Les systèmes asservis linéaires. échantillonnés. Mohamed AKKARI

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2 Objectif : Dans ce chapitre on mène une étude sur les deux concepts de base que sont la stabilité et la précision d un système asservi discret. Les techniques relatives à l étude de la stabilité d un système discret y sont largement détaillées. La précision qui est une performance que tout système asservi doit satisfaire en régime permanent et elle fait l objet d une attention particulière. Mohamed AKKARI

3 VII-a : stabilité : c est une condition fondamentale que tout système linéaire discret invariant doit vérifier qu il soit décrit par une fonction de transfert en boucle ouverte H ( ) ou par la représentation d état X ( k + ) F. X ( k) + G. u( k) et on dit q un système est asymptotiquement stable si lim x(k) (47) Pour des entrées u(k) nulles, et quelque soit la valeur de x(), En effet, l équation homogène X ( k + ) F. X ( k) conduit par itération à : k X ( k) F. X (), où F vérifie l équation : F k. [ I F ]. (48) k La stabilité asymptotique du système se détermine alors soit par : Le calcul des valeurs propres de F. Le calcul des solutions de l équation caractéristique : det I F (49) H Si on exploite la fonction de transfert en boucle fermée H f + H dont le dénominateur est + H, alors l étude des pôles conduit à la résolution de l équation caractéristique D + H. Théorème : Un système discret est asymptotiquement stable si : Les valeurs propres de sa matrice F, (lorsqu il est décrit par une représentation d état), ou les racines de son équation caractéristique H f (), (lorsqu il est décrit par une fonction de transfert)ont leur module strictement inférieur à un. 3 Mohamed AKKARI

4 Im(p) + Im() Zone réelle - + Réel() Réel(p) - Fig. 33 : Correspondance entre le plan p et le La figure ci-dessous montre la correspondance entre la plan de stabilité (réel négatif) pour les systèmes analogiques, et le cercle unité centé à l origine pour les systèmes discrets. Instable Remarque : Pour l étude de la stabilité, on peut éviter le calcul des valeurs propres de F dans la représentation d état ou les racines du polynôme caractéristique en faisant appel à : 4 Mohamed AKKARI

5 VII-a- : La transformation conforme : + w (5) appelée transformation de Mobius qui a comme propriété de transformer le disque unité du plan complexe en demi plan négatif de la variable complexe w. Dans ce cas, on remplace dans l équation caractéristique de H f () par w + et on applique sur cette équation obtenue en fonction de w, le w critère algébrique de Routh exploité pour les systèmes analogiques. (Voir rappel du critère de Routh en annexe) VII-a- : VII-a-- : Le critère de Schur-Jury Il n'est pas toujours facile de calculer les pôles d'une fonction de transfert en boucle fermée, surtout quand celle-ci se présente sous une forme asse développée, le critère de Jury permet l étude de la stabilité d'un système représenté sans calculer explicitement ces pôles. Il s applique directement sur l équation caractéristique +H (). VII-a-- : Démarches relatives à l application du critère Soit une fonction de transfert en boucle fermée dont le dénominateur s'écrit : +H () d() a n n + a n- n- + + a + a Le critère de stabilité de Jury est établi alors comme suit : 5 Mohamed AKKARI

6 VII-a--3 : Enoncé du critère Le système asservi, représenté par H () est stable si : d() >, (5) d(-) > pour n pair, d(-) <, pour n impair (5) a < a n (53) Si l une de ces trois conditions n est pas vérifiée, le système est instable. Si ces conditions sont vérifiées, alors on vérifie d autres conditions sur les éléments établis dans le tableau de Jury suivant: VII-a--4 : Tableau de Jury n Ligne a a a n Ligne a n a n a Ligne 3 b b b n- Ligne 4 b n- b n b Ligne 5 c c.. c n- Ligne 6 c n- c n c.. 6 Mohamed AKKARI

