Vers le PARALLÉLOGRAMME

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1 Vers le PRLLÉLOGRMME es quadrilatères ont des propriétés particulières. près avoir effectué les mesures nécessaires, trouve ces particularités après avoir effectué les mesures nécessaires et indique les sur chaque dessin en utilisant des couleurs. Segments parallèles dans une même couleur ; longueurs égales ; droites perpendiculaires ; angles égaux autres que les angles opposés par un sommet. ertains de ces quadrilatères ont un nom particulier ; écris-le, si c est le cas, dans le tableau ci-dessous : n Nom Quels sont tous ceux qui sont des parallélogrammes?.

2 LE PRLLÉLOGRMME - éfinition Un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme. est un parallélogramme si : () // () et () // () - Propriétés du parallélogramme Le point d intersection des diagonales d un parallélogramme est le ENTRE E SYMÉTRE de ce parallélogramme. (Propriété admise) Par conséquent : (deux segments symétriques ayant la même longueur) = est le milieu de [] = = est le milieu de [] Les côtés [] et [] ont la même longueur = Les côtés [] et [] ont la même longueur utrement dit : Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu Les côtés opposés d un parallélogramme ont la même longueur - utre définition du parallélogramme. On dit aussi : «PROPRÉTÉ RTÉRSTQUE du parallélogramme» Si est le milieu de la diagonale [], Si est le milieu de la diagonale [], lors les droites () et () sont symétriques par rapport au point donc elles sont parallèles e même, les droites () et () sont symétriques par rapport à donc elles sont parallèles. Le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; c est donc un parallélogramme. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Remarque : ette caractérisation du parallélogramme indique un procédé très simple pour construire un parallélogramme : On trace deux segments qui ont le même milieu.

3 - utre caractérisation du parallélogramme a) Les différentes formes d un quadrilatère : convexe concave croisé Un quadrilatère convexe ou un quadrilatère croisé peut avoir deux côtés opposés parallèles. Un quadrilatère concave ne peut pas avoir deux côtés opposés parallèles ; b) Un quadrilatère NON ROSÉ qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. (Propriété admise) Si n est pas croisé Si = Si () // () lors est un parallélogramme. - ngles du parallélogramme eux angles symétriques ont la même mesure. Les angles et sont symétriques par rapport à, donc : = Les angles et sont symétriques par rapport à, donc : = Les angles opposés d un parallélogramme ont la même mesure. Remarque : 1 2 = 2 car ils sont correspondants pour les droites parallèles () et () et la sécante (). 1 et 2 sont adjacents supplémentaires : + = onc : + 1 = 180 e même : + = 180, + = 180, + = 180 eux angles consécutifs d un parallélogramme sont supplémentaires

4 - Propriété de deux parallélogrammes ayant un côté commun Si est un parallélogramme Si FE est un parallélogramme (ls ont le côté commun []) lors EF est un parallélogramme ar : () // () // (EF) = = EF EF n est pas croisé. eux parallélogrammes qui ont un côté commun déterminent un troisième parallélogramme. - Parallélogrammes particuliers F E a) Le rectangle Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle ette propriété est admise ; un début de démonstration a été proposé dans l étude du triangle inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté du triangle. onséquence : Pour construire un rectangle on peut joindre les extrémités de deux diamètres d un même cercle. b) Le losange Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange appartient à la médiatrice de [] donc : = = et = (ôtés opposés d un parallélogramme) Par conséquent : = = = Les quatre côtés sont égaux ; est un losange. c) Le carré Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur et sont perpendiculaires est un carré. Un rectangle losange est un carré. : = = = = 90 (rectangle) = = = (losange)

5 Exercices 1 LE PRLLÉLOGRMME - ombien de parallélogrammes propres sont représentés ci-dessous? Nomme-les tous. - Parmi les propriétés suivantes, indique celles qui sont des propriétés du parallélogramme et, dans la dernière colonne, celles qui caractérisent un parallélogramme ou un autre quadrilatère dont tu indiqueras le nom. Propriété du quadrilatère l a deux côtés parallèles Ses côtés sont parallèles deux à deux l a un angle droit l a deux angles droits l a trois angles droits l a deux côtés opposés de même longueur l a ses quatre côtés de même longueur Ses diagonales ont la même longueur Ses diagonales sont orthogonales Ses diagonales se coupent en leur milieu Ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur Une de ses diagonales coupe l autre en son milieu Ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu l a un centre de symétrie l a un axe de symétrie l a quatre axes de symétrie l a deux angles consécutifs supplémentaires l a deux angles opposés égaux Propriété du parallélogramme? Propriété caractérisant un quadrilatère particulier? Lequel?

