III. Ondes de Gravité

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1 III. Ondes de Gravité Ondes de gravité barotrope Ondes de pure gravité baroclines Génération des ondes de gravité Ondes de montagnes Déferlement des ondes de gravité Ondes de Lee Ondes d'inertio gravité Bernard Legras B.Legras, 008

2 Exemples de nuages lenticulaires formés par des ondes de gravité B.Legras, 008

3 3 Ondes de gravité barotropes C'est le cas le plus simple qui se traite à partir des équations d'eau peu profonde linéarisées en ne prenant pas en compte le terme de Coriolis car la fréquence est supposée grande par rapport à f. t u= g x t v= g y t =H z w= H x u y v d'où on tire tt =g H Cette équation possède des solutions ondulatoires avec une vitesse de phase c= g H Application: propagation des vagues de surface et des tsunamis B.Legras, 008

4 4 Ondes de pure gravité baroclines () LES EQUATIONS NON HYDROSTATIQUES D t u x '=0 D t v y '=0 D t w z ' b=0 D t b w N =0 w x u y v z w =0 H0 g avec b= ' (flottaison), w= Dt z, g et N = d z On a retiré les termes de Coriolis car l'échelle est supposée petite et on a ajouté l'accélération verticale [justifier sa forme dans ces équations]. Forme linéarisée des équations t u U x u= x t v U x v= y t w U x w z b=0 t b U x b w N =0 w x u y v z w =0 H0 On écrit z H 0 i kx ly mz t u, v, w, b, =e u, v, w, b, e d'où k l, u = v = U k U k i U k w i m b=0 H0 N b=i w U k i k u i l v i m w=0 H0 B.Legras, 008

5 5 Rappel l U k i U k w i m b=0 H0 u = k, U k v = N b=i w U k i k u i l v i m w=0 H0 Ondes de pure gravité baroclines () N i En combinant, on obtient U k w= m U k H0 N i k l i puis U k i m m =0 U k U k H0 H0 N d'où k l m =0 U k 4 H0 et finalement on obtient la relation de dispersion k l U k = N m k l 4 H0 En bleu, les termes provenant de la contribution non hydrostatique. B.Legras, 008

6 6 Ondes de pure gravité baroclines (3) Considérons pour simplifier le cas l=0 La relation de dispersion vérifie alors U k=±n Supposons k 0 et m 0, les lignes de phase sont inclinées vers l'ouest. On se place dans le référentiel du vent (U=0). On suppose m, k / H 0 / d'où =k N m k k N i, w= u =, w =m b N Donc : u et w sont en phase avec, la température est en quadrature avec. Nk c = 3/ k, m m k Elle est (par définition) parallèle au vecteur d'onde et il y a propagation vers le bas La vitesse de groupe est N c g = m, k m 3/ k m Elle est orthogonale au vecteur d'onde et est dirigée vers le haut k m k 4 H 0 / N Note: On suppose, sans perte de généralité, que 0 Cg B.Legras, 008

7 7 Sources des ondes de gravité Montagnes Convection Jets Instabilités de Kelvin Helmholtz Ajustement géostrophique B.Legras, 008

8 8 Ondes de gravité et relief La relation de dispersion stationnaire est k m U =N 4H0 N soit m = k U 4 H 0 N Il y a propagation verticale ( m réel) si k 0, U 4H0 sinon l'onde est évanescente. k étant fixé par l'orographie, pour N et U donnés, ce sont les reliefs de plus grande extension qui permettent la propagation vers le haut. En supposant U>0, sachant que la vitesse de groupe doit être dirigée vers le haut et que la vitesse de phase doit être dirigée vers l'ouest dans le référentiel du vent pour compenser l'advection, on obtient k 0 et m 0. Plus précisèment: kn m km = 3/, c gx = N 3/, c gz = N 3/, K =k m K K K 4 H 0 B.Legras, 008

9 9 évanescent propagation B.Legras, 008

10 Propagation d'un paquet d'onde stationnaire Montagne gaussienne de largeur km Montagne gaussienne de largeur 00km B.Legras, 008

11 température vent horizontal Fritts & Alexander, Rev. Geophys., 003 B.Legras, 008

12 Déferlement d'une onde de gravité Vertical wind measured by Egrett000 Breaking mountain waves May MST Radar Vertical wind Yellow: Up, Blue: down Time (UT) B.Legras, 008

13 Ondes de Lee pour un écoulement variant verticalement et piégeage On se place ici dans le cadre de l'approximation de Boussinesq avec v =0, pour lequel les équations stationnaires sont U x u z U w = x U x w z b =0 U x b w N = 0 u w = 0 x z Dès lors, en éliminant entre la première et la deuxième équation U xx w x b z U x u U zx u zz U w z U z w = 0 En utilisant les deux dernières équations N U xx w zz w p w = 0 avec p = zz U U La propagation verticale dépend du signe de p. Positif s'il y a propagation. B.Legras, 008

14 Ondes de Lee B.Legras, 008

15 Lee waves 4 Jan 00 Ecoulement NNW sur GB avec une couche stable surmontant la couche limite:piégeage des ondes de gravité B.Legras, 008

16 Emission d'ondes de gravité par la convection B.Legras, 008

17 Emission d'ondes de gravité par ajustement géostrophique (création d'une circulation agéostrophique pour rétablir l'équilibre du vent gradient) B.Legras, 008

18 Ondes d'inertio gravité () On réintroduit f et on se place dans le cadre des équations hydrostatiques vu qu'il s'agit de modes de grande échelle. Les équations sont (avec U =0 pour simplifier) t u f 0 v x =0 t v f 0 u y =0 tz w N =0 w x u y v z w =0 H0 En passant en modes de Fourier u, v, w, = u, v, w, e i f 0 u k on obtient = i l f 0 i v k i l f 0 z H0 e i kx ly mz t l i k f 0 i soit u =, v =, w= m H0 f0 f0 N N k l d'où la relation de dispersion = f 0 m 4 H 0 B.Legras, 008

19 Ondes d'inertio gravité () N k l =f m 4 H 0 Domaine de fréquence f 0 N 0 On choisit l=0 et m 4 H 0 / N k d'où =± f m N k et c g = 3 m,0, k m / c gz k f 0 = = c gx m N propagation quasi-horizontale 0 B.Legras, 008

20 Caractéristiques des ondes de gravité f < ω < N, périodes de 5 min à j Longueur d'onde typique dans la région de la tropopause: km Propagation vers la stratosphère et la mésosphère Variation d'amplitude en ρ-/ Rôle des ondes Transport vertical de moment > frottement en altitude Déferlement > mélange Turbulence engendrée par les ondes topographiques (CAT) Ondes d'inertie-gravité Longue période, T=6h à 45 N Affectées par la rotation terrestre Longueur d'onde horizontale > 00 km Longueur d'onde verticale km B.Legras, 008