Fonction Cube. 1 fonction cube activité corrigé activité à retenir exercices corrigé exercices...

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1 Fonction Cube Table des matières 1 fonction cube activité corrigé activité à retenir eercices corrigé eercices devoir maison devoir maison tp logiciel de calcul formel tp corrigé tp

2 1 fonction cube 1.1 activité un cube de coté de mesure = 1cm a un volume de mesure f(1) = = = cm 3 un cube de coté de mesure = 1,5cm a un volume de mesure f(1,5) = = cm 3 le volume du cube est donné en fonction de par la formule f() = (en cm 3 ) 1. un tableau de valeur de la fonction cube : -3-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 f() = 3-3, , ,125 3, tableau de variations de la fonction cube : valeur de + variations de f() = 3 courbe de la fonction cube sur [ 3;3] 25 y la fonction cube : 3 est... sur tableau de signes de la fonction cube : valeur de signe de f() = = > < a le même... que la courbe de la fonction cube admet pour centre de symétrie le point etremums de la fonction cube pour ] ; + [ : sur ] ;+ [, le minimum de la fonction cube est... il est atteint pour... sur ] ;+ [, le maimum de la fonction cube est... il est atteint pour équations et fonction cube la résolution de l équation 3 = 15 donne graphiquement :... la résolution de l équation 3 = 15 donne algébriquement :... la résolution de l équation 3 = 20 donne graphiquement :... la résolution de l équation 3 = 20 donne algébriquement : inéquations et fonction cube la résolution de l inéquation 3 < 5 donne :... la résolution de l inéquation 3 > 5 donne :... la résolution de l inéquation 3 < 10 donne :... la résolution de l inéquation 3 > 10 donne :...

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4 1.2 corrigé activité un cube de coté de mesure = 1cm a un volume de mesure f(1) = = 1 3 = 1cm 3 un cube de coté de mesure = 1,5cm a un volume de mesure f(1,5) = 1,5 3 = 3,375cm 3 le volume du cube est donné en fonction de par la formule f() = 3 (en cm 3 ) 1. un tableau de valeur de la fonction cube : -3-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2, , , , , , , tableau de variations de la fonction cube : valeur de + + variations de f() = 3 ր la fonction cube : 3 est strictement croissante sur R 3. tableau de signes de la fonction cube : valeur de 0 + signe de f() = courbe de la fonction cube sur [ 3;3] 25 y = 0 = 0 3 > 0 > a le même signe que surr < 0 < la courbe de la fonction cube admet pour centre de symétrie le point O, origine du repère. 5. etremums de la fonction cube pour ] ; + [ : sur ] ;+ [, le minimum de la fonction cube est ineistant, il n est atteint pour aucune valeur de. sur ] ;+ [, le maimum de la fonction cube est ineistant, il n est atteint pour aucune valeur de. 6. équations et fonction cube la résolution de l équation 3 = 15 donne graphiquement : 2,5 soit S {2,5} la résolution de l équation 3 = 15 donne algébriquement : 3 = 15 = = ,47 soit S = { 3 15} la résolution de l équation 3 = 20 donne graphiquement : 2,5 soit S {2,7} la résolution de l équation 3 = 20 donne algébriquement : 3 = 20 = = ,71 soit S = { 3 20} 7. inéquations et fonction cube la résolution de l inéquation 3 < 5 donne : S =] ; 3 5[ ] ;1,71[ la résolution de l inéquation 3 > 5 donne : S =] 3 5;+ ;[ ]1,71;+ [ la résolution de l inéquation 3 < 10 donne : S =] ; 3 10[ ] ; 2,15[ la résolution de l inéquation 3 > 10 donne : S =] 3 10;+ ;[ ] 2,15;+ [

5

6 1.3 à retenir propriété 1 : (fonction cube) le domaine de définition de la fonction cube f() = 3 est D f = ] ; + [ tableau de valeurs, courbe, tableau de signes, tableau de variations, etremums sont donnés par l activité précédente. pour résoudre algébriquement une équation de la forme 3 = a on utilise : quel que soit le nombre réel a : 3 = a = a 1 3 = 3 a (la racine cubique de a) démonstration : (propriété admise)

