LES NOMBRES RELATIFS.

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1 LES NOMRES RELTIFS.. Préliminaires.. Nombres relatifs. Ce sont des nombres qui sont pourvus d'un signe. Exemples : + 5,3 est un nombre relatif positif ; on dit que 5,3 est la "partie numérique" de ce nombre relatif. 4,7 est un nombre relatif négatif ; on dit que 4,7 est la "partie numérique" de ce nombre relatif. Les nombres 2,5 et - 2,5 sont dits opposés : ils ont le même "partie numérique", mais des signes différents..2 Représentation géométrique. Il est possible de placer des nombres relatifs sur une droite graduée. Tu remarqueras que les deux nombres opposés 2,5 et 2,5 sont placés symétriquement par rapport à O. (On peut dire aussi qu'ils sont à la même distance par rapport à O ) EXERCICE chercher. Sur une droite, placer les points,, C et D d abscisses respectives 2 7 ; ; ;3 3 3 ). Quelle unité "habile" vas-tu choisir pour la graduation d'origine O? 2 ). Place les points,, C, D 3 ). Place les points ', ', C', D' symétriques de,, C, D par rapport à l'origine O.

2 2. ddition et soustraction de nombres relatifs : points clés 2. Pour additionner deux nombres relatifs qui ont le même signe : On garde le signe des deux nombres. On additionne les parties numériques. Exemples : 3,8 4,5 8,3 5, 4 6,3,7 2.2 Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : On garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique. On soustrait la plus petite partie numérique de la plus grande. Exemples : 3,8 4,5 0, 7 8,5 3, 4 5, 2.3 Écriture d'un opposé. Le signe placé devant un nombre placé entre parenthèses indique un opposé. Exemples : 5 est l'opposé de 5. Donc : 5 5 3, 4 est l'opposé de 3, 4. Donc 3, 4 = 3, Propriété : La somme de deux opposés est nulle. 4, 2 4, 2 0 EXERCICE 2 chercher. Effectuer les additions suivantes : 5,3 9,8 ; 5,9 5,9 3,7 5,3 ; 4,5 4,5 4,7 5,9 ; ,8,7 2

3 2.5 Soustraction de deux nombres relatifs. Pour retrancher un nombre relatif, on additionne son opposé. 3, 4 ( + 7,8) = 3, 4 + ( 7,8) = ( 4, 4) 2.6 Suppression des parenthèses. Dans le calcul précédent, + ( 7,8) signifie qu on ajoute ( 7,8) L écriture simplifiée sera : 3,4 ( + 7,8) = 3,4 7,8 = 4,4, donc qu on retranche 7,8 utres exemples : Dans le calcul : 4,7 ( 5,3), l écriture ( 5,3) signifie qu on retranche ( 5,3) donc qu on ajoute 5,3. On écrira de manière simplifiée : 4,7 ( 5,3) = 4,7 + 5,3 = + 0,6 Cette écriture indique l addition de deux nombres relatifs de signes contraires. On écrira de manière simplifiée : 5,9 + ( 3, 7) = 5,9 3, 7 = 9, 6 Dans le calcul 5,9 + ( 3,7), l écriture ( 3, 7) Cette écriture indique l addition de deux nombres relatifs de même signe. + signifie qu on retranche 3,7. EXERCICE 3 chercher. Effectuer les calculs : 5,3 9, 4 6,9 3,5 7,3 8,4 4,5 5,5 3

4 3. Multiplication de nombres relatifs : points clés. 3. Règle des signes de la multiplication de 2 nombres relatifs. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif le produit de deux nombres relatifs de signes différents est négatif Si on multiplie entre eux plus de deux nombres relatifs : Il faut alors appliquer la méthode suivante : On compte d'abord le nombre de signes S'il y a un nombre pair de signes, le résultat est positif il y a 2 signes S'il y a un nombre impair de signes, le résultat est négatif il y a 3 signes EXERCICE 4 chercher. Sans effectuer aucun calcul donner le signe des résultats des calculs suivants : 3,5 45, 7 56, 78 : signe car : : signe car : ,7 4,5 36 : signe car : 3.3 Distributivité de la multiplication Définition : La multiplication est distributive par rapport à l'addition signifie : k a b ka kb k a b ka kb Étant entendu que ka signifie k a et que k a b signifie k a b Les servent à regrouper les nombres sur lesquels on veut faire agir l opération multiplication. 4

5 3.3.2 Vocabulaire employé : Quand on écrit que : k a b ka kb ou que k a b ka kb, on dit que l on a développé l expression. l expression. Quand on écrit que : ka + kb = k ( a + b) ou que ka kb k ( a b) Utilisations : La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition sera utilisée :. Pour développer (c est à dire effectuer) un calcul : ( a ) 3 2 = 3a 6 2. Dans un calcul du genre : qui peut s'écrire si on décompose 02 : =, on dit que l on a factorisé Ou encore si on développe en utilisant la distributivité de la multiplication : Soit : Finalement : 3570 Il faut comprendre que l'intérêt de cet exercice était de pouvoir calculer mentalement le produit EXERCICE 5 rédiger ; = Calculer en utilisant la propriété de la distributivité de la multiplication : = = = Puis : = = = = = 5

6 3. Pour effectuer un calcul à l aide d une factorisation. Par exemple, on veut calculer : = , ,3 On reconnaît que 452 est le facteur commun aux deux produits. Donc on peut factoriser par 452 : = , , 3 = = EXERCICE 6 rédiger. Effectuer les calculs à l aide d une factorisation : = = = C = 236 0, ,005 C = C = 4. Inverse d'un nombre relatif non nul. 4. Définition : L'inverse d'un nombre relatif non nul x se note x ou x 4.2 Propriétés : Le produit de deux nombres inverses l'un de l'autre est égal à. insi : x x Exemples : Si le produit de deux nombres est égal à, alors ces deux nombres sont inverses l'un de l'autre. 8 et 0,25 sont inverses l'un de l'autre, car : 8 0,25 De même : 0, 25 et 4 sont inverses l'un de l'autre car : 0,

