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2 Cours de mécanique du solide ommaire Tit I ommaire II Bibliographie IV Introduction à la mécanique des solides Notion de sstème Notion de modèle Hpothèses utilisées en mécanique classique Limites de la mécanique classique pplications éthodologie d étude avoir et savoirfaire nécessaires à la résolution d un problème de mécanique 4 lan d étude d un sstème mécanique 5 Rappel de calcul vectoriel 6 roduit scalaire 6 Bases orthonormées 6 roduit vectoriel 8 roduit mite 8 Eléments du cadre mathématique Espaces Repérages Vecteur libre Vecteur lié 3 Ensemble de vecteurs liés 3 Torseurs 4 ction mécanique tatique 5 ction mécanique 5 Définitions utiles pour la modélisation 5 ction mécanique eercée sur un solide ou un ensemble de solides 7 rincipe fondamental de la statique 7 rincipe d action et de réaction actions mécaniques réciproques 9 Nombre d équations éthode d étude d un problème de statique Les liaisons parfaites Définition Les principales liaisons parfaites chématisation normalisée des liaisons 8 Créer et recréer des liaisons 3 Cinématique 3 Définition 3 Hpothèses 3 osition d un point par rapport à un repère 3 oint lié à un solide 3 Trajectoire d un point par rapport à un repère choisi 33 Vecteur rotation d un solide ou d un repère 34 Dérivée cinématique d un vecteur 36 Vitesse d un point par rapport à un repère 36 ccélération d un point par rapport à un repère 38 II

3 Cours de mécanique du solide Géométrie des masses 39 Eléments de définition d un solide en dnamique 39 asse 39 Centre de masses 4 oments d inertie 4 roduits d inertie 4 atrice d inertie 4 Remarque 4 Théorèmes relatifs au smétries 43 atrices centrales d inertie de quelques solides élémentaires 44 utre définition du moment d inertie 48 Théorèmes relatifs au moments d inertie 49 Théorèmes d Hugens 49 Changement de repère 5 Diagonalisation des matrices d inertie 53 Eléments d inertie principau et centrau 54 éthode pratique de calcul 55 Dnamique 56 rincipe fondamental de la dnamique 56 Repère galiléen 56 Torseur dnamique d un sstème mécanique 57 Torseur dnamique d un solide 57 Torseur cinétique d un solide 58 Calcul du moment dnamique en fonction du moment cinétique 59 oints privilégiés pour le calcul du moment dnamique 59 Calcul des moments cinétiques 6 Calcul pratique des moments cinétiques 6 Rappel sur les moments cinétiques et dnamiques 63 éthode pratique de calcul 63 Retour sur la méthode générale de résolution d un problème de dnamique 64 Equations de liaison 66 Liaisons géométriques 66 Liaisons cinématiques 67 Liaisons epérimentales 69 n III

4 Introduction Introduction à la mécanique des solides Notion de sstème Notion de modèle our étudier de manière efficace le monde qui l entoure l homme s est aperçu qu il est possible de fragmenter l espace qui nous entoure en différents «sstèmes» qui «interagissent» entre eu. Eemples de sstème : une voiture une balle de tennis un marcheur un touret à meuler... Eemple d interactions entre sstèmes : le courant électrique crée un champ magnétique l arbre s appuie sur les paliers leau dissout le sel... Le monde qui nous entoure est rempli d objets d éléments matériels qui interagissent entre eu et avec nous. Le nombre de ces interactions est très grand souvent infini et toutes ne peuvent être prises en compte dans l étude d un sstème matériel. our l étude des sstèmes matériels l homme a donc été amené à ne considérer que certaines interactions en négligeant les autres. uivant les résultats qui l intéressent il a séparé l étude des sstèmes phsiques en différentes disciplines électricité chimie thermique mécanique... u sein de chaque discipline nous sommes amenés à faire des hpothèses sur les sstèmes étudiés et à limiter notre étude dans l espace et dans le temps. Nous sommes donc amené à construire des modèles des sstèmes et il ne faut jamais perdre de vue qu une modélisation n est pas la réalité mais seulement une interprétation généralement basée sur des lois mathématiques de la réalité fondée sur des hpothèses plus ou moins juste plus ou moins précises. N oublions jamais qu on modèle n est qu une représentation très imparfaite de la réalité. Dans le cadre de ce cours nous allons nous intéresser uniquement au relations mécaniques entre les solides les relations mécaniques étant celles qui modifient l état de repos ou de mouvement d un sstème matériel ou de certaines de ses parties Hpothèses utilisées en mécanique classique En mécanique classique nous allons étudier :! des sstèmes matériels dont le contenu matériel est ou non variable qui eistent pendant un intervalle donné de temps dans un espace réel à trois dimensions.! n admettra que à chaque instant le sstème matériel considéré est constitué d éléments individualisable de points matériels.! i un ensemble de points matériel est tel que les distances entre chaque point constituant l ensemble sont constantes alors cet ensemble de points sera appelé solide. Un solide est donc indéformable.! La masse d un élément d une partie ou de l ensemble du sstème matériel ne dépend que de la quantité de matière qui le compose.