7 1.4 eercices eercice 1 : une mine produit kg d un minerais par jour, [ 0 ; 10 ] ( varie selon les jours) le coût total d etraction de ces kg est donné par C() = 3 où C est en euros. chaque kg est vendu 81 euros, soit pour kg vendus, une recette de R() = 81 euros. le bénéfice associé à la fabrication et à la vente de kg est donné par B() = R() C() a. détailler les calculs de C(5), R(5), B(5) et en déduire si une production de 5kg est rentable. b. justifier si une production de 10kg est rentable. c. compléter le tableau de valeurs puis construire les courbes des fonctions C et R dans le repère donné C() = 3 R() = y d. déterminer graphiquement et algébriquement à 0,1 kg près, la production qui assure une recette de 400 euros, en déduire le bénéfice réalisé à l euro près. e. déterminer graphiquement et algébriquement à 0,1 kg près, la production qui assure un coût d au moins 500 euros. f. déterminer graphiquement l intervalle des productions qui assurent un bénéfice positif. montrer que B() = (9 )(9 + ) et retrouver algébriquement l intervalle précédent. g. déterminer graphiquement la production qui assure un bénéfice maimal. h. compléter le tableau de valeurs suivant puis construire la courbe de B dans le repère précédent, puis donner les tableau de signes et de variations puis les etremums de B pour [ 0 ; 10 ] (localiser la production optimale à la calculatrice à 0,1 près ) B() ces résultats sont-ils cohérents avec les résultats des questions f. et g.? i. calculer le bénéfice mensuel (30 jours) pour la production optimale.

8 eercice 2 : Une entreprise fabrique et vend un certain produit Chaque kilogramme fabriqué coûte à l entreprise 1,5e (coût unitaire de production = 1,5e/kg) Une { étude a montré que mensuellement et en moyenne : pour un pri unitaire de vente de 3,5e/kg, il y a 326 ventes de conditionnement 1 kg { pour chaque baisse de 0,1e/kg du pri unitaire vente on augmente le conditionnement de 1 kg et il y a 10 ventes en moins Le responsable des ventes souhaite déterminer l effet de la baisse de pri sur le bénéfice des ventes et on appelle le nombre de fois où l on baisse le pri de 0,1e/kg par rapport à 3,5e/kg 1. (a) montrer que si = 0 alors : recette = 1141e, coût = 489e et bénéfice = 652e (b) montrer que si = 1 alors : bénéfice = 1200,8e (c) montrer que le bénéfice est donné en fonction de par B() = (326 10)(1+)(2 0,1) 2. on utilise un logiciel de calcul formel. à plusieurs reprises on entre une commande et le logiciel renvoie une réponse on obtient l écran suivant : (commande 1) developper((326 10)(1 + )(2 0, 1)) (réponse 1) (commande 2) resoudre((326 10)(1+)(2 0,1) = 0,) 163 (réponse 2) [ 1, 20.0, 5 ] (commande 3) resoudre((326 10)(1 + )(2 /10) > 2000, ) (réponse 3) [( > ) and ( < ), > ] (commande 4) maimum((326 10)(1+)(2 0,1),[0;35]) (réponse 4) (a) epliquer ce que permet d obtenir la commande 1 (b) traduire sur le graphique donné ci dessous, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 2, 3 et 4 renvoyées par le logiciel de calcul formel y (c) donner la commande qui permet d obtenir l intervalle de rentabilité et déterminer cet intervalle puis en déduire les pri unitaires de vente qui sont rentables (d) retrouver l intervalle de rentabilité grâce à un tableau de signes (e) encadrer à 0,1 près, le pri 0 qui maimise le bénéfice en utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice

9 1.5 corrigé eercices corrigé eercice 1 : une mine produit kg d un minerais précieu par jour, [ 0 ; 10 ] ( varie selon les jours) le coût total d etraction de ces kg est donné par C() = 3 où C est en euros. chaque kg est vendu 81 euros, soit pour kg vendus, une recette de R() = 81 euros. le bénéfice associé à la fabrication et à la vente de kg est donné par B() = R() C() a. C(5) = 5 3 = 125 euros R(5) = 81 5 = 405 euros B(5) = R(5) C(5) = = 280 euros, donc une production de 5kg est rentable. car la recette est supérieure au coût (405 > 125) ou bien car le bénéfice est positif (280 > 0) b. C(10) = 10 3 = 1000 euros R(10) = = 810 euros B(10) = R(10) C(10) = = 190 euros, donc une production de 10kg n est pas rentable. car la recette est inférieure au coût (810 < 1000) ou bien car le bénéfice est négatif ( 190 < 0) c. tableau de valeurs et courbes des fonctions C et R dans le repère donné C() = R() = y C 800 R Zone de rentabilité B ma = écart ma entre R et C B ma = écart ma entre (O) et B intervalle de rentabilité d. graphiquement :R() = algébriquement :R() = = 400 = 400 4,9 81 donc la recette vaut 400 euros pour 4,9 kg. B(4,9) = R(4,9) C(4,9) = 400 4, soit 282 euros de bénéfice réalisé à l euro près. e. graphiquement : C() > 500 > 7,9 algébriquement : C() > > 500 > 3 80 ( 7,9) donc le coût vaut au moins 500 euros pour > 7,9 kg B

