propriétés : La restriction de cos est une bijection de 0 ; sur -;. arccos est une bijection de -; sur 0 ;. dom arccos =-;, Im arccos = 0 ;. arccos n'est ni paire, ni impaire. On admet que arccos est continue sur son domaine. La présence d'une fonction arccos dans une epression introduit un nouveau type de condition d'eistence : arccos n'eiste que si ;... Fonction arc tangente Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, on limite le domaine de définition à ; (attention au sens des crochets...). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

15 (TNI-0/ -) Figure 7: Fonction arc tangente. arctan : ℝ ; : arctan tel que arctan = y =tan y et < y< (inégalités strictes!) (TNI-5) Remarques et propriétés : La restriction de tan est une bijection de à ; sur ℝ. arctan est une bijection de ℝ sur ;. dom arctan =ℝ, Im arctan = ;. arctan est impaire. On admet que arctan est continue sur son domaine. La présence d'une fonction arctan dans une epression n'introduit aucune condition d'eistence : arctan eiste ℝ. Le graphique de arctan admet deu asymptotes horizontales : lim arctan = AH à droite y= et lim arctan = AH à gauche y = +.. Et arc cotangente? On pourrait définir cette fonction, mais il est tellement facile de convertir les cotangentes en tangentes, que l'on préfère procéder de cette façon, et s'économiser la quatrième fonction cyclométrique Eercices. Dérivation.. Dérivation de arcsin Si f ( )=arcsin, alors ; : f ' ( )= (TNI-0) 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 5/7

16 Hypothèses f ( ) =arcsin f est dérivable sur -; (admis). Thèse ; : f ' ( ) = Démonstration f ( ) =arcsin, donc, ;, f ( ) ; et cos f ( )>0 sin ( f ( ) ) =sin ( arcsin ) = On prend le sinus des deu membres, et on tire parti du fait que f dom f : f ( f ( ) )=. ( sin ( f ( )) )'= ' = On dérive les membres. cos ( f ( ) ). f ' ( ) = Dérivation d'une composée f ' ( )= cos ( f ( ) ) Isolons f'() (cos ( f ( ) ) 0, voir plus haut) Or : sin f ( )+cos f ( )= cos f ( ) = sin f ( ) Relation fondamentale Et : sin f ( ) =( sin f ( ) ) =( sin ( arcsin ) ) = Par définition de f() Donc : cos f ( )= cos f ( ) =+ car cos f ( )>0 (cf. plus haut) Dès lors : f ' ( )= Remarques dom d f = ; dom f = ; (en =±, arcsin admet des tangentes verticales, symétriques des tangentes horizontales de sin ). On constate que la dérivée de arcsin est une fonction strictement positive sur - ;, ce qui prouve que arcsin est une fonction strictement croissante sur -;. Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f() qui ont un sinus qui vaut. De même, deu fonctions égales ont même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deu fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 6/7

17 Eemples '.( ) = Soit à dériver f ( ) =arcsin : f ' ( )= Soit à dériver f ( ) =(arcsin ) : f ' ( )= ( arcsin ). ( arcsin ) = ( ) ' ( arcsin ).. Dérivation de arccos Si f ( )=arccos, alors ; : f ' ( ) = (TNI-0) Hypothèses f ( ) =arccos f est dérivable sur -; (admis). Thèse ; : f ' ( ) = Démonstration f ( ) =arccos Donc ;, f ( ) 0 ;, et sin f ( )>0 cos ( f ( ) ) =cos ( arccos ) = On prend le cosinus des deu membres, et on tire parti du fait que f dom f : f ( f ( ) )= ( cos ( f ( ) ) )'= ' = On dérive les membres. sin ( f ( ) ). f ' ( )= Dérivation d'une composée f ' ( )= 5 Isolons f'() (sin f ( ) 0, cf. plus haut) sin ( f ( ) ) Or : sin f ( )+cos f ( )= sin f ( )= cos f ( ) Relation fondamentale Et : Par définition de f() cos f ( )=( cos f ( ) ) =( cos ( arccos ) ) = Donc : sin f ( ) = sin f ( ) =+ car sin f ( )>0 (cf. plus haut) Dès lors : f ' ( )= 5 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f() qui ont un cosinus qui vaut. De même, deu fonctions égales ont même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deu fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 7/7

