Correction du devoir de Mathématiques commun aux terminales S (n 1/2H)

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1 Année scolaire octobre 202 Terminales S 704/705/706) Correction du devoir de Mathématiques commun aux terminales S n /2H) Question de cours : points) Rappeler la définition de deux événements indépendants A et B sont indépendants si et seulement si p A B) = p A) p B) 2 Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants alors il en est de même de A et B, où B désigne l événement contraire de B p A B) = p A) p A B) formule des probabilités totales) Or A et B sont indépendants donc p A B) = p A) p B) Il vient donc p A B) = pa ) papb ) ) = pa ) pb )) = pa ) pb ), ce qu il fallait démontrer Exercice : 8 points) Partie A : Soit g la fonction définie sur par 2 gx ) = 2x+ 4x+ 2x 8 ) Etudier les variations de g g est dérivable sur car c est une fonction polynôme On a : g' x) = 6 x² + 8x+ 2 = 2 x² + 4x+ ) Le signe de g' x ) sur est donc le signe du trinôme x² + 4x + Les racines de ce trinôme étant égales à et ) étant positif, on peut affirmer que ce trinôme est positif sur négatif sur décroissante sur ] ; [ Il s ensuit que g est croissante sur ] ; [ et sur ] ; [ Le tableau de variations est donc :, et le coefficient de [ x ²] ] ; [ ] ; + [ et ] ; + [ et Correction du DS n 2H) Page /5

2 Année scolaire octobre 202 Terminales S 704/705/706) 2) Calculer g ) : g ) = 0 ) Déduire des deux premières questions le tableau de signes de g Sur ] ; ], g est strictement croissante et on a g ) = 8 Donc sur ] ; ], gx ) 8< 0 Sur [ ; ], g est strictement décroissante ; comme et donc gx< ) g ) =, gx ) [ ; 8] 27 Sur [ ;[, g est strictement croissante et comme g ) = 0, gx< ) 0 sur cet intervalle Sur ], + [, g est strictement croissante et comme g ) = 0, gx> ) 0 sur cet intervalle En résumé, si x ],[, gx< ) 0 et si x ]; + [, gx> ) 0 Partie B : Soit f la fonction définie sur ] ; [ ] ; + [ par f x) = 2 x x x x + On note C ) la courbe représentative de f dans un repère gx ) ) Démontrer que pour tout x, f ' x) = f étant une fonction rationnelle, elle est x + )² dérivable sur les intervalles constituant son domaine de définition, ici ] ; [ et ] ; + [ Sur ces deux intervalles, on peut calculer f ' x ) f f 2 ² 2 2) ) 2 6)) ² 2 ² ² 2 6 x + x x+ x + x x+ x + x + x + x x x x + x ' x) x+ )² x+ )² 2x 4 x² 2x 8 g x) + + ' x) x+ )² x+ )² 2) En déduire les variations de la fonction f Le signe de f ' x ) sur ses deux intervalles de définition est donc le signe de gx ) vu que x + )² > 0 Donc sur ] ; [, f ' x ) < 0 car gx< ) 0) et f sera décroissante Sur décroissante Et sur ] ; [, f ' x ) < 0 car gx< ) 0) et f sera ] ; + [ f ' x ) > 0 car gx> ) 0) et f sera croissante Correction du DS n 2H) Page 2/5

3 Année scolaire octobre 202 Terminales S 704/705/706) En résumé, on peut construire le tableau de variations suivant sans les limites) : ) Déterminer l équation de la tangente T) à C) au point d abscisse 0 Elle a donc pour coefficient directeur f '0) = 8 Donc son équation est de la forme y = 8x+ b Or le point de contact a pour coordonnées 0;6 ) donc b = 6 En conclusion, T) a pour équation y = 8x+ 6 4) Etudier la position relative de C ) et de T) Pour étudier la position relative de C ) et de T), il faut étudier le signe de la différence entre f x ) et y = 8x+ 6 Posons x + x² 2x+ 6 8x+ 6) x+ ) d x) = f x) 8x+ 6) = x+ x+ x + 9 x² x² x+ 9) d x) x + x + Le signe de cette différence est donc celui du quotient x + 9 x + Correction du DS n 2H) Page /5

4 Année scolaire octobre 202 Terminales S 704/705/706) Conclusion : C) est au-dessus de T) sur ] ; 9[ et sur ] ; + [ et C) est au dessous de T) sur ] 9; [ Exercice 2 : 4 points) Chez un fabriquant de calculatrices, une étude a montré que 2% des produits ont un défaut Un professeur a commandé 4 calculatrices pour ses élèves Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de calculatrices défectueuses Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres On choisit au hasard une calculatrice et on appelle S le succès : «la calculatrice a un défaut» On a une épreuve de Bernoulli P S) = p = 002 On répète 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes X est la variable aléatoire qui associe à cette répétition le nombre de calculatrices défectueuses X suit une loi binomiale dont les paramètres sont n = 4 et p = 002 On note : B 4;002) 2 a Déterminer la probabilité qu aucune calculatrice ne soit défectueuse On cherche : P X = 0) = La probabilité qu aucune calculatrice ne soit défectueuse est 0,50 environ b En déduire la probabilité qu au moins une calculatrice soit défectueuse On cherche : P X ) = P X < ) = P X = 0) = La probabilité qu au moins une calculatrice soit défectueuse est 0,497 environ c Déterminer la probabilité qu au moins deux calculatrices soient défectueuses On pourra introduire l événement contraire P X 2) = P X < 2) = P X ) P X ) = P X = 0) + P X = ) = Ainsi ; P X 2 = P X 048 ) ) La probabilité qu au moins deux calculatrices soient défectueuses est 048 environ Calculer l espérance de cette loi On ait que E X ) = n p = = 068 Exercice : 5 points) Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées est égal à 2% Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité st mis en place dont les résultats sont les suivants : - le test élimine 98% des pièces défectueuses - Le test élimine 05% des pièces non défectueuses On tire au hasard une pièce et après on effectue le processus de test On note respectivement D et T les événements : «La pièce est tirée défectueuse» et «le test élimine la pièce» Construire un arbre représentant la situation décrite ci-dessus Vous y placerez notamment toutes les hypothèses que vous avez obtenu de la lecture attentive de l énoncé! Correction du DS n 2H) Page 4/5

5 Année scolaire octobre 202 ) PD T ) = 098 Le texte nous dit : P D = Terminales S 704/705/706) PD T ) = 0005 Démontrer que la probabilité qu une pièce soit éliminée à tort est égale à ) ) ) ) ) PD T ) = = On doit calculer : P D T = P D PD T = P D Démontrer que la probabilité qu une pièce soit éliminée est égale à T = T D ) T D ) ) ) donc P T = P T D T D )) = P T D ) + P T D ) ) et T D ) sont incompatibles, ainsi P T ) = P D ) PD T ) + P T D ) = = Les événements T D 4 Sachant qu une pièce n est pas éliminée, calculer la probabilité qu elle soit défectueuse et donner l arrondi du résultat à 0 On demande de calculer P T D ) = P T près ) = car P T ) P T ) P T D ) = P D ) PD T ) = P D ) PD T ) ) = = PT D ) = 4 Correction du DS n 2H) D Page 5/5