Études de fonctions. 2 Application principale : le sens de variations

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1 Études de fonctions 1 Dérivées - simples calculs Exercice 1.1 Application directe Dériver, après avoir précisé l ensemble de dérivabilité, les fonctions suivantes : A(x)=x x+ B(x)=x 5x + x 7 C (x)= 5 x + x x 7 D(t)= 7t t + E(t)= t 1 t F (t)=(t+ 5)( t 1) G(t)= t H(t)= 5 t J(x)=(x )(x 6x 1) K (x)=(x 7x+ )(5x + x x+ 1) L(x)=(x 7) x M(x)=(x 8)(x+ 8) N (x)= x 5 x+ 7 P(x)= x x+ 1 x 5x+ Q(t)= 5t + t 1 t 9 R(t)= 5t t+ 7 Exercice 1. Un peu plus compliqué... Dériver, après avoir précisé l ensemble de dérivabilité, les fonctions suivantes : f 1 (x)=(x ) 5 f (x)=(x x+ ) 6 f (x)=(x 7) 8 Application principale : le sens de variations Exercice.1 Étude classique des variations d une fonction Dans chacun des cas suivants, étudier les variations des fonctions proposées, après en avoir donné le domaine de définition. Vous conlurez votre étude par un tableau de variation, dont les limites ne seront pas nécessairement précisées... A(x)=x 0,x B(x)= x x+ 1 x C (x)= x + x+ J(x)= x x+ 9 K (x)= x x+ 6 x L(x)= x + x + x+ 5 Exercice. Une étude détaillée On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= x x On note C sa représentation graphique. 1. Calculer la dérivée f de f, puis calculer son signe.. Dresser le tableau de variations de f.. Tracer la courbe C.. Démontrer que l équation f (x)=0 admet une unique solution α dans l intervalle [;]. Étude de fonctions 1 Lycée M.Utrillo - Stains

2 Tangentes à une courbe en un point Exercice.1 Calculs de tangentes Déterminer les tangentes aux fonctions suivantes en le point indiqué : A(x)=x x+ B(x)=x 5x + x 7 C (x)= 5 x + x x 7 D(t)= 7t t + E(t)= t 1 t F (t)=(t+ 5)( t 1) G(t)= t H(t)= 5 t, au point d abscisse 0, au point d abscisse 1, au point d abscisse, au point d abscisse 0, au point d abscisse 1, au point d abscisse, au point d abscisse 0, au point d abscisse 1 Exercice. Un tracé de courbes On considère la fonction définie sur [ 6;6] par : f (x)= x + x 8x 0 1. Vérifier que f (x)=(x+ )(x ).. En déduire le tableau de variations de f.. Calculer les équations des tangentes à C f en les points d abscisse 6 et 6. Tracer les tangentes et la courbe représentative de C f dans un repère orthogonal (on prendra 1cm pour 1 unité sur l axe des abscisses, et 1cm pour 5 unités sur l axe des ordonnées). Annales de baccalauréat Exercice.1 STT - France - Juin 000 Partie 1 : Une entreprise souhaite promouvoir un nouveau produit. Elle estime que la probabilité qu une personne prise au hasard en connaisse le nom après x semaines de publicité s exprime par p(x)= x x+. 1. Calculer p(). Déduire la probabilité qu une personne prise au hasard ignore le nom du produit après trois semaines de publicité.. Résoudre l équation p(x)= 1. Interpréter le résultat obtenu.. La formule donnant p(x) permet-elle de confirmer les affirmations ci-dessous? a. Avant le lancement de l opération, personne ne connaît le nom du produit. Justifier. b. Au bout de douze semaines de publicité, tout le monde connaît le nom du produit. Justifier. Partie : On considère la fonction f définie sur [0 ; 18] par : f (x)= x x+. Étude de fonctions Lycée M.Utrillo - Stains

3 1. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira au centième. x 0 0, f (x) 0,6. Vérifier que pour tout x de [0 ; 18], f (x)= dérivée de f.. Étudier le signe de f (x) pour x élément de [0 ; 18]. 9 (x+ ) où f désigne la fonction En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 18].. On désigne par C la courbe représentative de f. On considère la droite D tangente à C en son point d abscisse. Montrer que D a pour équation y = 0,0x+ 0,8. 5. Tracer D puis C dans un repère orthogonal. On prendra 1 cm pour unité sur l axe des abscisses et 10 cm sur l axe des ordonnées. Partie : 1. Compléter le graphique de la partie en traçant la droite d équation y = 0,66.. Graphiquement : a. déterminer la durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en partie 1 passe de 0,6 à 0,66. b. déterminer la durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en partie 1 passe de 0,66 à 0,7.. Cette étude explique-t-elle pourquoi l entreprise a prévu une campagne publicitaire de cinq semaines et demie? Exercice. STT - Antilles - Juin 000 La courbe C, donnée ci-après, est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur [ 1 ; ], dans un repère orthogonal d unités graphiques : cm sur l axe des abscisses ; 1 cm sur l axe des ordonnées. 1. Résoudre graphiquement les équations suivantes : a. f (x)=0 ; b. f (x)=,5 ; c. f (x)=0.. a. Utiliser la courbe pour donner le tableau de variations de f. b. En déduire le signe de f (x).. La droite T tangente à la courbe C au point B d abscisse x = 0 passe par le point A de coordonnées ( 5 ) ; 1. a. Déterminer une équation de T par le calcul. b. En déduire f (0). Étude de fonctions Lycée M.Utrillo - Stains

