Leçon 7 Les fonctions numériques en économie

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1 Leçon 7 Les fonctions numériques en économie Connaissant les fonctions numériques de base, nous pouvons faire quelques eercices sur des fonctions classiques que nous rencontrons dans les problèmes à caractère économique en 1 re ES. Il s agit de fonctions mesurant le coût de fabrication, le coût moyen ; le problème de l offre et de la demande et enfin l étude d un bénéfice. Certains problèmes utilisent le degré, aussi il est bien de connaître les identités remarquables du degré. ( a + b) = a + a b + ab + b ( a b) = a a b + ab b a b = (a b)(a + ab + b ) a + b = (a + b)(a ab + b ) Pour démontrer ces formules, pour les deu premières, nous développons (a + b) = (a + b) (a + b) et (a b) = (a b) (a b) et pour les deu dernières, nous développons le second membre pour retrouver l epression cherchée. Pour entraînement, Développer ( + 1) ; (5 ). Factoriser 8 ; Développements. ; ( + 1) ( 4). (Voir correction ci-après) ( + 1) = ; (5 ) = Factorisations. 8 = ( )( + + 4) ; = ( + 5)( [( + 1) ( 4) ][( + 1) + ( + 1)( 4) + ( 4) ] ( + 1) ( 4) = = ( + 5)(4 = ( + 5)( ) ) Si on calcule le discriminant du polynôme de degré apparaissant dans la parenthèse, il est négatif donc la factorisation s arrête ici. On peut vérifier ces calculs en remplaçant par 1 et en calculant au début et à la fin du calcul algébrique. Voyons maintenant la fiche d eercices sur cette leçon. )

2 Lycée Elève : Classe : Première ES Fiche Leçon 7 Les fonctions économiques Eercice 1 Dans une entreprise, le coût total en K, en fonction du nombre q d objets fabriqués est donné par la fonction suivante : C(q) = q + 8q + 64 q en centaines d objets et q [1 ; 0] a) Etudier la fonction C et représenter-la graphiquement. b) Que peut-on en déduire pour le coût total? c) Déterminer q pour que le coût soit égal à 64 K. C(q) On veut étudier le coût moyen de fabrication, C M (q) =. Epliciter cette fonction C M. q d) Etudier-là sur l intervalle [1 ; 0]. Dérivée, tableau de variations, courbe. e) Quel le coût moyen minimal? f) Cette entreprise peut supporter jusqu à 8 K de coût moyen. Chercher q tels que C M (q) 8. Eercice Une enquête est menée pour fier le pri moyen d un magazine grand public. Il ressort de cette enquête que le nombre de demandes D() de ces magazines en fonction du pri serait donné par la fonction : D() = 5, [ ; 10], en euros et D en milliers d eemplaires. La maison d édition étudiant sa production sait que l offre O est aussi fonction du pri du magazine et que cette offre est donnée par : 600 O() = [ ; 10], en euros et O en milliers d eemplaires. a) Etudier ces deu fonctions et représenter les sur un même graphique. b) Le pri d équilibre est le pri que l on trouve à l intersection des deu courbes. Déterminer une valeur approchée sur le graphique puis déterminer ce pri d équilibre par le calcul. Eercice Nous prenons à nouveau la fonction coût de l eercice 1 : C(q) = q + 8q + 64 q en centaines d objets et q [1 ; 0]. Nous voulons maintenant étudier le bénéfice réalisé par la vente des objets fabriqués. On suppose qu une centaine d objets est vendue 1, K. a) Soit R la recette, donner R en fonction de q. b) Tracer sur un même graphique les courbes représentant R et C. Comment peut-on analyser ce graphique? c) On appelle B le bénéfice, eprimer B en fonction de q et étudier cette fonction. Déterminer le bénéfice maimum.

3 Eercice 4 La valeur du machine est donnée par la fonction suivante : V(t) Quel était le pri de la machine neuve? 0 = t en années et V en K 0,5t + 1 Calculer le pri au bout de 4 ans Au bout de combien de temps, cette machine vaudra-t-elle 50 % de sa valeur de départ? Etudier cette fonction et représenter la pour t [0 ; 10]. Eercice 5 Dans une entreprise, le coût total hors frais fies est donné par C(q) = q 0q + 10q q [0 ; 0] a) Etudier cette fonction et tracer sa courbe. b) Eprimer le coût moyen en fonction de q et déterminer le coût moyen minimal.

4 Correction Eercice 1 a) C(q) = q + 8q + 64 q en centaines d objets et q [1 ; 0] Pour étudier cette fonction, nous calculons sa dérivée : C (q) = q + 8, elle est toujours positive pour tout q [1 ; 0] et donc C est une fonction monotonement croissante sur q [1 ; 0]. q 1 0 q C(q) b) Comme nous l avons déjà dit, le coût total est en constante augmentation. c) Cherchons q [1 ; 0] tels que C(q) = 64. C est une équation avec un polynôme de degré. q + 8q + 64 = 64 q + 8q 560 = 0 = b 4ac = 64 4( 560) = 04, nous avons deu solutions : b b 8 48 q 1 = = = 0 ; q = = = 8 [1 ; 0]. a a Le coût sera égal à 64 K si on fabrique 000 objets. On peut évidemment vérifier sur le graphique en traçant une horizontale à y = 64.