18 Remarques domd f = ; dom f = ; (en =±, arccos admet des tangentes verticales, symétriques des tangentes horizontales de sin ). On constate que la dérivée de arccos est une fonction négative sur - ;, ce qui prouve que arccos est une fonction strictement décroissante sur -;. Eemples Soit à dériver f ( ) =arccos ( ) : f ' ( )= ' ( ). ( ) = ( ) ( ) >0 ( + )>0 + >0 ( )>0 dom d f = ; 0 } dom d f? CE :.. Dérivation de arctan Si f ( )=arctan, alors ℝ: f ' ( ) = + (TNI-50) Hypothèses f ( ) =arctan f est dérivable sur ℝ (admis). Thèse ℝ : f ' ( ) = + Démonstration f ( ) =arctan 6 tan ( f ( ) ) =tan ( arctan ) = On prend la tangente des deu membres, et on tire parti du fait que f, dom f : f ( f ( ) )=. ( tan ( f ( ) ) ) '= '= On dérive les membres. ( +tan ( f ( ) ) ). f ' ( )= Dérivation d'une composée f ' ( )= +tan ( f ( ) ) Or : tan f ( ) =( tan ( arctan ) ) = Dès lors : f ' ( )= Isolons f'() f : f ( f ( ) )= + 6 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f() qui ont une tangente qui vaut. De même, deu fonctions égales ont même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deu fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 8/7

19 Remarques domd f =ℝ=dom f. On constate que la dérivée de arctan est une fonction positive sur ℝ, ce qui prouve que arctan est une fonction strictement croissante sur ℝ. On constante que lim f ' ( ) =0, ce qui prouve que le graphique de f() admet des ± asymptotes horizontales à gauche et à droite. Eemples Soit à dériver f ( ) = : arctan CE : arctan dom f =ℝ o ' ' f ' ( )=. ( arctan ) =..( ) ( arctan ) ( arctan ) +( ) 6 = ( +9 )( arctan ) domd f =ℝ o.. Eercices. Quelques identités fondamentales..... sin(arcsin ) sin(arcsin ) est défini sur -;. Sur ce domaine, par définition, arcsin et sin sont deu fonctions réciproques l'une de l'autre. Dès lors, ;,sin ( arcsin )= TNI-60 TNI-70 Figure 8: sin(arcsin ) est la fonction identité restreinte sur -;... arcsin(sin ) Soit f ( ) =arcsin ( sin ). dom f =ℝ f est périodique de période. En effet, ℝ,arcsin (sin ( + )) sin est périodique = de période arcsin (sin ) Sur / ; /, arcsin(sin ) =, par définition Sur / ; /, arcsin(sin ) donnera l'amplitude comprise entre -/ et / de l'angle qui possède le même sinus que. Dès lors arcsin ( sin ) =. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 9/7

20 TNI Figure 9: Dans le quadrant II, arcsin (sin )=. Figure 0: Dans le quadrant III, arcsin (sin )=. Conclusion : si / ; / arcsin ( sin )= si / ; /... arcsin ( sin ) est périodique de période TNI-85 Figure : Contrairement à ce que l'on pourrait penser arcsin(sin ) n'est pas la fonction identité! TNI-90.. cos(arccos ) cos(arccos ) est défini sur -;. Sur ce domaine, par définition, arccos et cos sont deu fonctions réciproques. Dès lors : ;, cos ( arccos ) = TNI-95 TNI-00 Figure : cos(arcos ) est la fonction identité restreinte sur -;... arccos(cos ) Soit f ( ) =arccos ( cos ). dom f =ℝ f est périodique de période. En effet, ℝ,arccos ( cos ( + )) cos est périodique = de période arccos (cos ) Sur 0 ;, arccos(cos ) =, par définition. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 0/7

21 Sur ;, arccos(cos ) donnera l'amplitude comprise entre 0 et de l'angle qui possède le même cosinus que. Dès lors arccos ( cos ) =. TNI-0 06 Figure : Dans le quadrant III, arccos ( cos )=. Figure : Dans le quadrant IV, arccos ( cos )=. Conclusion : si 0 ; arccos (cos )= si ;... ( ) arccos cos est périodique de période TNI-0 Figure 5: Contrairement à ce que l'on pourrait penser, arccos(cos ) n'est pas la fonction identité! TNI-5..5 Lien entre arcsin, arcsin(-), arccos, arccos(-) TNI-0 00 On voit que arccos et arcsin sont complémentaires (puisque le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre) : arcsin = arccos ( ) () arccos = arcsin ( ) (). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

