Diviseurs PGCD. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 Diviseurs PGCD EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires 2. s et calculs 2.1 s entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme des soustractions, algorithme d Euclide). Calculer le PGCD de deux entiers. Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Plusieurs méthodes peuvent être envisagées. La connaissance de relations arithmétiques entre nombres que la pratique du calcul mental à permis de développer permet d identifier des diviseurs communs de deux entiers. Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des cas simples mais ne doit pas être systématisée. Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel sont exploités. Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée. Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d enseignement du programme. 28 Ouverture On peut paver le rectangle de dimensions avec 35 carrés rouges de côté 3. On peut paver un rectangle de dimensions avec 63 carrés de côté 2. On peut paver un rectangle de dimensions avec 35 carrés de côté 5. Je prends un bon départ QCM 1 A 2 B 3 A 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 C 10 B 11 a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1) Diviseur X X 144 X X X X X X X X X X X 780 X X X X X 12 a. Les diviseurs positifs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. b. Les diviseurs positifs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35. c. Les diviseurs positifs de 40 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40. d. Les diviseurs positifs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27. e. Les diviseurs positifs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; a. b d. e a. b d. 1 e Activités c SC3 Objectifs Revoir la définition d un diviseur. Découvrir la notion de plus grand diviseur commun. Découvrir la définition de deux nombres premiers entre eux. 1. a. 7 divise 28 car le reste de la division euclidienne de 28 par 7 est égal à 0. (28 7 4) b. 1 et 28 sont des diviseurs de 28 car : c. 7 est un diviseur de 42 car : a. Tous les diviseurs positifs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28. Tous les diviseurs positifs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42. b. Les diviseurs positifs communs à 28 et à 42 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.

2 c. Le plus petit diviseur positif commun à 28 et à 42 est 1. d. Le plus grand diviseur commun à 28 et à 42 est a. Le plus grand diviseur commun à deux nombres égaux est égal à ces nombres. b. Le plus grand diviseur commun à deux nombres lorsque l un est un multiple de l autre est égal au plus petit de ces deux nombres. 4. a. PGCD (25 ; 40) 5 b. PGCD (110 ; 44) 22 c. PGCD (30 ; 30) 30 d. PGCD (25 ; 50) a. PGCD (45 ; 32) 1. b. PGCD (28 ; 63) 7, donc 28 et 63 ne sont pas premiers entre eux. PGCD (72 ; 30) 6, donc 72 et 30 ne sont pas premiers entre eux. PGCD (62 ; 35) 1, donc 62 et 35 sont premiers entre eux. PGCD (27 ; 50) 1, donc 27 et 50 sont premiers entre eux. 2. a. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b sont des multiples de d, d où : il existe deux entiers n et n tels que : a d n et b d n. b. a b d n d n d(n n ). c. La différence a b est donc un multiple de d, par conséquent d est un diviseur de a b. 3. a. Si a b 0, alors a b, d où : PGCD (a ; b) a (ou b). b. PGCD (144 ; 48) 48 et PGCD ( ; 48) PGCD (96 ; 48) 48. c. PGCD (144 ; 48) PGCD (96 ; 48) PGCD (96 48 ; 48) PGCD (48 ; 48) 48. d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers en n effectuant que des soustractions, il suffit de soustraire le plus petit nombre au plus grand, puis effectuer successivement les soustractions entre cette différence et le plus petit terme de la différence jusqu à obtenir 0. Le PGCD est alors égal à la dernière différence non nulle. 2 Objectifs Revoir la simplification d une fraction. Découvrir la notion de fraction irréductible. Connaître la méthode permettant d obtenir la fraction irréductible égale à une fraction donnée à partir du PGCD du numérateur et du dénominateur a. b d a. 78 et 90 ont été divisés par 6 pour obtenir la fraction irréductible égale à 78. b. PGCD (78 ; 90) c. Pour obtenir la fraction irréductible égale à 78, on a divisé 78 et 90 par leur PGCD égal à d. Pour obtenir la fraction irréductible égale à une fraction donnée, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. 