5 C(q) q + 8q d) C M (q) = = = q q q q Fonction parfaitement définie pour q [1 ; 0] Etudions-la : 64 q 64 (q 8)(q + 8) 1 1 C M (q) = 1 = = en effet la dérivée de est puis on q q q q q multiplie par 64. q C M (q) 0 + Signe de (q 8)(q + 8) pour q [1 ; 0]. (q > 0) C M (q) 7 40,1 m Le coût moyen minimum m sera atteint pour q = 8. m = 4 K. Pour 800 objets fabriqués, le coût sera minimum et égal à 4 K. f) Nous cherchons maintenant q tels que C M (q) 8. Il s agit d une inéquation. 64 q q + 8q q (multiplions par q qui est positif) et on a donc q q 0q = 144 ; q1 = = 4 ; q = = 16. D après le théorème sur le signe de a + b + c, a 0 et > 0, nous aurons la solution entre les deu racines. Le coût moyen sera inférieur ou égal à 8 K si q [4 ; 16] c est-à-dire entre 400 et 1600 objets. Graphique

6 Eercice La fonction D est une fonction affine de la forme y = a + b, elle sera représentée graphiquement par une droite. Donnons son tableau de variation, a < 0 donc la fonction est décroissante en effet si le pri augmente, la demande diminue. 10 D() = 68, 4 et D(10) = 06. D() 68,4 06 Pour l offre O, l étude est un peu plus compliquée, 600 O() = est bien définie pour [ ; 10] car La dérivée est : O () =, donc positive. La fonction O sera donc toujours croissante. 10 O() = 00 et O(10) = Attention, la représentation O() n est pas une droite mais un 00 morceau d hyperbole. Graphique Cherchons les coordonnées du point d intersection , = + 500, nous pouvons multiplier par :

7 5,8 5,8 = = = donc deu racines, 1 = = 6, 5 et < ,6 Le pri d équilibre sera donc atteint pour 6,5. L offre et la demande seront alors égales à 404 milliers d eemplaires. (Le graphique confirme bien le résultat trouvé) Eercice a) R(q) = 1,q q [1 ; 0] q en centaine d objets et R(q) en K. R est une fonction linéaire. b) Nous pouvons alors représenter les deu fonctions C et R sur un même graphique. C R Sur ce graphique, lorsque la droite est en dessous de la courbe représentant C, il y a un bénéfice négatif et donc en fait une perte. Par eemple, au début si q = 1, on a C(1) = 7 K et la recette est R(1) = 1, K. Par contre lorsque la droite est au-dessus de la courbe de C alors il y a un réel bénéfice. Au points d intersection la recette et le coût sont égau. Ceci permet de comprendre que le bénéfice sera maimum lorsque la différence entre les deu courbes sera la plus grande, donc entre 10 et 1 d après le graphique. c) B(q) = R(q) C(q) = 1,q (q + 8q + 64) = q +,q 64. b Nous avons un polynôme de degré, il y aura un maimum pour =, c est-à-dire a = 11, 6. le bénéfice maimum sera alors de : B ma = (11,6) + (, 11,6) 64 = 70, 56 Il est facile d étudier cette fonction, sa représentation graphique sera :

8 On pourrait aussi chercher les valeurs de q pour lesquelles le bénéfice est positif. Il s agit de la partie de la courbe au-dessus de l ae. Le bénéfice maimum sera donc de 70,56 K. Eercice 4 Nous avons V(t) 0 = t en années et V en K. 0,5t + 1 Le pri de la machine neuve est obtenu en faisant t = 0 soit V(0) = 0 K. 0 Au bout de 4 ans, la machine vaudra V(4) = = 10 K. 50 % de la valeur de départ représente 15 K, donc nous cherchons t tel que : V(t) = 15 (Evidemment t positif) 0 = 15 0,5t = 15(0,5t + 1) 7,5t = 15 soit t =. Conclusion, au bout de deu ans, la machine aura perdu 50 % de sa valeur. Etude de la fonction pour t [0 ; 10]. Le domaine de définition est [0 ; 10] car sur cet intervalle, le dénominateur n est jamais nul. 1 Calculons la dérivée : V(t) = 0 donc V (t) u' (t) = 0 u(t) u (t)

9 0,5 15 V (t) = 0 = D (0,5t 1) V = ]0 ; 0[ + (0,5t + 1) (La fonction V n est pas dérivable sur le bord de l intervalle mais c est un détail). La dérivée est toujours négative donc V monotonement décroissante. Nous avons ici aussi, un morceau d hyperbole. Eercice 5 a) C(q) = q 0q + 10q q [0 ; 0]. Les frais fies sont obtenus en faisant q = 0 et ici on voit bien qu ils ne sont pas comptabilisés car C(0) = 0. Etudions cette fonction, son domaine de définition est [0 ; 0]. C (q) = q 40q + 10, polynôme de degré. = b 4ac = ( 40) 4 10 = 160. Il y a donc deu racines : b b q 1 = = 8,8 q = = 4, 6. a 6 a 6 q 0 q q 1 0 C (q) C(q) 0 m M 400

10 Traçons la courbe M (4,6) 0(4,6) + 10(4,6) 6, 1. C est un maimum relatif. m (8,8) 0(8,8) + 10(8,8) 188, 7.C est un minimum relatif. C(q) b) C M (q) = = q 0q + 10 q ]0 ; 0]. Attention à q = 0! q Nous avons un polynôme de degré de la forme a + b +c avec a > 0, nous aurons donc un minimum pour b 0 q m = = = 10. a Le coût moyen minimum sera donc atteint pour q = 10 et il sera égal à 0 K. Il reste la courbe à tracer, c est évidemment un morceau de parabole.