4 C 1 1 A T Exercice. STT - La Reunion - Septembre 005 Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 à 80 tonnes de produit chimique. Le coût de la fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d euro, est donné par la fonction C définie par : C (x)=0,01x 1,05x + 7x+ 0. Chaque tonne est vendue 19 centaines d euro. 1. Calculer, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à 0 tonnes.. Calculer C (x) pour x compris entre 0 et [ 80 (où C est la fonction dérivée de la fonction C ) et vérifier que C (x)=0,0 (x 5) + 5 ]. En déduire que la fonction C est croissante sur [0 ; 80].. a. Reproduire et compléter le tableau suivant : x C (x) 15 b. La recette est exprimée en centaines d euro par la fontion R définie par R(x)=19x. Tracer la représentation graphique de C et de R dans un même repère orthogonal. Unité sur l axe des abscisses : cm pour 10 tonnes. Unité sur l axe des ordonnées : 1 cm pour 100 centaines d euro.. Déterminer graphiquement à partir de quelle quantité l entreprise réalise un bénéfice. Justifier en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles. Étude de fonctions Lycée M.Utrillo - Stains

5 5. a. Montrer que le bénéfice mensuel en centaines d euro, est donné par la fonction B définie par : B(x)= 0,01x + 1,05x 18x 0. b. Montrer que B (x)=( 0,0x+ 0,)(x 60) où B est la fonction dérivée de la fonction B. c. À l aide d un tableau de signes, étudier le signe de B(x) sur [0 ; 80]. d. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur [0 ; 80]. a. Déduire de la question précédente, le nombre de tonnes que doit vendre l entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal. Justifier. Que vaut alors ce bénéfice en euro? b. Comment retrouver ces deux résultats par lecture graphique? Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles. Exercice. ACAACC Etrangers 000 Partie A Un artisan fabrique des objets en bois qu il propose ensuite aux touristes de passage. Pour chaque semaine, il estime que le coût de production de x objets est donné par : C (x)= x + 60x+ 11, x étant compris entre 1et 0. Le coût moyen de production d un objet est donné par f (x)= C (x) où x appartient x à [ 1 ; 0]. 1. Montrer que f (x)= x x.. Montrer que f (x 11)(x+ 11) (x)= x.. Étudier le signe de f (x) et dresser le tableau de variations de f sur l intervalle [ 1 ; 0].. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : on arrondira à 10 1 près. x f (x) 8,1 89,8 ( 5. Construire la courbe représentative de f dans le repère orthogonal O, ı, ) j ; unités graphiques : 1 cm pour objets sur l axe des abscisses, 1 cm pour 10 F sur l axe des ordonnées. Partie B L artisan vend chaque objet 110 F. 1. Montrer que le bénéfice réalisé après la fabrication et la vente de x objets est donné par : B(x)= x + 50x 11 où x est pris dans [1 ; 0].. Calculer B (x) et étudier son signe.. Dresser le tableau de variations de la fonction B et en déduire le nombre d objets à fabriquer et à vendre pour faire un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice maximal. Étude de fonctions 5 Lycée M.Utrillo - Stains

6 1000 Exercice.5 STT - Polynésie - Septembre 005 Partie A : La courbe C donnée ci-dessous, est la représentation graphique de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 10] par : f (x)= x 8x+ 600 dans un repère orthogonal dont la graduation est précisée sur les axes. La droite D a pour équation y = 99x. (10 ; 110) 800 (0 ; 600) C ( ; 7) 00 D Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes (aucune justification n est demandée et on inscrira V ou F dans chaque case) f est monotone sur [0 ; 10] f (x)>0 pour x [0 ; [ f (x)=x 8 f (x)=(x )(x+ ) f () = 0 f a un minimum pour x = Pour tout x [0 ; 10], f (x) 7 Pour tout x [0 ; 10], 600 f (x) 1 10 L équation f (x) = 99x admet f (x)<99x pour x ] ; 9[ deux solutions dans l intervalle [ ; 10] Partie B : Une entreprise produit des crayons de couleur en quantité journalière q (exprimée en milliers). Lorsque la quantité q est comprise entre et 10, on admet que le coût de production journalier, exprimé en euro, est donné par : C (q)= q 8q L entreprise vend chaque millier de crayons 99 euros, ce qui donne une recette journalière : R(q)=99q. 1. Montrer que le bénéfice journalier B(q), exprimé en euros, est donné par : B(q)= q + 17q 600 avec q [ ; 10].. Calculer B (q) où B désigne la dérivée de la fonction B. Vérifier que B (q)= (q 7)(q+ 7).. Étudier le signe de B (q) sur l intervalle [ ; 10). Dresser le tableau de variations de la fonction B.. En déduire le nombre de milliers de crayons à produire quotidiennement pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice maximal? Étude de fonctions 6 Lycée M.Utrillo - Stains