1. Donner la loi, l espérance et la variance de X 1.

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1 Exercice 1 On considère une urne contenant n boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts. Un premier joueur effectue dans l urne des tirages sans remise jusqu à ce qu il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note X 1 le nombre de tirages effectués par ce joueur. S il reste des boules dans l urne, un deuxième joueur effectue la même expérience (c est-à-dire qu il effectue des tirages sans remise jusqu à obtenir la boule de plus grand numéro parmi celles présentent au moment où il entre en jeu). On note X 2 le nombre de tirages effectués par ce second joueur (nombre qui vaut éventuellement 0). 1. Donner la loi, l espérance et la variance de X Donner la loi de X 2 conditionnée par X 1. En déduire que pour 1 k n 1, P (X 2 = k) = 1 n la loi de X Calculer l espérance E(X 2 ). n 1 i=k 1, puis donner i 1

2 Exercice 2 Soit N IN et une suite (X i ) i IN de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et qui suivent toutes la loi uniforme sur {1,..., N}. Soit U la variable aléatoire discrète définie par : U = max{k / j {1,..., k 1}, X j > X j+1 } Soit T la variable aléatoire discrète définie par : T = max{k / X X k N} 1. Déterminer la loi de U et son espérance. 2. Montrer que, pour tous entiers naturels p et q : q ( ) k = p (on rappelle que si j > i, alors ( ) i j = 0) 3. Déterminer la loi de T. ( ) q + 1 p + 1 Exercice 3 On lance une pièce équilibrée n fois (n 2). Pour tout k {1,..., n}, A k désigne l événement on obtient Pile au k-ième lancer. Soit A n+1 l événement le nombre de Piles obtenus au cours des n lancers est pair. 1. Déterminer les probabilités des événements A k, k = 1, 2,..., n (a) Déterminer la probabilité P (A n+1 A 1... A n ) (b) En déduire que les événements A 1,..., A n+1 ne sont pas mutuellement indépendants (i.e. P (A 1 A n A n+1 ) P (A 1 ) P (A n )P (A n+1 )). 3. Montrer que toute sous famille de n événements choisis parmi A 1,..., A n, A n+1 est formée d événements mutuellement indépendants. 2

3 Exercice 4 1. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans l ensemble des entiers positifs. Montrer que : n n 1 n IN, ip (X = i) = P (X > k) np (X > n). i=0 Les nombres a et b sont des entiers naturels non nuls tels que a b. On effectue dans une urne contenant initialement b boules blanches et b boules noires une suite infinie de tirages avec remise, en rajoutant dans l urne a boules blanches supplémentaires après chaque tirage ayant donné une boule blanche. On note, pour tout entier naturel n non nul, A n l événement les n premiers tirages ont tous donné une boule blanche. (a) Montrer que : puis, n IN, P (A n+1 ) = na + b na + 2b P (A n) n IN, P (A n ) b na + b (b) Déterminer la probabilité de l événement: B = la boule noire n a jamais été tirée. On note alors X la variable aléatoire donnant le numéro du premier tirage auquel est apparue la boule noire. Comparer les événements X > k et A k. (c) Calculer P (A n ). Étudier l existence et si elle existe donner la valeur de l espérance de X, dans chacun des cas suivants: i. b = a. ii. b = 2a. On pourra dans ce dernier cas montrer l existence de deux réels α et β tels que : n IN, 1 (n + 1)(n + 2) = α n β n

4 Exercice 5 On dispose de n pièces non équilibrées (n 2). Chaque pièce peut amener Pile avec la probabilité p (0 < p < 1) et face avec la probabilité q = 1 p. On lance les n pièces de monnaie en l air toutes ensemble. 1. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de pièces ayant amené Pile. Déterminer la loi de X. 2. Justine a les yeux bandés et n a pas assisté au lancer. Elle choisit au hasard k pièces parmi les n, k étant un nombre fixé a priori avec 0 < k < n. Ele gagne alors parmi les k pièces celles qui présentent Pile. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y égale au nombre de pièces gagnées par Justine. 3. On soupçonne Justine d avoir triché en ayant essayé de deviner au toucher les pièces ayant amené Pile. On lui demande donc de relancer les k pièces qu elle a choisies ; elle gagnera celles, parmi les k, qui amèneront Pile. Soit Z la variable aléatoire représentant ce nouveau gain. (a) Déterminer la loi de Z. Quel commentaire peut on faire? (b) Soit W la variable aléatoire représentant le nombre de Pile parmi les n k pièces non choisies par Justine. Déterminer la loi de W. 4