22 Comme angles qui ont des cosinus opposés sont supplémentaires ou antisupplémentaires, et que arccos ( ) et arccos ( ) sont des amplitudes comprises entre 0 et, arccos ( ) est le supplémentaire de arccos ( ). Comme leurs amplitudes sont comprises entre 0 et, on peut écrire : arccos = arccos ( ). () De même, comme angles compris entre / et /, et qui ont des sinus opposés sont opposés, arcsin ( ) est l'opposé de arcsin. Comme leurs amplitudes sont comprises dans l'intervalle ;, on peut écrire : arcsin = arcsin ( ) () En substituant dans () dans (), il vient : arcsin = ( arccos ( ) ) arcsin =arccos ( ) En substituant dans () dans (), il vient : arccos = ( arcsin ( ) ) arccos =arcsin ( ) + (5) (6)..6 cos(arcsin ) et sin(arccos ) cos(arcsin ) est une fonction de ; ; 0 ; ( 00) sin(arccos ) est une fonction de ; 0 ; 0 ; ( 00) Figure 6: cos(arcsin ) et sin(arccos ) dans le quadrant I. Figure 7: cos(arcsin ) et sin(arccos ) dans le quadrant II. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

23 TNI-0 Figure 8: cos(arcsin ) et sin(arccos ) dans Figure 9: cos(arcsin ) et sin(arccos ) le quadrant III. dans le quadrant IV.. En raisonnant géométriquement : Si 0, en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle dont les côtés mesurent respectivement, et cos(arcsin ) et, et sin(arccos ), et en observant que le résultat est toujours positif (puisqu'on prend le cosinus d'un angle compris entre et, ou le sinus d'un angle compris entre 0 et ), on voit donc immédiatement que : cos ( arcsin )= sin ( arccos ) = Si = 0,on voit immédiatement que ces égalités sont vérifiées aussi, car arcsin 0 = 0 et arccos 0 =, d'où cos(arcsin 0) = cos(0) = et sin(arccos 0) = sin( ) =.. En raisonnant trigonométriquement : Soit : α=arc sin Alors : sin ( α ) = et α Et donc : cos α 0 On a : sin α+cos α= cos α= sin α Relation fondamentale Donc : cos α=+ sin α par définition de arcsin (On prend uniquement la racine carrée positive puisque cos α 0) Ou encore : cos ( arc sin ) =+ Semblablement : α=arc cos Soit : Alors : cos ( α )= et 0 α Et donc : sin α 0 On a : sin α+cos α= sin α= cos α Relation fondamentale Donc : sin α=+ cos α par définition de arccos (On prend uniquement la racine carrée positive puisque sin α 0) Ou encore :sin ( arccos ) =+ 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

24 ..7 sin(arctan ) Il s'agit d'une fonction de ℝ ℝ ; ( 050). TNI-5 Figure 0: sin(arctan ) dans le quadrant I. Figure : sin(arctan ) dans le quadrant IV.. En raisonnant géométriquement : Si 0, on voit que les triangles OAC et OBD sont semblables. Dès lors : OA AC sin ( arctan ) = = OB BD + Comme on voit que sin(arc tan ) est du même signe que : sin ( arctan ) si 0 sin ( arctan ) = sin ( arctan ) sin ( arctan ) = si <0 Les valeurs absolues sont inutiles, et donc : OA AC sin ( arctan ) = = sin ( arctan ) = OB BD + + Si =0, on voit immédiatement que ce résultat est vérifié aussi, car arctan 0 = 0, d'où sin(arctan 0) = sin(0) = 0.. En raisonnant trigonométriquement : Soit : α=arc tan Alors : tan ( α )= et <α< donc cos α 0 par définition de arctan Eprimons sin α en fonction de tan α : On a : sin α+cos α= sin α= cos α () Et : sin α+cos α= Relation fondamentale et () division par cos α (qui n'est tan α+= cos α= pas nul). cos α +tan α Donc : sin α= Et : sin ( arctan )= + tan α = +tan α +tan α En substituant () dans (). En vertu du calcul précédent. + sin ( arctan ) = Relation fondamentale 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

