TES DS4 fonction exponentielle

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1 TES DS4 fonction exponentielle NOM : Prénom : Exercice 1 : Le glacier d Aletsch, classé à l UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes. Situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône. Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,4 km de long. Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20 ans, ce qui permet de modéliser la longueur du glacier f(t), en km, en fonction du nombre d années écoulées depuis 1900 par f(t) = 25,6 0,2 e 0,025t. 1) a) Calculer la dérivée de la fonction f sur l intervalle [0 ;250]. b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ;250]. Interpréter. 2) Estimer, selon le modèle la longueur du glacier en ) A l aide de la calculatrice, estimer l année de disparition du glacier. Arrondir à l unité près. Exercice 2 : On a représenté ci-dessus la courbe C d une fonction g définie et dérivable sur [0 ;8] ainsi que la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées (0 ;7). On désigne par g la fonction dérivée de la fonction g. 1

2 TES DS4 fonction exponentielle PARTIE A 1) Préciser la valeur du réel g(0). 2) On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées (4 ;-2,8). Justifier que la valeur exacte de g (0) est -2,45. 3) On admet que la fonction g est définie sur l intervalle [0 ;8] par : g(x) = a e bx où a et b sont des nombres réels. + 1 a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ;8], on a g (x) = -abe bx (e bx + 1)². b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b. PARTIE B On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d euros. D après une étude de marché, l offre f(x) et la demande g(x) pour cet objet, en centaines d unités, sont définies pour tout x positif ou nul par : f(x) = e 0,7x 1 et g(x) = e 0,7x ) Représenter, sur l intervalle [0 ;3], la courbe associée à la fonction f dans le repère cidessus. 2) Si le prix de vente unitaire de l objet est 300, combien d objets (à l unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter? 3) Déterminer le prix de vente unitaire de l objet, arrondi à dix euros près, pour que la demande soit de 350 objets? 4) a) Donner une valeur approchée au dixième de l unique solution de l équation f(x) = g(x). On appelle «prix d équilibre» le prix permettant l égalité entre l offre et la demande. Quel est le prix d équilibre, arrondi à dix euros près. b) Au prix d équilibre, quelle est la valeur commune de l offre et de la demande, arrondie à dix unités près? c) Quel est le chiffre d affaire, arrondi à mille euros près, généré par les ventes au prix d équilibre? 2

3 TES DS4 fonction exponentielle Exercice 1 : Le glacier d Aletsch, classé à l UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes. Situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône. Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,4 km de long. Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20 ans, ce qui permet de modéliser la longueur du glacier f(t), en km, en fonction du nombre d années écoulées depuis 1900 par f(t) = 25,6 0,2 e 0,025t. 1) a) Calculer la dérivée de la fonction f sur l intervalle [0 ;250]. b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ;250]. Interpréter. 2) Estimer, selon le modèle la longueur du glacier en ) A l aide de la calculatrice, estimer l année de disparition du glacier. Arrondir à l unité près. 1) a) f est dérivable sur l intervalle [0 ;250] car la fonction t e 0,025t est aussi dérivable sur cet intervalle. f (t) = -0,2 0,025 e 0,025t = -0,005e 0,025t b) Comme pour tout t appartenant à [0 ;250], e 0,025t > 0, alors f (t) < 0 sur ce même intervalle. La fonction f est donc strictement décroissante sur [0 ;250]. Interprétation : la longueur du glacier diminue au fil des années. 2) 2013 = et f(113) = 25,6 0,2 e 0, = 25,6 0,2e 2,825 22,2. En 2013, on peut estimer la longueur du glacier à 22,2 km. 3) On cherche à résoudre l équation f(x) = 0. A l aide de la calculatrice, on trouve, x = On peut estimer, à partir de la fonction f, que le glacier aura disparu en