10 f. graphiquement : le bénéfice est positif strict si la recette est supérieure strict au coût, soit : B() > 0 R() > C() ]0 ; 9[ l intervalle (de rentabilité) des productions qui assurent un bénéfice positif est donc ]0 ; 9[. algébriquement :B() = R() C() = 81 3 = (81 2 ) = (9 2 2 ) = (9 )(9+) il suffit d étudier le signe de (9 )(9+) dans un tableau de signes pour [ 0 ; 10 ] Annulations : = = 0 = = 0 = 9 (hors tableau) (9 )(9+) conclusion : B() > 0 ]0 ; 9[ (cohérent avec le résultat graphique) g. graphiquement la production qui assure un bénéfice maimal est 5,2 car c est pour 5,2 que l écart est maimal entre les courbes de R etc dans l intervalle de rentabilité. h. la courbe de B est construite dans le repère ci dessus B() = valeur de tableau de signes de B() : signe de B() tableau de variations de B() : valeur de 0 5, ,59 variations de B() ր ց etremums de B() pour [ 0 ; 10 ] : { le minimum vaut 190 pour = 10 le maimum vaut 280,59 pour 5,2 en effet ; la calculatrice donne : 5,1 5,2 5,3 B() 280,45 280,59 280,42 ces résultats sont cohérents avec les résultats des questions f. et g. i. bénéfice mensuel (30 jours) pour la production optimale. B = 280,59 30 = 8417,7 euros.

11 corrigé eercice 2 : 1. (a) si = 0 alors : recette = nb kg vendus pri de vente du kg = ,5 = 1141e coût = nb kg fabriqués coût de fabrication du kg = ,5 = 489e bénéfice = recette - coût = = 652e (b) si = 1 alors : bénéfice = (326 10)(1+1)(3,5 0,1) (326 10)(1+1)1,5 = 1200,8e (c) en fonction de : B() = (326 10)(1+)(3,5 0,1) (326 10)(1+)1,5 B() = (326 10)(1+)[(3,5 0,1) 1,5)] B() = (326 10)(1+)(2 0,1) 2. on utilise un logiciel de calcul formel. à plusieurs reprises on entre une commande et le logiciel renvoie une réponse on obtient l écran suivant : (commande 1) developper((326 10)(1 + )(2 0, 1)) (réponse 1) (commande 2) resoudre((326 10)(1+)(2 0,1) = 0,) 163 (réponse 2) [ 1, 20.0, 5 ] (commande 3) resoudre((326 10)(1 + )(2 /10) > 2000, ) (réponse 3) [( > ) and ( < ), > ] (commande 4) maimum((326 10)(1+)(2 0,1),[0;35]) (réponse 4) (a) la commande 1 permet d obtenir l epression développée de B() (b) la commande 2 permet d obtenir l ensemble des solutions de l équation B() = 0 la commande 3 permet d obtenir l ensemble des solutions de l inéquation B() > 2000 la commande 4 permet d obtenir le maimum de B() pour [0 ; 35] y B ma Zone de rentabilité intervalle de rentabilité (c) la commande qui permet d obtenir l intervalle de rentabilité est : resoudre((326 10)(1+)(2 /10) > 0,) cet intervalle est ] 1 ; 20[ car pour > 32,6 il n y a plus de ventes : ,6 = 0 les pri unitaires de vente qui sont rentables sont dans l intervalle ]3,6 ; 1,5[ ( 3,5 ( 0,1) = 3,6 et 3,5 20 0,1 = 1,5)

12 (d) intervalle de rentabilité grâce à un tableau de signes valeur de ,6 + signe de signe de 2 0, signe de signe de (326 10)(1 + )(2 0, 1) Annulations : = 0 = = 32,6 2 0,1 = 0 = 2 0,1 = = 0 = 1 on retrouve bien : B() > 0 ] 1 ; 20[ (pour > 32,6 il n y a plus de ventes) (e) encadrer à 0,1 près, le pri 0 qui maimise le bénéfice en utilisant le tableau de 7,3 7,4 7,5 valeurs de la calculatrice : B() 2666,9 2667,2 2666,9 B ma 2667,2 pour un pri compris entre : 2,7 et 2,8ele litre (3,5 7,4 0,1 = 2,76) soit : 2,7 < 0 < 2,8

