CHAPITRE 2 MATRICES ET RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES EXERCICE 1 (CHAPITRE 2-I) 1

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1 CHAPITRE 2 MATRICES ET RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES EXERCICE 1 (CHAPITRE 2-I) 1 Déterminer les matrices élargies des systèmes S1, S2, S5 et S6 du chapitre précédent. La matrice élargie du système S1 : {, est : Chaque ligne Li de cette matrice contient les coefficients de la i ème équation du système. La première colonne contient les coefficients de l inconnue x, la deuxième, ceux de l inconnue y et la troisième, ceux de l inconnue z. La barre verticale prend la place des signes «=», elle sépare donc les coefficients du système de ses seconds membres, qui forment la colonne de droite de la matrice élargie. De même, la matrice élargie du système S2 : { est : ( ). La matrice élargie du système S5 : 1 Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel d Introduction à l algèbre linéaire d Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l epi). 1

2 { est : ( ). Enfin, la matrice élargie du système S6 : { est : ( ). EXERCICE 2 (CHAPITRE 2 III) Soit les matrices A, B, C, D, M, N, P, Q, L suivantes : A =, B =, C =, D = M =, N =, P =, Q = et L =. 1. Effectuer, lorsque cela est possible, les sommes A+B, A+C, A+D et M+N. 2. Lorsque cela est possible, effectuer les produits AB, AC, CA, AL, AM, MN, AP, CP, D², BQ, LB, QL et LQ. 3. Commenter les produits AC, MN et D². 4. Comparer les produits AP et CP à la matrice P. 2

3 5. Déduire du produit BQ un lien entre les colonnes de B. 6. Déduire du produit LB un lien entre les lignes de B. 1. A+B = = =. A+C = =. La somme A+D est impossible car les matrices A et D ne sont pas de même format. M+N = =. 2. AB = = ( ) =, AC = = = I3. CA = = = I3. Le produit AL est impossible car le nombre de colonnes de A n est pas égal au nombre de lignes de L. 3

4 AM = =. MN = =. AP = = =. CP = = =. D² = =. BQ = = =. LB =. QL = =. LQ = = (8) 3. Comme AC = CA = I3, la matrice C est l inverse de la matrice A. Le produit de M par N illustre la propriété suivante : le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). On peut remarquer que : D² = D (on dit d une telle matrice qu elle est idempotente). 4. En comparant AP et CP à P, on remarque que l on a : 4

5 AP = 2P.et CP = P. Remarque : on verra au chapitre 6 que, des égalités AP = 2P et CP = P, on déduit que P est un vecteur propre des matrices A et C. 5. Si l on note C1, C2 et C3 les trois colonnes de B respectivement, on a : BQ = = C1 2C2 C3 = 0. Il s ensuit que : C1 2C2 = C3. La troisième colonne de la matrice B est une combinaison linéaire des deux autres. On verra, dans le chapitre 3, que, dans ce cas, on dit que les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes. 6. Si l on note L1, L2 et L3 les trois lignes de B, on a : LB =. Il s ensuit que : L1 = 5L2 3L3. La première ligne de la matrice B est une combinaison linéaire des deux autres. On verra, dans le chapitre 3, que, dans ce cas, on dit que les lignes de la matrice sont linéairement dépendantes. EXERCICE 3 (CHAPITRE 2 III) Soit le système S7 : S7. { 1. Ecrire ce système sous la forme AX = B où A, X et B sont des matrices que l on nommera. 5

6 2. Résoudre ce système en appliquant la méthode du pivot à sa matrice élargie. 1. Le système S7 peut s écrire sous la forme : =. La matrice des premiers membres (à gauche du signe «=») peut alors s écrire sous la forme de la somme de quatre matrices colonnes (une par inconnue), ce qui donne : =. En appliquant la formule du produit d une matrice par un réel, cette égalité devient : = A gauche du signe «=», on reconnaît alors le produit des matrices : et En notant A la première, X la seconde et B la matrice ( ), on peut donc bien écrire le système S7 sous le forme : AX = B, où A est la matrice des coefficients du système, X, la matrice colonne de ses inconnues et B, la matrice colonne de ses seconds membres. 2. La matrice élargie du système S7 est donc : ( ) = ( ). 6