3. a. PGCD (132 ; 86) 2 PGCD (58 ; 114) 2 PGCD (105 ; 75) 15. b. On vérifie que les fractions irréductibles égales aux fractions proposées à la question 1 s obtiennent en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. 3 Objectifs Découvrir la propriété : PGCD (a ; b) PGCD (b ; a b), a étant plus grand que b. Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux nombres. 1. a. 4 est un diviseur de 248 et de 32 car : et b c. 4 est un diviseur de 216 car : d. On peut conjecturer que si un nombre est un diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi un diviseur de leur différence. 4 Objectifs Découvrir la propriété PGCD (a ; b) PGCD (b ; r), r étant le reste de la division euclidienne de a par b. Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux nombres. 1. a. Le quotient de la division euclidienne de 154 par 42 est égal à 3 et le reste est égal à 28. b. 14 est un diviseur de 154 et de 42 car : et c. 14 est aussi un diviseur du reste 28 de la division euclidienne de 154 par 42, car : d. On peut conjecturer que si un nombre est un diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi un diviseur du reste de la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit. 2. a. a b q + r, d où : r a b q. b. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b sont des multiples de d, d où : il existe deux entiers n et n tels que : a d n et d d n. r a b q d n d n q d(n n q). Le reste r est donc un multiple de d, donc d est un diviseur de r. 3. a. Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, alors a est un multiple de b (ou b est un diviseur de a). On a alors : PGCD (a ; b) b. b. PGCD (154 ; 42) 14 et PGCD (42 ; 28) 14. c. PGCD (154 ; 42) PGCD (42 ; 28) PGCD (28 ; 14) (car 14 est le reste de la division euclidienne de 42 par 28). Le reste de la division euclidienne de 28 par 14 est égal à est donc un diviseur de 28, donc : PGCD (28 ; 14) 14. d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers en n effectuant que des divisions euclidiennes, il suffit de diviser le plus grand nombre par le plus petit, puis effectuer successivement les divisions du diviseur de la division précédente par son reste jusqu à obtenir un reste égal à 0. Le PGCD est alors égal au dernier reste non nul. Chapitre 3 Diviseurs PGCD 29

3 30 Savoir-faire a ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (182 ; 117) 13. b ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (728 ; 630) 14. c ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (333 ; 189) 9. d ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (245 ; 165) a ; ; D où : PGCD (540 ; 180) 180. b ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (392 ; 161) 7. c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (880 ; 784) 16. d ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (783 ; 325) a ; ; ; ; ; D où : PGCD (155 ; 279) 31. b ; ; D où : PGCD (68 ; 204) 68. c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (154 ; 184) 2. d ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (175 ; 126) a ; ; ; D où : PGCD (182 ; 117) 13. b ; ; ; D où : PGCD (728 ; 630) 14. c ; ; ; D où : PGCD (333 ; 189) 9. d ; ; D où : PGCD (245 ; 165) a D où : PGCD (540 ; 180) 180. b ; ; ; D où : PGCD (392 ; 161) 7. c ; ; D où : PGCD (880 ; 784) 16. d ; ; ; ; ; D où : PGCD (783 ; 325) a ; ; D où : PGCD (155 ; 279) 31. b D où : PGCD (68 ; 204) 68. c ; ; ; D où : PGCD (154 ; 184) 2. d ; ; ; ; D où : PGCD (175 ; 126) a. b d est une fraction irréductible. e f. 2 g. h PGCD (150 ; 180) 30, donc le plus grand nombre d équipes ayant la même répartition de garçons et de filles que le professeur peut constituer avec 150 filles et 180 garçons est égal à 30. Chaque équipe sera composée de 5 filles et de 6 garçons. 18 a. PGCD (8 954 ; 658) 2. b. PGCD (873 ; 1 650) 3. c. PGCD (3 025 ; 2 875) 25. d. PGCD (532 ; 875) a. PGCD (651 ; 746) 1. b. PGCD (258 ; 1 214) 2. c. PGCD (4 584 ; 1 216) 8. c. PGCD (1 372 ; 770) 14. Exercices À l oral 20 a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. 21 a. Les diviseurs positifs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25. b. Les diviseurs positifs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18. c. Les diviseurs positifs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32. d. Les diviseurs positifs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; Faux (car 6 4). 2. Vrai. 3. Vrai. 4. Faux. 5. Faux. 6. Vrai.