25 Comme on voit que sin(arctan ) est du même signe que, les valeurs absolues sont inutiles (cf. ci-dessus) : Donc : sin ( arctan ) = +..8 tan(arccos ) Il s'agit d'une fonction de ℝ 0 ; ℝ ( 060) TNI-50 Figure : tan(arccos ) dans le quadrant I. Figure : tan(arccos ) dans le quadrant II.. En raisonnant géométriquement : Si = 0, l'epression tan(arccos ) n'a pas de sens. En effet, arccos 0=, et la fonction tan n'est pas définie en. Si 0, on voit que les triangles OAC et OBD sont semblables. De plus, tan(arc cos ) est du même signe que.dès lors : BD AC tan ( arccos ) = = OD OC tan ( arccos ) =. En raisonnant trigonométriquement : sin ( arccos ) CE : arccos +k 0 cos ( arccos ) On a : tan ( arccos ) = Or : sin ( arccos ) =+ et : cos ( arccos ) = Donc : tan ( arccos ) = 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 5/7

26 ..9 Résumé en un coup d'oeil... arcsin arccos sin ( arcsin ) = (cf. ci-avant) sin ( arccos ) = (cf. ci-avant) arcsin ( sin ) si ; sin = si ; Période: arccos ( sin ) si ; (n 9) = si ; Période: arctan + (cf. ci-avant) sin ( arctan ) = arctan ( sin ) =? (pas d'epression simple) (cf. ci-avant) cos ( arcsin )= (cf. ci-avant) cos ( arc cos ) = (n 9) (cf. ci-avant) cos arc sin ( cos ) arccos ( cos ) si 0 ; (n 9) si 0 ; si ; = + si ; 0 = Période Période: (cf. ci-avant) (n ), 0 5), eemple au.. ) tan ( arcsin ) = tan arcsin ( tan ) =? (pas d'epression simple)..0 tan ( arccos ) = (cf. ci-avant) arccos ( tan ) =? (pas d'epression simple) cos ( arctan )= + (n, ), 0 ), eemple au.. ) arctan ( cos )=? (pas d'epression simple) tan ( arctan )= arctan ( tan ) si ; = Période: Eercices. Équations cyclométriques.. Principe de résolution Face à une équation cyclométrique, l'objectif est toujours de se débarrasser des fonctions cyclométriques qui y apparaissent, en les composant avec une fonction circulaire : nous faisons de cette manière apparaître la fonction identité, eactement comme nous le faisions avec une équation irrationnelle, pour faire disparaître un radical. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 6/7

27 Prenons une équation élémentaire et appliquons cette tactique, sans trop nous poser de questions: = CE : 0 arccos = Débarrassons-nous de la racine carrée en élevant les deu membres au carré. Débarrassons-nous de l'arccos, prenant le cosinus des deu membres. ( ) =( ) = =0 ( )=0 =0 ou = (CE ok) S = 0 ; } (ceci est fau, bien sûr!) =cos =cos = = (CE ok) S = } (ceci est fau, bien sûr!) ( cos arccos ) CE : ( ) L'erreur saute au yeu : Pour l'équation irrationnelle : Il manque la CR 0, qui aurait éliminé la valeur qui n'est pas une solution. La raison pour laquelle cette CR est nécessaire, c'est que la fonction «carré» et la fonction «racine carrée» ne sont pas réciproques l'une de l'autre sur ℝ (et ne peuvent pas l'être car la fonction «carré» sur ℝ n'est pas injective). La fonction «racine carrée» n'est la réciproque de la fonction «carré» que si on la restreint à ℝ +. De ce fait, on perd une information à cette étape : le fait que le membre de droite doit être positif, et on ajoute une solution parasite. Pour l'équation cyclométrique : C'est la même chose : cosinus et arccos ne sont pas réciproques l'une de l'autre, arccos n'est la réciproque que de la restriction de cosinus sur 0 ;. De ce fait, on perd une information en prenant le cosinus des deu membres (celle qui impose que le membre de droite soit compris entre 0 et ). En résolvant l'équation cos ( membre )=cos ( membre ) on obtient toutes les valeurs de telles que les deu membres de l'équation aient le même cosinus. Parmi celles-ci, on retrouvera : les valeurs qui donnent au deu membres la même valeur (ce sont les solutions de l'équation membre =membre ) les valeurs qui donnent au deu membres des valeurs opposées : ce sont des solutions de l'équation cos ( membre )=cos ( membre ), mais pas de l'équation originale. Une CR est donc indispensable pour les éliminer. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 7/7