5 Introduction! n ne retiendra dans l ensemble des relations entre le sstème et le monde etérieur que celles qui modifient l état de repos ou de mouvement du sstème ou de certaines de ses parties. 3 Limites de la mécanique classique! La mécanique telle que nous l avons définie ne permet pas d epliquer et de prévoir les mouvements des très petits sstèmes matériels tpiquement les éléments constitutifs de la matière voire de certaines particules fines ordre de grandeur : le µm! De même les mouvements des galaies ne sont pas parfaitement pris en compte par la mécanique classique! i la vitesse d un sstème est proche de celle de la lumière de nouveau la mécanique classique ne s applique plus il faut doit utiliser la relativité. Tpiquement si V>C C étant la vitesse de la lumière dans le vide.! Il faut se rappeler que dans les modélisations que nous allons effectuer toutes les interactions entre les sstèmes ne sont pas prises en compte alors que certaines peuvent être importantes pour le sstème considéré ou avoir une action à long terme eemple : les variations de température ou les problèmes chimiques pour la fatigue des matériau la prise en compte des phénomènes de dilatation souvent négligés... 4 pplications Une application classique du cours de mécanique du solide est le groscope mais de plus en plus la robotique et l automatisation des processus vont nous intéresser. Les sstèmes automatisés et les robots doivent être de plus en plus complees rapides précis. La mécanique couplée à l informatique permet de dimensionner et de prévoir des modèles de commande relativement sophistiqués pour optimiser la commande et l asservissement de robots de plus en plus complee et rapides avec une répétabilité toujours améliorée... Et ce en temps réel. 5 éthodologie La méthode que nous allons utiliser consiste à s intéresser successivement à chacun des solides ou ensemble de solides constituant un mécanisme. Il faut isoler le solide. Nous analserons alors :! es mouvements : un solide possède si degrés de liberté et à chaque degré de liberté correspond un paramètre géométrique linéaire ou angulaire. Deu cas sont alors possible :! oit ce paramètre est connu on dira asservi. Cela suppose qu une action mécanique inconnue permet d obtenir la loi de variation de ce paramètre en fonction du temps! oit ce paramètre est inconnu on dira libre car il est libre d évoluer en fonction des lois de la mécanique. L action mécanique qui s eerce alors sur ce paramètre est alors connue éventuellement nulle.

6 Rappels de calcul vectoriel Rappels de calcul vectoriel. roduit scalaire de deu vecteurs et B.. éfinition soient et B deu vecteurs formant entre eu un angle! orienté dans le sens trigonométrique du plan B. Le produit scalaire de et B est le scalaire noté " B " B " cos! : norme de. &# µ%$ et # " µ" " B # " " B µ" " B "# " B µ" B # " " B µ" " B linéarité... ropriétés fondamentales " B B".3 si et B sont normau entre eu " B.4.3. arré scalaire et norme si B le produit devient ". ases orthonormées.5.. éfinition dans le plan : base I J constituée de deu vecteurs I et J tel que : I I " J J I normal à J I et J normés deu possibilités : J I ou I J dans l espace 3D : base I JK telle que I " J I " K J " K et I J K 6

7 Eléments du cadre mathématique.. Espaces.. Espaces Eléments du cadre mathématique Le modèle mathématique utilisé pour modéliser l espace qui nous entoure est le suivant : athématiquement l espace qui nous entoure est un espace affine formé de points euclidien on peut définir la distance entre deu points de dimension 3 sur le corps des réels Cet espace est noté E 3 our les opérations sur les vecteurs on lui associera un espace vectoriel de dimension 3 R 3 sur le corps des réels... Bases et repères l espace R 3 est rapporté à une base formée de 3 vecteurs appartenant à cet espace l espace E 3 est rapporté à un repère formé d un point d origine du repère i par eemple et de trois X Y Z par eemple. aes aant les directions d une base choisie dans R 3 i i i Remarque : pour simplifier les calculs nous utiliserons uniquement des bases orthonormées directes.. Repérages.. epérer un point dans E 3 la position d un point est définie par trois coordonnées appelées dimensions si elles sont invariables ou paramètres si elles sont fonction du temps... epérer un solide oit BC trois points non alignés appartenant à un solide. i nous connaissons les coordonnées de ces trois points dans un repère "r" donné la position et l orientation du solide par rapport au repère "r" sont parfaitement connues. Z B Zr Y r X r Y C X Remarquons cependant que les neuf paramètres définissant la position et l orientation de ce solides sont liés entre eu par les trois relations suivantes : B cte BC cte C cte 3.

8 ctions mécanique tatique ction mécanique tatique ction mécanique. Définition ction mécanique : Toute cause aant pour effet de maintenir au repos ou de modifier l état de repos ou de mouvement d un mécanisme ou de certaines de ses parties.. Eemples d actions mécaniques Le pied d un footballeur frappe le ballon Les champs électriques et magnétiques dévient l électron le rotor entraîne l ae du moteur de la fraiseuse l ae du rotor s appuie sur le carter du moteur le carter du moteur s appuie sur le bâti de la fraiseuse....3 ctions mécaniques La définition les eemples donnés ici et ceu que l on peut voir tous les jours nous montre que le terme «actions mécaniques» décrit une grande diversité de phénomènes. Nous pouvons cependant faire les remarques suivantes : Une action mécanique peut être : une action de contact pression par eemple une action à distance poids forces électriques et magnétiques... Une action mécanique peut s eercer sur une surface action d un solide sur un autre au point de contact pression d un liquide d un ga... sur un volume poids par eemple. Volume et surface du solide sont parfois négligés mouvement des planètes par eemple. Le solide est alors considéré comme un point matériel. Une action mécanique fait intervenir deu corps : l un eerçant l action l autre la subissant. Une action mécanique peut être intérieure au sstème considéré action d une partie du sstème sur une autre ou etérieure au sstème considéré action eercée par l environnement sur le sstème... éfinitions utiles pour la modélisation. orce élémentaire Considérons le point matériel. Toute action élémentaire de contact ou à distance d un point B sur est appelée force et représentée par un vecteur lié à obligatoirement en résistance des matériau ou glissant ce n est pas obligatoire mais valable en mécanique des solides indéformables. L intensité d une force s eprime en Newton N. n l écrira!" F B L intensité d une force se mesure en Newton N. au point 4. 5

9 ctions mécanique tatique. ction mécanique Ce peut être une action de contact d un corps sur un autre contact d un autre solide pression d un liquide ou d un ga... ou une action à distance gravité électromagnétisme... sur le corps considéré. Quelle qu elle soit une action mécanique fait intervenir un ensemble de force élémentaires ou non. n la représente par un torseur : # & T %. $. C!"!" somme géométrique des forces eercées par sur. Elle est appelée force. omme des moments des forces eercées par sur au point appelée couple.3 Décomposition d une action mécanique en deu torseurs spéciau n utilise deu torseurs spéciau : un glisseur et un couple dont la somme est le torseur représentant l action mécanique au point : 4. # & # & # & T % %. %. G C. 4.3 $. $. $. C C.3. Du point de vue mathématique Le torseurglisseur [ G ] Le torseur couple [ ] : est représenté par un vecteur glissant : passant par C : est représenté par un vecteur couple vecteur libre C C Ce vecteur n est pas lié à un point particulier.3. Du point de vue phsique Les torseurs représentent l action mécanique de sur en un point précis de l univers. Les composantes de ces vecteurs intéressent le mécanicien en ce point précis de l univers. Les vecteurs et C ont plutôt un caractère de vecteur lié au point 6

