DIPLÔME NATIONAL DU BREVET EXAMEN BLANC - MARS 2013

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1 DIPLÔME NATIONAL DU BREVET EXAMEN BLANC - MARS 2013 MATHEMATIQUES SERIE COLLEGE DUREE DE L'EPREUVE : 2 h 00 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6 dont une page annexe à rendre obligatoirement avec la copie, même vierge. Dès que ce sujet lui est remis, le candidat doit s'assurer qu'il est complet. L'usage de la calculatrice est autorisée, dans le cadre de la réglementation en vigueur. I Activités numériques II Activités géométriques III Problème Qualité de rédaction et présentation 12 points 12 points 12 points 4 points COLLEGE AIME CHARPENTIER - DAMVILLE Code : DNB - 20/03/2013 1/6

2 ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 On donne les nombres suivants : A = B = C = ( 10 ) 1) Écrire A sous la forme a b où a et b sont des entiers relatifs, b le plus petit possible. 2) En indiquant les étapes intermédiaires de calcul, écrire B sous la forme d'une fraction irréductible. 3) Donner l'écriture scientifique de C ( détailler les étapes) Exercice 2 On considère la fonction f définie par f : x a 3x x ) Calculer l'image de 1 par la fonction f. 2) Calculer f (2). 3) Déterminer un antécédent de 0 par la fonction f. 4) Pour quel nombre la fonction f n'a pas d'image? Exercice 3 Un collectionneur de coquillages possède 1755 cônes et 1053 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques c'est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. 1) Quel est le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser? 2) Combien y aura-t-il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot? Exercice 4 La fusée Ariane 5 est un lanceur européen qui permet de placer des satellites en orbite autour de la Terre. Lors de la première phase du décollage de la fusée, les deux propulseurs situés de part et d'autre du corps de la fusée permettent d'atteindre une altitude de 70 km en 132 secondes. Calculer la vitesse moyenne, exprimée en m/s, de la fusée durant la première phase du décollage. Convertir ce résultat en km/h. 2/6

3 ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 1) Tracer un segment [EF] de 8 cm de longueur. Tracer le cercle de diamètre [EF], puis placer sur le cercle un point G tel que FEG=26. 2) Démontrer que le triangle EFG est rectangle en G. 3) Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre. Exercice 2 Un cône de révolution est généré par un triangle rectangle SAO tel que SA = 13 cm et AO = 5 cm. 1) Montrer que OS = 12 cm. 2) Calculer le volume du cône de révolution en fonction de π. Arrondir au cm 3. Rappel : le volume d'un cône de révolution est donné par V = 1 3 π r² h Exercice 3 La figure qui suit n'est pas en vraie grandeur, il n'est pas demandé de la reproduire. L'unité est le centimètre. Le point B appartient au segment [DE] et le point A au segment [CE]. On donne ED = 9 ; EB = 5,4 ; EA = 7,2 ; AC = 4,8 ; CD = 15. 1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2) Démontrer que le triangle CED est rectangle. 3/6

4 PROBLEME (12 points) Les deux parties sont indépendantes. Deux frères ont hérité d un terrain que l on peut assimiler à un triangle rectangle. Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles. Pour cela, on partage le terrain selon un segment [MN], M et N étant respectivement sur les côtés [CB] et [CA]. Les droites (MN) et (AB) sont parallèles. Dans tout ce problème, l unité de longueur est le mètre. On donne AB = 60 et BC = 80. PARTIE A Dans cette partie CM = 50. 1) Montrer que MN = 37,5. 2) Calculer l aire du triangle CMN. 3) Montrer que l aire du triangle ABC est de m². 4) En déduire l aire du trapèze ABMN. Dans cette partie, on pose CM = x. PARTIE B 1) Démontrer que MN = 0,75 x en utilisant le théorème de Thalès. 2) Démontrer que l aire du triangle CMN, exprimée en m², est de 0,375 x 2. 4/6

5 3) Soit f la fonction qui, au nombre x, associe l aire du triangle CMN ( x est compris entre 0 et 80 ). f : x a 0,375 x 2 On a construit la courbe représentant la fonction f, donnée en annexe (à rendre obligatoirement avec la copie, même vierge). a) A l'aide de la courbe, déterminer à quelle distance x, il faut placer le point M pour que le triangle CMN ait une aire de 950 m² environ. b) A l'aide de la courbe, déterminer à quelle distance x, il faut placer le point M environ pour que les deux parcelles aient la même aire. c) A l'aide de la courbe, déterminer l aire approximative du triangle CMN si on place le point M à 26 m de C. 4) A l'aide d'un calcul, déterminer l'aire exacte du triangle CMN si on place le point M à 26 m de C? 5) a) En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de x pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. On donnera la réponse sous la forme a 2. b) En déduire la valeur exacte de la longueur MN du muret, puis une valeur approchée au dm près. 5/6

6 Feuille annexe (à rendre obligatoirement avec la copie, même vierge) NOM : Prénom : 6/6

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