4 23 SC3 a. Les diviseurs positifs communs à 14 et 49 sont : 1 ; 7. b. Les diviseurs positifs communs à 35 et 50 sont : 1 ; 5. c. Les diviseurs positifs communs à 27 et 63 sont : 1 ; 3 ; 9. d. Les diviseurs positifs communs à 40 et 72 sont : 1 ; 2, 4 ; SC3 a. PGCD (2 ; 6) 2 b. PGCD (15 ; 45) 15 c. PGCD (14 ; 28) 14 d. PGCD (6 ; 27) 3 25 Le plus grand diviseur commun à 27 et 12 est la dernière différence non nulle, soit Dividende : 58 ; diviseur : 16 ; quotient : 3 ; reste : Dividende : 16 ; diviseur : 10 ; quotient : 1 ; reste : Dividende : 10 ; diviseur : 6 ; quotient : 1 ; reste : Dividende : 6 ; diviseur : 4 ; quotient : 1 ; reste : Dividende : 4 ; diviseur : 2 ; quotient : 2 ; reste : Le plus grand diviseur commun à 58 et 16 est le dernier reste non nul, soit a + b 12 avec a b et PGCD (a ; b) 1, d où : a 11 et b 1 ou a 7 et b a. 35 n est pas irréductible, car 35 et 14 sont divisibles par b. 40 est irréductible. 23 c. 9 n est pas irréductible, car 9 et 27 sont divisible par 3 (et 9) d. 12 n est pas irréductible, car 12 et 54 sont divisibles par 2 (et 3) a et sont divisibles par 2, donc la fraction n est pas irréductible b et sont divisibles par 5, donc la fraction n est pas irréductible c. 243 et 45 sont divisibles par 9, donc la fraction 243 n est pas irréductible d et 970 sont divisibles par 2, donc la fraction n est pas irréductible a b d : : A B a. 50 est irréductible car PGCD (50 ; 49) b. 50 et 49 sont premiers entre eux a b. PGCD (150 ; 147) 3. Je m entraîne 34 a. 30 est le plus petit multiple commun à 6 et à 10, donc les deux bus se retrouveront au même arrêt dans 30 minutes, soit à 8 h 50 min A B SC3 a. Les diviseurs positifs communs à 55 et 60 sont : 1 et 5. D où : PGCD (55 ; 60) 5. b. Les diviseurs positifs communs à 56 et 42 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14. D où : PGCD (56 ; 42) 14. c. Les diviseurs positifs communs à 54 et 78 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6. D où : PGCD (54 ; 78) SC3 1. a et b. PGCD (364 ; 156) a et b. PGCD (225 ; 210) a ; ; ; D où : PGCD (285 ; 114) 57. b ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (364 ; 195) 13. c ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (987 ; 378) 21. d ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (500 ; 448) 4. e ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (273 ; 189) 21. f ; ; ; ; D où : PGCD (945 ; 756) a ; ; ; ; Chapitre 3 Diviseurs PGCD 31

5 ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (3 575 ; 2 730) 65. b ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD ( ; 3 520) 220. c ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (5 148 ; 1 386) 198. d ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (9 240 ; 3 822) 42. e ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (325 ; 416) 13. f ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (392 ; 960) a ; ; D où : PGCD (616 ; 495) 11. b ; ; ; ; D où : PGCD (162 ; 114) 6. c ; ; ; D où : PGCD (624 ; 408) 24. d ; ; ; ; D où : PGCD (703 ; 456) 19. e ; D où : PGCD (294 ; 84) 42. f ; D où : PGCD (252 ; 72) a ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (1 681 ; 108) 1. b ; ; D où : PGCD (6 652 ; 924) 4. c ; ; D où : PGCD (1 599 ; 273) 39. d ; ; ; D où : PGCD (2 312 ; 145) e ; ; ; ; ; ; ; D où : PGCD (3 473 ; 2 162) 23. f ; ; ; ; ; D où : PGCD (1 003 ; 697) a. PGCD (789 ; 502) 1, donc 789 et 502 sont premiers entre eux. b. PGCD (451 ; 625) 1, donc 451 et 625 sont premiers entre eux. c. PGCD (936 ; 1 118) 26, donc 936 et ne sont pas premiers entre eux. d. PGCD (1 429 ; 976) 1, donc et 976 sont premiers entre eux. e. PGCD (615 ; 1 476) 123, donc 615 et ne sont pas premiers entre eux. f. PGCD (444 ; 725) 1, donc 444 et 725 sont premiers entre eux a. PGCD (381 ; 1 016) 127. b. PGCD (576 ; 1 248) 96. c. PGCD (2 459 ; 