5 Exercice 6 1. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) et suivant une loi géométrique de paramètre p, avec 0 < p < 1. Étudier la convergence et déterminer la limite éventuelle de la suite de terme général u n où : u n = P (X > n) P (X = n) 2. Soit Y une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) suivant une loi de Poisson de paramètre k, avec k > 0. Étudier la convergence et déterminer la limite éventuelle de la suite de terme général u n où : P (Y > n) u n = P (Y = n) 3. (a) On pose w n = j=n 1. Déterminer un équivalent de w j 2 n de la forme C, où C et α sont deux constantes que l on calculera. n α (b) Déterminer une variable aléatoire Z à valeurs dans N telle que la suite de terme général u n = P (Z>n) diverge vers l infini. P (Z=n) (c) Soit x un élément de IR {, + }. Discuter l existence d une P (T >n) variable aléatoire T telle que la suite de terme général u n = P (T =n) admette comme limite x. 5

6 Exercice 7 Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, B, P ) suivant une loi de Poisson P(λ). 1. Déterminer pour tout u réel, l espérance de la variable aléatoire e ux. 2. Pour tout ensemble A, on note 1 A la variable aléatoire définie par { 1 si x A 1 A (x) = 0 si x / A Soit u un réel positif et x ]0, 1[. (a) Montrer que : (b) En déduire que : 3. Étudier sur IR + la fonction : e u(x (1+x)λ) 1 {ω Ω X(ω) (1+x)λ} P (X (1 + x)λ) e [u(1+x)+1 eu ]λ ϕ x : u u(1 + x) + 1 e u Montrer que ϕ x est majorée sur IR + et que : En déduire que : sup ϕ x (u) = (1 + x) ln(1 + x) x = h(x) u IR + P (X (1 + x)λ) e λh(x) 4. (a) Montrer que pour tout u < 0 : (b) Montrer que : P (X (1 x)λ) e [u(1 x)+1 eu ]λ puis que : sup u IR u(1 x) + 1 e u = h( x) P (X (1 x)λ) e λh( x) 5. En déduire que : P ( X E(X) > λx) 2 max(e λh(x), e λh( x) ) 6

7 Exercice 8 Une urne contient n boules distinctes B 1,..., B n, avec n 2. Soit r un entier tel que 1 r < n. On effectue dans cette urne des tirages répétés d une boule avec remise. On note Y r la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois les boules B 1,..., B r. 1. Déterminer la loi de Y 1, son espérance et sa variance. 2. Déterminer les valeurs prises par Y r. Calculer la probabilité P (Y r = r), puis la probabilité P (Y r = r + 1). Mettre en place le raisonnement permettant de déterminer la loi de Y r. 3. Pour tout i {1,..., r}, on note W i la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour que pour la première fois, i boules distinctes parmi les boules B 1,..., B r soient sorties (ainsi W r = Y r.) Enfin, on pose X 1 = W 1 et pour i 2, X i = W i W i 1. (a) Déterminer la loi de X i ainsi que son espérance. (b) En déduire l espérance E(Y r ) de Y r. Déterminer un équivalent de E(Y r ). 7

8 Exercice 9 On considère une suite (X n ) n IN de variables aléatoires de Bernoulli définies sur l espace probabilisé (Ω, T, P ), mutuellement indépendantes et toutes de paramètre p ]0, 1[. On note q = 1 p. 1. Montrer que, pour tout k IN, l ensemble Z k = ( [X n = 0] ) ( [X n = 1] ) n k est un événement. Montrer que, pour tout k IN, l événement Z k est négligeable et interpréter ce résultat. 2. On considère la fonction L : Ω IN associant à toute éventualité appartenant à Z 1 la valeur 0 et à tout autre élément ω de Ω l unique entier n 1 tel que ω appartienne à [X n = X n 1 = = X 1 ] [X n+1 X 1 ]. Montrer que L est une variable aléatoire sur (Ω, T ). Quelle est la loi de L? Montrer que L admet un moment d ordre 2. En déduire que L admet une espérance et une variance (que l on ne calculera pas). 3. On définit de même la fonction M : Ω IN associant à ω Ω l unique entier m 1 (s il existe) tel que, si L a pris la valeur n, ω appartienne à [X n+1 = X n+2 = = X n+m ] [X n+m+1 X n+m ], et prenant la valeur 0 si cet entier m n existe pas. On admet que M est une variable aléatoire sur (Ω, T ) et que P ([M = 0]) = 0. Quelle est la loi de M? Montrer que M admet un moment d ordre 2 et trouver son espérance et sa variance. 4. Montrer que les lois de L et de M coïncident si et seulement si p = Déterminer l espérance de L et montrer que E(L) E(M) = 2. n k 8