4 TES DS4 fonction exponentielle Exercice 2 : On a représenté ci-dessus la courbe C d une fonction g définie et dérivable sur [0 ;8] ainsi que la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées (0 ;7). On désigne par g la fonction dérivée de la fonction g. PARTIE A 1) Préciser la valeur du réel g(0). 2) On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées (4 ;-2,8). Justifier que la valeur exacte de g (0) est -2,45. 3) On admet que la fonction g est définie sur l intervalle [0 ;8] par : g(x) = a e bx où a et b sont des nombres réels. + 1 a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ;8], on a g (x) = -abe bx (e bx + 1)². b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b. 1) g(0) = 7 2) g (0) est la pente de la tangente T. Soit -2, = -2,45. 3) g(x) =a 1 v(x) en posant v(x) = ebx + 1 4

5 TES DS4 fonction exponentielle g (x) = -a v (x) (v(x))² Or v (x) = be bx Donc g (x) = b) g(0) = 7 g (0) = -2,45 Donc g(x) = -abe bx (e bx + 1)². a e 0 = 7 a = 7 2 = + 1 e 0,7x abe 0 9,8 (e 0 = -2,45 -b = -2,45 4 b = + 1)² = 0,7 PARTIE B On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d euros. D après une étude de marché, l offre f(x) et la demande g(x) pour cet objet, en centaines d unités, sont définies pour tout x positif ou nul par : f(x) = e 0,7x 1 et g(x) = e 0,7x ) Représenter, sur l intervalle [0 ;3], la courbe associée à la fonction f dans le repère cidessus. 2) Si le prix de vente unitaire de l objet est 300, combien d objets (à l unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter? 3) Déterminer le prix de vente unitaire de l objet, arrondi à l euro près, pour que la demande soit de 350 objets? 4) a) Donner une valeur approchée au dixième de l unique solution de l équation f(x) = g(x). On appelle «prix d équilibre» le prix permettant l égalité entre l offre et la demande. Quel est le prix d équilibre, arrondi à dix euros près. b) Au prix d équilibre, quelle est la valeur commune de l offre et de la demande, arrondie à dix unités près? c) Quel est le chiffre d affaire généré par les ventes au prix d équilibre? 5

6 TES TL Évaluation fonction exponentielle ) 2) On calcule une valeur approchée de g(3) = e 0, = e 2, ,527. Si le prix de vente unitaire de l objet est 300, les consommateurs sont prêts à acheter environ 153 objets. 3) On lit l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentant la fonction g dont l'ordonnée est 3,5. On lit environ 1,6. Le prix de vente unitaire de l objet pour que la demande soit de 350 objets est d'environ 160. Résolution algébrique de l équation g(x) =3,5 (pas encore étudié en cours) g(x) = 3,5 e 0,7x + 1 = 3,5 = 3,5(e 0,7x + 1) = 3,5e 0,7x + 3,5 e 0,7x = 3,5 3,5 6

7 TES TL Évaluation fonction exponentielle ln 3 0,7 1,569 e 0,7x = 3 0,7x = ln 3 x = ln 3 0,7 4) a) On lit l'abscisse du point d'intersection des courbes représentant les fonctions f et g. On lit environ : 1,9. Le prix d'équilibre est donc environ égal à 190. Résolution algébrique de l équation f(x) = g(x) (pas encore étudié en cours) f(x) = g(x) e 0,7x 1 = e 0,7x + 1 (e 0,7x 1)( e 0,7x + 1) = (e 0,7x )² 1² = e 1,4x = + 1 1,4x = ln(15) x = ln(15) 1,4 ln(15) 1.4 1,934 b) On lit l'ordonnée du point d'intersection des courbes représentant les fonctions f et g. On lit environ : 2,9. Au prix d équilibre, la valeur commune de l offre et de la demande est d'environ 290 objets. Remarque : (non encore vu en cours) La valeur exacte est f ln(15) 1,4 = e 0.7 ln(15)/1.4 1 = e 0,5 ln(15) 1 = e ln(15) 1 = ,873 c) Le chiffre d affaire généré par les ventes au prix d équilibre est égal à : (nombre d'objets à l'équilibre) (prix d'équilibre) Remarque : (non encore vu en cours) La valeur exacte est ln(15) ( 15 1) [ ] 7