634) 1. d. PGCD (5 560 ; 1 872) a. PGCD (425 ; 1 050) 25. b. PGCD (975 ; 793) 13. c. PGCD (478 ; 799) 1. d. PGCD (671 ; 542) a. PGCD (682 ; 78) 2. b. PGCD (451 ; 244) 1. c. PGCD (597 ; 343) 1. d. PGCD (1 145 ; 870) a. PGCD (250 ; 984) 2. b. PGCD (735 ; 381) 3. c. PGCD (682 ; 884) 2. d. PGCD (613 ; 521) PGCD (294 ; 210) 42. On peut composer au maximum 42 équipes : 42 7 et 210 : Chaque équipe sera composée de 7 Français et 5 Italiens a et L apiculteur pourra obtenir au maximum 30 lots composés de 3 pots de miel de lavande et de 3 pots de miel de thym. b. Il restera 2 pots de miel de lavande et 48 pots de miel de thym. 2. a. PGCD (92 ; 138) 46. L apiculteur pourra réaliser au maximum 46 lots identiques en utilisant tous ses pots. b. 92 : 46 2 et 138 : Chaque lot sera composé de 2 pots de miel de lavande et de 3 pots de miel de thym a b d

6 48 1. PGCD (1725 ; 2 445) : : DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2) a Fraction PGCD (a ; b) b Je m entraîne au Fraction irréductible a égale à b brevet PGCD (2 277 ; 1 449) est la dernière différence non nulle, soit La formule écrite dans la cellule C2 est : A2 B a. PGCD (850 ; 714) : b : a. PGCD (5 148 ; 2 431) : b : Les diviseurs positifs de 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 27 ; 36 ; 54 ; 108. Les diviseurs positifs de 70 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 35 ; 70. b. Le plus grand diviseur commun aux nombres 126, 108 et 70 est a. d PGCD (126 ; 108) 18. b. PGCD (d ; 70) PGCD (18 ; 70) 2. On peut remarquer que pour calculer le PGCD de trois nombres, on peut déterminer le PGCD de deux nombres, puis le PGCD de ce PGCD et du troisième nombre a. PGCD (2 940 ; 1 092) 84. b. PGCD (2 100 ; 1 092) Le plus grand diviseur commun aux trois nombres 2 940, et est donc Le PGCD de et est le produit des facteurs communs, soit : PGCD (1 080 ; 1 764) , soit : PGCD (1 080 ; 1 764) PGCD (92 ; 115) : 23 4 et 115 : La fraction irréductible égale à est donc égale à PGCD (330 ; 270) Chaque plaque est un carré de côté 30 cm. 330 : et 270 : Il y aura 11 plaques sur la longueur et 9 sur la largeur, soit 99 plaques isolantes au total PGCD (1 394 ; 255) a. L artisan peut réaliser au maximum 17 colliers identiques en utilisant toutes ses graines. b : et 255 : Il y aura 82 graines d açaï et 15 graines palmier pêche par collier a J approfondis b d A B SC3 1. a. Les diviseurs positifs de 126 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 14 ; 18 ; 21 ; 42 ; 63 ; a b. On place les points M (16 ; 20), N (40 ; 50) et P (60 ; 75). c. On peut remarquer que les points M, N et P appartiennent à la droite (AB). 4. Pour trouver les fractions égales à une fraction donnée, on détermine la fraction irréductible égale à cette fraction, puis on place les points A et B ayant pour abscisses et ordonnées respectivement les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction. Les fractions égales à la fraction donnée sont les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont respectivement égaux à l abscisse et à l ordonnée (nombres entiers) d un point de la droite (AB). Chapitre 3 Diviseurs PGCD 33

7 69 1. Toutes les longueurs possibles (en nombre entier de cm) du côté d une part sont tous les diviseurs communs à 110 et 88, soit : 1 cm, 2 cm, 11 cm, 22 cm. Sachant que ces longueurs doivent être comprises entre 4 cm et 12 cm, il y a donc une seule possibilité : 11 cm : et 88 : Il y aura alors 10 parts sur la longueur et 8 parts sur la largeur, soit 80 parts carrées de 11 cm de côté. 70 Les nombres possible de panneaux contenant autant de photos de paysages que de portraits sont les diviseurs communs à 224 et 288, soit : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32. de panneaux de paysages par panneau de portraits par panneau par panneau Sachant que