9 Exercice 10 Une personne possède a jetons numérotés de 1 à a et joue à les lancer ensemble indéfiniment. On se propose de calculer le nombre moyen de jetons ayant amené au moins une fois pile au cours des k premiers lancers, k étant un entier naturel non nul. Pour i [1, a] et k IN, on note Ui k la variable aléatoire prenant la valeur 1 si le jeton numéro i amène un pile au k eme lancer et la valeur 0 sinon. On suppose que les variables aléatoires (Ui k ) 1 i a,1 k sont indépendantes et toutes de loi de Bernoulli de paramètre 1/2. Pour k IN, on note Y k le nombre de jetons ayant amené pile pour la première fois lors du k eme lancer et X k le nombre de jetons ayant amené au moins une fois pile au cours des k premiers lancers ; on note également A k l ensemble des éléments i de [1, a] tels que les variables aléatoires U 1 i, U 2 i,..., U k 1 i ont toutes pris la valeur 0, avec la convention A 1 = [1, a]. 1. Justifier que, pour tout k IN, X k = k j=1 Y j et Y k = i A k U k i. 2. Montrer que, pour tout k IN, card A k = a X k 1, en notant X 0 la variable aléatoire nulle. Montrer que, pour tout entier k 2 : a ( a E(Y k ) = P ([card Ak = j]) i P ([Y k = i]/[card A k = j]) ). j=0 i=0 En déduire que, pour tout k IN, E(X k ) = 1 2 (a + E(X k 1)). Exprimer, pour tout k IN, E(X k ) en fonction de k et de a. 3. Pour k IN et i [1, a], on note Zi k la variable aléatoire prenant la valeur 1 si le jeton numéro i a amené au moins une fois pile au cours des k premiers lancers, la valeur 0 sinon. Montrer que, pour tout k IN, X k = a Zi k. Montrer que, pour tout k IN, les variables aléatoires Z k 1, Z k 2,..., Z k a sont indépendantes. Trouver, pour tout i [1, a] et tout k IN, la loi de Z k i. 4. En déduire, pour tout k IN, la loi de la variable aléatoire X k. En déduire que, pour tout k IN, X k suit la loi binomiale de paramètre (a, 1 2 k ). Retrouver, pour tout k IN, l espérance de X k et calculer sa variance. i=1 9

10 Exercice 11 Une urne A contient des boules numérotées de 1 à m et une urne B contient des boules numérotées de 1 à n. On tire au hasard une boule dans chaque urne. On désigne par X (resp. Y ) la variable aléatoire indiquant le numéro de la boule tirée dans l urne A (resp. B). On pose Z = X Y. 1. Quelles sont les lois suivies par X et Y? 2. Exprimer, à l aide d une somme, l espérance E(Z) de la variable aléatoire Z. 3. On note IN l ensemble des entiers naturels. Si p est un nombre réel, on note p la partie entière de p. Soit l {1,..., n}, montrer que P(Z IN/Y = l) = 1 m m l Déterminer, à l aide d une somme, P (Z IN). 4. Soit N IN, montrer que ln(n + 1) < N p=1 En déduire un encadrement de P (Z IN). 1 p < 1 + ln(n). 5. (a) L entier m étant fixé, trouver un équivalent de E(Z) lorsque n tend vers l infini. (b) Soit p IN un entier fixé. On suppose dans cette question que n = pm ; donner un équivalent de P (Z IN) lorsque m tend vers l infini. (c) Soit q IN un entier fixé. On suppose dans cette question que m = qn ; donner un équivalent de P (Z IN) lorsque n tend vers l infini. 10