28 TNI-00/ 00 Figure : On voit que l'équation de départ n'a aucune solution, aucune valeur de ne donne au deu membres la même valeur. On voit par contre que pour =, les deu membres ont des valeurs opposées. Figure 5: Sans surprise, nous constatons qu'en =, les deu membres de l'équation ont le même cosinus. L'équation que nous résolvons en prenant le cosinus des deu membres possède donc une solution, qui ne vérifie pas l'équation de départ. Corrigeons donc nos résolutions : = CE : 0 arc cos = CE : Débarrassons-nous de la racine carrée en la composant avec la fonction «carré» sans oublier la CR. Débarrassons-nous de l'arccos, en le composant avec la fonction cosinus, sans oublier la CR. ( ) =( ) CR: 0 cos arc cos =cos = (CR impossible!) CR: 0 =0 ( )=0 S = =0 ou = (CE ok) = ne vérifie pas la CR. S = 0 } Le noeud du problème est donc de repérer quand il faut eprimer une CR, de l'eprimer correctement, et de l'utiliser comme il convient pour valider les résultats obtenus. ( ) ( ).. Méthode de résolution Remarque générale: il convient de toujours simplifier les solutions obtenues! On ne souhaite pas d'epressions constantes dans lesquelles apparaissent encore des fonctions cyclométriques (du type «tan ( arcsin 0,5 )»), mais on souhaite néanmoins chaque fois que possible des 0,5 solutions eactes ce qui impose de calculer par eemple que tan ( arcsin 0,5 ) : =, (0,5 ) plutôt que de faire une approimation à la calculatrice.... Écrire correctement la CR d'une équation cyclométrique La détermination de la CR d'une équation cyclométrique n'est pas aussi simple que pour les équations irrationnelles pour deu raisons :. Une contrainte peut s'appliquer sur les valeurs des deu membres de l'équation. Lorsque l'équation est vérifiée, les deu membres prennent la même valeur, et la CR 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 8/7

29 imposera donc que les deu membres vérifient les deu contraintes pour toute solution. arccos 0 ; Eemple A : arccos CR : =arctan arctan 0 ; 0 ; ; 0 ; ; = 0 ; arcsin 0 ; arcsin =arccos Eemple B : CR : arccos 0 ; (tjs vrai) ; 0 ; ; 0 ; = 0 ;. Une fois correctement écrite, la CR pourrait être impossible à résoudre de manière pratique. arctan +arctan ; arctan +arctan =arctan CR : Eemple C : ; ( tjs vrai ) arctan ; ; ; ; = ; La condition <arctan +arctan < ne se résout pas facilement en, et ne sera donc utilisable pratiquement qu'en replaçant par la valeur que l'on veut valider.. Une fois correctement écrite, la CR pourrait n'être pas suffisante, et ne pas eclure toutes les valeurs parasites. Reprenons les eemples ci-dessus : Eemple A : Résolvons cos ( arccos )=cos ( arctan ) () La CR (ci-dessus) impose que les deu membres soient dans le premier quadrant. S'ils ont le même cosinus en étant dans le même quadrant, ils sont forcément égau. La CR est suffisante : elle garantit que les solutions de () vérifient l'équation de départ. Eemple B : Résolvons7 sin ( arcsin )=sin ( arccos ) () La CR (ci-dessus) impose que les deu membres soient compris entre 0 et. Il est possible que deu valeurs différentes comprises entre 0 et aient même sinus. La CR n'est pas suffisante : même si elle est vérifiée, elle ne garantit pas que les solutions de () vérifient l'équation de départ. Si on résout (), on trouve comme solutions -, 0,5 et (voir.. ). Si on se contentait de vérifier la CR, on éliminerait - uniquement. Pourtant doit être rejeté également : arcsin = et arccos =0. Comme 0 et ont le même sinus, = est bien une solution de (), mais ce n'est pas une solution de l'équation originale arcsin =arccos. Dans un tel cas, il est vital de remarquer que la CR n'est pas suffisante. L'utiliser pour valider les solutions ne sert à rien : il faut vérifier dans l'équation de départ. 7 On aurait évidemment pu résoudre l'équation en prenant le cosinus des deu membres, ce qui aurait rendu la CR suffisante, puisqu'entre 0 et on ne peut trouver deu valeurs distinctes qui ont le même cosinus. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 9/7