10 Les liaisons parfaites Les liaisons parfaites. éfinitions.. Liaison parfaite Une liaison est dite parfaite si le torseur qui représente l action mécanique d un des solides sur l autre a autant de composantes qu il a de degrés de liberté bloqués par la liaison... Nombre de degrés de liberté d une liaison c est le nombre de mouvements de translation et de rotation indépendants que la liaison autorise. Le nombre de composantes d effort transmises par une liaison est égal à si moins le nombre de degrés de liberté de la liaison.. Les principales liaisons parfaites Dans les pages qui suivent chaque liaison est définie représentée et le torseur des actions mécaniques transmises par la liaison est donné... Liaison libre 6 degrés de liberté aucun effort transmis. «liaison» à 6 ddl Cette «liaison» est en fait une absence de liaison le solide est «livré à lui même» cas d un satellite dans l espace ou d un projectile balistique... Liaison ponctuelle définition : Deu solides et sont en liaison ponctuelle si au cours de leur mouvement relatif un point de reste dans un plan de liaison à 5 ddl! # " $ &. % C Z " b " " b".

11 Cinématique Cinématique. éfinition La cinématique est l étude des sstèmes matériels à chaque instant t de leur eistence du point de vue de leur position et de leur mouvement dans l espace indépendamment des causes qui provoquent ces mouvements.. Hpothèses.. Espace l espace phsique est représenté par un espace affine réel euclidien de dimension 3 E 3. l unité de longueur est le mètre m. our les opérations sur les vecteurs on lui associe un espace vectoriel R 3 de dimension 3... e temps Le temps est représenté par un espace affine réel orienté il ne peut être parcouru que du passé vers l avenir de dimension Unité : la seconde s. Le temps est indépendant de l observateur deu événements qui paraissent simultanés à un observateur paraissent aussi simultané à n importe quel autre observateur. Cette hpothèse sur laquelle s appuie la mécanique classique n est pas vraie en mécanique relativiste et n est valable que si les différents solides ou repères se déplacent les un par rapport au autres à des vitesses inférieures au diième de la célérité de la lumière dans le vide C ms valeur eacte.3. olide : Un solide est un ensemble de points dont les distances mutuelles ne varient pas. Un solide est donc indéformable ceci n est plus vrai en mécanique des milieu continus ou en résistance des matériau..4. epère base et sstème d aes Un repère est un ensemble de points dont les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps. Notons que cette définition est identique à celle d un solide un repère sera donc un solide utilisé comme référentiel. une base est un sstème de trois vecteurs libres unitaires et orthogonau liés à un solide ou repère. un sstème d aes est défini par une origine et une base. Eemple : G X Y Z a pour origine G et pour vecteurs de base X Y Z..5. Note concernant les vecteurs et leur projection dans un repère Quelle que soit la base utilisée pour leur projection les vecteurs représentant les éléments phsiques forces positions vitesses... sont les mêmes. Ils peuvent être projetés dans n importe quelle base. D après J.. ere «mécanique» masson 994 3

12 Cinématique Lorsqu un vecteur est projeté dans une base il est toujours possible de le projeter dans une autre base en effectuant un changement de base. Cette opération complique souvent les calculs et est source d erreurs il faut donc chercher à l éviter autant que possible. 3. osition d un point par rapport à un repère 3.. osition d un point En mécanique on définit la position d un point par rapport à un repère de référence choisi r à l aide du vecteur position de par rapport à r : Ce vecteur joint l origine r du repère au point. r r r r r Le repère par rapport auquel la position du point est définie est important. Lorsque nous allons nous servir du vecteur r pour calculer la vitesse l accélération... du point par rapport au repère «r» nous allons considérer que ce repère est fie nous dirons bloqué. Eemple : 3! i 5! j! k r r r r 4. oint lié à un solide 4.. oint appartenant à un solide n dit qu un point appartient à un solide ou repère si quel que soit le point Q " de considéré la distances de par rapport Q " est constantes. 4.. ppartenance réelle et imaginaire Un point peut appartenir à de manière réelle : fait réellement partie de imaginaire : on décide qu un point qui appartient réellement à aura par eemple les propriétés d un point d un autre solide ou repère par eemple d un point de. Cette décision «bloque» les paramètres ou coordonnées positionnant par rapport au repère d appartenance imaginaire Conséquences our un vecteur position seuls les paramètres compris entre le repère de mouvement et le repère d appartenance indiqué varient. Tous les autres paramètres intervenant dans le sstème matériel considéré sont considérés comme bloqués leurs dérivées sont nulles. 3

13 Géométrie des masses éométrie des masses. Eléments de définition d un solide en dnamique Un solide indéformable est caractérisé par ses dimensions en m sa masse volumique! en kg.m 3. Un solide dont la masse volumique est constante quel que soit le point du solide considéré est un solide homogène. Un solide dont la masse volumique varie suivant le point du solide considéré est un solide hétérogène. our utiliser les équations de la dnamique il nous faut déterminer certaines quantités en fonction de ces éléments. Ce sont : la masse. les coordonnées du centre de masse G les éléments d inertie du solide ou au moins certains d entre eu.. asse du solide.. Définition dv est le volume élémentaire. """! p $ # dv p p.. éthode pratique permettant de déterminer la masse d un solide il est généralement possible de décomposer en une somme de solides homogènes dont la géométrie est simple clindres parallélépipèdes pramides... oit V i le volume du solide i et! i la masse volumique du solide i. La masse du solide est alors : %! i $ Vi i 39