7 Si l on applique à cette matrice la méthode du pivot dans l ordre habituel, on garde L1 et on remplace L2 par L2 + L1, L3 par L3 L1 et L4 par L4 3L1, ce qui donne : ( ) En gardant alors comme pivot et en remplaçant par et par 3, il vient : En gardant enfin comme pivot et en remplaçant par, il vient : ( ) Le système S7 est donc équivalent au système : { que l on résout en commençant par la dernière ligne, et dont la solution est : x = 1, y = 0, z = 1 et t = 2 (le vérifier!). EXERCICE 4 (CHAPITRE 2 III) Même chose avec le système S8 : {, 7

8 1. Le système S8 peut s écrire sous la forme : =, ce qui donne, en appliquant la formule du produit matriciel au membre de gauche : Le système S8 peut donc s écrire sous le forme : où A : AX = B, A = est la matrice des coefficients du système, où X : X = est la matrice colonne de ses inconnues et où B : B = est la matrice colonne de ses seconds membres. 2. La matrice élargie de ce système est donc : ( ) = ( ). Si l on applique à cette matrice la méthode du pivot dans l ordre habituel, on garde L1 et on remplace L2 par L2 L1, L3 par L3 2L1, ce qui donne : 8

9 En gardant alors comme pivot et en remplaçant par, il vient : Le système S8 est donc équivalent au système : { que l on résout en commençant par la dernière ligne. Deux cas sont possibles : 1 er cas : a 1 et le système S8 a une unique solution : x =, y = et z = (le vérifier!).. 2 nd cas : a = 1, l équation est impossible et le système n a pas de solution. EXERCICE 5 (CHAPITRE 2 III) 1. A l aide de la méthode du pivot, déterminer l inverse de la matrice A : A =. 2. En déduire la solution du système AX = B, où X = et B =. 3. A l aide de la méthode du pivot, déterminer l inverse de la transposée de la matrice A. Comparer le résultat avec l inverse de A. 1. On détermine l inverse, notée A 1, de la matrice A en appliquant la méthode du pivot aux lignes de la matrice ( ), où I est la matrice identité de même ordre que A, ce, de façon à faire apparaître la matrice I à la place de A. Car, lorsque la matrice I a remplacé A à gauche de la barre verticale, la matrice qui a remplacé I à droite de la barre verticale est A 1. 9

10 La première étape consiste à appliquer à la matrice : ( ) ( ) la méthode du pivot dans l ordre habituel dans le but de «triangulariser» la matrice A (à gauche de la barre verticale). On garde donc la première ligne comme pivot et on remplace L2 par L2 2L1 et L3 par L3 + L1, ce qui donne : Puis, on réitère l opération en gardant et en remplaçant par 3 : La deuxième étape consiste à appliquer la méthode du pivot de façon à faire apparaître une matrice diagonale à gauche de la barre verticale. Cette fois-ci, c est la dernière ligne qui sert de premier pivot. On garde donc et on remplace par et L1 par L1 + 2, ce qui donne : On réitère alors l opération en gardant comme pivot et en remplaçant par. On obtient ainsi : La troisième et dernière étape consiste à transformer la matrice diagonale située à gauche de la barre verticale en la matrice identité d ordre 3. Pour ce faire, on divise par 3, par 3 et par 1, ce qui donne : La matrice située à droite de la barre verticale est alors l inverse de la matrice A, d où : A 1 =. 2. Comme A a une inverse, la solution du système AX = B est : X = A 1 B = =. 10

11 3. La transposée de la matrice A est : =. Pour déterminer son inverse, on procède comme pour A, on part de la matrice : ( ) ( ) ; on garde L1 comme pivot et on remplace L2 par L2 + L1, et L3 par L3 2L1. On obtient ainsi : On réitère alors l opération en gardant cette fois et en remplaçant par 3, ce qui donne : Puis, pour faire apparaître une matrice diagonale à gauche de la barre verticale, on garde tout d abord la dernière ligne comme pivot et l on remplace par et L1 par L1, ce qui donne : On garde alors et l on remplace par 3 : Enfin en divisant et par 3 et par 1, on a : D où : En comparant avec : =. A 1 =, on constate que : =. Remarque : ce résultat est vrai quelle que soit la matrice carrée A inversible. 11