13 2 devoir maison 2.1 devoir maison 1

14 devoir maison eercice 1 : 34 page 47 eercice 2 : Une entreprise fabrique et vend un objet grandes quantités. L objet est vendu 28 euros l unité. Si on désigne par le nombre d objets produits et vendus ( en milliers) : Le coût total de fabrication (en milliers d euros) est donnée par C() = 3 13, Chaque objet est vendu 28 euros La recette totale (en milliers d euros) est alors donnée par R() = 28 Les courbes de C et R sont représentées ci dessous pour [0 ; 10,5] Le bénéfice est donné par : Bénéfice = recette - coût (B = R C) y R C Etude Graphique les tracés seront apparents sur le graphique et une phrase de conclusion est à donner (a) estimer la valeur de la recette, du coût et du bénéfice pour une production de 1 millier puis pour 5 milliers d objets (b) déterminer les nombres d objets à fabriquer et à vendre pour que la production soit rentable (donner l intervalle de rentabilité ) (c) déterminer les nombres d objets à fabriquer et à vendre pour que le bénéfice soit maimal et donner une approimation de ce bénéfice (d) Construire ci dessus la droite de recette à partir de laquelle aucun bénéfice n est plus possible et en déduire le pri de vente d une boîte en dessous duquel on ne ferait aucun bénéfice 2. Etude fonctionnelle du bénéfice (a) Montrer que le bénéfice est donné en fonction de par B() = 3 +13, (b) Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 10 1 près ( détailler un calcul) 0 0,5 1 1,5 2 2, ,5 8 8,5 9 9, ,5 B()

15 (c) Construire la courbe de B dans le repère suivant pour [ 0 ; 10, 5 ] y (d) bénéfice maimal i. estimer graphiquement le tableau de variations de B() sur [ 0 ; 10, 5 ] ii. estimer graphiquement les nombres de boîtes à fabriquer et à vendre pour que le bénéfice soit maimal et donner une approimation de ce bénéfice maimal iii. est-ce en accord avec les résultats trouvés à la première partie (e) intervalle de rentabilité i. estimer graphiquement le tableau de signes de B() sur [ 0 ; 10, 5 ] ii. estimer graphiquement les nombres de boîtes à fabriquer et à vendre pour que la production soit rentable et donner l intervalle de rentabilité iii. vérifier que B() = ( 0, )(2+1) (développer) A. En déduire le tableau de signes de B() ci dessous pour ] ;+ ] ( à recopier sur copie ) Valeur de Annulations Signe de ( 0, ) Signe de (2+1) Signe de B() B. en déduire les valeurs de pour lesquelles B() est positif strict. C. est-ce en accord avec les résultats trouvés à la première partie et avec ceu trouvés précédemment? (f) résoudre graphiquement l équation B() = 40 à 0,1 près et interpréter le résultat (g) résoudre numériquement grâce au tableau de valeurs de la calculatrice l équation B() = 40 et donner un encadrement des solutions à 0,01 près

