Corrigé du baccalauréat ES, centre étranger de juin 2005.

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1 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin 005 Corrigé du baccalauréat ES, centre étranger de juin 005 Exercice Question Attention, la fonction est affine de coefficient directeur e et d'ordonnée à l'origine ln() ( c'est une constante donc la dérivée est nulle) donc sa fonction dérivée est x e Réponse n Question ln u '= u ' u et ln() est une constante donc la dérivée est x x Réponse n Question On teste les réponses en dérivant les fonctions e u '=u' e u donc la primitive de x e x est x e x Réponse n Question 4 Une équation du second degré ( e x = e x ) peut avoir deux solutions, une solution ou 0 solution Le plus simple est de tracer la courbe de la fonction : x e x e x 6 Il n'y a qu'un point d'intersection avec l'axe (Ox) donc une seule solution Réponse n Explication e x e x 6 = e x e x 6 = y y 6, en posant y=e x On cherche les racines du trinôme du second degré : =b 4 a c=5 y = b = y a = b = a y =e x = impossible, une exponentielle est toujours positive y =e x = x =ln Donc l'équation a une seule solution, ln() Question 5 Comme à la question 4, on trace la courbe, mais on ne voit pas bien ce qui se passe près de zéro donc il faut regarder le tableau de valeurs et calculer l'image de pour x près de 0 ( 0 -, 0 - ) On voit que la fonction est positive donc il y a deux solutions On peut aussi se servir de la limite en 0 qui est la même que (ln x)² Réponse n Explication En posant y=ln x, on obtient le même trinôme et les racines sont : y =ln x = x =e y =ln x = x =e Question 6 On teste les "candidats" dans l'équation Seul ln, ln, convient Réponse n Explication, x =, ln, x ln, =ln, xln, =ln, x= ln, Attention on ne peut pas simplifier cette expression Auteur : Thierry VEDEL page sur 7

2 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin 005 Exercice Non spécialité On tire au hasar une carte dans une boite Sur chaque carte il y a une question, un tiers portant sur le thème cinéma et deux tiers sur le thème musique Soit C l'évènement "la question porte sur le thème cinéma" : p C = Soit M l'évènement "la question porte sur le thème musique" : p M = Première partie On pose à Pierre une question choisie au hasard E est l'évènement "Pierre répond correctement à la question" On sait que : la probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème cinéma est égale à 4 donc p E /C =, la probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème musique est égale à donc p E /M = 4 Arbre pondéré représentant l'expérience ( E est noté ) E C M 4 E 4 p M E = p E / M p M = 4 = p E = p M E p C E = p C / E = p C E p E p C E = p E = p E /C p C = = = Auteur : Thierry VEDEL page sur 7

3 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin 005 Deuxième partie Le jeu se déroule de la manière suivante On pose trois questions au plus et le jeu s'arrête si Pierre répond correctement à une question A chaque fois qu'une question, est tirée on remet dans la boite une question sur le même thème donc les expérience sont indépendantes Si Pierre répond correctement à la première question il gagne 5 points, s'il répond correctement à la deuxième question il gagne points, s'il répond correctement à la troisième question il gagne point On appelle X le nombre de points Arbre pondéré E (X = 5 ) E (X = ) E (X = ) (X = 0) et Loi de probabilité de X et espérance mathématique p X =5 = p E = p X = = p E E = p E p E = 9 p X = = p E E E = p E p E = 7 p X =0 = p E E E = p E = 7 X i 0 5 Total p i 7 7 X i p i E X = 04 7 Pierre peut espérer marquer 04 7 points en moyenne Auteur : Thierry VEDEL page sur 7

4 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin 005 Exercice Spécialité Une population est divisé en "fumeurs" et "non fumeurs" Le taux de fécondité est le même pour ces deux populations donc n'influe pas sur la proportion "fumeurs" "non fumeurs" Soit f n le pourcentage de fumeurs de la génération de rang n et g n = f n le pourcentage de non fumeurs Graphe probabiliste Pour une génération quelconque de rang n+ : 60% des descendants de fumeurs, 0,6 f n et 0% des descendants de non fumeurs, 0, g n, sont des fumeurs donc : f n 0, g n 40% des descendants de fumeurs, 0,4 f n et 90% des descendants de non fumeurs, 0,9 g n, sont des non fumeurs donc : g n =0,4 f n 0,9 g n f n 0, g n g n =0,4 f n 0,9 g n implique f n g n = f n g n 0,6 0,4 0,6 0,4 On appelle A la matrice 0, 0,9 0, 0,9 Pour la génération 0, f 0 = g 0 =0,5 D'après la formule ci-dessus : f g = f 0 g 0 A = 0,5 0,5 0,4 0,6 0,5 0,85 = 0,75 0,75 La génération de rang sera composée de 7,5 % de fumeurs 4 L'état probabiliste stable est le vecteur f n g n pour n grand (En fait c'est la limite de ce vecteur quand n tend vers l'infini) f n g n = f 0 g 0 A n donc on vérifie si A n converge en calculant A n pour n grand A 64 =A 65 == 0, 0,8 0, 0,8 Donc l'état probabiliste stable est f stable g stable = f 0 g 0 0, 0,8 0, 0,8 = 0, 0,8 Autre méthode x y est l'état probabiliste stable signifie que d'une génération à la suivante l'état sera le même donc : x y = x y 0,6 0,4 0, 0,9 avec x y= 0,6 x 0, y= x On obtient le système : 0,4 x 0,9 y= y x y= 0,5 y=0,4 y=0,8 donc x= y x=0, donc 0,4 x 0, y=0 0,4 x 0, y=0 x y= On peut en conclure que la proportion de fumeurs se stabilisera à 0% donc 0,4 x 0, y=0 0,4 x 0,4 y=0,4 Auteur : Thierry VEDEL page 4 sur 7