7 Les deux premières lignes du tableau sont les coefficients de d(). Les éléments des lignes suivantes du tableau sont définis par : b j a.a j - a n.a n-j ; c j b.b j - b n-.b n-j-. b > bn- (54) c > cn-. (55) VII-a--5 : Dans les pages suivantes, on présente une pratique de l exploitation du critère pour les cas particuliers de polynômes de deuxième, troisième et quatrième degré: Cas : polynômes de second degré d() a + a + a avec a > Le critère de Jury impose les conditions suivantes : Condition : la l< a Condition : d(+) a + a + a > et d(-) a - a + a > Ces conditions imposent que les racines soient comprises entre - et +. Cas : polynômes de troisième degré d() a a +a + a avec a 3 > Condition : la l< a 3 Condition : a - a 3 < a a - a a 3 7 Mohamed AKKARI

8 Condition3 : d(+) a 3 + a + a + a > et d(-) - a 3 + a - a + a > Cas 3 : polynômes de quatrième degré d() a a 3 3 +a + a + a avec a 4 > Condition : a 4 - a < l a a 3 a a 4 l Condition : (a a 4 ) (a -a + a 4 ) + (a -a 3 )(a a 3 -a a 4 ) > Condition : d(+) a 4 + a 3 + a + a + a > et d(-) a 4 - a 3 + a - a + a > 8 Mohamed AKKARI

9 Evaluation Exercice : Soit un système représenté en continu par sa fonction de transfert K en boucle ouverte : H ( p) où K est le gain statique et +τ. p τ sa constante de temps. * En prenant T e comme période d échantillonnage, et un échantillonneur bloqueur d ordre un, montrer que sa fonction de transfert(boucle ouverte)est de la forme K( α ) G α où α est un coefficient à déterminer. * Donner l expression de son équation caractéristique E () * Etablir la condition que doit vérifier K en fonction de T e pour que le système discret soit stable en boucle fermée en appliquant le critère de Jury. Conclure Solution : Avec un échantillonneur bloqueur d ordre un on a : T p e e K G ( p) B ( p) H ( p) p +τ. p G ( e ) K. Ζ[ p Te p T e p ] K ( e ) Ζ[ ] + τ p p( +τp) Ζ[ ] Ζ[ p( + τp) p ] Ζ[ ] p p + τ Ζ[ ] p + τ e Te τ Comme e T e α p, alors G K.( )( ) 9 Mohamed AKKARI

10 Avec α T e τ e en réarrangeant il vient K( α ) G α L expression de l équation caractéristique est α + K αk E G + aboutit au polynôme de premier degré en α P α + K( α ) sur lequel on applique le critère de Jury. α p Condition vérifiée. P ( ) ( + K )( α ) f Condition également vérifiée du fait que K P ( ) K ( α ) ( + α ) f si K + α p α La stabilité du système discret en boucle fermée impose donc un choix de la période d échantillonnage lié à son gain statique et à sa constante de temps où K T e p τlog pour K<. K + Exercice : Etudier de la stabilité d un système décrit par la représentation d état suivante: X ( k + ) F. X ( k) + G. u( k) ; y ( k) C. X ( k) où F ; 3 4 G C 3 Solution : On calcule les valeurs propres de F : qui évidemment vérifient l équation : ( σ )( σ 4) 6 D où les deux valeurs propres : σ ; σ. 37 On conclut que le système est instable car σ 5.37 f Exercice 3 : Etude de la stabilité du système discret représenté par le schéma fonctionnel suivant (fig.34) : Mohamed AKKARI