14 namique Dnamique. rincipe fondamental de la dnamique Il eiste au moins un repère a dit repère absolu et une chronologie manière de mesurer le temps dite chronologie absolue tels que pour tout sstème matériel Dt à chaque instant de son eistence le torseur représentant l ensemble des actions mécaniques etérieures agissant sur Dt est égal au torseur dnamique de Dt par rapport au repère a.! La somme des éléments de réduction $! les éléments de réduction en $ # en un point des vecteurs représentant & # de lensemble des vecteurs représentant & # & # & # toutes les actions mécaniques etérieures & # les quantités daccélération de D t par& # & # & " agissant sur D t % " rapport au repère absolu %. epère galiléen.. éfinition n appelle repère galiléen g tout repère par rapport auquel le vecteur accélération d un point est le même que celui qu il aurait par rapport au repère absolu... Théorème un repère est galiléen si et seulement si il a un mouvement de translation uniforme par rapport au repère absolu..3. Démonstration Elle découle de la composition des accélérations : t t t V t a g g a g a i on veut quel que soit t et quel que soit a t g t t et g a à a. g a g il faut dans l équation précédente que donc que le repère g soit en mouvement de translation uniforme par rapport.4. Remarque Un repère véritablement galiléen n eiste pas dans l univers même les fameu repères centrés sur trois étoiles «fies» ne sont que des approimations de repères galiléens. Cependant différents repères approimativement galiléens peuvent être utilisés suivant la précision souhaitée dans les calculs et les quantités d accélération mises en jeu. Dans le cas général des sstèmes utilisés industriellement sauf pour les applications liées à l espace un repère lié à la terre sera une très bonne approimation d un repère galiléen. 56

15 Equations de liaisons Equations de liaison notation : dans les définitions qui vont suivre nous allons désigner par q i q q n i i les n paramètres d un sstème matériel D et leur dérivées premières et secondes par rapport au temps. Liaison géométriques. Définition Une liaison géométrique s eprime par des équations contenant les paramètres liés entre eu et parfois le temps. Forme générale : fq i t Note : les dérivées des paramètres n interviennent pas.. Eemples.. Contact entre deu solides : Une sphère de centre C et de raon R est en contact avec un plan horiontal. oit la verticale ascendante. R C Une équation de liaison géométrique concerne la cote de C : Z C R.. aramètres principau et paramètres intermédiaires eemple du sstème bielle manivelle Un sstème bielle manivelle est un sstème à un degré de liberté. our définir la position des trois solides piston bielle vilebrequin un paramètre suffit ; généralement on utilise! l angle de rotation de la manivelle. 66

16 Equations de liaison l a B G "! e! est alors le paramètre principal. our simplifier l écriture des équations de la dnamique plusieurs paramètres intermédiaires peuvent être utilisés : Z b qui donne la position du piston au cours du temps X G et Z G qui définissent la position du centre de gravité de la bielle au cours du temps " qui permet d obtenir la rotation instantanée de la bielle. Cependant l utilisation de ces quatre paramètres intermédiaires si elle simplifie l écriture des équations de la dnamique ajoute au sstème d équation à résoudre quatre équations de liaison : # e $ sin! l $ sin " # Z B e $ cos! l $ cos " e $ cos! a $ cos " # Z G # e $ sin!% a $ sin " X G Equations de liaison cinématique. Définition Une liaison cinématique s eprime par des équations contenant les paramètres et leur dérivées premières liés entre eu. Ces équations font parfois intervenir le temps Forme générale : f q q t i i Note : les dérivées seconde des paramètres n interviennent pas. L application la plus courante de ce tpe d équations est la prise en compte du phénomène de roulement sans glissement au point de contact entre deu solides.. Eemple classique d équation de liaison cinématique Les équations de liaison cinématique proviennent généralement du contact entre deu solides et de l hpothèse de roulement sans glissement. Lorsque l hpothèse de roulement sans glissement est utilisée l adhérence est supposée suffisamment grande pour avoir roulement sans glissement. Dans ce cas précis l adhérence n est jamais nulle contrairement au hpothèses utilisées dans le cas des liaison «parfaites». Eemple d équation de liaison de tpe «roulement sans glissement : La roue de centre et de diamètre R roule sans glisser sur le sol. oit I le point de contact entre la roue et le plan 67

17 Equations de liaison & R l équation de roulement sans glissement se traduit par : I V I t Cette équation de liaison est utilisée dans les calculs. Il faut cependant vérifier à l issue des calculs que l hpothèse choisie était valable donc que le frottement était «suffisant» : oit R leffort eercé par sur il faut vérifier que T a $ N T :R. N a tan est le coefficient dadhérence i cette condition est vérifiée les calculs sont correct sinon il faut recommencer le calcul en faisant l hpothèse du glissement au point de contact : la vitesse entre le solide et le solide au point de contact est quelconque inconnue l équation de liaison n eiste plus par contre Ta.N.3 stèmes holonomes et non holonomes.3. Equations holonomes Certaines équations de liaison cinématiques sont intégrables... et peuvent ainsi devenir des équations de liaison géométriques. Il est alors possible d utiliser l équation de liaison ainsi trouvée pour éliminer un paramètre. Notons que ce paramètre joue alors dans le sstème d équation le rôle d un paramètre intermédiaire. Les liaisons traduites par des équations de liaison de ce tpe cinématiques et intégrables et par des équations géométriques sont dites holonomes.3. Equations non holonomes Certaines équations de liaisons cinématiques ne sont pas intégrables. Un théorème démontré par Carathéodor dit que : «Il est impossible de diminuer le nombre des paramètres d un sstème matériel en utilisant une équation de liaison cinématique non intégrable» Les liaisons traduites par des équations de ce tpe sont dites «non holonomes»..3.3 stèmes holonomes et non holonomes Un sstème matériel contenant au moins une liaison non holonome est dit non holonome... Le sstème d équation différentielles de mouvement de ce sstème n est pas intégrable. 68

