Exercices de Mathématiques 1 ère S

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1 Exercices de Mathématiques 1 ère S Pour préparer la rentrée en TS

2 Fonctions, équations et inéquations Exercice 1 1. Pour quelle(s) valeur(s ) de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 a-t-elle une seule solution dans R? Calculer alors cette solution. 2. Pour quelles valeurs de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 n admet-elle aucune solution dans R? Exercice 2 Une fonction f est représentée sur le graphique ci-dessous. En vous servant du quadrillage, compléter : f( 2 ) = f ( 2 ) = f( 0 ) = f ( 0 ) = f( 1 ) = f ( 1 ) = Exercice 3 On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ; 7] dont la courbe représentative Cf est donnée ci-dessous : Les tangentes à la courbe Cf, aux points d abscisses 1, 1, 2 et 5 ont été représentées sur la représentation ci-dessus. 1. Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1 et en Déterminer les équations des tangentes à la courbe Cf aux points d abscisses 2 et 5.

3 Exercice 4 Soit la fonction f définie dans R par f(x) = 2x²-4x 4 et C sa courbe représentative dans un repère du plan. 1. Déterminer l expression de la dérivée f 2. Déterminez l équation de la tangente T à C au point d abscisse Soit la droite D, d équation y = x 2 Déterminer les points d intersection de D et C 4. Etudier les positions relatives de ces deux courbes. 5. Dans un même repère du plan, tracer soigneusement C, D et T. (Prendre pour unité 1cm). Expliquer comment on retrouve graphiquement les résultats de la question 3). Exercice 5 Dans chaque cas, préciser l ensemble de dérivabilité de la fonction f puis déterminer l expression de la dérivée f a. f(x) = 3 x² + 5x b. g(x) = c. h(x) = d. i(x) = e. j(x) = ( )( ) f. k(x) = ( ) Exercice 6 On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm. 1. a) Quelles valeurs peut prendre la variable x dans ce problème? b) Donner l expression du volume V en fonction de la valeur de x. 2. a) Déterminer l expression de la fonction V dérivée de la fonction f. b) Dresser le tableau de variations de la fonction V. c) Quel est le volume maximal qu on obtenir avec ce type de boite? Justifier.

4 Exercice 7 On considère la fonction f définie sur l intervalle ] ; + [ par la relation : f(x) = La représentation Cf est donnée ci-dessous : On considère un point M appartenant à la courbe Cf et le rectangle MNOP construit à partir du point O et M et dont les côtés sont parallèles aux axes. On note A(x) l aire du rectangle MNOP où x est l abscisse du point M. Le but de l exercice est de déterminer pour quelles valeurs de x, l aire A(x) est minimale. 1. Donner l expression de A(x) en fonction de x. 2. Déterminer l expression de la fonction dérivée de A. 3. Etablir le sens de variation de la fonction A. 4. En déduire la position du point A afin que l aire du rectangle MNOP soit minimale. Exercice 8 On considère la fonction f définie et dérivable sur R qui admet dans le repère (O, I, J). La courbe Cf pour représentation : Parmi les quatre courbes,, et présentées ci-dessous, déterminer la courbe représentative de la fonction f, dérivée de la fonction f. Justifier votre choix.

5 Suites numériques Exercice 9 Voici des suites définies sur : a) = n² n, n b), n c) =, n Pour chacune des suites, 1. Déterminer les trois premiers termes 2. Déterminer si les suites sont arithmétiques ou géométriques. Si oui, préciser la raison et calculer la somme S = 3. Déterminer le sens de variation de ces suites Exercice 10 Soit la suite ( ) définie par et pour tout entier naturel n, 1. Calculer et. La suite ( ) est-elle arithmétique? géométrique? 2. a) Tracer dans un repère les droites (D) et (Δ) d équations respectives y = et y = x b) Construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite ( ) en laissant apparents les traits de construction c) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite ( )? 3. On considère la suite ( ) définie pour tout entier n par = a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique b) Exprimer en fonction de n puis en fonction de n c) Démontrer la conjecture sur le sens de variation de la suite ( ) 4. On souhaite déterminer la plus petite valeur de l entier n pour laquelle 4 < 0,01 Compléter l algorithme ci-dessous, et programmer sur votre calculatrice U prend la valeur 0-2 N prend la valeur 0 Tant que U 4 > 0,01 N prend la valeur N + 1 U prend la valeur. Fin tant que Afficher

