Corrigé du Devoir Surveillé n 7

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1 Corrigé du Devoir Surveillé n 7 Exercice : Série harmonique incomplète Série harmonique On considère la série harmonique n. On note pour tout entier n N n T n = n k= k = Soit n N, alors T 2n T n = n + + n n n 2 = Montrons par l absurde que la série diverge. Supposons au contraire qu elle soit convergente de somme σ. En ce cas, par passage à la limite dans l inégalité précédente, j obtiens 0 2, ce qui est absurde. Par suite la série diverge. Comme cette série est à temes positifs, elle diverge vers +. Série harmonique incomplète On considère désormais la série dont le terme général u n est défini par u 0 = 0 u n = 0 si le chiffre 5 apparaît dans l écriture décimale de n u n = dans tous les autres cas n On note pour tout entier n N S n = 3. Dénombrement n k=0 u k a. Les entiers compris entre et 9 s écrivant sans le chiffre 5 sont,2,3,4,6,7,8 et 9. Il y en a donc 8 b. Un entier compris entre 0 et 99 s écrivant sans le chiffre 5 est de la forme n = a 0 + b, où a est un entier compris entre et 9 s écrivant sans le chiffre 5 et b est un entier compris entre 0 et 9 s écrivant sans le chiffre 5. Choix de a Choix de b Il y a donc 72 nombres compris entre 0 et 99 s écrivant sans le chiffre 5. c. Tout nombre enier compris entre 0 p et 0 p+ peut se mettre sous la forme n = a p a a 0 8 possibilités 9 possibilités où les a k sont des chiffres compris entre [[0, 9]] sauf a p qui ne peut être nul. Nous pouvons alors dénombrer le nombre d entiers compris entre 0 p et 0 p+ s écrivant sans le chiffre 5 de la façon suivante : Choix de a p Choix de a p.. Choix de a 0 Au total il y a donc 8 9 p entiers compris entre 0 p et 0 p+ s écrivant sans le chiffre 5. 8 possibilités 9 possibilités... 9 possibilités

2 0 p+ 4. Pour tout entier p N S 0 p+ S 0p = u k. Dans cette somme les termes sont les inverses des entiers k=0 p compris entre 0 p et 0 p+ qui s écrivent sans le chiffre 5. D après la question précédente, il y a donc 8 9 p termes non nuls dans cette somme. Le plus grand d entre eux estinverse du plus petit...) S 0 p+ S 0p < 8 ) p 9 0 0p. Par suite p ) 5. Soit p N un télescopage montre que S 0l S 0 l = S 0p S 9. Il en résulte d après la question précédente que l=2 S 0 p = p l=2 l= ) S 0l S 0 l + S 9 p ) S 0 l+ S 0l + 8 p l= p 8 8 9/0) l + 8 l=0 9/0) l = 8 9/0) 80. Ainsi, la suite ) S 0p est majorée par 80. p N 6. Comme les u k sont positifs ou nuls, la suite S n ) est croissante. Elle est donc convergente si et seulement si elle est majorée. Or pour tout entier n N, n 0 n. Par croissance de S n, il en résulte que S n S 0 n 80. La suite S n ) étant croissante et majorée, elle converge. Autrement dit, n 0u n converge et sa somme est inférieure à 80. Moralité : La série harmonique est assez proche d être convergente puisqu il suffit de lui retirer quelques termes pour la faire converger. Exercice 2 : Nombre de garçons d une famille Soit p un nombre réel tel que 0 < p < 2 3. Dans un pays, on admet que la probabilité qu une famille ait n enfants pour n N est p n = 2 pn De plus à chaque naissance, la probabilité d avoir un garçon est 2. On considère une famille de ce pays et on note pour tout entier naturel n N : E n l événement la famille compte n enfants G n l événement la famille a n garçons. Notons E l événement la famille a au moins un enfant. Nous pouvons discuter suivant le nombre exact d enfants de la famille, il vient : E = n E n Les événements E n étant deux à deux incompatibles, il résulte de la σ-additivité des probabilités que pe) = p ) + E n = pe n ) = 2 n n= n= p n = 2 p p. 2