7 ttention : le nombre 0 n'a pas d'inverse! 4.3 Quelques inverses à connaître ,5 0, 25 0, 2 0,25 Et réciproquement! EXERCICE 7 rédiger. Effectuer les produits suivants en utilisant la propriété des inverses. 4 0,75 3 = 2, 5 3 = 36 0, 25 = 56 0,25 = 5. Division de deux nombres décimaux relatifs. 5. Définition : Diviser un nombre a par un nombre b non nul, c'est multiplier a par l'inverse de b. insi : a b a b Exemples : 7

8 , 25 0, ,25 3, Règle des signes : C'est la même règle que pour la multiplication de deux relatifs. a C'est à dire que le signe du quotient, b b 0 est le même que celui du produit ab Valeur approchée d'un quotient. calculons à la calculatrice le quotient : La calculatrice donne : 9, ,5 4,4 L'arrondi à 0, 0 sera : 9, 20 (valeur approchée par excès) L'arrondi à 0, 00 sera : 9,20 (valeur approchée par excès) L'arrondi à 0, 000 sera : 9,204 (valeur approchée par défaut) ttention au raisonnement dans les nombres négatifs!! Si on arrondi sur la partie numérique inférieure, alors le nombre est pris par excès. En effet, par exemple 9,20 < 9, 20 < 9,200 donc 9, 20 est bien la valeur par excès à 0,0 près. EXERCICE 8 chercher. Calculer à 0, 0 près les inverses des nombres suivants :

9 6. La factorisation. 6. Qu est-ce que c est? C est écrire une somme sous la forme d un produit. Les termes du produits s appellent des facteurs. L action d obtenir des facteurs s appelle factoriser. 6.2 Comment factoriser? 6.2. Principe. Pour factoriser, on utilise la distributivité de la multiplication à l envers. 2 insi le calcul : 7 4,8 7,2 s'écrit en factorisant par 7 : 7 4,8,2 ici, si on distribuait 7, on retrouverait la ligne précédente. 7 3,6 d'où : 25, Méthode. Il faut regarder si les nombres qui composent le calcul possèdent un diviseur commun. insi dans l expression 65a 3, on peut remarquer que 65 = 5 3 On écrira donc que : 65a 3 = 5a 3 3 = 3 5a ( a ) 3 5 est la forme factorisée de 65a 3 EXERCICE 9 rédiger. Calculer en utilisant la factorisation :. 6 4,7 6 9,9 = = = 2. C = ,5 se reporter au besoin à la page 4. 9

10 C = C = C = C = 7. Organiser et effectuer un calcul. 7. Calculs sans parenthèses. Dans une suite d'additions et de multiplications : priorité à la multiplication (ou à la division). Exemples : 3, 2 5 La multiplication est prioritaire sur l'addition C 32 5, 75 5 La division est prioritaire sur la soustraction. C 32 3,5 Enfin, seulement on soustrait. C 28, Calculs avec parenthèses. Dans une telle suite de calculs, il faut d'abord effectuer les calculs entre parenthèses. Il y a priorité aux calculs situés dans les parenthèses les plus intérieures, puis aux multiplications. = 3,2 20 5,3+,7 On calcule le contenu de la parenthèse intérieure d abord. 3, On calcule le contenu de la parenthèse. 3, 2 3 On effectue la multiplication enfin. 9,6 Réfléchissons : Quel est le rôle des? Quel set le rôle des [ ]? Dans une suite de calculs à même niveau de priorité, on peut : 0

11 - soit effectuer les calculs dans l ordre où ils se présentent. - Soit calculer «habilement» ( Cf «calculs habiles» ) 7.3 Calculs "habiles". Ils consistent à retirer les parenthèses, et à procéder à des regroupements judicieux. On regroupera les nombres décimaux qui permettent d'obtenir des entiers On regroupera les fractions qui ont le même dénominateur. On regroupera les nombres opposés, afin d obtenir 0 (zéro) On regroupera les nombres inverses l un de l autre, afin d obtenir Pourquoi chercher à obtenir 0? Parce que ce nombre est : Neutre pour l addition : c est à dire qu ajouter 0 ne modifie pas un résultat. bsorbant pour la multiplication, c est à dire que multiplier par 0 donne au résultat la valeur Pourquoi chercher à obtenir? Parce que ce nombre est : Neutre pour la multiplication : c est à dire que multiplier par ne modifie pas le résultat Exemples de calculs :. 29,3 4,6 39,7 5,4 3,9 s'écrira : 29,3 39,7 4, 6 5, 4 3, 9 C est à dire : ,9 52, s'écrira en retirant les parenthèses : Qui s'écrira en regroupant les fractions de même dénominateur : On calcule le contenu de chaque parenthèse :

12 EXERCICE 0 chercher Calculer habilement : 25,7 32,6 4,7 0,4 8,

13 8. Voici des exercices adaptés à cette leçon. Ces exercices sont à faire sur le cahier d exercices. 8. Calculer après avoir supprimé les parenthèses = = ,2 + ( 0,25) = Calculer astucieusement = ,3 +, ,3 + = = = = = 3 3 ( 7, 5 3) ( 8 0, 5 3) + = 4, , ,3 + 0, 2 = 3

14 8.3 Calculer en respectant les priorités de calcul. = = C = D = E = F = 6 7 2, ( 4 8,5)( 7 3,2) 5 ( 8,4 5 4,5) G = = 38 4 = = 2 5 = = ( 3 5) ( 4) = 4