MAT-P104-4 Représentations géométriques Mathématique, présecondaire

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1 MAT-P104-4 Représentations géométriques Mathématique, présecondaire Situation d apprentissage 2 Aménagement de ta chambre Adaptation de situations créées par l équipe de Ginette Larocque, Commission scolaire des Draveurs Diane Molloy, Yasmina Benhabib, Gilles Coulombe/CSPO

2 MAT-P104-4 : REPRÉSENTATIONS GÉOMÉTRIQUES SA2 Aménagement de ta chambre Production de représentations de l environnement physique à l aide de constructions simples et de décomposition de figures Mise en situation Aménagement d une pièce Imagine que tu déménages dans la maison de tes rêves. Voici à quoi elle pourrait ressembler. Dans cette nouvelle maison, tu as l opportunité d aménager à ton goût ta nouvelle chambre, ton espace à toi. Dans ta chambre, tu dois avoir : Un lit de forme rectangulaire Deux tables de chevet carrées Deux commodes rectangulaires identiques Un bureau de travail pour ton ordinateur ayant la forme d un L Une bibliothèque rectangulaire Une plante représentée par une forme ronde placée sur le bureau de travail Pour que les déménageurs placent les meubles à ton goût, tu dois d abord faire le croquis de ta chambre. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 2

3 Production d un croquis Fais le croquis de ta chambre dans cet espace. Rappel : Un croquis est un dessin fait rapidement, à main levée, sans recherche de détails et destiné à noter graphiquement une idée ou une observation. Montre ton croquis à ton formateur pour le faire valider. Le croquis ne donne pas une représentation exacte des formes géométriques. Les lignes ne sont pas droites, les angles ne sont pas respectés, etc. Cependant, il existe des instruments géométriques qui te permettront de travailler avec plus de précision. Voyons à quoi servent les principaux instruments pour la construction de figures géométriques. La règle est un instrument qui sert à mesurer des longueurs et à tracer des segments de droite. Elle est graduée en centimètre (cm) et en millimètre (mm). MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 3

4 L équerre est un instrument qui permet de vérifier et de construire des angles droits. L équerre isocèle possède L équerre scalène possède des angles de 90, 45 et 45. des angles de 90, 6 0 et 30. Le rapporteur est un instrument qui sert à mesurer et à construire un angle. Il est gradué en degrés. Le compas est un instrument à deux branches permettant de tracer des cercles et de prendre des mesures. Il sert également à comparer et à reporter des distances. De plus, lorsqu on construit une forme géométrique, il y a certaines règles à suivre. Les voici : Quelques consignes utiles Ne jamais utiliser un crayon trop gras. Travailler avec une mine extrêmement fine (aiguiser bien votre crayon). Délimiter le tracé d un segment de droite par des points. Utiliser le trait fin (plein ou interrompu) pour représenter la construction demandée. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 4

5 Pour tracer des figures rectangulaires et carrées, tu as besoin de tracer des droites perpendiculaires et des droites parallèles. Un peu d exercice Construction de figures 1. LES DROITES PERPENDICULAIRES Procédure de construction DROITES PERPENDICULAIRES PASSANT PAR UN POINT 1. Positionner l équerre 2. Marquer un repère 3. Ranger l équerre et positionner la règle 4. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par A. 5. Vérifier la précision de l angle droit 6. Coder l angle droit. Allez sur un des sites suivants : OU MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 5

6 Exercice 1 Trace une droite perpendiculaire à chacune des droites suivantes : a) b) c) 2. LES DROITES PARALLÈLES Va observer la construction de droites parallèles sur un des sites suivants (droite parallèle à une droite passant par un point à l aide de l équerre et de la règle non graduée): arallele.xml OU MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 6

7 Exercice 2 Trace une droite parallèle à chacune des droites suivantes : a) a b b) c) Construis une droite parallèle à la droite C c MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 7

8 3. LE CARRÉ Maintenant que tu peux tracer des droites perpendiculaires et des droites parallèles, allons plus loin dans la construction. Voici comment construire un carré avec une équerre, un compas et une règle. Procédure de construction CONSTRUCTION DU CARRÉ 1. Trace l angle droit de l équerre, 2. Prolonge les deux côtés obtenus avec la règle, 3. Ouvre le compas à la dimension souhaitée, 4. Pique la pointe du compas au sommet de l angle droit, 5. Fais une marque (A et B) sur chacun des côtés de l angle, 6. Sans modifier l ouverture, piquer la pointe du compas sur le repère A et trace un arc de cercle x, 7. Sans modifier l ouverture, piquer la pointe du compas sur le repère B et tracer un arc de cercle y croisant l arc de cercle x en un point C, 8. En utilisant la règle, trace les segments AC et BC Exercice 3 En te référant au schéma de construction, construis les carrés suivants : a) Carré A : 5 cm de côté MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 8