12 EXERCICE 6 (CHAPITRE 2 III) A l aide de la méthode du pivot, déterminer l inverse de la matrice M : M =. On applique la même méthode que dans l exercice précédent. On part de la matrice : ( ) ( ) ; on garde L1 comme pivot et on remplace L2 par L2 + L1. On obtient ainsi : En gardant ensuite et en remplaçant par, il vient : La dernière ligne n étant composée que de 0, il est impossible de faire apparaître la matrice I à gauche de la barre verticale (comme on l a fait dans l exercice précédent). La matrice M n est pas inversible. EXERCICE 7 (CHAPITRE 3 I) Sans effectuer aucun calcul, dire si les colonnes des matrices suivantes : A1 =, A2 =, A3 =, A4 = et A5 = sont linéairement dépendantes ou indépendantes. Si l on note C1 et C2 les deux premières colonnes de A1, on a C2 = C1. Ces deux colonnes sont donc linéairement dépendantes (voir propriété III-1, page 70 du manuel). La matrice A2 contenant une colonne de 0, ses colonnes sont linéairement dépendantes (voir propriété III-2, page 71 du manuel). A3 étant une matrice triangulaire dont la diagonale ne contient aucun 0, ses colonnes sont linéairement indépendantes (voir propriété III-3, page 73 du manuel). A4 étant une matrice triangulaire dont la diagonale contient un 0, ses colonnes sont linéairement dépendantes (voir propriété III-4, page 75 du manuel). Etant plus nombreuses que les lignes de A5, les colonnes de cette matrice sont linéairement dépendantes (voir propriété III-5, page 77 du manuel). 12

13 EXERCICE 8 (CHAPITRE 3 I-II) Les colonnes et les lignes des matrices suivantes : M1 =, M2 =, M3 = et M4 = sont-elles linéairement dépendantes ou indépendantes? Les colonnes de M1 sont linéairement indépendantes si et seulement si on a : M1X = 0 X = 0. Or en appliquant la méthode du pivot à la matrice (M1 0), ou, ce qui revient au même, à la matrice M1 (puisque des combinaisons linéaires de 0 donneront toujours 0), il vient : Le système M1X = 0 est donc équivalent au système :, dont l unique solution : X = 0. Il s ensuit que les colonnes de M1 sont linéairement indépendantes. On aurait pu directement remarquer que la matrice : est triangulaire et ne comporte aucun 0 sur sa diagonale. Ses colonnes, tout comme ses lignes, sont donc linéairement indépendantes. Et il en va de même des colonnes et des lignes de M1. En appliquant la méthode du pivot aux lignes de la matrice M2, il vient :. La matrice étant une matrice triangulaire dont la diagonale principale contient un 0, ses lignes et ses colonnes sont linéairement dépendantes. Il s ensuit que les lignes et les colonnes de la matrice M2 sont également linéairement dépendantes. 13

14 La matrice M3 : ayant plus de lignes que de colonnes, ses lignes sont linéairement dépendantes. Les colonnes de M3 sont linéairement indépendantes si et seulement si on a : M3X = 0 X = 0. Or en appliquant la méthode du pivot aux lignes de la matrice M3, il vient :. Le système M3X = 0 est donc équivalent au système :, dont l unique solution : X = 0 puisque la matrice : est triangulaire et ne contient aucun 0 sur sa diagonale. Les colonnes de M3 sont donc linéairement indépendantes La matrice M4 : M4 = ayant plus de colonnes que de lignes, ses colonnes sont linéairement dépendantes. Pour savoir ce qu il en est de ses lignes, on peut appliquer la méthode du pivot à ces dernières, ce qui donne : 14

15 Cette dernière matrice comportant une ligne de 0, ses lignes sont linéairement dépendantes tout comme celles de la matrice M4. EXERCICE 9 (CHAPITRE 3 III) Sans effectuer aucun calcul, déterminer le rang des matrices A3, A2 et A4 de l exercice I, ainsi que celui des matrices B et C suivantes : B =, C =. Les trois colonnes de la matrice A3 : A3 = étant linéairement indépendante (voir exercice I), on a : ranga3 = 3. Les trois colonnes de la matrice A2 : A2 = étant linéairement dépendantes (voir exercice I), on a : ranga2 2 (A2 a au plus deux colonnes linéairement indépendantes). Et comme les deux dernières colonnes de A2 sont les mêmes que celles de A3, elles sont linéairement indépendantes. On a donc : ranga2 = 2. Les quatre lignes et les quatre colonnes de la matrice A4 : A4 = étant linéairement dépendantes (voir exercice I), on a : [1] ranga4 3. Si l on ôte les troisième ligne et troisième colonne de la matrice A4, on obtient la sousmatrice : dont le rang est 3 puisque c est une matrice triangulaire d ordre 3 ne comportant aucun 0 sur sa diagonale principale. La matrice A4 a donc au moins trois colonnes (ou trois lignes) linéairement indépendantes : 15

