DS n o 5 Samedi 07 janvier 2011

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1 DS n o 5 Samedi 07 janvier 2011 Consignes de rédaction : «La sensibilité de l homme au petites choses et l insensibilité pour les grandes choses, marque d un étrange renversement.» Pascal Pensées sur la justice < GF 1474, p Chaque réponse doit être précédée de sa justification Aucun raisonnement, aucun point. - Applications numériques sans unités, aucun point. - les résultats devront être encadrés à la règle, chaque copie numérotée, portant votre nom et votre code copie en haut à gauche. - La calculatrice est autorisée. Physique I Régime sinusoïdal [Banque Agro 09] 1) À partir de l équation différentielle qui régit la charge q d un circuit R 0 LC série, établir la pulsation propre ω 0 et le facteur de qualité Q de ce circuit. Pour le facteur de qualité, on donnera trois expressions équivalentes : - une première en fonction de L, ω 0 et R 0 - une seconde en fonction de R 0, C et ω 0 - une troisième en fonction de R 0, L et C. e(t) R 0 L q C Par la suite : Un générateur sinusoïdal alimente un circuit RLC constitué d un condensateur de capacité C = 0,1 µf, d une bobine réelle d auto-inductance L et de résistance r inconnues, placés en série avec une résistance R = 480 Ω. Le générateur est un générateur basse fréquence de résistance interne R g = 50 Ω délivrant un signal sinusoïdal de pulsation ω et de f.é.m. efficace E : e(t) = E 2 cos(ωt) À toute grandeur réelle u(t) = U m.cos(ωt+ϕ) est associée une grandeur complexe : e(t) u(t) = U m.exp(jωt+ϕ) = U.e jωt avec : L intensité circulant dans le circuit est : i(t) = I 2.cos(ωt+ψ) 2) Exprimer littéralement la résistance totale R 0 de ce circuit. R g r L u R (t) R C j 2 = 1 et U = U m.e jϕ (amplitude complexe) 3) Donner l expression complexe de la tension e(t) ainsi que celle de i(t). 4) La tension efficace pour un signal quelconque f(t) est donnée par f eff = < f 2 > où < f 2 > désigne la moyenne temporelle de f 2. Si on considère la tension u(t) = U m.cos(ωt+ϕ), montrer qu on peut écrire u eff = α u où α est un facteur de proportionnalité sans dimension et u est le module de u. Comment peut-on mesurer expérimentalement une tension efficace? u C (t)

2 DSn o 5 Ve 07/01/12 Régime sinusoïdal / Mécanique / Mécanismes réactionnels PTSI 5) Préciser les expressions des impédances complexes de la bobine réelle, du résistor et du condensateur. 6) Préciser le comportement limite de ces différents composants à haute et basse fréquence. En déduire qualitativement le comportement de la tension u c (t) aux bornes du condensateur à haute et basse fréquences. 7) Donnerl expressionthéoriquedel amplitudecomplexeu C associéeàlatensionauxbornesdu condensateur en fonction des caractéristiques des composants (pour ce faire, utiliser un diviseur de tension par exemple). Mettre U C sous la forme canonique : U C = ( ω 1 ω 0 A ) 2 +j où on exprimera A en fonction des données du problème. ω ω 0.Q 8) En déduire la tension efficace aux bornes du condensateur U Ce (ω) en fonction de ω, Q, ω 0 et E. 9) Écrire U Ce en fonction de x = ω ω 0, Q et E. Montrer que la tension efficace U Ce (x) passe par un extremum en x r si Q > Q min. Préciser x r et Q min. En déduire la pulsation ω r de résonance. La comparer à ω 0. 10) Exprimer U Ce (ω = ω 0 ) en fonction de Q et E. 11) Tracer l allure de U Ce (ω) pour les valeurs de Q = 0,1, Q = 1 et Q = ) Calculer l impédance complexe Z du circuit. Mettre Z sous la forme : ( ( ω Z = R 0. 1+jQ. ω )) 0 ω 0 ω 13) Donner l expression théorique de l amplitude complexe I associée à l intensité du courant traversant le circuit en fonction de R 0, ω, Q, ω 0 et E. 14) En déduire que l intensité efficace I e (ω) peut se mettre sous la forme : I e (ω) = 1+B 2. A ( ω ω 0 ω 0 ω Préciser A et B en fonction de Q, E et R 0. Était-il nécessaire de faire une autre série de mesure pour avoir la courbe I e (ω)? 15) Montrer que I e (ω) présente un extremum pour ω = ω r. Préciser ω r et I max = I e (ω r). 16) Onappellebandepassantel intervalledepulsation ω = ω 2 ω 1 pourlaquellei e (ω) > I max 2. Montrer que : ω = ω 0 Q. 17) On donne ci-dessous (page suivante) les graphes de I e (f) et U Ce (f) où f est la fréquence du générateur. L échelle de gauche est celle de U Ce, celle de droite est celle de I e (f). Identifier, en justifiant votre choix, les courbes I e (f) et U Ce (f) parmi les courbes (1) et (2). 18) Déterminer à partir de ces courbes : 18.a) la tension efficace du générateur E; 18.b) la fréquence propre f 0 ; 18.c) le facteur de qualité Q du circuit; 18.d) les limites de la bande passante (ω 1 et ω 2 ); 18.e) et I max. 19) En déduire les valeurs de r et de L. 2 jpqadri@gmail.com ) 2