11 Exercice 12 Un immeuble équipé d un ascenseur comporte m étages, n personnes montent dans l ascenseur au rez-de-chaussée et descendent aléatoirement à l un des m étages. On appelle X la variable aléatoire indiquant le nombre d arrêts de l ascenseur. 1. Calculer E(X) sans passer par la loi de X. On pourra utiliser les variables aléatoires de Bernoulli, X i,j valant 1 si le j eme passager descend au i eme étage et X i valant 1 si l ascenseur s arrête au i eme étage. 2. On note S n,k le nombre de surjections d un ensemble à n éléments dans une ensemble à k éléments. Montrer que pour n k 2, S n,k = k(s n 1,k + S n 1,k 1 ). En déduire que S n+1,n = n (n + 1)! Déterminer la loi de X. 4. On suppose que n = m + 1, calculer P (X = m). 11

12 Exercice 13 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN. Pour tout n IN, on pose p n = P (X = n). On appelle fonction génératrice de X la fonction de la variable réelle t définie par : G X (t) = E(t X ) = + n=0 p n t n 1. (a) Montrer que G X (t) est défini pour tout t [0, 1]. (b) Soit r IN. On admet que si la série dérivée terme à terme r fois (c est à dire la série n(n 1) (n r + 1)p n t n r ) converge en un point t [0, 1], alors on a : + n=r n(n 1) (n r + 1)p n t n r = (G X ) (r) (t) où G (r) X désigne la dérivée d ordre r de G X. Montrer que X admet une espérance si et seulement si la série dérivée terme à terme une fois converge en t = (a) Déterminer la fonction génératrice d une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ]0, 1[. Retrouver son espérance à l aide de la question précédente. (b) En déduire pour r IN et x [0, 1[ la valeur de + ) x k r. 3. On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans IN. Exprimer G X+Y en fonction de G X et G Y. 4. On considère une succession de lancers indépendants d une pièce pouvant amener Pile avec la probabilité p ]0, 1[ et Face avec la probabilité q = 1 p. On pose T 0 = 0 et pour tout r IN, on appelle T r la variable aléatoire représentant le nombre de lancers nécessaires pour amener r fois Pile. On pose enfin Z r = T r T r 1. (a) Déterminer la loi de Z r. (b) En déduire la fonction génératrice de T r. 12 k=r ( k r

13 (c) On admet que : [ ( t [0, 1]) + ] a k t k = 0 = [( k IN) a k = 0] Déterminer la loi de T r. Calculer son espérance de deux façons différentes. 13

14 Exercice Soit (u n ) n 0 une suite à valeurs dans l intervalle [0, 1[. Pour tout n IN, on pose : n q n = (1 u k ) = (1 u 0 )(1 u 1 ) (1 u n ) On dira que le produit (1 u k ) est convergent si la suite (q n ) admet une limite l > 0. On notera alors l = + (1 u k ). (a) Étudier la convergence et calculer éventuellement la limite des produits suivants : p n = n (1 1 k + 2 ), q n = n (1 1 (k + 2) 2 ) (b) On revient maintenant au cas général. Montrer que si le produit q n = n (1 u k ) converge, alors lim u k = 0. k + (c) En déduire que le produit (q n ) converge si et seulement si la série uk converge. 2. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN telle que pour tout n IN, on ait P (X n) > 0. On appelle taux de panne associé, la suite réelle (x n ) définie pour tout n IN par : x n = P (X = n X n) (a) Exprimer P (X n) en fonction des x k et en déduire p n = P (X = n). (b) Déterminer les lois des variables aléatoires à valeurs dans IN ayant un taux de panne constant sur IN. (c) Montrer qu une suite (x k ) k 0 est un taux de panne si et seulement si 0 x k < 1, pour tout k IN et la série x k diverge. 14