18 3 Equations de liaisons epérimentales Equations de liaison 3. Définition Les liaisons à caractère epérimental sont celles qui lient par des paramètres déterminés epérimentalement des composantes d actions mécaniques entre elles ou des composantes d actions mécaniques à des paramètres ou à leur dérivée. 3. Equations reliant des paramètres d actions mécaniques et des lois de mouvement 3.. Forme générale q t q avec : action mécanique et q : paramètre d une loi de mouvement. i i 3.. remier eemple la pesanteur : au centre de gravité de solide ou ensemble de solides étudiés de masse m l action de la pesanteur sur est appelée «poids de» et l équation de liaison qui régit le poids est : m $ g. Epérimentalement nous pouvons mesurer la norme et la direction de l accélération de la pesanteur g. u niveau de la mer g98 m.s. Notons que dans cet eemple nous avons fait des hpothèses simplificatrices d autres considérations epérimentales nous permettent de dire que le phénomène de pesanteur est lié à la force gravitationnelle qu eerce la terre sur et réciproquement Deuième eemple : Ressort de traction compression hpothèses : le plus souvent la masse du ressort corps déformable qui ne peut être étudié par la mécanique du solide mais éventuellement à l aide de la mécanique des milieu continus est négligée. Le ressort devient alors un «transmetteur d effort» entre deu solides et auquels il est attaché. F force appliquée par le ressort. La flèche indique le sens de la force appliquée par le ressort sur les pièces auquelles il est lié. F k l % l F k l % l l l l % F % k l % l % F % k l % l # n désigne par l la longueur du ressort llt # n désigne par l la longueur libre du ressort : sa longueur lorsqu il n est soumis à aucun effort. # n désigne par k la rigidité du ressort mesurée epérimentalement en N.m L action du ressort sur chacun des solides auquels il est lié est une force portée par l ae du ressort d intensité FR k $ l % l 69

19 Equations de liaison 3..4 Troisième eemple ressort spirale ou barre de torsion Hpothèses : La masse du ressort est négligée le ressort est considéré comme un transmetteur d effort entre les solides & & & C R C R # n désigne par & l angle du ressort &&t # n désigne par & l angle libre du ressort. # n désigne par k la rigidité du ressort mesurée epérimentalement en m N L action du ressort sur chacun des solides auquels il est lié est un couple porté par l ae de rotation du ressort d intensité CR k $ & % & 3..5 Quatrième eemple amortisseurs fluides : hpothèses : l amortisseur fluide est un transmetteur d effort de masse négligeable les différentes pièces de l amortisseur fluide ecepté peuvent être compté avec les solides auquels elles sont liées. Les amortisseurs de ce tpe sont construits de manière à transmettre au solides auquels ils sont liés une force dans le cas d un amortisseur linéaire ou un couple dans le cas d un amortisseur angulaire proportionnels à la vitesse de glissement du piston dans le corps de l amortisseur : dl & amortisseur linéaire : v ou angulaire : & d dt dt. our que l effort soit proportionnel à la vitesse il faut que la vitesse du piston soit «asse faible» pour que les «résistances de viscosité» soient prépondérantes. La constante de proportionnalité entre effort et vitesse est appelé coefficient d amortissement ou «viscance» de l amortisseur. 7

20 Equations de liaison L équation de liaison obtenue est : en translation : c v F $ # c est le coefficient d amortissement en Kg s # v est la vitesse relative des deu parties de l amortisseur V tigecorps en rotation : C 3 $ & # 3 est le coefficient d amortissement en m N s # & est la vitesse angulaire relative des deu parties de l amortisseur Cinquième eemple résistance de l air Nous nous intéressons ici à la résistance de l air sur une surface se déplaçant en translation linéaire avec une vitesse relative v par rapport à l air. our les objets courants tel que vélo automobiles trains... avions à hélices la vitesse v est «grande» mais inférieure à la vitesse du son ~ 3 m s. Dans ce cas l epérience nous montre que les effets aérodnamiques sont prépondérants par rapport au phénomènes de viscosité de la couche limite. L intensité de la force au centre de poussée et dans la direction d un ae est alors donnée par : F ir 4 $ v $ $ CX # 4 est la masse volumique de l air. u niveau de la mer et pour une température de C r.93 kg m 3 # v est la vitesse relative entre le solide et l air # est la surface du maître couple projection sur un plan perpendiculaire à v de la surface. # C X est le coefficient de traînée de la surface suivant l ae mesuré epérimentalement. # 4$ v représente la pression dnamique mesurée par un tube de pitot d ae parallèle à v placé en chaque point du maître couple. 3.3 composantes d actions mécaniques Dans le cadre de ce paragraphe nous allons nous intéresser au cas le plus fréquent d équation reliant des composantes d actions mécaniques celui du contact entre solides Retour sur les problèmes de cinématique liés au contact de deu solides deu solides et sont en contact en un point I. 7

21 Equations de liaison n I 5 piv 5 I rlt V I t Nous pouvons décomposer le vecteur rotation 5 en deu vecteurs : # un vecteur «roulement» 5 RLT situé dans le plan tangent au contact I # un vecteur «pivotement» 5 IV porté par la normale en I au plan I i elle eiste la vitesse de glissement V I t est également dans le plan I. ur le schéma ci dessous nous pouvons remarquer # le «cône d adhérence» d angle â : coefficient d adhérence atanâ # le «cône de frottement d angle : coefficient de frottement ftan. â n I I Il est aussi possible de modéliser une résistance au roulement et un «coefficient de résistance au roulement 6 eprimé en m caractérisant le couple nécessaire pour faire rouler sur 3.3. Utilisation des équations de liaisons epérimentales Dans le cas général du contact entre deu solides il a roulement pivotement et glissement sur une ou plusieurs petite surface de contact contact pseudoponctuel autour du point I. Le torseur [T ] représentant l action mécanique du solide sur le solide peut être projeté sur la normale au contact n et sur le plan I tangent au contact : [ T ] I 79 I : 8 7C N $ n T C $ n C IV RLT T C est situédans est situédans I I 7