3 PTSI Régime sinusoïdal / Mécanique / Mécanismes réactionnels Ve 07/01/12 DSn o 5 Indications : la fonction f(x) = (1 x 2 ) 2 + ( ) x 2 a pour dérivée : Q ( ) df 1 dx = 2x. Q 2 2+2x2 Cette dérivée s annule pour x = 0 ainsi que pour x tel que 2x 2 = 2 1 Q 2 si 2 1 Q 2 > 0. II Pendule simple [d après ENSTIM 96] A) Pendule simple non amorti On considère un point matériel M de masse m accroché à un point fixe O par l intermédiaire d un fil inextensible de longueur l et de masse nulle (Figure 1 ci-dessous). L ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre g = g e x (avec g = 9,81 m.s 2 ), e x étant un vecteur unitaire de l axe Ox. On note, l angle orienté : θ = (Ox,OM) = ( e x, e r ) où e r est un vecteur unitaire colinéaire à OM. On néglige les frottements. Conditions initiales : On lâche au temps t = 0 la masse d un angle θ 0 sans vitesse initiale. 1) Établir, par application du principe fondamental de la dynamique, l équation différentielle du second ordre, vérifiée par θ. 2) En supposant que les élongations angulaires sont faibles (sin θ θ), montrer que l équation du mouvement est approchée par celle d un oscillateur harmonique de pulsation ω 0 dont on donnera l expression en fonction de l et g. 3) En déduire θ(t) dans le cas des oscillations de faible amplitude. jpqadri@gmail.com 3

4 DSn o 5 Ve 07/01/12 Régime sinusoïdal / Mécanique / Mécanismes réactionnels PTSI B) Pendule simple amorti Lorsque l on enregistre expérimentalement θ(t), on constate que l amplitude de θ diminue lentement. On interprète ce résultat par la présence de frottements que l on modélise par : f = α v où v désigne la vitesse du point M et α une constante positive. 4) Établir, par application du principe fondamental de la dynamique, l équation différentielle du second ordre, vérifiée par θ (notée ) dans le cas d une étude générale (grands angles : sinθ θ). 5) Retrouver ( ) par un raisonnement énergétique. Pour ce faire, commencer par exprimer l énergie potentielle de M en fonction de x, côte du point M puis en fonction de θ. Dans la suite du problème on se limite aux petits angles : sinθ θ. 6) En se limitant donc aux petits angles, écrire l équation sous la forme : d 2 θ dt τ.dθ dt +ω2 0θ = 0 Donner l expression de τ et son interprétation physique. 7) À quelle condition liant α à m, g et l obtient-on un régime pseudo-périodique? 8) Dans le cadre d un régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation est ω = ω0 2 1 ( ) τ 2. θ(t) On appelle décrément logarithmique δ la quantité δ = ln où T est la pseudo-période θ(t+t) et t le temps. Exprimer δ en fonction de T et τ. 9) La figure ci-dessous représente les variations de θ avec le temps. On précise les coordonnées de 4 points particuliers : Points A B C D t (s) 0,83 1,1 2,2 8,55 θ( ) 0 8,95 8,02 0 La masse est m = 470 g. Calculer numériquement à partir des valeurs expérimentales : 9.a) le décrément logarithmique δ; 9.b) la pseudo-période T ; 9.c) le temps τ ; 9.d) la pulsation propre ω 0 ; 9.e) la constante α. 10) Établirl expressiondufacteurdequalitéqenfonctiondeτ etdeω 0.Applicationnumérique. 11) Toujours en régime pseudo-périodique, montrer que les pertes relatives d énergie mécanique sur une pseudo-période s écrivent : E m = E m(t) E m (t+t) 2π E m E m Q Quelle est l interprétation physique du facteur de qualité? 12) Tracer l allure de la trajectoire de phase de ce système en régime pseudo-périodique dans le plan de phase (θ, θ) 4 jpqadri@gmail.com