15 solutions Exercice On peut modéliser le problème en disant que l on range les n boules au hasard (il y a n! façons de faire, toutes équiprobables) et X 1 = k est réalisé si la boule de plus grand numéro est à la k eme place (ce qui peut se faire de (n 1)! façons). Ainsi X 1 suit la loi U([1, n]) et E(X 1 ) = n+1 2, V (X 1) = n X 2 (Ω) = [0, n 1], et : si X 1 = j, avec j n, est réalisé, il reste n j boules dans l urne et le plus grand numéro restant sera tiré avec équiprobabilité à chacun des n j rangs possibles; si on réalise X 1 = n, alors l urne est vide et X 2 prend la valeur 0. Bref : pour 1 j < n, P (X 2 = k/x 1 = j) = 1 et 0 sinon; n j pour 1 k n j P (X 2 = j/x 1 = n) = 0 si j 0 et P (X 2 = 0/X 1 = n) = 1. On utilise alors la formule des probabilités totales, appliquée au système complet (X 1 = j) 1 j n : k [1, n 1], P (X 2 = k) = k/x 1 = j)p (X 1 = j) j)p (X 1 = j) 0) = P (X 1 = n) = 1 n. 3. E(X 2 ) = n 1 k 1 n 1 n j=k 1 j = 1 n = 1 n k 1 n n j j=1 n 1 ( 1 j j j=1 k=1 = 1 2n ( n(n 1) 2 + n 1) = n n. k) = 1 n = 1 n 1 n j=k n 1 j=1 j+1 2 n j=1 P (X 2 = = n k P (X 2 = k/x 1 = j=1 1 tandis que P (X j 2 = Exercice Pour n > N, P (U = n) = 0 et P (U 1) = 1, Si 2 n N, P (U n) = n) (N (en effet, il existe ( ) N N n n n-uplets de nombres compris entre 1 et N formant une suite strictement croissante). Donc ( N n) ( n+1) N si n N 1 P (U = n) = N n N n+1 si n = N 1 N N 15

16 Le calcul de l espérance de U se fait de la manière suivante : E(U) = N n=1 n(p (U n) P (U (n + 1))) = N np (U n) N np (U (n + 1)) n=1 n=1 = N np (U n) N (n 1)P (U n) = (1 + 1 N )N 1 n=1 n=2 2. Si q < p, le résultat à démontrer est évident; q si q p, 0 ( ) p q (( ) ( )) ( ) k = p+1 k+1 p k+1 = p+1 k+1. k=p 3. Il est évident que P (T > N + 1) = 0. Montrons ( par récurrence sur n n j) que pour tout j : P (X X n j) = En effet : k)p (X n+1 = k) Exercice 17 solution N n P (X X n+1 j) = N P (X X n j = 1 j n N k=1 = 1 j n N n+1 k=1 k=1 P (X X n j k) ( ) ( ) n j k = 1 n+1 N n+1 j. 1. Pour tout k [1, n], on a P (A k ) = 1. Si X est la variable aléatoire 2 représentant le nombre de Piles obtenus au cours des n lancers, X suit la loi binomiale B(n, 1/2) et : n/2 P (A n+1 ) = P ( (X = 2k)) = n/2 ( ) n ( 1 2k 2 )n = ( 1 2 )n 2n 2 = 1 2 (il suffit de développer (1 + 1) n et (1 1) n par la formule du binôme de Newton... ) 2. (a) On a évidemment : P (A n+1 /A 1... A n ) = 16 { 1 si n est pair 0 si n est impair

17 (b) Donc :... A n ) P (A 1... A n A n+1 ) = P (A n+1 /A 1... A n )P (A 1 = { 1 2 n si n est pair 0 si n est impair Tandis que P (A 1 )P (A 2 )... P (A n+1 ) = 1 2 n+1. Les événements A 1, A 2,..., A n+1 ne sonr donc jamais mutuellement indépendants. 3. si l on choisit les événements parmi (A 1,..., A n ), c est clair. sinon, on peut supposer que les événements choisis sont (A 2, A 3,..., A n, A n+1 ). Ils sont mutuellement indépendants si et seulement si, pour tout m [1, n 1], pour tout (i 1,..., i m ) [2, n] m P (A i1 A i2 A im A n+1 ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im )P (A n+1 ). Or : P (A i1 )P (A i2 )... P (A im )P (A n+1 ) = 1 ; et 2 m+1 P (A i1 A i2 A im A n+1 ) = P (A n+1 /A i1 A i2 A im )P (A i1 A i2 A im ) = m En effet, si l événement A i1 A i2 A im est réalisé, on a obtenu m Piles en n lancers, si m = 2p, on a obtenu un nombre pair de Piles sur les (n m 1) autres lancers et P (A n+1 /A i1 A i2 A im ) = 1 ( ( ) ( ) n m 1 2 n m n m ) = 2 n m 2 ; 2 n m 1 si m = 2p + 1, on a obtenu un nombre impair de Piles sur les (n m 1) autres lancers et P (A n+1 /A i1 A i2 A im ) = 1 ( ( ) ( ) n m 1 2 n m n m ) = 2 n m 2. 2 n m 1 Ce qui donne la conclusion. Exercice Soit n IN. P (X > i)) n ip (X = i) = n i=0 i=0 = n ip (X > i 1) n ip (X > i) i=1 i=0 = n 1 i=0 (i + 1)P (X > i) n ip (X > i) i=0 = n 1 P (X > i) np (X > n) i=0 17 i(p (X > i 1)