6 Probabilités Exercice 11 On joue à un jeu dont voici les règles. On mise m pour avoir le droit de jouer une fois, m étant un nombre décimal. On lance un dé parfaitement équilibré à 12 faces numérotées de 1à 12 Si on obtient une face paire, on gagne 2 Si on obtient 7,9 ou 11, on gagne 8 Si on obtient 1, 3 ou 5 on gagne 3 Soit Ω, l univers et X la variable aléatoire représentant le gain algébrique, c est-à-dire le gain moins la mise. 1. Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre X, en fonction de m? 2. Déterminer la loi de probabilité de X 3. Calculer l espérance de X en fonction de m 4. Pour quelle valeur de m, le jeu est-il équitable? Exercice 12 Des effets secondaires peuvent apparaître suite à l absorption du médicament Daubitol. Des tests ont montré que la probabilité qu un patient subisse des effets secondaires est p = 0,014. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de patients subissant des effets secondaires sur un échantillon de 1500 patients. On considère qu il n y a aucun lien entre les patients. 1. Quelle loi suit X? 2. On considère un échantillon de 1500 patients. Calculer le nombre moyen m de patients subissant des effets secondaires sur cet échantillon. 3. Déterminer l intervalle de fluctuation à 95 % d une fréquence correspondant à la réalisation de X 4. Sur les 1500 patients, 32 ont subi des effets secondaires. Que peut-on en déduire? Exercice 13 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres N et P 1. On cherche à déterminer la plus grande valeur de l entier K pour laquelle P(X> K) > 0,5 a) Recopier et compléter cet algorithme : Variables : N, K,C, I quatre nombres entiers naturels P, A deux nombres réels Début Saisir N Saisir P K prend la valeur N A prend la valeur 0 I prend la valeur N C prend la valeur 1 Tant que A 0,5 C prend la valeur «I parmi N» A prend la valeur A + ( ) I prend la valeur I 1 Fin tant que K prend la valeur Afficher Fin

7 b) Faire fonctionner cet algorithme lorsque N= 10 et P = 0,63 On présentera l état successif de toutes les variables dans un tableau comme ci-dessous (la variable A sera calculée à près Etape N P K A I C A l aide de l algorithme précédent, écrire un algorithme qui donne la plus grande valeur de K pour laquelle P(X < K) < 0,4 Vecteurs, parallélisme et alignement Exercice 14

8 Exercice 15 Trigonométrie Exercice Tracer un cercle trigonométrique et placer les points suivants dont le repérage par leur mesure principale : A ( ) B( ) C( ) D( ) E( ) F( ) 2. Préciser la valeur du cosinus, sinus et tangente associé à l angle repérant chacun des points précédant en s appuyant sur les formules algébriques. Exercice Montrer que : cos ( ) + cos ( ) = 0 2. Simplifier au maximum le nombre suivant (on exprimera le résultat en fonction de cos ( ) ( )) 2 cos ( ) + 3 cos ( ) 2 sin ( ) + sin ( ) Exercice 18

9 Exercice 19 Exercice 20

10 Exercice 21 Produit scalaire Exercice 22 ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC]. Calculer les produits scalaires suivants : Exercice 23 MNPQ est un carré avec MN 6. I est le centre du carré. Calculer les produits scalaires suivants : Exercice 24 ABCD est un parallélogramme avec AB 4, AD 5 et AC 7. Calculer En déduire BD Exercice Démontrer que : 2. Démontrer que : 3. En déduire qu'un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.