Mise en équation : Analyse géométrique, cinématique et des actions mécaniques.

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1 Extrait du programme officiel MP Mise en équation : Analyse géométrique, cinématique et des actions mécaniques. Définitions : - degré de mobilité d'un mécanisme ; - degré d hyperstatisme d un mécanisme. Détermination du degré de mobilité et du degré d hyperstatisme. 1 Les objectifs du cours : Vous devez Etre capable, à partir d un schéma cinématique, de paramétrer et/ou de justifier le paramétrage géométrique du mécanisme ; Ecrire, dans le cas d une chaîne fermée, les relations liant les paramètres géométriques (fermeture géométrique) et les relations de fermeture de la chaîne cinématique; Déterminer, en utilisant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique, les relations éventuelles entre les efforts extérieurs appliqués et certaines composantes des torseurs d efforts transmissibles ; Déterminer la mobilité et l hyperstaticité d un mécanisme ; imaginer des modèles de mécanismes isostatiques cinématiquement équivalents. 2 1

2 Comment obtenir le schéma cinématique? En partant d un plan industriel, il faut d abord repérer l ensemble des classes d équivalences (groupement de pièces immobiles les unes par rapport aux autres lors du fonctionnement du mécanisme). Identifier les zones de contact et les normales aux contacts entre ces classes pour en déduire les liaisons cinématiques. Représenter ensuite le graphe de structure puis le schéma cinématique. N hésitez pas à faire des vues en représentation plane (2D) ou en perspective (3D) si le mécanisme n admet pas de plan de symétrie. REMARQUES : Pour un même mécanisme, on peut définir plusieurs schémas cinématiques en fonction de ce que l on souhaite déterminer. On peut ainsi opter pour des liaisons équivalentes lorsqu on recherche les relations d entrée(s)-sortie(s) en vitesse ou en effort d un mécanisme ; mais il faut revenir aux liaisons élémentaires pour calculer son degré d hyperstaticité. 3 Exemple : Pompe hydraulique (document Poclain) 4 2

3 Exemple : Pompe hydraulique (document Poclain) Caractéristiques techniques données pour information Classes d équivalence 2. Zones de contact et normales 3. Graphe de structure 4. Schéma cinématique (Document Poclain) 6 3

4 1. Classes d équivalence 2. Zones de contact et normales 3. Graphe de structure 4. Schéma cinématique 7 Comment choisir le paramétrage? Le paramétrage consiste à associer un repère orthonormé direct à chacune des classes d équivalence puis à définir les paramètres de changement de repères (distance entre les origines et orientation d une base par rapport à l autre). Pour réduire les calculs de mécanique, il faut choisir un système de repérage adapté au mécanisme, en prenant, par exemple, un axe du repère colinéaire à la direction d une glissière; ou encore confondu avec celui d un pivot. Concernant le paramétrage angulaire, il n est pas utile de tracer ses angles orientés sur le schéma cinématique. Par contre, il est indispensable de les représenter sur des figures de calcul (angle orienté positif compris entre 0 et 90 ). REMARQUE : On limite le nombre de paramètres au minimum. Il est, par exemple, rarement nécessaire de repérer les trois angles d une liaison rotule ou linéaire annulaire. 8 4

5 Paramétrage 9 Comment obtenir les relations géométriques? Le mécanisme doit comporter au moins un cycle pour qu il existe une relation entre les paramètres géométriques. Pour obtenir une relation d entrée-sortie, une démarche consiste parfois à trouver une propriété vectorielle entre deux vecteurs liés l un à la pièce d entrée et l autre à la pièce de sortie du mécanisme. Sinon, il faut, pour chaque cycle, écrire la fermeture géométrique c està-dire projeter la relation vectorielle (Chasles) reliant les centres des liaisons. Pour un mécanisme 3D, il faut en plus, pour chaque cycle, faire la somme des matrices de changement de base. 10 5

6 Comment effectuer l analyse cinématique? Le mécanisme doit comporter au moins un cycle pour qu il existe une relation entre les paramètres cinématique. Pour obtenir une relation d entrée-sortie, on peut dériver la relation géométrique. Sinon, il faut, pour chaque cycle, calculer la somme des torseurs cinématiques. La mobilité cinématique (mc) correspond au nombre d inconnues cinématiques qu il faut connaître pour fixer précisément la position du mécanisme. Il ne faut pas oublier les mobilités internes lorsqu on cherche à calculer intuitivement sa valeur. 11 Mobilité cinématique Ec : nombre d équations scalaires (6 fois le nombre de cycles indépendants) Ec rc Ic Ic : nombre d inconnues cinématiques dans les liaisons mc =Ic- rc x = mc : mobilité cinématique (nombre de paramètres pour définir complètement la position du mécanisme) 12 6

7 Comment effectuer l analyse des actions mécaniques? Pour déterminer toutes les actions mécaniques dans les liaisons, on peut, par exemple, isoler chacune des pièces et appliquer le principe fondamental. Souvent, on ne cherche à déterminer que quelques actions mécaniques, il faut alors choisir correctement les parties du système à isoler. Si l application du principe fondamental (statique ou dynamique) ne permet pas de calculer toutes les composantes des actions dans les liaisons, le mécanisme est dit hyperstatique. Le degré d hyperstaticité (h) correspond au nombre de composantes indéterminées. Une composante indéterminée en résultante (ou en moment) implique une contrainte d assemblage en longueur (ou angulaire). Le degré d hyperstaticité (h) et la mobilité cinématique (mc) sont reliés par la relation : mc h = Ic Ec = Es Is. 13 Hyperstaticité Es : nombre d équations scalaires issues du PFD Is Is : nombre d inconnues d intereffort dans les liaisons Es rs h =Is- rs x = mc =Es- rs Formule de mobilité h : degré d hyperstaticité (nombre d inconnues qui ne peuvent pas être déterminée à l aide du PFD mc h = Es Is = Ic Ec 14 7

8 Justification de la formule de mobilité 15 Comment déterminer les liaisons équivalentes? Si les liaisons sont en parallèle : il faut faire la somme des torseurs d interefforts ou l égalité des torseurs cinématiques Si les liaisons sont en série : il faut faire l égalité des torseurs d interefforts ou la somme des torseurs cinématique. 16 8