9 b) Carré B : 4,2 cm de côté c) Carré C : 6,5 cm de côté 4. LE RECTANGLE Va sur l un des sites suivants afin de te familiariser avec les étapes de la construction d un rectangle : OU Procédure de construction CONSTRUCTION DU RECTANGLE 1. Trace l angle droit de l équerre, 2. Prolonge les deux côtés obtenus avec la règle, 3. Sur chacun des deux côtés (longueur, largeur), place un repère à la dimension souhaitée, 4. Place l angle droit de l équerre sur le premier repère et trace une perpendiculaire à la largeur. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 9

10 Exercice 4 En te référant au schéma de construction, construis les 3 rectangles suivants : A B C Longueur 13 cm 8 cm 9 cm largeur 7 cm 6 cm 8 cm a) b) MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 10

11 c) 5. LE CERCLE Tu as des tables rondes à construire. C est donc important de savoir comment construire un cercle. Pour construire un cercle, tu dois connaître la mesure de son rayon. Va sur un des sites suivants pour observer la démonstration de la construction d un cercle de 5 cm de rayon : ction_cercle_centre_rayon.xml OU Procédure de construction CONSTRUCTION DU CERCLE 1. On sait que le rayon du cercle est de 5 cm, on écarte le compas de 5 cm, 2. On sait qu A est le centre du cercle, on place un point A, 3. On sait qu A est le centre du cercle, on pique le compas en A et on trace le cercle. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 11

12 Exercice 5 Construis deux cercles a) Cercle dont le rayon est 3 cm b) cercle dont le diamètre est 6 cm Qu observes-tu? Explique ton observation : Pour des explications sur la façon de tracer un cercle à partir du diamètre : uction_cercle_diametre_aide.xml OU MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 12

13 EN RÉSUMÉ : Construction d un cercle dont on connaît son diamètre : 1. On sait que le segment est un diamètre de ce cercle, on trace un segment. 2. On sait que le segment est un diamètre de ce cercle, donc le centre du cercle est le milieu du segment. 3. On mesure la longueur du segment. 4. On divise cette longueur par 2 et on repère le milieu du segment. 5. On place le milieu du segment et on le nomme. 6. On sait que le centre du cercle est le milieu du segment, on pique le compas sur ce milieu. 7. On sait que le segment est un diamètre de ce cercle, on place la mine du compas sur T ou sur S et on trace le cercle. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 13

14 Exercice 6 À la page 3, on t a demandé de faire le croquis de ta chambre. Voici ce croquis avec les dimensions des objets. Refais ce croquis en utilisant les dimensions données. 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1,5 cm 3 cm 2 cm 3,8 cm 4 cm 2,5 cm 2,2 cm Diamètre = 1 cm 2 cm 2 cm 3 cm 3 cm 4,5 cm MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 14

15 6. LE TRIANGLE 6.1 Le triangle scalène Triangle scalène dont on connaît la longueur de 2 côtés adjacents et l angle entre ces 2 côtés Passons maintenant aux procédures pour construire des triangles. Sur l un des sites suivants, tu apprendras à tracer un triangle scalène dont on connaît la longueur de 2 côtés adjacents et l angle entre ces 2 côtés le2.xml OU Observe bien et reproduis ci-dessous le triangle DEF tel que Si tu as de la difficulté, retourne voir la démonstration sur le site. Regarde la démonstration aussi souvent et tant que tu n es pas en mesure de tracer toimême le triangle. Tu peux aussi tracer le triangle en regardant toutes les étapes de la procédure indiquée ci-dessous. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 15

16 Procédure de construction CONSTRUCTION D UN TRIANGLE SCALÈNE DON T ON CONNAÎT 2 CÔTÉS ET L ANGLE ENTRE CES CÔTÉS Construction d un triangle DEF tel que Je réalise un dessin à main levée pour mieux visualiser les étapes de construction 1. Je commence par tracer un segment de longueur 5,3 cm. 2. Je trace un angle de 52 de sommet D, de côté. 3. Je place sur la demi-droite D le point F à 4 cm de D. 4. Je trace le segment Une fois que tu es habile avec la construction d un type de triangles, tracer d autres types devient beaucoup plus facile. Triangle scalène dont on connaît la longueur des 3 côtés Sur l un des sites suivants, tu apprendras à tracer un triangle scalène dont on connaît la longueur des 3 côtés. OU Exercice 7 Construis le triangle ABC tel que AB mesure 7 cm, BC mesure 5 cm et AC mesure 6,5 cm. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 16