22 Equations de liaison Les équations de liaisons relient alors C epérimentau a f et 6 définis précédemment. T C à N en utilisant les coefficients IV Equations d origine epérimentales à utiliser lorsqu il a glissement Coulomb ; Hert : # glissement en I : T f $ N avec T %3 $ V I t 3 # roulement en I : 5 : C 6 $ N RLT f f > RLT %3 RLT R $ 5 3 RLT R > avec C # pivotement en I : 5 : C $ f $ E $ N IV IV %3 IV $ 3 IV > avec C f est le coefficient de frottement E le grand ae de «l ellipse» limitant la surface de contact. En fait on peut dire que E est la plus grande dimension de cette surface Equations d origine epérimentales à utiliser lorsqu il a «équilibre strict» ou limite de glissement n utilise les mêmes relations que précédemment mais les forces et couples sont opposés au vitesses de glissement et de roulement «possible» puisqu elle sont nulle pour un équilibre strict. Il faut cependant remplacer le coefficient de frottement f par le coefficient d adhérence a. Equations d origine epérimentales à utiliser lorsqu il a «équilibre» : Il faut vérifier si on a fait l hpothèse de l équilibre que T $ ; f N C 6 $ ; N RLT 3 C $ $ $ 3 f E N IV ; Remarque # dans les lois de coulomb les coefficients d adhérence et de frottement a et f sont supposés ne dépendre que de la nature des matériau en contact. En fait les choses sont beaucoup plus compliquées et ces coefficients dépendent de la pression de contact de la vitesse de glissement... # souvent les valeurs de a et de f sont confondues. La différence entre ces deu valeurs eplique cependant de nombreu phénomènes «broutement» lors de mouvements lents vibrations importantes lors de l arrêt de véhicules passage brutal de f à a et... l intérêt de sstèmes de freinage de tpe B ne pas glisser pour garder a et non f <a. # l introduction des équations de liaison n a aucun effet sur une modélisation isostatique... bien faite mais l écriture des équations et surtout leur résolution en sont notablement compliquées 73

23 Equations de liaison Conclusion : i les résistances et autres frottements ne jouent qu un rôle passif dans les liaisons par eemple il est possible de les négliger et de considérer les liaisons comme parfaites pas de dépense d énergie dans les liaisons. Les résultats seront généralement suffisamment correct pour les applications classiques. i ils ne sont pas suffisant il faudra alors ajouter uniquement les frottements nécessaires à l étude du modèle. si ces éléments notamment la résistance au glissement epliquent les phénomènes étudiés freins embraages irréversibilité du sstème visécrou arcboutement... il faut évidemment les prendre en compte. quelques valeurs courantes de f et de a à quelques pourcent près alier à film d huile. à.5 étal sur métal bien graissé.5 à. étal sur métal légèrement graissé.8 à.5 étal sur métal à sec. à.5 Cuir sur fonte ou acier à sec. à.3 Bois ou «ferrodo» sur acier ou fonte à sec.3 à.5 neu sur verglas.8 à. neu neuf sur asphalte mouillé.5 à.35 neu neuf sur asphalte lisse et sec.6 à.7 neu neuf sur béton rugueu.8 à quelques valeurs courantes de 6 matériau diamètre mm d mm Rouleau bois sur bois.5 à.5 Roue de wagon sur rail sec 8.5 à Galet de pont roulant sur rail 5 à 4. à.7 neu sur route «normale» roue «normale» à 5 74

24 namique.5. Retour sur le principe fondamental de la dnamique uisque les quantités d accélération sont les mêmes dans le repère absolu et dans un repère galiléen nous pouvons écrire :! Torseur représentant $! Torseur représentant les $ # & # & # les actions mécaniques etérieures& # quantités daccélération de D t & " # agissant sur D t % & " # par rapport à un repère galiléen% & 3. orseur dnamique d un sstème mécanique D par rapport à g 3.. éfinition les éléments du torseur dnamique instantané d un ensemble D par rapport à g galiléen en un point quelconque Q sont : [ TD D g ] Q. 3.. Remarques : Q g Q g D t t dm D t Q t D D Le vecteur D g D g D g dm ommednamique de Dg oment dnamique Dpoint Qg 57 t dm est appelé vecteur des quantités d accélération instantané du point affecté de la masse dm Unité : le Newton N Le moment dnamiques par rapport au point Q est la somme des moments par rapport au point Q des quantités d accélération de tous les points de D. Unité : le mètre newton m.n Le torseur dnamique s appelle aussi torseur des quantités d accélération 3.3. emarque sur le calcul du torseur dnamique our calculer les vecteurs sommes et moments du torseurs défini au 8. il est plus efficace de séparer le sstème matériel D en une somme de solides i et d utiliser la relation suivante : Q g D t D g t dm g t dm D i i i [ TD D g ] Q. Q g D t Q D g t dm Q D D i t 4. orseur dnamique d un solide par rapport à g 4.. Calcul de la somme dnamique instantanée de par rapport à g g Calculons t t g dm oit g l origine du repère galiléen. Nous avons défini en géométrie des masses le moment statique de par rapport à un point et démontré la relation suivante : G dm g g i g dm

25 namique En dérivant à gauche et à droite dans l équation d G dt d g dm g g g V g G t En admettant que la dérivée d une intégrale est égale à l intégrale de la dérivée : dggg dgg V g G t dm V g t dm dt dt donc V g G t V g t dm. Dérivons à nouveau à droite et à gauche : g g dm G t t dt or t t nous venons donc de démontrer que t G t g g g g dm. 4.. Calcul du moment dnamique instantané de par rapport à Q et par rapport à our déterminer le torseur dnamique il nous reste à calculer le moment dnamique Q g t Q t g dm. our effectuer ce calcul il nous faut faire intervenir le moment cinétique et le torseur cinétique. Nous reviendrons donc sur le calcul du moment dnamique après avoir défini le torseur cinétique. 5. orseur cinétique d un solide par rapport à g 5.. Définition : 5... Quantité de mouvement Le vecteur g t dm V est appelé «vecteur quantité de mouvement instantané du point affecté de la masse dm p par rapport au repère galiléen g» Torseur cinétique Le torseur représentant l ensemble des quantités de mouvement de tous les points d un solide est appelé «torseur cinétique du solide par rapport au repère galiléen g». Réduit en un point Q il est composé de : La somme cinétique est la somme des quantité de mouvement de tous les points de. V t dm Elle est égale à g µ Q g Le moment cinétique t Q V t g dm. Ce vecteur est appelé «moment cinétique par rapport au point Q instantané du point affecté de la masse dm p par rapport au repère galiléen g». Voir cours de mathématiques 58