30 TNI-0/ 0 Figure 6: Eemple : Il est clair que l'équation ne possède qu'une seule solution (=0.5). On voit déjà que pour = et = les deu membres ont le même sinus. Ces valeurs sont solution de () mais pas de l'équation de départ. Figure 7: Eemple : La résolution de () donne les solutions auquelles on s'attend, mais la CR n'eclut que =, alors que = n'est pas une solution non plus.... Équations en arcsin et arccos. Eprimer les conditions d'eistence.. Prendre le sinus ou le cosinus des deu membres, en étant attentif à : a) Écrire la CR (cf.... ). Si elle devait être impossible, la résolution serait déjà terminée : S=. b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle eclut toute solution parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque solution en la replaçant dans l'équation de départ. c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deu nombres sont égau, ils ont le même sinus (ou cosinus), mais si deu nombres ont le même sinus (ou cosinus), ils ne sont pas nécessairement égau8. d) Résoudre l'équation obtenue. e) Vérifier que les CE sont respectées. f) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les solutions en les replaçant dans l'équation de départ. 8 En fait, si la CR est suffisante, on pourrait écrire une équivalence entre l'équation de départ et l'équation d'arrivée combinée avec la CR. Pour éviter d'écrire l'équivalence à tort, ou de l'écrire entre les deu équations, écrire toujours l'implication de gauche à droite est plus prudent. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 0/7

31 ... Équations en arctan Ces équations imposent une précaution supplémentaire, car prendre la tangente des deu membres ne permettra de trouver que les solutions qui ne donnent à aucun des deu membres la valeur +k. Il y aura donc une étape supplémentaire pour trouver d'éventuelles autres solutions (tout le reste est inchangé) :. Eprimer les conditions d'eistence.. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deu membres la valeur +k, prendre la tangente des deu membres, en étant attentif à : a) Écrire la CR (cf.... ). Si elle devait être impossible, l'étape serait déjà terminée. b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle eclut toute solution parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque solution en la replaçant dans l'équation de départ. c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deu nombres sont égau, ils ont la même tangente, mais si deu nombres ont la même tangente, ils ne sont pas nécessairement égau. d) Résoudre l'équation obtenue. e) Vérifier que les CE sont respectées. f) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les solutions en les replaçant dans l'équation de départ.. Etape supplémentaire Si la CR permet au deu membres de prendre la valeur +k, égaler un des deu membres (de préférence le plus simple) à +k, résoudre cette nouvelle équation et déterminer si les valeurs obtenues sont solutions de l'équation de départ... Eemples Eemple : arccos = 0 ;. CE : 0 arccos. CR : 0 cos arccos =cos ( ) (toujours vrai) (toujours vrai) (CR suffisante, toujours vraie) ( ) 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

32 =cos = = (CE et CR OK) Donc : S = } ( EM6 n 0 ). 5 Eemple : arctan =arcsin ; ; ; ; = ;. CE : -. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deu membres la valeur +k, on prend la tangente des deu membres : <arcsin < (tjs vrai) 5 CR : (CR suffisante). <arctan < ( ) Nous pouvons écrire: ) =tan (arcsin 5 ) La CR est évidemment vérifiée puisque arctan ( tan (arcsin ))=arcsin 5 5 ( tan ( arctan ) =tan arcsin. 5 Il n'y a pas de solutions qui donnent au deu membres la valeur +k puisque cette valeur est eclue par la CR. Avant de conclure, il reste à simplifier la solution. Méthode géométrique ( 070) TNI-60 Figure 8: tan(arc sin ) dans le quadrant I. Figure 9 : tan(arc sin ) dans le quadrant IV. tan ( arcsin ) =. y Comme y= (Pythagore), il vient : tan ( arcsin ) =. Le résultat est bien un nombre du même signe que, les valeurs absolues sont dès lors inutiles. Les triangles OBD et OAE étant semblables, 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

33 ( On calcule donc : tan arcsin : 5 ) 5 5 =. =. = () Nous pouvons conclure que S= } ( 5) Eemple : arctan = arcsin ; ; ; ; = ;. CE : -. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deu membres la valeur +k, on prend la tangente des deu membres. <arcsin < 5 (CR suffisante) CR : <arctan < On voit cette fois que la CR n'est jamais vérifiée, même sans calculatrice : arcsin > et donc arcsin >. Il n'y a aucune solution à trouver ici Sachant que les deu membres appartiennent à ;, il est inutile de chercher d'autres solutions. Dès lors : S= () () Eemple : arccos =arctan 0 ; ; 0 ; ; = 0 ;. CE :. Prenons le cosinus des deu membres : arccos 0 ; 0 ; 0 ; CR : (CR suffisante) ℝ+ arctan 0 ; cos ( arccos )=cos ( arctan ) =cos ( arctan ). Il faut donc déterminer l'epression analytique de cos ( arctan ), ce qui impose une petite parenthèse : } Méthode trigonométrique Pour nous débarrasser de l'arctan, il faut en prendre la tangente : nous devons donc eprimer le cosinus en fonction de la tangente : sin cos ± tan = = = =tan + cos = cos cos cos cos tan + 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

