Chapitre 1 Opérations sur les nombres relatifs

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1 Chapitre 1 Opérations sur les nombres relatifs Compétences : Exemples d'activités, commentaires :. Remarques : La partie valeurs approchées d un quotient est traitée dans le chapitre écritures fractionnaires, ordre et opérations Début 04/9 fin 12/9 Ex N 43,54,56,66,67,69,70,98,101 p26 DM N 1 Poly APMEP Interro N 1 DST n 1 poly Démonstrations : Activités 3 et 4 5/5 Fiche Casio : séquence de touches I. Addition et soustraction de nombres relatifs (Rappels) 1) Calculer une somme Activité 1 1) La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif qui a : Pour signe, le signe commun aux deux nombres Pour distance à zéro, la somme des distances à zéro 2) La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif qui a : Pour signe, le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro Pour distance à zéro, la différence des distances à zéro 3) a) (+5) + ( +8) = 13 b) (-3,5) + (+9,5) = 6 c) (-75) + ( -25) = -100 d) (+100) + (-250) = -150 Propriété admise La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif qui a : Pour signe, le signe commun aux deux nombres Pour distance à zéro, la somme des distances à zéro ( 5)( 2)( 7) ( 6)( 3)( 9) La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif qui a : Pour signe, le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro Pour distance à zéro, la différence des distances à zéro 3( 25) 22 28( 17) 11 La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro. ( 5)( 5) 0 ( 8)( 8) 0 Page 1 sur 6

2 2) Calculer une différence Activité 2 1) «Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.» 2) Calculer les différences suivantes : a) (+12) - ( +2) =(+12)+(-2) =10 b) (+15) - (-1) =(+15)+(+1) =16 c) (-12) - ( +3) =(-12)+(-3) =-15 d) (-4) - (-5) =(-4)+(+5) =1 e) (-13) (+13) =(-13)+(-13) =-26 f) (-14) - (-14) =(-14)+(+14) =0 Il a été établi en classe de cinquième que : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. (-5) (+20) = (-5) + (-20) = -25 Soustraire (+20), c est ajouter (-20) (-3) (-18) = (-3) + (+18) = +15 Soustraire (-18) c est ajouter (+18) 3) Expression algébrique simplifiée Définition : Une expression algébrique est une suite d opérations enchainées. Convention d écriture : Pour simplifier une expression algébrique, on peut supprimer : les parenthèses des nombres relatifs Le signe «+» des nombres positifs. A ( 50)( 60) A ( 50)( 60) A A 10 B ( 12)( 15.5) B ( 12)( 15,5) B 12 15,5 B 3,5 C 36( 6) C 36( 6) C 36( 6) C 36 6 C 42 Méthode de calcul : Pour calculer une expression algébrique simplifiée, il est souvent plus rapide : D ajouter les nombres positifs entre eux D ajouter les nombres négatifs entre eux De calculer la somme des deux termes restants Il est aussi possible de repérer et d ajouter des termes opposés lorsque cela est possible. Page 2 sur 6

3 A ( 5)( 3)( 4)( 7)( 6)( 9) A A A A 8 II. Multiplication de nombres relatifs B ( 5,5)( 3)( 5,5)( 3)( 6,3)( 9,4) B ( 5,5) ( 3) ( 5,5) ( 3) ( 6,3)( 9,4) B ( 6,3)( 9,4) B 3,1 1) Calculer le produit d un nombre relatif par (-1) Activité 3 * Conjecture et démonstration 1) a) 2( 1)( 1)( 1) 2 3( 1)( 1)( 1)( 1) 3 4( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) 4 b) 125( 1) 125 c) «Le produit de 125 par (-1) est l opposé de 125.» 2) a désigne un nombre relatif. a) Compléter a [( 1) 1]( a1) 1 a ( 1) a a On a aussi a [( 1) 1] a 0 0 On en déduit que a ( 1) a 0 b) le nombre a ( 1) représente l opposé du nombre a c) «Lorsque je multiplie un nombre relatif par (-1), j obtiens son opposé» Propriété démontrée : Le produit d un nombre relatif par (-1) est égal à son opposé. Notation : Si a représente un nombre relatif, on note son opposé a. On a : a ( 1) a 5,3( 1) 5,3 ( 1) 4,6 4,6 ( 1)( 1) 1 2) Calculer le produit de deux nombres relatifs de signes contraires Activité 4 * - Démonstration sur un exemple 1) a) 1( 5,3) 5,3 2( 5,3)( 5,3)( 5,3) 10,6 3( 5,3)( 5,3)( 5,3)( 5,3) 15,9 4( 5,3)( 5,3)( 5,3)( 5,3)( 5,3) 21,2 b) Le signe de chaque produit est négatif. c) Nous pouvons conjecturer que : Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif. 2) 1,5( 1) 1,5 Ainsi : 2,8( 1,5) 2,8( 1) 1,5( 1) 2,8 1,5(2,8 1,5) Nous avons démontré que le produit 2,8( 1,5) est un nombre négatif. Page 3 sur 6