26 namique 6. Calcul du moment dnamique en fonction du moment cinétique Dérivons la relation définissant le moment cinétique : dg µ Q g t dg Q V g t dm dt dt d Q Q g g V t Dans le second terme nous reconnaissons t Q t Il nous reste à calculer la première intégrale. g dt dm g dm Remarquons que : Q Q 4 Q Q. En dérivant cette epression : g g g 3 g dgq dgg dggq 3 V g t 3 V g Q t Q point quelconque ou 5 au solide dt dt dt Remplaçons dans la première intégrale : 67 3 V 3 d g Q dt V g g V V t dm t V t dm 3 V Q t V t Q t V t g g g Q t V G t g g Finalement nous trouvons : µ t dm d g Q g 3 V g g dt g g Q t V G t t Q g dm donc t d µ t dt V g Q g Q g g Q t V G t g 7. oints privilégiés pour le calcul du moment dnamique i au lieu de choisir le point Q vraiment quelconque il est choisi de manière réfléchie en un point C particulier les calculs se simplient. Le point C peut être : Un point de fie dans le repère galiléen g. : Dans le cas général t d µ t dt Q t V G t 59 V g Q g Q g g i QC point fie de par rapport a g : C t V g g

27 d et t Q g g µ t Q g dt namique Le centre d inertie G du solide si le solide n a pas de point fie par rapport à g : dg Q g t Dans le cas général µ Q g t V g Q t V g G t dt i QG centre d inertie de : V G t V G t d et t Q g g µ t Q g dt g g Nous verrons dans les pages qui suivent que ces deu points particulier simplifient aussi le calcul du t µ Q g moment cinétique 8. Calcul des moments cinétiques 8.. Théorème Le moment cinétique du solide par rapport à un point Q quelconque et par rapport à un repère Q g t Q V g t dm µ galiléen g dont la définition est : peut être calculé à partir de la relation générale : µ Q g t QG V g t Q [ g G] I g 8.. Démonstration µ Q g ar définition t Q V t g dm ppliquons la relation de cinématique : g g g µ Q g t Q V g t dm Q g Q V g t osons V B t V t B entre les points et : dm G dm et H Q dm µ Q g G H oit t g 6

28 namique 6 Calcul de G 8 La vitesse du point est indépendante de. 8 Le centre de masse G est tel que dm Q QG L intégrale devient : t V QG dm t V Q G g g Calcul de H i on écrit : Q Q l intégrale H peut être divisée en deu intégrales : g g g dm dm Q dm Q H osons g dm Q J et g dm K oit K J H Calcul de J 8 Q ne dépend pas de il peut donc être sorti de l intégrale 8 g ne dépend pas de 8 G dm g g G Q dm Q Calcul de K Utilisons la relation du double produit vectoriel : u v w u w v u v w 3 ppliquons la au double produit vectoriel contenu dans le signe d intégration : g dm K osons et g r q p : ; < < < > : ; < < < > : ; < < < > : ; < < < > : ; < < < > : ; < < < > : ; < < < > : ; < < < > "" "" "" "" "" dm r q p dm r q p K 3 "" dm r q p dm r q p K éparons en de multiples intégrales que nous ordonnons par rapport au vecteurs de base uis par rapport au composantes p q r du vecteur rotation notons que p q r les composantes du vecteur rotation ne dépendent pas du point donc peuvent être sortis des intégrales. dm r dm q dm p dm r dm q dm p dm r dm q dm p K

29 namique Remarquons que les intégrales à effectuer sont justement celles que nous avons définies en géométrie des masses ce sont les moments et produits d inertie de par rapport à un point I dm s p B I dm s p C I dm s p D dm ss p E dm p F dm p K > p 3 q F 3 r E ; < 9 < 9 g dm 3 p F q B 3 r D I g < 9 < p E q D r C9 3 3 : µ Q g g t Q V t dm G H G J K "s" > ; < 9 < 9 : Nous avons donc bien démontré dans le cas le plus général Q quelconque point quelconque de que : > ; µ Q g t QG V g t Q g G < I 9 g : 9. Calcul ratique des moments cinétiques Le choi judicieu des points Q et nous permettent de simplifier grandement les calculs. 9.. Choisissons Q Choisissons Q. Le terme Q G µ devient nul et le moment cinétique devient : g t G V g t < I 9 g g > ; : Nous avons vu au paragraphe 7 que le calcul du moment dnamique à partir du moment cinétique est plus simple en C C étant un point fie par rapport au repère galiléen ou le centre de gravité du solide. Intéressons nous au calcul de µ t en ces points. C g 9.. Cas de C point fie par rapport au référentiel galiléen i il eiste un point C de point fie par rapport au repère galiléen choisissons Q C. lors C t CG V C t. Nous aurons donc et g V g µ C g > t < I 9 g C ; : 9.3. Cas de CG i il n eiste pas de point C de point fie par rapport au repère galiléen nous choisirons de calculer les moments cinétique au point CQ G. 6

30 namique CG entraîne et µ G G V G t g C g > t < I 9 g C ; :. Rappel sur les moments dnamique et cinétique Dans le cas le plus général Q étant un point quelconque étant un point quelconque du solide les moments dnamique et cinétique valent : et µ t d µ t dt V g Q g Q g g Q g Q t V G t t QG V g t Q g G < I 9 g. éthode pratique de calcul g > Les deu relations précédentes étant compliquées pour déterminer le moment dnamique d un solide par rapport à un point quelconque Q nous utiliseront la méthode ci dessous :.. Choisir un point C confondu avec le point situé : 8 oit en un point permanent de fie par rapport au repère galiléen g s il eiste centre d un palier fie par rapport au galiléen point de rencontre des aes de rotation de s il est toujours au même point par rapport au galiléen. Notons qu un tel point n eiste pas toujours 8 oit au point G. Le choi du point G est toujours possible mais n est pas toujours le plus «efficace»... ppliquer successivement les relations suivantes : µ > ; t I 9 C : 8 C g < g dg µ C g t 8 t C g dt Remarquer que ce calcul s effectue généralement dans «s» et que la matrice d inertie est calculée au point C ; : 63