11 X(p) _ T K B(p p Y (p) Fig.34 : Schéma du système asservi étudié Solution :On commence par discrétiser la fonction de transfert en boucle ouverte : G Z K. B ( p). p G( ) K.( ).. p fermée est alors : G f K.( Te. ). ( ) G( ) K. Te + G( ) + K. T. La fonction de transfert en boucle Pour que cette boucle soit stable, il faut que K. T c'est-à-dire K. T donc la période d échantillonnage T e influe sur la stabilité. e Exercice 4 : Etude de la stabilité d un système discret par usage de la transformation de Mobius : Soit Ε ) + a + a l équation e ( caractéristique d un système asservi. Quelles conditions doit vérifier a et a pour que le système soit stable en boucle fermée? e Solution : posons w + dans Ε () : w E ( w) ( + a + a) w + ( a ) w + a + a Le critère de Routh impose les conditions suivantes : + a + a ; a ; a + a Mohamed AKKARI

12 Le système est stable que si a et a sont l intérieur du triangle suivant : a - - a Exercice 5: Un système asservi à retour unitaire est représenté par le schéma bloc suivant : Te _ Te B(p p + 3 s (t) s * (t) Quelle condition doit vérifier la période d échantillonnage T pour que le système discret soit stable en boucle fermée? Solution : On sait que la fonction de transfert discrète en boucle fermée s écrit : s( ) F F f e( ) + F où F Ζ B ( p) ( p + 3 ) Ζ p( p + 3) Ζ Ζ p( p + 3) p p + 3 e 3T Mohamed AKKARI

13 Pour que le système soit stable en boucle fermée, il faut que les racines de l équation caractéristique F + soient toutes de module strictement inférieur à. Dans notre cas : 3T F +.66e T Le système est stable si.66. e.66 p donc : 3T.66e.66p qui donne la condition triviale T f 3T Ou p e qui donne la conditiont p. 58 VII- b : Précision VII-b- :Introduction L erreur permanente, qui représente l écart en régime établi entre la consigne et la sortie du système, caractérise la précision du système asservi. A partir d un schéma bloc représentant l asservissement d un système discret muni d un correcteur R() et sans prendre en compte une éventuelle perturbation sur le processus, on mène une étude sur la précision du processus en régime permanent en étudiant la limite de l erreur e(kt) pour k tendant vers l infini. + Yc() - e( R() u() H() Y() Fig. 35 : Schéma d un système asservi discret 3 Mohamed AKKARI

14 On établit d abord la fonction de transfert en boucle fermée : Y ( ) Y c ( ) + R ( ) H ( ) et on vérifie la stabilité du système, car la stabilité étant une performance fondamentale, elle doit être assurée en premier lieu. On calcule alors les éros du polynôme caractéristique : + R ( ) H ( ) Si ces éros sont tous à l intérieur du cercle unité, le système est stable. On met R ( ) H ( ) sous la forme R ( ) H ( ) ( ) l B ( ) A ( ), (56) Pour mettre en exergue l existence d intégrations, de multiplicité l, l est appelé classe du système en boucle ouverte. VII- b- : Le gain statique en boucle ouverte peut alors être défini par : G l B () lim ( ) R ( ) H ( ) (57) A () s On établit ensuite l expression de l erreur e ( ) e ( ) Y c ( ) (58) + R ( ) H ( ) Par définition, l erreur statique est: lim k e ( k ) lim ( ) Y c ( ) + R ( ) H ( ) (59) où la consigne est de la forme Y c (Echelon unitaire), on aura : ( ) 4 Mohamed AKKARI

15 lim k e ( k ) lim ( ) (6) + R ( ) H ( ) + G s lim k e ( k ) + G s A () A () + B () (Voir tableau des erreurs en annexe) Evaluation Exercice : Un asservissement à retour unitaire a pour fonction de transfert en boule ouverte : R ( ) H ( ) K 3.5 (.985 ) Calculer son gain statique. Calculer l erreur permanente à une entrée échelon. Exercice : Mêmes questions que dans () pour : R ( ) H ( ) 3 (.3 +. ).93 ( )(.95 ) Solution : Il suffit d appliquer les relations (74), (75), et (76) 5 Mohamed AKKARI