le nombre total de photos par panneau ne doit pas excéder 40, le photographe pourra ainsi réaliser 16 panneaux contenant chacun 14 paysages et 18 portraits ou 32 panneaux contenant chacun 7 paysages et 9 portraits a. PGCD (798 ; 1 045) : b : , d où : a. PGCD (392 ; 504) : 56 7 b : , d où : La plus grande longueur possible pour l arête d un cube est le plus grand diviseur commun à 48, 40 et 72, soit : 8 cm : 8 9 ; 48 : 8 6 et 40 : Il faudra donc 270 cubes d arête 8 cm pour remplir la boîte La formule saisie en A2 permet de déterminer le plus petit nombre entre les nombres entrés en A1 et en B1 et la formule saisie en B2 permet d effectuer la différence entre le plus grand des deux nombres de la ligne précédente et le plus petit pour ne pas obtenir de résultat négatif. 2. On étend ces formules jusqu à obtenir une différence nulle, soit jusqu à la ligne Le PGCD de et est la dernière différence non nulle, soit La formule que l on doit entrer dans la cellule B2 puis étendre verticalement pour obtenir les valeurs de n 2 1 pour toutes les valeurs de n de la colonne A est : A2^ Si on obtient 0 dans la colonne C, alors le nombre de la forme n 2 1 correspondant est divisible par a. Thème de convergence 72 La distance entre deux arbustes doit être égale à un nombre entier de mètres, c est donc un diviseur commun à et 1 001, soit : 1 m, 7 m ; 11 m ; 77 m. Sachant que cette distance est comprise entre 3 m et 8 m, il ne reste qu une seule possibilité : 7 m. Périmètre du terrain : 2( ), soit m. d arbustes nécessaires pour entourer ce terrain : : 7, soit Une boîte a la forme d un parallélépipède rectangle de dimensions 48 cm, 40 cm et 72 cm. On souhaite remplir cette boîte avec des cubes identiques dont la longueur de l arête est un nombre entier de centimètres. 34

8 b. Les nombres n 2 1 sont divisibles par 4 pour n 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ou 19. c. On peut conjecturer que le nombre n 2 1 est divisible par 4 lorsque n est un nombre impair. Démonstration Si n est impair, alors n peut s écrire sous la forme 2k + 1, k étant un entier naturel. D où : n 2 1 (2k + 1) 2 1 4k 2 + 4k (k 2 + k). Par conséquent lorsque n est impair, le nombre n 2 1 est un multiple de 4, donc est divisible par 4. Si n est pair non nul, alors n peut s écrire sous la forme 2k, k étant un entier naturel non nul. D où : n 2 1 (2k) 2 1 4k 2 1 4(k 2 1) + 3. Par conséquent lorsque n est pair, le nombre n 2 1 n est pas un multiple de 4, donc n est pas divisible par 4 (le reste de la division de n 2 1 par 4 est alors égal à 3) a. Soit a et b deux entiers strictement positifs multiples de 71. Il existe donc deux nombres entiers n et n tels que : a 71n et b 71n. a + b 1 065, d où : 71n + 71n On obtient ainsi : 71(n + n ) D où : n + n 15. n n a b On obtient ainsi 14 possibilités de couples (a ; b) : (71 ; 994) ; (142 ; 923) ; (213 ; 852) ; (284 ; 781) ; (355 ; 710) ; (426 ; 639) ; (497 ; 568) ; (568 ; 497) ; (639 ; 426) ; (710 ; 355) ; (781 ; 284) ; (852 ; 213) ; (923 ; 142) ; (994 ; 71). b. Si 71 est le PGCD de a et b, cela signifie que les nombres n et n sont premiers entre eux. On obtient ainsi 8 possibilités de couples (a ; b) : (71 ; 994) ; (142 ; 923) ; (284 ; 781) ; (497 ; 568) ; (568 ; 497) ; (781 ; 284) ; (923 ; 142) ; (994 ; 71). 