31 namique.3. Transférer le moment dnamique au point Q déterminer t en appliquant la relation fondamentale des torseurs : [ T ] [ T ] [ T ] CQ qui s écrit ici : Q g t t G t CQ Q g C g g Q C.4. remarque sur le calcul du moment cinétique : Le moment cinétique est calculé dans la base la plus proche de «g» où la matrice d inertie est constante. Cette base est dans le cas général la base «s» sauf pour certain solides de révolution ou elle peut parfois être «s».. Retour sur la méthode générale de résolution d un problème de dnamique our chaque sstème matériel D constitué d un ensemble de solides i on effectue successivement :.. L analse du modèle adopté 4 chéma étude des paramètres des équations de liaison et des moteurs 4 utres actions mécaniques etérieures connues 4 utres actions mécaniques etérieures réciproques principe d action et de réaction 4 autres actions mécaniques etérieures inconnues 4 bilan : 4 compter les inconnues : paramètres «libres» sstème libre d évoluer ou «asservis» auquel cas une action mécanique inconnue apparaît celle du moteur d asservissement 4 compter les équations provenant de la dnamique et des liaisons géométriques cinématiques ou phsiques 4 conclusion sur le modèle... remise en cause éventuelle du modèle ou prise en compte d autres parties du mécanisme... retour au début du 8.. ou passage si le sstème peut être résolu au Ecriture des équations 4 de liaison Etudiées au chapitre 9 4 de la dnamique vectoriellement le principe fondamental de la dnamique peut s écrire sous forme de deu équations vectorielles somme dnamique et moment dnamique : Théorème du mouvement du centre de masse somme dnamique Théorème du moment dnamique > ; < F 9 C EXT C EXT D : D t m G FEXT D g D C g t t D g 64

32 .3. Résolution namique i tous les paramètres sont libres il faut résoudre un sstème d équations différentielles i certains paramètres sont libre il faut résoudre un sstème d équations algébrodifférentiel i tous les paramètres sont asservis il faut résoudre un sstème d équations algébriques c est plus simple En considérant tous les paramètres comme libre et toutes les forces et couples d asservissement comme connus le sstème d équation nous donne les équations d état ou la fonction de transfert du sstème mécanique que l on peut alors asservir... en automatique..4. Interprétation et vérification des résultats Vérifier les résultats évidents éventuellement sur des cas particuliers simples éventuellement à l aide d un prototpe... 65

33 Géométrie des masses.3. Unités l unité de masse est le kilogramme kg. Remarque : ttention au unités de mesure si! est en kg.m 3 V doit être en m 3 pour que la masse soit en kg. 3. Centre de masse G du solide 3.. oordonnées du centre de masse La position du centre de masse G de peut être définie par les trois coordonnées X G Y G Z G du point G dans un repère lié à. Ces trois coordonnées sont les composantes dans la base «s» du vecteur G 3.. alcul des coordonnées du centre de masse : G est le barcentre des points de masse!.dv. G """ # """ $! #! $ dv $ dv """ # """ $ dm # dm Remarquons que le terme au dénominateur n est autre que la masse de. Le terme au numérateur s appelle le moment statique du solide par rapport au point : """ $! $ # dv moment statique de par rapport à Nous pouvons alors écrire que G moment statique de par rapport à masse de 3.3. éthode pratique permettant de calculer la position du point G : De nouveau le principe de cette méthode est de décomposer le solide en solides homogènes élémentaires de masse m i et de centre de masse G i. Nous pouvons alors calculer la position de G : % mi $ G i i G En projection dans le repère nous obtenons : X G % i m i $ X Gi ; Y G % i m i $ Y Gi ; Z G % i m i $ Z Gi 4

34 Géométrie des masses 3.4. nité : G définit la position de G par rapport au point. Ce vecteur est donc eprimé en unité de longueur et en particulier en mètres m emarque importante. i l origine du repère est le centre de masse G donc si G le moment statique de par rapport au repère G devient : G dm simplifier de nombreuses relations dans le chapitre oments d inertie du solide 4.. ntroduction """ $. Cette relation nous permettra de # La masse et le centre de gravité ne nous permettent pas de définir complètement le comportement d un solide en dnamique. our pouvoir modéliser de manière correcte le comportement des solides nous avons besoin d autres éléments dont les moments d inertie. Les moments d inertie sont définis par rapport au aes du repère. 4.. éfinition : oment d inertie de par rapport à la droite s s : I $ dm s # p oment d inertie de par rapport à la droite s s : B I $ dm 4 """ """ """ s # p oment d inertie de par rapport à la droite s s : C I $ dm 4.3. nité s # p Les moments d inertie s epriment en m.kg. Leur définition est très proche de celle utilisée pour les moments quadratiques en résistances des matériau eprimés en m 4 mais il ne faut pas les confondre! 4.4. emarque Un moens mnémotechniques pour retenir la forme des moments d inertie est le suivant : est relatif à l ae et dans l intégrale permettant de calculer remarquons que n intervient pas de même pour B relatif à l ae et pour C relatif à l ae Z. 5. roduits d inertie du solide 5.. ntroduction our utiliser les relations de la dnamique il nous faut aussi calculer trois produits d inertie du solide définis dans le repère

35 Géométrie des masses 5.. éfinition ss """ # p """ # p """ p D $ $ dm E $ $ dm produits d inertie du solide par rapport au repère F $ dm # 5.3. nité : Les moments d inertie s epriment en m.kg. Leur définition est très proche de celle utilisée pour les moments quadratiques en résistances des matériau eprimés en m 4 mais il ne faut pas les confondre! 5.4. oen mnémotechnique. & n peut remarquer que n intervient pas dans le calcul de D YZ la définition du produit ne contient pas & D une manière générale pour les moments et produits d inertie remarquons que n intervient pas dans et D n intervient pas dans B et E n intervient pas dans C et F. 6. atrice d inertie de par rapport à dans les calculs de dnamique il nous faut les placer dans une matrice 33 appelée matrice d inertie. our pouvoir utiliser les éléments d inertie relatif au repère les moments d inertie sont placés sur la diagonale principale les produits d inertie précédés du signe moins sont placés smétriquement par rapport à cette diagonale. F E La matrice d inertie s écrira donc : I F B D m $ kg avec XY Z E D C """ """ """ I $ dm s # p B I $ dm s # p C I $ dm s # p 7. Remarques " " """ """ """ D $ $ dm ss # p E $ $ dm # p F $ dm p # 7.. ropriétés mathématiques Une matrice d inertie est toujours carrée smétrique et réelle. Généralement elle est constante dans la mesure ou le repère choisi pour la calculer est lié au solide. Toutes les propriétés et méthodes de calcul qui s appliquent au matrices carrées smétriques et réelles s appliquent au matrices d inertie et seront utiles dans les calculs. 4