34 ± ± = tan ( arctan )+ + Comme arctan ;, cos ( arc tan ) >0, il faut donc choisir le signe positif. Donc : cos ( arctan )= Dès lors : = + CR9 : 0 + ( + ) =0 + =0 Équation bicarrée : posons y=, CR : y 0 y + y =0 ρ=+=5, Valeur négative à eclure (CR). ± 5 y= y= =± Valeur négative à eclure (CR). + 5 arctan 0,789 0,666 La CR et la CE sont vérifiées : arctan = donc S= + 5 } NB : Plutôt que de vérifier la CR et la CE, on pouvait aussi visualiser les graphiques de arccos et de arctan pour se convaincre que l'équation possède une et une seule solution. Comme il n'en reste qu'une, elle doit forcément être valable... arcsin =arccos Eemple 5 : ; 0 ; ; 0 ; = 0 ;. CE :. Prenons le sinus des deu membres : CR : arcsin 0 ; arccos 0 ; (tjs vrai) (CR non suffisante : entre 0 et, plusieurs valeurs ont le même sinus). sin ( arcsin ) =sin (arccos ) sin ( arcsin ) cos ( arcsin ) =sin ( arccos ).. = ( ) =0 =± ou = Les CE sont vérifiées. Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans l'équation : 9 Dans ce cas-ci, la CR est une conséquence immédiate de la CR, mais il n'est pas garanti que ce soit toujours le cas : nous la faisons donc apparaître systématiquement, de manière à acquérir le réflee : si l'on compose avec une fonction non-injective (ici la fonction «carré»), il faut sauvegarder l'information perdue en écrivant une CR. Il est toujours temps ensuite de remarquer qu'elle est éventuellement redondante avec une précédente. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt /7

35 arcsin = arccos = : à rejeter. arcsin =. = =arccos : OK! 6 arcsin = arccos = : à rejeter. Dès lors : S= } = arcsin ( ) ( ) Eemple 6 : arcsin +arcsin ; ; ; ; = ; }. CE :. Prenons le sinus des deu membres : arcsin +arcsin ; CR : ; arcsin (CR non suffisante : entre 0 et, plusieurs valeurs ont le même sinus). sin arcsin +arcsin =sin arcsin Appliquons la formule d'addition et de duplication : sin ( arcsin ) cos arcsin +sin arcsin.cos ( arcsin ) =sin arcsin cos arcsin + =. = =0 ( )=0 =0 ou =0 = + CR : -- ( membres positifs) = + ( )+ 9+9 = 9 ( )= CR : 0 8 ( + )=. ( )( ) 7 ( + )= ( + ) 5 6 +=0 ρ=6.5.=6 ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ( ( )) ( ) ( ( ) ( )) ) 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 5/7

36 6± = ou = (Rejeté cf. CR) 0 5 =± Les CE sont vérifiées. Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans l'équation : : à rejeter. arcsin ( )+arcsin = + = arcsin = 6 arcsin 0+arcsin 0=0= arcsin 0 OK. : à rejeter. arcsin ( ) +arcsin = + = arcsin = 6 Conclusion : S= 0 } = () ( ) ( ) ( ) TNI-50/ 0 Figure 0: Eemple 6: 0 est la seule solution de l'équation. Figure : Eemple 6: en prenant le sinus des deu membres on trouve trois solutions. Comme pour = et =-, les deu membres prennent des valeurs comprises en et, la CR n'élimine pas les valeurs parasites... Eercices..5 Cas particulier : sommes et différences d'arc tangentes..5. Une transformation utile Considérons une égalité de la forme arctan a+arctan b=arctan c. Moyennant quelques conditions bien choisies, on peut écrire : arctan a+arctan b=arctan c tan (arctan a+arctan b )=tan ( arctan c ) tan ( arctan a )+tan ( arctan b ) =tan ( arctan c ) tan ( arctan a ). tan ( arc tan b ) a+b =c a b On peut ensuite isoler l'inconnue (a, b ou c) pour résoudre l'équation. La méthode s'applique bien sûr à des cas moins simples ou a, b ou c peuvent être des epressions de la variable (du type arctan +arctan =arctan ), voire à des égalités entre sommes ou différences (du type arctan a+arctan b=arctan c arctan d ). 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 6/7