5 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin D'après la question : f n 0, g n 0, f n =0,5 f n 0, 6 On pose pour tout entier naturel n : u n = f n 0, u n 6 a = f 0, n = 0,5 f n 0, 0, = 0,5 f 0, n =0,5 donc la suite u u n f n 0, f n 0, f n 0, n est une suite géométrique de raison q=0,5 et de premier terme u 0 = f 0 0, =0, 6 b u n =u 0 q n =0, 0,5 n 6 c f n =u n 0, =0, 0,5 n 0, 6 d u n est une suite géométrique de raison 0,5 0 0,5 lim u n =0 lim f n =0, On peut en conclure que la proportion de fumeurs se stabilisera à 0% Exercice Soit f et f deux fonctions dérivables sur [0 ; ], C et C leur courbe représentative Soit f la fonction dérivable sur [0 ; ] définie par f = f f Les courbes C et C se coupent au point A(e- ; ) donc f e =0 La courbe de f doit couper l'axe (0x) au point d'abscisse e- La courbe de la figure ne peut pas être la représentation graphique de f a Tableau de signe de f D'après les figures et f est positive puis négative sur [0 ; ] x 0 e - f(x) + 0 _ b a Tableau de signe de f ' La fonction f est strictement décroissante sur [0 ; ] donc f ' est strictement négative x f ' (x) 0 _ Auteur : Thierry VEDEL page 5 sur 7

6 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin 005 F est une primitive de f sur [0 ; ] donc F ' = f D'après le a F est strictement croissante sur [0 ; e-[ et strictement décroissante sur ]e- ; ] et admet donc un maximum en x = e- 4 La courbe de la figure 5 représente une fonction décroissante sur [0 ; ] donc cette courbe ne convient pas La courbe de la figure 6 représente une fonction qui admet un maximum en e- donc cette courbe ne convient pas est 5 La courbe de la figure 4 représente la fonction F d'après le graphique, F(0) = 0, le maximum e donc F e = e 0 e e f x dx=f e F 0 = 6 L'aire du domaine hachuré sur la figure est limité par les droites d'équation x = 0 et x = e- et par les courbes C et C de f et f C est au dessus de C sur [0 ; e-] donc l'aire en ua du domaine est : 0 e f x f x dx= 0 e f x dx= e Exercice 4 Première partie Le nombre d'adhérents d'un club sportif est donné dans le tableau ci-dessous : Année rang de l'année xi nombre d'adhérents yi On pose Y i =ln y i et l'ajustement affine de Y en x par la méthode des moindres carrés est : Y =0,4 x 6,97 Le rang de l'année 004 est x 6 =6 donc Y 6 =0,4 6 6,97 ln y 6 =7,7 y 6 =e 7,7 90 On prévoit un effectif de 90 adhérents en 004 a Y i =0,4 x i 6,97 ln y i =0,4 x i 6,97 y i =e 0,4 x i 6,97 =e 6,97 e 0,4 x e 6, arrondi à l'unité, e 0,4 x = e 0,4 x et e 0,4,5 arrondi à 0 - donc : y i =600,5 x i Autre méthode :,5 x =exp ln,5 x =e x ln,5, ln,5 0,4 arrondi à 0 - donc,5 x e 0,4 x à 0 - près Auteur : Thierry VEDEL page 6 sur 7

7 Corrigé du baccalauréat ES centre étranger juin 005 b D'après la formule ci-dessus et sachant que x n =n : n y n 600,5 = y n 600,5 =,5 ou n y n =,5 y n, chaque année le nombre d'adhérents est multipolié par,5 donc augmente de 5% Deuxième partie En fait le nombre d'adhérents en 004 est de 400 On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f x = 600 0,5 e x On suppose que le nombre d'adhérents en 004+n est égal à u n = f n lim n= lim e n =0 Le nombre d'adhérents va se stabiliser à 600 lim f n =600 a et b Nombre moyen d'adhérents M entre 005 et 009 Année rang de l'année xi 4 5 Total moyenne nombre d'adhérents yi On remarquera que le tableur ne donne pas le même résultat ( 04 au lieu de 040) que l'énoncé a Soit F la fonction définie sur [0 ; + [ par : F x = 600 ln e x 0,5 ln u '= u ' u F ' x = 600 e x e x 0,5 = 600 e x e x 0,5 e x = 600 = f x x 0,5 e F est une primitive de f b Valeur moyenne de f sur [0,5 ; 5,5] = 5,5 f x dx= 600 F 5,5 F 0,5 = 5,5 0,5 0,5 5 5 M ln e 5,5 0,5 ln e 0,5 0,5 4 Auteur : Thierry VEDEL page 7 sur 7