16 3 tp logiciel de calcul formel 3.1 tp1

17 tp : logiciel de calcul formel et étude de fonction nom, prénom :... buts : modéliser Mathématiquement une situation "économique" utiliser un logiciel de calcul formel (qui calcule avec des nombres ou des lettres) conjecturer des résultats faire des démonstrations de certaines conjectures situation : Une entreprise fabrique et vend un certain produit liquide Chaque litre fabriqué coûte à l entreprise 1,5e (coût unitaire de production = 1,5e/litre) Une { étude a montré que mensuellement et en moyenne : pour un pri unitaire de vente de 0,5e/litre, il y a 85 ventes de conditionnement 1 litre { pour chaque hausse de 0,2e/litre du pri unitaire vente on augmente le conditionnement de 2 litres et il y a 5 ventes en moins on souhaite déterminer l effet de la hausse de pri sur le bénéfice des ventes et on appelle le nombre de fois où l on augmente le pri de 0,1e/litre par rapport à 0,5e/kg 1. lancer le logiciel de calcul formel Xcas 2. donner le calcul de la recette des ventes, du coût de fabrication et du bénéfice si = 0 et effectuer ces calculs avec Xcas recette =... coût =... bénéfice = eprimer (sans développer) la recette, le coût et le bénéfice en fonction de recette = r() =... coût = c() =... bénéfice = b() = on veut obtenir grâce à Xcas les écritures développées de r(), c() et b() commande entrée pour obtenir le développement de r() :... résultats obtenus : r() =... c() =... b() = commande entrée pour obtenir la factorisation de b() :... résultat obtenu : b() = commande entrée pour obtenir les annulations de b() :... résultat obtenu : les annulations de b() sont : commande entrée pour obtenir les valeurs de pour lesquelles b() est strictement positif :... résultat obtenu : b() est strictement positif pour : entrer la commande suivante : graphe( , = 1..20) que donne t-elle eactement? :... retrouver graphiquement les annulations de B() : commande entrée pour obtenir les valeurs de pour lesquelles b() est strictement supérieur à 600 :... résultat obtenu : b() est strictement supérieur à 600 pour : utiliser le zoom du graphique pour localiser dans [ 1 ; 20] la valeur de 0 (à 0,1 près) qui maimise le bénéfice et estimer ce bénéfice maimal (à 1 près ) et en déduire un encadrement du pri de vente idéal à 0,1 près observer ce que donne la commande suivante et modifiez la pour obtenir une valeur approchée de 0 à 0,001 près : 0... à 0,001 près prepend(seq([,format( , f3 )],, 2,3,0.5),[, b() ]) 12. démontrer le résultat du 7.

18 13.

19 3.2 corrigé tp1

20 corrigé tp : logiciel de calcul formel et étude de fonction buts : situation : Une entreprise fabrique et vend un certain produit liquide Chaque litre fabriqué coûte à l entreprise 1,5e (coût unitaire de production = 1,5e/litre) Une { étude a montré que mensuellement et en moyenne : pour un pri unitaire de vente de 0,5e/litre, il y a 85 ventes de conditionnement 1 litre { pour chaque hausse de 0,2e/litre du pri unitaire vente on augmente le conditionnement de 2 litres et il y a 5 ventes en moins on souhaite déterminer l effet de la hausse de pri sur le bénéfice des ventes et on appelle le nombre de fois où l on augmente le pri de 0,1e/litre par rapport à 0,5e/kg 1. lancer le logiciel de calcul formel Xcas 2. donner le calcul de la recette des ventes, du coût de fabrication et du bénéfice si = 0 et effectuer ces calculs avec Xcas recette = 85 0,5 1 = 42,5 coût =85 1,5 1 = 127,5 bénéfice = 42,5 127,5 = eprimer (sans développer) la recette, le coût et le bénéfice en fonction de recette = r() = (85 5)(0,5+0,2)(1+2) c() = 1,5(85 5)(0,5+0,2) b() = (85 5)(0,5+0,2)(1+2) 1,5(85 5)(0,5+0,2) 4. on veut obtenir grâce à Xcas les écritures développées de r(), c() et b() commande entrée pour obtenir le développement de r() : developper((85 5)(0,5+0,2)(1+2)) résultats obtenus : r() = ,5+42,5 c() = ,5+127,5 b() = commande entrée pour obtenir la factorisation de factoriser( ) résultat obtenu : b() = 2( 17)( 5)(+0,5) 6. commande entrée pour obtenir les annulations de b() : resoudre( = 0,) résultat obtenu : les annulations de b() sont : 0,5; 5 et commande entrée pour obtenir les valeurs de pour lesquelles b() est strictement positif : resoudre( > 0,) résultat obtenu : b() est strictement positif pour : ] ; 0,5[ ]5 ; 17[ 8. entrer la commande suivante : graphe( , = 1..20) que donne t-elle eactement? : la courbe de la fonction b sur l intervalle [ 1 ; 20] retrouver graphiquement les annulations de B() : 0,5; 5 et commande entrée pour obtenir les valeurs de pour lesquelles b() est strictement supérieur à 600 : resoudre( > 600,) résultat obtenu : b() est strictement supérieur à 600 pour : ] ; 2,5[ ]8,9 ; 15,1[ 10. le zoom du graphique donne 0 12,3 (à 0,1 près) B ma 879 le pri de vente idéal à 0,1 près : 0,5+0,2 12,2 p 0,5+0,2 12,3 soit 2,9 p observer ce que donne la commande suivante et modifiez la pour obtenir une valeur approchée de 0 à 0,001 près : 0 12,333 à 0,001 près prepend(seq([,format( , f4 )],,12.2,12.3,0.001),[, b() ]) 12. pour démontrer le résultat du 7 il suffit de faire un tableau de signes

21 13.

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