37 Le développement ci-dessus demande néanmoins quelques précautions supplémentaires par rapport à la méthode décrite au... : la formule d'addition (ou de soustraction) impose en effet des précautions supplémentaires car elle n'est valable que si les angles additionnés et leur somme, sont différents de +k. Le développement proposé ci-dessus ne donnera donc que les solutions pour lesquelles arctan a +k, arctan b +k et ( arctan a+arctan b ) +k. Dans cet eemple, c'est parfait car tous ces éléments sont effectivement toujours différents de +k mais cela n'est pas toujours le cas, comme l'illustreront les eemples de la section..5.. La démarche de résolution doit donc être complétée pour traiter le cas dans lequel la formule d'addition (ou de soustraction) ne s'applique pas...5. Méthode complétée. Eprimer les conditions d'eistence.. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deu membres la valeur +k, prendre la tangente des deu membres, en étant attentif à : a) Écrire la CR (cf.... ). Si elle devait être impossible, l'étape serait déjà terminée. b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle eclut toute solution parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque solution en la replaçant dans l'équation de départ. c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deu nombres sont égau, ils ont la même tangente, mais si deu nombres ont la même tangente, ils ne sont pas nécessairement égau. d) Nouvelle restriction Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun terme de la somme (ou différence) de tangentes la valeur de +k, utiliser la formule d'addition (ou soustraction). e) Résoudre l'équation obtenue. f) Vérifier que les CE sont respectées. g) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les solutions en les replaçant dans l'équation de départ. h) Nouvelle étape Pour trouver les autres solutions, identifier les valeurs qui donnent à l'un ou l'autre des termes de l'addition (ou soustraction) la valeur de +k, et vérifier si elles sont solution de l'équation de départ. 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 7/7

38 . Si la CR permet au deu membres de prendre la valeur +k, égaler un des deu membres (de préférence le plus simple) à +k, résoudre cette nouvelle équation et déterminer si les valeurs obtenues sont solutions de l'équation de départ. Remarque : Pourrait-on utiliser une méthode similaire avec des sinus (ou des cosinus), par eemple pour l'équation arcsin a+arcsin b=arcsin c? Pas directement car on ne dispose pas de formule donnant sin(a+b) en fonction de sin a et sin b, mais, si l'on se rappelle que cos ( arcsin a )= a, ça devient possible : arcsin a+arcsin b=arcsin c sin ( arcsin a+arcsin b )=sin ( arcsin c ) sin ( arcsin a ). cos ( arcsin b ) +sin ( arcsin b ). cos ( arcsin a )=c a b +b a =c Voyez un eemple au... Notez que contrairement au cas de la tangente, il n'y a pas de conditions associées à la formule d'addition dont il faille se préoccuper...5. Astuce de calcul bien pratique Lorsqu'il s'agira de chercher les valeurs de l'inconnue qui rendent les deu membres égau à +k, on utilisera comme d'habitude le membre le plus simple, mais si les deu membres sont des sommes d'arctan, il pourra être nécessaire de résoudre une équation du type ( arctan a±arctan b )= +k, potentiellement difficile ou longue à traiter. On peut dans ce cas la remplacer par une équation équivalente bien plus simple à résoudre. En effet : + y= +k y= +k tan y=cot tan. tan y= tan. tan y=0 De même : y= +k y= + +k tan y= cot tan. tan y = +tan. tan y=0 Si =arctan a et y = arctan b comme dans notre eemple, la version de gauche est nettement plus compliquée à utiliser que la version de droite, qui se réduit à a.b=0. Remarque : Résoudre tan. tan y=0 au lieu de + y= +k revient à évaluer le cas où la condition d'eistence sur le dénominateur n'est pas vérifiée dans la formule d'addition ou de soustraction : tan +tan y tan tan y tan ( + y ) = tan ( y ) = tan tan y +tan tan y CE : + y +k CE : y +k +k CE : y +k tan.tan y 0 +k CE : y +k +tan.tan y 0 6M6 Fonctions réciproques et cyclométriques A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - /09/ - FileWithImage.odt 8/7