17 6.2 Le triangle rectangle Essaie maintenant de relever le défi suivant : Exercice 8 Le triangle rectangle Trace le triangle rectangle LAG, rectangle en A tel que Où sont tes difficultés? Est-ce un problème pour toi de tracer un angle droit? As-tu besoin d une démonstration pour faire ce triangle? Va voir la démonstration sur l un des sites suivants : gle_rectangle_hypotenuse.xml OU Refais, au besoin, l exercice 8. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 17

18 Procédure de construction CONSTRUCTION D UN TRIANGLE RECTANGLE DONT ON CONNAÎT LA LONGUEUR DE SON HYPOTÉNUSE ET DE L UN DES CÔTÉS ADJACENTS À L ANGLE DROIT. Construction du triangle rectangle LAG rectangle en A tel que 1. On sait que on trace un segment de 3,5 cm 2. On sait que on a un angle droit au sommet A, on trace la perpendiculaire au côté passant par A avec l'équerre. 3. On code la figure. 4. On sait que ; on trace un arc de cercle de centre L et de rayon 6cm. 5. Si nécessaire on prolonge le tracé de la perpendiculaire. 6. On place le point G, intersection de l'arc de cercle et de la perpendiculaire 7. On trace le segment. Exercice 9 Construis les triangles suivants. a) Un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3 m et AC = 5 cm MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 18

19 b) Un triangle rectangle MES, rectangle en E, dont les 2 côtés de l angle droit sont donnés : EM = 5 cm et ES = 3 cm. Pour la construction du triangle de l exercice précédent (exercice 9b), consulte le site suivant : Les triangles isocèles et équilatéraux Les triangles isocèles et les triangles équilatéraux sont très utilisés. Procédure de construction CONSTRUCTION DU TRIANGLE ISOCÈLE ET DU TRIANGLE ÉQUILATÉRAL Soit le triangle ABC, isocèle en A, dont la longueur de sa base BC est de 5 cm et celle des autres côtés 7cm. 1. À la règle, on trace un segment de longueur 5 cm 2. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 7 cm 3. On trace un arc de cercle de centre C et de rayon 7 cm 3. On nomme le point A 4. On trace les côtés et. Note : La construction du triangle équilatéral est similaire à celle du triangle isocèle à la différence que les trois côtés du triangle sont congrus et les trois angles sont congrus. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 19

20 Regarde les démonstrations sur les sites suivants et reproduis les deux triangles à l exercice 10. Triangle isocèle ele57.xml OU Triangle équilatéral Exercice 10 a) Construction d un triangle isocèle ABC, isocèle en A (les 2 côtés qui forment l angle A sont congrus), dont la longueur de sa base BC est de 5 cm et celle des autres côtés 7 cm. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 20

21 b) Construction d un triangle équilatéral ABC, dont l un des côtés mesure 7cm. Rappel : les trois angles sont égaux dans un triangle équilatéral et chaque angle mesure 60 degrés. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 21

22 7. LE LOSANGE Regardons maintenant la construction d un losange. Que te rappelles-tu des côtés du losange? Que dire des angles d un losange? Procédure CONSTRUCTION D UN LOSANGE DONT ON CONNAÎT LA MESURE DU CÔTÉ 1. On trace un segment de longueur 6 cm. 2. On trace un segment de longueur 6 cm. 3. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 6 cm. 4. On trace un arc de cercle de centre D et de rayon 6 cm. 5. On nomme le point C. 6. On trace les côtés et. La construction du losange demande l utilisation du compas. Observe bien la démonstration, et construis ce losange à l exercice 11 : ge.xml ou Exercice 11 Construis un losange de 6 cm de côté, à la règle et au compas. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 22

23 Parfois, pour construire un losange, on te donnera les mesures des diagonales au lieu de te donner les mesures d un côté. Que signifient «les diagonales d un losange»? Les diagonales du losange sont-elles égales? Les diagonales du losange se coupent-elles? Mesure les segments AO ET OC Que peux-tu dire des segments AO et OC? Que peux-tu dire des segments BO et OD? Que peux-tu déduire des diagonales d un losange? EN RÉSUMÉ Le losange a 4 côtés égaux ; Les diagonales du losange se coupent en leur milieu ; Les diagonales du losange sont perpendiculaires. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 23