16 [2] ranga4 3. Des inégalités [1] et [2], on déduit que : ranga4 = 3. Comme (propriété III-6, page 81 du manuel) le rang d une matrice ne change pas lorsque l on permute ses colonnes ou ses lignes, on a : rangb = rang = rang = 3 (voir propriété III-3) et rangc = rang = rang = 3 (voir propriété III-3). EXERCICE 10 (CHAPITRE 3 III) Déterminer le rang des matrices M1, M2, M3 et M4 de l exercice 8. Comme (propriété III-7, page 81 du manuel) le rang d une matrice ne change pas si l on remplace une de ses lignes (respectivement colonnes) par une combinaison linéaire d elle-même (avec un coefficient non nul) et d une autre ligne (respectivement colonne) de la matrice, on a (voir corrigé de l exercice 8) : rangm1 = rang = 3 (matrice triangulaire d ordre 3 dont la diagonale principale ne contient aucun 0) ; rangm2 = rang = rang = 2 (cette matrice ne contient que deux lignes son rang est donc inférieur ou égal à 2 et ses deux premières colonnes sont linéairement indépendantes puisqu elles forment une matrice triangulaire d ordre deux dont la diagonale principale ne contient aucun 0) ; rangm3 = rang = rang = 3 (matrice triangulaire d ordre 3 dont la diagonale principale ne contient aucun 0) ; rangm4 = rang = rang = 3 16

17 (cette matrice ne contient que trois lignes son rang est donc inférieur ou égal à 3 et ses trois premières colonnes sont linéairement indépendantes car elles forment une matrice triangulaire d ordre trois dont la diagonale principale ne contient aucun 0). EXERCICE 11 (CHAPITRE 3 III) Déterminer le rang des matrices N et P suivantes : En déduire que le système a au moins une solution quel que soit. N =, P =. = Les deux lignes de N n étant pas proportionnelles, on a : rangn = 2. Il en va de même pour P : rangp = 2. Selon la propriété III-8 (page 83 du manuel), le système = a au moins une solution quel que soit si et seulement si on a : ce qui est vérifié puisque : rang( ) = rang, ( ) = P, = N et rangp = rangn. EXERCICE 12 (CHAPITRE 3 III) Déterminer le rang des matrices A, B et C suivantes : A =, B = et C =. En déduire si le système : AX = U 17

18 a (au moins) une solution pour U =, puis pour U =. Comme (propriété III-7) le rang d une matrice ne change pas si l on remplace une de ses lignes (respectivement colonnes) par une combinaison linéaire d elle-même (avec un coefficient non nul) et d une autre ligne (respectivement colonne) de la matrice, on a : ranga = rang = rang. D où : ranga = rang = 2 (cette matrice ne contient que deux colonnes son rang est donc inférieur ou égal à 2 et ses deux premières lignes sont linéairement indépendantes car elles forment une matrice triangulaire d ordre deux dont la diagonale principale ne contient aucun 0). De même : rangb = rang Comme les colonnes,, et sont proportionnelles, puisque = = = 2, on a : rangb = rang. Cette matrice est au plus de rang deux (puisqu elle n a que deux colonnes) et elle est au moins de rang deux (puisque ses deux premières lignes forment une matrice triangulaire d ordre 2 ne comportant aucun 0 sur sa diagonale). D où : rangb = 2. De même : 18

19 rangc = rang Comme les colonnes, et sont proportionnelles, puisque = = 2, on a : rangc = rang = rang = 3 Cette matrice est au plus de rang trois (puisqu elle n a que trois colonnes) et elle est au moins de rang trois puisque ses trois premières lignes forment une matrice triangulaire d ordre 3 ne comportant aucun 0 sur sa diagonale. D où : rangc = 3. Le système AX = U a au moins une solution si rang( ) = ranga, il n en a pas sinon (voir propriété III-8, page 83 du manuel). Pour U = ( ), ( ) = B. Comme rangb = ranga, le système a au moins une solution. Pour U = ( ), ( ) = C. Comme rangc ranga, le système n a pas de solution. EXERCICE 13 (CHAPITRE 3 III) Soit M est une matrice carrée d ordre n. Démontrer que si M est régulière, alors le système MX = U a au moins une solution quelle que soit la matrice des seconds membres U (de format (n, 1)). Le système MX = U a au moins une solution si rang( ) = rangm. On sait que rangm = n (puisque M est une matrice régulière d ordre n). Par ailleurs, comme la matrice ( ) a n lignes, son rang est inférieur ou égal à n ; et comme ses n premières colonnes sont linéairement indépendantes, son rang est supérieur ou égal à n. On a donc bien : rang( ) = n = rangm, quelle que soit la matrice U. 19