3 D où q = p 2 p). Comme 0 < p < 2/3, on vérifie aisément que q ]0, [. Il en découle que q 0 = pē) = q = 2 3p 2 p). Remarque : Dans cette première question, un résultat possible est un nombre entier naturel le nombre d enfants). On peut modéliser l expérience aléatoire décrite par Ω = N. Ω étant dénombrable, on l équipe de la tribu Å = PΩ). Clairement Å est engendrée par les singletons {n}. Une probabilité sur Ω est en ce cas la donnée d une suite p n ) de réels positifs tels que p n = 2 pn pour n. La condition 0 < p < 2/3 permet d assurer que la suite p n N définit bien une probabilité sur Ω. n= n=0 p n =. Dans cet exercice p n <. De sorte qu en posant p 0 = 2. Soit k N et n N tel que n k. On suppose que la famille a n enfants. L ensemble des résultats possibles est une n-liste d élements de {F, G} avec des notations évidentes. Autrement dit Ω = {F, G} n. D autre part, comme à chacune des n naissances, il y a équiprobabilité qu il s agisse d une fille ou d un garçon, Ω est muni de la probabilité uniforme : Card Ω = 2 n Notons G k PΩ) l événement la famille a k enfants. Pour dénombrer G k je discute suivant l ordre de naissance des enfants je choisis les rangs des k garçons parmi les n possibles n k) possibilités, je choisis les rangs pour les filles n k n k) possibilités. Par suite Card G k = n k). Par conséquent p G k ) = 2 n Autrement dit, pg k E n ) = 2 n. k 3. Soit k N. Pour calculer la probabilité pour que cette famille ait exactement k garçons, j utilise la formule des probabilités totales pour le système complet d événements E n N, il vient : pg k ) = n=0 pe n ) pg k E n ) = n=k n k) pe n ) pg k E n ) = 2 Or la série géométrique dérivée k fois de raison p/2 est convergente et Il en résulte que n=k n k ) p 2 k = p/2) ) k+ pg k ) = 2 p) k ) 2 k+ = p/2) n=k p k 2 n= p n, p k 2 p) k+. 4. Notons G l événement la famille a au moins un garçon. En discutant suivant le nombre exact de garçon dans la famille, il est clair que G = k G k Les G k étant deux à deux incompatibles, il vient par σ-additivité : pg) = k= pg k ) = 2 p k= p/2 p ) k = p 2 2 p) p) = p 4 6p + 2p 2 Passons à l événement contraire, il vient pḡ) = pg) = 2p2 7p + 4 2p 2 6p

4 Problème : Au camping Les flots bleus Partie I. Calcul matriciel On considère les matrices /2 2/3 /2 M = /4 /3 /4 /4 0 /4 = , P = et D = 0 / L algorithme de Gauss-Jordan donne successivement puis finalement Par conséquent P est inversible et 2. Calculons P M P ) : P = D où je tire P M P = D. 3. Soit n N la matrice D n = 0 / Montrons par récurrence que n N, M n = P D n P. Initialisation : lorsque n = 0 tout le monde vaut l identité. Montrons le cas n =. D après la question précédente P M P = D. Multiplions les deux membres de cette égalité à gauche par P et à droite par P, il vient M = P D P Hérédité : Soit n tel que M n = P D n P alors par associativité du produit matriciel, il vient M n+ = M P D n P ) = P D P ) P D n P ) = P D) P P ) D n P ) En utilisant la relation P P = I, j en déduis finalement que M n+ = P D n+ P. Conclusion : par récurrence, nous avons démontré que n N, M n = P D n P. 4

5 5. Soit n N un entier naturel non nul. Caclulons P D n P : / D où je tire finalement Partie II. Probabilités 0 2/)n 6 0 / 3 0 3/ 2 M n = 6 6 ) ) ) ) ) 2 24 ) ) ) ) ) ) 2 24 ) Pour tout entier naturel non nul n N, on définit les événements A n Léo choisit l atelier le jour n, B n Léo choisit le ballon le jour n, C n Léo choisit le cheval le jour n, et on note a n, b n, c n les probabilités respectives de ces évènements.. L énoncé se traduit par : n N, pa n+ A n ) = 2, pb n+ A n ) = 4, pc n+ A n ) = 4 pa n+ B n ) = 2 3, pb n+ B n ) = 3, pa n+ C n ) = 2, pb n+ C n ) = 4, pc n+ C n ) = 4 Comme au premier jour Léo choisit une activité au hasard, a = b = c = Appliquons la formule des probabilités totales pour les système complet d événements non négligeables A n, B n, C n. Il vient pa n+ = pa n ) pa n= A n ) + pb n ) pa n= B n ) + pc n ) pa n= C n ). Introduisons les notations a n, b n et c n. Grâce à la question précédente, nous obtenons : a n+ = 2 a n b n + 2 c n En procédant de la même manière nous déduisons de la formule des probabilités totales et de la question précédente, les relations a n+ = 2 a n b n + 2 c n b n+ = 4 a n + 3 b n + 4 c n c n+ = 4 a n + 4 c n. 3. On note pour tout entier n N, X n la matrice colonne M X n = /2 2/3 /2 /4 /3 /4 /4 0 /4 a n b n c n la dernière égalité provenant de la question précédente. a n b n c n =. Pour tout entier naturel non nul n N, 2 a n b n + 2 c n 4 a n + 3 b n + 4 c n 4 a n + 4 c n = X n+, 4. Une récurrence immédiate permet alors de conclure que pour tout entier naturel non nul n X n = M n X 5

6 5. Substituons dans l égalité ci-dessus l expression obtenue pour M n à la question 5 de la Partie I, nous obtenons : n+ a n = 33 n N, b n = n+. 33 c n = 6 6 n Par opérations algébriques sur les suites convergentes, nous avons lim a n = 8 n 33, lim b n = 9 n 33, lim c n = 6 n 33. 6