18 2. On peut écrire : P (A n+1 ) = P (A n+1 /A n )P (A n ) = na+b na+2b P (A n). En effet, les n premiers tirages ont donné une boule blanche correspond à une remise de a boules blanches après chaque tirage. Montrons par récurrence sur n, que pour tout n 1 P (A n ) C est vérifié pour P (A 1 ) = b b, car b a. 2b a+b Supposons que la relation est vérifié pour n. Alors, car b a, P (A n+1 ) = na+b na+2b P (A n) na+b b = na+2b na+b b na+2b b. (n+1)a+b b. na+b 3. L événement B = la boule noire n a jamais été tirée correspond à B = + A n n=1 Or la suite (A n ) n est une suite décroissante. Donc P (B) = P ( + P (A n )) = lim P (A n) = 0. n + car 0 P (A n ) de probabilité 1. b na+b n=1 La variable aléatoire X est ainsi définie sur B On a A k = (X > k). En effet, si le rang d apparition de la première boule noire est strictement supérieur à k, cela signifie que les k premiers tirages ont donné une boule blanche. Réciproquement, si l on n a tiré que des boules blanches lors des k premiers tirages, le rang d apparition de la première boule noire sera supérieur ou égal à k On a évidemment : P (A n ) = n 1 b+ka. 2b+ka a) Si a = b, P (A n ) = 1, et d après la première question, E(X) n+1 existe si et seulement si la série P (X > k) = P (A k ) converge. Ici E(X) n existe pas. 6 b) si b = 2a, il vient P (A n ) =. L espérance E(X) existe (n+2)(n+3) et, comme lim np (A n) = 0, il vient : n + E(X) = + P (X > n). On peut écrire: 6 N n=0 n=0 = 6 6 (n+2)(n+3) n+2 P (X > n) = 6( N n=0 n+3, donc : 1 N 1 ) = 6( 1 1 ). n+2 n+3 2 N+3 n=0 18

19 Finalement E(X) = 3. Exercice On lance les n pièces ensemble. Chaque pièce a la probabilité p d amener Pile, X suit donc la loi binomiale B(n, p). 2. On a Y (Ω) = [0, k ]. En utilisant le système complet d événements (X = i) 0 i n, on peut écrire, pour tout j [0, k ] : P (Y = j) = n i=0 P (Y = j/x = Or si l événement (Y = j) est réalisé, on a j i et k j Faces ont été choisis, donc il y a eu n (k j) Pile au maximum. Ainsi : P (Y = j) = n k+j P (Y = j/x ( )( ) i=j i n i j k j Or P (Y = j/x = i) = ) et P (X = i) = ( ) n p i q n i. Donc : P (Y = j) = n k+j i=j P (Y = j) = ( ) k j p j q ( n ( )( k ) i n i j k j ( ) n ( n i k n k+j k j ( n k i j i=j ) p i q n i ) p i j q n k (i j) = ( k j i ) p j q k j Ainsi Y suit la loi binomiale B(k, p). 3. a) La variable aléatoire Z suit la loi binomiale B(k, p) (comme somme de variables aléatoires de Bernoulli mutuellement indépendantes et de même paramètre). Ainsi Y et Z suivent la même loi ; ceci n est pas étonnant car il n y a aucune différence entre d une part, choisir k pièces après les avoir lancées, et sélectionner k pièces parmi n et les lancer pour observer le nombre de Piles apparus, d autre part. b) Par le même raisonnement W suit la loi binomiale B(n k, p). 19

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