4 Propriété admise Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif. La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro. 5,3(2) 10, 6 3,5( 2) 7 Activité 5 3) Calculer le produit de deux nombres relatifs de même signe 1) Cherchons le signe du produit ( 1,8)( 3,5) ( 1,8)( 1) 1,8 ( 3,5)( 1) 3,5 ( 1)( 1) 1 Le produit d un nombre relatif par (-1) est égal à son opposé. ( 1,8)( 3,5)( 1) 1,8( 1) 3,5( 1)( 1) 1,8 3,5 1 1,8 3, 5 6,3 2) Nous pouvons conjecturer que : Le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positif. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif. La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro. 5,3( 2) 10, 6 5,3(2) 10, 6 Activité 6 4) Produit de plusieurs nombres relatifs 1) a) Cherchons le signe du produit ( 4)( 2)( 5) ( 4)( 1) 4 ( 2)( 1) 2 ( 5)( 1) 5 ( 1)( 1)( 1) 1( 1)( 1) ( 4)( 2)( 5)( 1) 4( 1) 2( 1) 5( 1)( 1)( 1) b) Nous pouvons conjecturer que : Dans un produit de plusieurs nombres relatifs négatifs : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors ce produit est un nombre positif Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors ce produit est négatif. 2) a) A ( 2)( 3) 5( 4) 6( 5) A ( 1) 2( 1) 3 5( 1) 4 6( 1) 5 A ( 1)( 1)( 1)( 1) A A 3600 b) Méthode pour multiplier plusieurs nombres relatifs. Page 4 sur 6

5 Dans un produit de plusieurs nombres relatifs : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors ce produit est un nombre positif Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors ce produit est négatif. La distance à zéro du produit de plusieurs nombres relatifs est égale au produit des distances à zéro. Dans un produit de plusieurs nombres relatifs : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors ce produit est un nombre positif Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors ce produit est négatif. La distance à zéro du produit est égale au produit des distances à zéro. ( 3)( 2) 4 24 ( 3)( 2) 4( 1) 24 III. Division de nombres relatifs 1) Définition (Rappel) Définition a et b désignent deux nombres relatifs avec b 0 Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a. On le note a b ou a : b 2) Calculer le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul Activité 7 1) «Le quotient de (-56) par 8 est le nombre qui, multiplié par 8, donne (-56)» 2) a) donc b) 8( 7) 56 donc c) 8( 7) 56 donc 56 ( 7) 8 56 d) donc 7 8 3) Nous pouvons conjecturer que : Le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est un nombre positif. Le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est un nombre négatif. La distance à zéro du quotient est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres. Le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est un nombre positif. La distance à zéro du quotient est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres. Le quotient d un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est un nombre négatif. La distance à zéro du quotient est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres. Page 5 sur 6

6 IV. Priorité des calculs avec les nombres relatifs Remarque : Les priorités de calculs avec les nombres positifs vues en 5 e sont valables avec tous les nombres relatifs. Priorités de calcul : Dans une succession d opérations sur les nombres relatifs, on effectue d abord les calculs entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus intérieures, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. Lorsqu il y a égalité de priorité, on effectue les calculs de gauche à droite. Exemple : Calculer l expression A 6 28 :[2( 4)(9 3 4)] A 6 28 :[2( 4)(9)] 3 4 A 6 28 :[ 2 (-4)-(9-12) ] A 6 28 :[-8-(-3)] A 6 28 :[-8+3] A 6 28 :[-5] A 6 28:(-5) A 6(-5,6) A= -11,6 On effectue d abord le calcul entre parenthèses les plus intérieures, en respectant la priorité de la multiplication sur la soustraction. On effectue le calcul entre crochets. La division est prioritaire sur l addition, donc on effectue d abord la division de 28 par 5, puis l addition. Page 6 sur 6