5 PTSI Régime sinusoïdal / Mécanique / Mécanismes réactionnels Ve 07/01/12 DSn o 5 Chimie III Synthèse de l eau [Centrale MP 08] Onseproposed étudierlaréactiondeformationdel eauvapeuràpartirdesgazselonlaréaction: 2H 2(g) +O 2(g) 2H 2 O (g) Aux basses pressions, l explosion d un mélange stoechiométrique est bien décrite par un mécanisme simplifié proposé par Hinshelwood (prix Nobel en 1956) : Étape d initiation entre les molécules de dihydrogène et la paroi (notée P) : H 2 +P k 1 2H +P (1) Étape de propagation : Étape de rupture en présence de la paroi : H k +O 2 2 HO +O (2) k O +H 3 2 HO +H (3) HO k +H 4 2 H 2 O +H (4) H +P HO +P k 5 fixation sur la paroi (5) k 6 fixation sur la paroi (6) Rque : Attention!laparoi(P)n estpasunemoléculeouunatome;ellen intervientévidemment pas dans la loi de van t Hoff d un acte élémentaire. 1) Pourquoi O est-il un intemédiaire réactionnel? En déduire que v 2 = v 3. 2) Établir l approximation des états quasi-stationnaires pour H. En déduire [H ] en fonction de k 1, k 4, k 5, [H 2 ] et [HO ] 3) Établir l approximation des états quasi-stationnaires pour HO. En déduire [HO ] en fonction de k 1, k 2, k 4, k 5, k 6, [H 2 ] et [O 2 ] 4) Montrer que dans le modèle d Hinshelwood la vitesse de formation de l eau, définie par : se met sous la forme : v = v = d[h 2O] dt α.[h 2 ] n.[o 2 ] m β +γ[h 2 ] δ[h 2 ][O 2 ] Déterminer les entiers n et m, ainsi que les expressions des coefficients α, β, γ et δ en fonction des constantes de vitesse k i, i variant de 1 à 6. IV Décomposition thermique du pentoxyde d azote On considère la réaction suivante : N 2 O 5 2NO O 2 1) Pourquoi cette réaction n est pas un acte élémentaire? 2) Le mécanisme de la réaction est le suivant : jpqadri@gmail.com 5

6 DSn o 5 Ve 07/01/12 Régime sinusoïdal / Mécanique / Mécanismes réactionnels PTSI N 2 O 5 k 1 k 1 NO 3 +NO 2 (1)/(-1) NO 3 +NO 2 k 2 NO 2 +O 2 +NO (2) NO k +N 2 O 3 5 3NO 2 (3) Quel est le type de la rupture (1)? Quelle différence y a -t-il entre NO 2 et NO 2? Quels sont les intermédiaires réactionnels? 3) Exprimer la vitesse v de la réaction en fonction de la vitesse de formation de O 2. Déduire du mécanisme réactionnel l expression v en fonction de [N 2 O 5 ], k 1, k 1 et k 2. Quel est l ordre de la réaction? 4) On donne les énergies d activation des actes élémentaires (1), (-1) et (2) : E a1 = 88 kj.mol 1 E a 1 0 kj.mol 1 E a2 = 21 kj.mol 1 En admettant que les facteurs de fréquence de (-1) et (2) sont du même ordre de grandeur, montrer qu on peut alors négliger k 2 face à k 1. Quelle est alors l énergie d activation E a de la réaction? 6 jpqadri@gmail.com