24 Cette construction est particulièrement intéressante. Va voir la démonstration sur l un des sites suivants, puis construis cette figure à l exercice ge_diagonales.xml OU Procédure CONSTRUCTION D UN LOSANGE DONT ON CONNAÎT LA MESURE DES DIAGONALES Construire le losange ABCD tel que. 1. À la règle, on trace un segment de longueur 8 cm. 2. On marque le milieu du segment 3. On trace la perpendiculaire à passant par son milieu. 4. On prend un écartement du compas de. 5. On trace 2 arcs de cercle centrés sur le milieu de. 6. On nomme les points B et D. 7. On trace les côtés du losange ABCD. Exercice 12 Construis le losange ABCD tel que les diagonales. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 24

25 Exercice 13 Construis les figures suivantes : 1- Dessine un cercle ayant comme rayon 3 cm. 2- Trace un triangle isocèle ABC dont la base BC mesure 5 cm et les deux autres côtés 4 cm. 3- Dessine un demi-cercle qui a un rayon de 3,5 cm. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 25

26 4- Dessine un triangle ABC, rectangle en C, ayant une base de 6,3 cm et une hauteur de 2,4 cm. 5- Représente un parallélogramme dont les côtés mesurent 6 cm et 2 cm. 6- Construis un losange sachant que les diagonales mesurent 7,5 cm et 6 cm. Faites vérifier et valider votre travail par l enseignant avant de continuer MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 26

27 Mise en pratique dans d autres contextes UN EMPLOI D ÉTÉ JUDICIEUX! Ton emploi d été est un choix judicieux pour te tailler une place au soleil. Tu es convoqué à la ville de Gatineau pour une entrevue. En effet la ville a décidé d engager des jeunes étudiants pour travailler à la construction des terrains de jeux pour les enfants. Les Ressources humaines de la ville veulent cependant s assurer des compétences de base des futurs travailleurs. Un examen de sélection précède donc l entrevue. Voici le test : on te demande de tracer le croquis d un terrain de jeu comportant les structures suivantes : Une piscine circulaire de 2 cm de rayon Une aire de balançoire de la forme d un losange dont les diagonales sont 3 cm par 7 cm. Un terrain de tennis de 8cm par 4 cm Un chalet carré de 4 cm. Le terrain complet a une forme carrée de 16 cm de côté Démontre que tu as réussi l examen de sélection. Fais ce travail à la page suivante et montre-le au formateur. MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 27

28 Croquis du terrain MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 28

29 UN CONCOURS DE DESSIN Dans le cours de géométrie, le formateur organise un concours de dessin pour vérifier si les apprenants ont bien compris la construction des figures géométriques. Le travail est effectué en équipe de deux personnes. La tâche est de : a) reproduire les figures géométriques suivantes en mesurant les côtés des figures ou autres éléments importants; b) utiliser la règle, le rapporteur et le compas pour la construction des figures Source : Figure A Figure B MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 29

30 Figure C Faites vérifier et valider votre travail par l enseignant avant de continuer MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 30

31 Bilan des apprentissages de la SA2 Indiquez si vous avez réalisé le travail de ce module : 1 = Très facilement 2 = Plutôt facilement 3 = Difficilement Actions Perception de l environnement physique Je décode les symboles et les termes du langage arithmétique et du langage géométrique Je construis des liens entre les figures, les mesures, les rapports et les objets qu ils représentent J utilise les propriétés des figures géométriques simples pour trouver des renseignements qui m aident à représenter l environnement physique Je repère les formes et les quantités Production de représentations claires et appropriées de l environnement physique Je sélectionne les figures géométriques qui se rapprochent le plus de la réalité Je construis les figures géométriques à l aide des techniques appropriées Je respecte les notations du système international d unités (SI) lorsque j inscris des mesures Je structure clairement mon message et mes démarches de calculs et de constructions en utilisant des modèles mathématiques Détermination précise de mesures et de rapports Je note les mesures en respectant le système international d unités (SI) Je vérifie si mes calculs, mes solutions et mes conclusions sont réalistes Notation de l élève 1, 2 ou 3 Notes de l enseignant Appréciation générale Points à améliorer MATP104-4 /SA2 Aménagement de ta chambre/cahier de l élève/ Mai 2011/Adaptation CSPO 31