2. a. Soit a et b deux entiers strictement positifs (a b) tels que PGCD (a ; b) 37. Il existe donc deux nombres entiers n et n tels que : a 37n et b 37n avec n et n premiers entre eux. a + b 444, d où : 37n + 37n 444. On obtient ainsi : 37(n + n ) 444. D où : n + n 12. n n a b On obtient ainsi 2 possibilités de couples (a ; b) : (407 ; 37) ; (259 ; 185). Argumenter et débattre Vrai. En effet, deux nombres pairs sont toujours divisibles par Faux. Par exemple, 15 et 27 sont impairs et ne sont pas premiers entre eux, puisqu ils sont divisibles par Vrai. En effet, si les quotients de a par d et de b par d n étaient pas premiers entre eux, alors d ne serait pas le plus grand diviseur commun à a et b. 4. Faux. Par exemple : PGCD (14 ; 6) 2 et PGCD (38 ; 4) 2, et ; Faux. Par exemple : PGCD (24 ; 40) 8 et PGCD (48 ; 80) 16. On a : PGCD (2a ; 2b) 2 PGCD (a ; b) Soit x, x + 1 et x + 2, trois nombres entiers consécutifs. x + x x + 2 3x + 3 3(x + 1). La somme de trois nombres entiers consécutifs est donc toujours un multiple de x + x x x + 3 4x + 6 4(x + 1) + 2. On ne peut pas affirmer que la somme de quatre nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 4. x + x x x x + 4 5x (x + 2). On peut donc affirmer que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 5. x + x x x x x + 5 6x (x + 2) + 3. On ne peut donc pas affirmer que la somme de six nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 6. x + x x x x x x + 6 7x (x + 3). On peut donc affirmer que la somme de sept nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 7. Etc. 79 Si le reste de la division euclidienne d un nombre n par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8 ou par 9 est toujours égal à 1, alors le reste de la division euclidienne du nombre n 1 par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 est égal à 0. Ce qui signifie que le nombre n 1 est un multiple de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 et de 9. Par exemple : n , d où : n Vérification : Pour que la fraction 45 soit irréductible, 216 le numérateur et le dénominateur ne doivent avoir aucun diviseur commun autre que est divisible par 2, donc 45 ne doit pas être divisible par 2. Par conséquent, donc ne peut être remplacé par 0, 2, 4, 6, est divisible par 3, donc 45 ne doit pas être divisible par 3. Par conséquent, ne peut être remplacé par 0, 3, 6, 9. Chapitre 3 Diviseurs PGCD 35

9 Il reste trois possibilités : 1, 5 et 7. PGCD (451 ; 216) 1 ; PGCD (455 ; 216) 1 et PGCD (457 ; 216) 1. Par conséquent peut être remplacé par 1 ou par 5 ou par 7 pour que la fraction 45 soit irréductible. 216 b. On obtient un nombre triangulaire en ajoutant au nombre triangulaire précédent respectivement les nombres 2, 3, 4, 5, 6, etc ; ; ; ; ; ; etc. 2. a. En B3, on entre la formule : B2+A3. 81 PGCD (780 ; 494) et 494 sont des multiples de 26, donc la somme de toutes les masses des caisses est aussi un multiple de 26. Or Donc n est pas un multiple de 26. Par conséquent, le transporteur a tort. Atelier découverte Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28. Et Les diviseurs de 496 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 ; 496. Et Les diviseurs de sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 127 ; 254 ; 508 ; ; ; ; Et En ajoutant les inverses de tous les diviseurs d un nombre parfait, on obtient toujours Les cinq nombres parfaits qui suivent sont : ; ; ; ; Les deux derniers chiffres de ces nombres parfaits se terminent par des multiples de 4 (28, 96, 36, 56, 76, 16), donc il semblerait que les nombres parfaits sont tous des multiples de (2 2 1) (2 3 1) (2 5 1) (2 7 1) On peut conjecturer que les nombres parfaits peuvent s écrire sous la forme : 2 n (2 n + 1 1), n étant un nombre entier (2 4 1) 120. Or 120 n est pas un nombre parfait. Tous les nombres de la forme 2 n (2 n + 1 1) ne sont donc pas des nombres parfaits a. Les dix premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 44, 54, b. Les nombres parfaits 6, 28, 496 sont des nombres triangulaires. 86 Un nombre presque parfait est un nombre entier n tel que la somme de ses diviseurs (lui-même compris) est égale à 2n 1. Un nombre abondant est un nombre inférieur à la somme de ses diviseurs (excepté lui-même). Un nombre déficient est un nombre supérieur à la somme de ses diviseurs (excepté lui-même).