6 Exercices 2 LE PRLLÉLOGRMME - onstruis le point tel que soit un parallélogramme, en n'utilisant que la règle graduée et l'équerre. - onstruis le point H tel que EFGH soit un parallélogramme en n'utilisant que le compas et la règle graduée. E F G - onstruis le parallélogramme JKL de centre O. J O - onstruis le parallélogramme tel que = 4cm = 6cm = 70

7 evoir - On considère trois points,,, alignés. a) onstruis le point E tel que E soit un parallélogramme. b) onstruis le point F tel que F soit un parallélogramme. c) onstruis le point G tel que G soit un parallélogramme. d) Que peux-tu remarquer pour les droites (F), (E) et (G)? On ne demande pas de justification. - On donne trois points,,, alignés. est le milieu de [] et est le symétrique de par rapport à. a) Prouve que est un parallélogramme. b) ompare les angles et puis les angles et. Retrouve ainsi une propriété du parallélogramme. - eux droites et ' se coupent en un point Marque sur la droite les points et tels que: = = 3 cm. Marque sur la droite ' les points et tels que = = 4 cm. a) - Explique pourquoi est un parallélogramme. b) - onstruis le milieu K de [] et le milieu M de []. Le quadrilatère KM est-il un parallélogramme? Pourquoi? c) - émontre que est le milieu de [KM]

8 Vers le PRLLÉLOGRMME es quadrilatères ont des propriétés particulières. près avoir effectué les mesures nécessaires, trouve ces particularités après avoir effectué les mesures nécessaires et indique les sur chaque dessin en utilisant des couleurs. Segments parallèles dans une même couleur ; longueurs égales ; droites perpendiculaires ; angles égaux autres que les angles opposés par un sommet. ertains de ces quadrilatères ont un nom particulier ; écris-le, si c est le cas, dans le tableau ci-dessous : n Nom trapèze parallélogramme losange rectangle carré parallélogramme Quels sont tous ceux qui sont des parallélogrammes?.

9 Exercices 1 LE PRLLÉLOGRMME - ombien de parallélogrammes propres sont représentés ci-dessous? Nomme-les tous. l y en a 18 : EL, EFJ, FGJ, LK, JHK, JGH, FJL, EG, LJH, GK, EK, EFHK, FH, FH, EK, GL, LG, - Parmi les propriétés suivantes, indique celles qui sont des propriétés du parallélogramme et, dans la dernière colonne, celles qui caractérisent un parallélogramme ou un autre quadrilatère dont tu indiqueras le nom. Propriété du quadrilatère Propriété du parallélogramme? Propriété caractérisant un quadrilatère particulier? Lequel? l a deux côtés parallèles oui Ses côtés sont parallèles deux à deux oui parallélogramme l a un angle droit l a deux angles droits l a trois angles droits rectangle l a deux côtés opposés de même longueur oui l a ses quatre côtés de même longueur losange Ses diagonales ont la même longueur Ses diagonales sont orthogonales Ses diagonales se coupent en leur milieu oui parallélogramme Ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur Une de ses diagonales coupe l autre en son milieu oui Ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même rectangle longueur Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu losange l a un centre de symétrie oui parallélogramme l a un axe de symétrie l a quatre axes de symétrie carré l a deux angles consécutifs supplémentaires oui l a deux angles opposés égaux oui

10 Exercices 2 LE PRLLÉLOGRMME - onstruis le point tel que soit un parallélogramme, en n'utilisant que la règle graduée et l'équerre. Par, on mène la parallèle à (). Par, on mène la parallèle à (). es deux droites se coupent en - onstruis le point H tel que EFGH soit un parallélogramme en n'utilisant que le compas et la règle graduée. E F Puisque : EF = HG et que : EH = FG H est une intersection du cercle (E ;FG) et du cercle (G ; FE) H G - onstruis le parallélogramme JKL de centre O. J O L O est le milieu des diagonales [K] et [JL] K - onstruis le parallélogramme tel que 4cm = = 6cm = 70 On construit un angle de 70 de sommet et de côtés : = 6 cm et = 4 cm. Le point est l intersection des parallèles à () passant par et à () passant par. est aussi une intersection des cercles ( ; ) et ( ; ). 4 cm 70 6 cm